Уравнения максвелла

Вид материала

Подобный материал:

Лекция 14

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.

Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.
1. Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.
2. Теория Максвелла:
  1. Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.
  2. Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.
  3. Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.
  4. Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).
  5. Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.
  6. Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света
3. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид

Из выражения для магнитного потока следует

→

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.
Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.
По теореме Стокса в векторном анализе

где ротор вектора Е выражается определителем

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.
1. Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.
2. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.
3. Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

с плотностью тока смещения

где D – вектор электрического смещения.

Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).
В диэлектрике вектор электрического смещения равен

где Р – вектор поляризованности.

Тогда плотность тока смещения

где

– плотность тока смещения в вакууме, а

– плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).

Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.
Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

По теореме Стокса

а полный ток

вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид

Для областей поля, где нет макротоков

где знак минус в первом уравнении Максвелла означает, что вектора Н и dD/dt соответствуют правовинтовой системе, а вектора Е и dB/dt – левовинтовой.

Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей
1. В интегральной форме эти уравнения имеют вид

где величина свободных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S выражается через объемную плотность заряда

По теореме Гаусса из векторного анализа

где дивергенция вектора определяется выражением

В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид

где

– объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.

Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения

1. 2.

3. 4.

Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.
Для стационарных электрического и магнитного полей