Geum.ru

Науки и идеологии, демаркации науки и идеологии, идеологизации науки возникла в западных и отечественных исследованиях ХХ века. С трансформацией концепций идеологии изменялись взгляды на вопросы о соотношении идеологии и науки и об идеологичности науки. Следует отметить, что сама проблема идеологии

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   2   3
Доктрины в математике


Научная доктрина имеет следующую структуру: основу её составляют гипотезы, аксиомы, теории, понятийно-методологический аппарат; образ дисциплины – представление о предмете исследования, задачи, связь с общей системой научного знания; конвенции и ценности – дисциплинарные идеалы и нормы получения, представления и принятия научного продукта.

Доктринальные противостояния в истории математики нередки. Становление принципиально новой дисциплины или метода не проходит без такого конфликта. Устоявшиеся профессиональные интересы приобретают доктринальное обоснование, и для защиты их приоритетного положения создаются идейно-идеологические заслоны знанием нового типа. Древний примером является спор между «абакистами» и «алгоритмистами»  сторонниками арифметических вычислений на абаке (примитивном счётном устройстве типа наборной кассы или счёт), и сторонниками алгоритмического позиционного исчисления, продолжавшийся по XVII век включительно1. Исторически первыми сложились методы вычислений с помощью абака, ведь они не требовали позиционной системы записи чисел и годились для любых систем, особенно многообразных в коммерческой деятельности. Покровителем абакистов считался Пифагор. Алгоритмисты использовали десятичную позиционную систему, заимствованную с Востока, их покровителем считался Боэций. Спрос работу вычислителя был немалым  они обслуживали менял, торговцев, работали бухгалтерами. Абакисты хотели сохранить цеховую монополию и пытались компрометировать конкурентов любыми способами. Десятичная система, заимствованная от арабов или индусов, была более удобной для вычислений, доступной образованному человеку со средними способностями. В таком упрощении клерикалы усматривали соблазн, способствующий гордыне и смещению интересов мирян в сторону мирских забот. К тому же десятичные алгоритмы пришли из нехристианской культуры в потоке алхимического, астрологического и магического знания, что также было предлогом для обвинений. Считают, что позиционное исчисление и арабские арифметические алгоритмы принёс в Европу Леонардо Фибоначчи2, автор «Книги об абаке» (впервые опубликованной в Риме в 1857 году). Рассказывают, что император Фридрих II Гогенштауфен устраивал в Неаполитанском университете математические турниры. На одном из них участвовал Леонардо, показавший метод нахождения корня кубического уравнения в шестидесятеричном виде с точностью до восьмой позиции и установивший его иррациональность. Что стало несомненным доказательством преимущества метода3.

Пример национально-доктринального противостояния может служить отношение английских математиков к способу интегрирования Лейбница. Вплоть до начала XIX века деканы Кембриджа и Оксфорда рассматривали любую попытку усовершенствования теории флюксий как посягательство на священную тень Ньютона. В результате английская ньютоновская школа и континентальная школа Лейбница разошлись так сильно, что Эйлер в «Интегральном исчислении» (1768) считал невозможным объединение обоих методов. Современный синтез осуществила М.Г. Аньези в 1748 году в «Основах анализа», написанных на итальянском языке. И, хотя к началу XIX века её учебник был переведён на многие языки Европы, даже в 1812 году кембриджское «Аналитическое общество» (Р. Вудхауз, Ч. Бэббидж, Дж. Гершель и Дж. Пикок), распространявшее метод Лейбница, было раскритиковано учёными соотечественниками.

Доктринальное противостояние может возникать из-за различного понимания концептуально-методологических подходов, определяющих область научного поиска, экспертные оценки и направление критики. Так, трудности с признанием работ испытывал Г. Кантор (18451918), чья теория множеств критиковались частью математического истеблишмента, во главе с его учителем Л. Кронекером (18231891), предубеждённым против всего неарифметического. Кронекер считал, что в основе математики должно быть число, а в основе всех чисел – числа натуральные. На съезде в Берлине в 1886 году он сказал: «Целые числа сотворил господь Бог, а всё прочее – дело людских рук»1. Он допускал лишь конечные определения математических понятий, не принимая актуальной бесконечности. С начала 1870-х годов Кронекер стал отвергать предельные и неконструктивные построения в математическом анализе. Он «изгонял» из математики даже иррациональные числа, если нет способа их явного построения. Эта позиция противоречила теориям Р. Дедекинда и Г. Кантора. Полемика между Кантором и Кронекером дошла до личной враждебности.

Кантор хорошо знал математическую позицию Кронекера, гарантировавшую максимальную достоверность и строгость доказательств. Но Кантор считал, что соглашение с Кронекером приведёт к потере многих значительных математических результатов, оно обременит новые исследования стесняющими и, в конечном счёте, бесплодными методологическими предосторожностями. По вопросу существования иррациональностей Кантор утверждал, что единственным основанием их законности в математике является логическая непротиворечивость .2

Определение вещественных чисел Кантора подразумевало допущение в математику завершенно-бесконечных множеств. Этот мотив оказался решающим для оправдания Кантором трансфинитных, то есть бесконечных, чисел 1. В 1872 году Кантор писал об иррациональных числах на языке рациональных последовательностей. С 1883 года он ввел трансфинитные числа, как необходимый инструмент для дальнейшего развития теории множеств. Кантора обосновывал их правомерность через непротиворечивость, их нельзя отвергнуть, подобно иррациональным числам, принятым, но поставленным под сомнение. Кантор надеялся, что в теории бесконечных множеств, есть возможность избежать известных логических парадоксов, устранив тем самым единственно обоснованное возражение, выдвигаемое против понятия актуальной бесконечности.

Будучи редактором журнала Крелля, Кронекер в 1877 году отказал Кантору в публикации его работы. Через год его статья всё же вышла в этом журнале, хотя Кантор после этого работы туда не подавал. История противостояния с Кронекером, с его единомышленниками и последователями, плохо отразилась на здоровье Кантора. Он полагал, что его научная карьера пострадала от предубеждённого отношения ретроградов, и поэтому стал инициатором Немецкого математического общества, как научной «свободной трибуны».

Интересно отметить, что доктринальное противостояние идеям Кантора не завершилось после объявления в 1900 году Д. Гильбертом «проблемы Кантора» первой задачей XX века, построения аксиоматической теории множеств Э. Цермело в 1904 году, доказательства в 1939 году К. Гёделем неопровержимости континуум-гипотезы и доказательства её невыводимости П. Вопенкой и П. Коэном в 19621964 годах. В современных энциклопедиях можно почерпнуть такие мнения: «… хотелось бы специально подчеркнуть, что непонятно, каким образом в научной литературе, после создания Кантором его «учения (sic!) о множествах» смог возникнуть и утвердиться несомненно претендующий на научность термин «теория (sic!) множеств»: ведь «теория множеств» всюду, где ее изучают, преподается как математическая дисциплина, между тем как ее основное понятие в самом начале курса неизменно провозглашается неопределяемым. Между тем как вопрос о парадоксах  скажем, о парадоксе Рассела, обнаруженном еще в 1902 и не устраненном до сих пор  никак не комментируется, даже если и излагается»1.

Ещё одним примером доктринального противоречия является спор о неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского. Академик В.Я. Буняковский в мемуаре «Рассмотрение некоторых странностей, имеющих место в построениях неевклидовой геометрии» (1872) исходил из убеждения о доказуемости постулата о параллельных, считая, что его истинность вытекает из определения прямой линии. На этом соображении он предложил свое, содержащее логическую ошибку, доказательство. Он также стремился «наглядно-графически» показать противоречие геометрии Лобачевского наглядным представлениям о пространстве. Лобачевский своей теорией создал конфликт между наиболее общим понятием прямой и её традиционным графическим представлением. Буняковский демонстрирует этот конфликт чертежами. Проигнорировав обобщенное определение параллелизма прямых Лобачевского, Буняковский подменил его существенно иным, не заметив, что между этими понятиями имеется качественное различие, проявляемое в ряде признаков. Дав корректное для евклидового случая определение параллельных, он получает некорректное определение неевклидовой геометрии, таким способом получив нелепости и логические ошибки, якобы сделанные Лобачевским2.

Идеи Лобачевского касаются статуса постулата о параллельных. Неевклидовцы предполагали, что этот постулат не может быть доказан с помощью остальных постулатов геометрии. Евклидовцы надеялись построить такое доказательство. Известна попытка доказательства Ж. Картона, поддержанная парижским академиком Ж. Бертраном в 1869 году, в которой подменялись аксиомы, но «опытный глаз» академика не заметил этого из-за убежденности в доказуемости пятого постулата. Бертран не соглашался со сторонниками Лобачевского в том, что достаточно согласованности геометрического предложения с принятыми аксиомами. Он требовал его абсолютной достоверности: «стремление установить науку на одном чистом мышлении, не вводя в неё непосредственного понимания касательно идей о пространстве, кажется нам совершенной химерой; очевидность во что бы то ни стало должна быть призвана на помощь»1.

По мнению Бертрана, математики делились на две группы. Для первых очевидность пятого постулата не нуждалась в доказательстве. Для вторых его истинность не принимается априори, а «очевидность» они вообще не рассматривают как критерий истинности. Они считают, что пятый постулат не связан с понятием прямой линии, не обуславливается ею. Например, Лобачевский писал: «… вопреки мнению Лежандра, все остальные несовершенства, как, например, определение прямой линии, оказываются здесь посторонними и лишены всякого влияния на теорию параллельных линий»2. Бертран же предполагал, что понятие прямой линии и пятый постулат столь тесно связаны между собой, что с введением понятия прямой вводится и постулат о параллельных.

Образ математики, представление о её предмете, онтологическом статусе математических объектов и взаимоотношении с другими дисциплинами является доктринальным вопросом, поскольку определяет и моделирует всю математическую деятельность. Так, по мнению академика С.П. Новикова, французская математическая школа после А. Пуанкаре, начиная с А. Лебега и Ф. Бореля, пошла по ультраабстрактному пути, возведя преграду между математикой и естественными науками. Математики из группы Бурбаки стали идеологами тотальной формализации математического образования. Школа Гильберта придерживалась идеологии единства математики и теоретической физики, идеологии «полезной формализации», пока она способствует этому единству: Г. Вейль сторонился формализации и тесно взаимодействовал с физиками, Дж. фон Нейман и Э. Нетер были в числе идеологов формализации, но понимали её нетривиально. Они внесли большой вклад в математику, работающую теперь с введёнными ими понятиями. Напрасно искусственно усложнять простое. Создание теоретико-множественной аксиоматизации анализа, как это делали Бурбаки,  чепуха, убивающая реальный анализ3. Эпистемологи идеологию, по-Новикову, называют программой обоснования математики, и школа Гильберта, и группа Бурбаки относятся ими к формалистам. Разделять их по идеологическому признаку кажется бесперспективным. Есть основания считать их различия доктринальными, философско-методологическими. Но математики зачастую видят некоторую «идеологию» (в нашем определении  доктрину) в выборе программы обоснования математики и стратегии её взаимодействия с другими дисциплинами. Они имеют право на такой взгляд на суть ситуации изнутри. И это действительно отражает некоторые, но не все доктринальные расхождения в современной математике. Они явно проявляют себя во внутринаучной жизни, определяя оценки диссертационных работ, научных заявок, публикаций, диктуя редакционную политику.

Нам представляется полезным и перспективным дифференцировано использовать в исследованиях по проблемам идеологии в науке такие понятия, как «идеология», «идеологизация» и «доктрина», «индоктринация». Это позволит основательнее понять сущность исследуемого феномена, разделить факторы различного происхождения и предназначения.


1 Исследование выполнено в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» по теме: «Инновационный потенциал науки в контексте эпистемологического и историко-методологического анализа науки» и гранта РГНФ по теме: «Нормативно-ценностные аспекты формирования естественно-научной традиции в России на рубеже XIX–XX веков» № 11-13-73003а/В.

1 Кезин А.В. Научность: эталоны, идеалы, критерии. М.: МГУ, 1985. – С. 96-98.

1 Horkheimer M. Traditionelle und Kritische Theorie: 4 Aufsätze. Frankfurt am Main: Fischer Bücherei, 1970.

2 Хоркхаймер М., Адорно Т. В. Диалектика просвещения. Философские фрагменты. М., С-Пб.: Медиум, Ювента, 1997.  С. 41.

1 Тавризян Г.М. Философы ХХ века о технике и «технической цивилизации». М.: РОССПЭН, 2009. – С. 176.

1 Geiger Th. Ideologie und Wahrheit. Eine soziologische Kritik des Denkens. Stuttgart-Wien: Humboldt Verlag, 1953.

1 Topitsch Е. Sozialphilosophie zwischen Ideologie und Wissenschaft, 3 Auflage. Neuwied-Berlin: Luchterhand Verlag, 1971.  S. 326.

2 Albert H. Ökonomische Ideologie und politische Theorie. 2 Auflage. Göttingen: Verlag Otto Schwartz & Co, 1972.  S. 125-126.

3 Альберт Х. Трактат о критическом разуме. М.: Едиториал УРСС, 2003.

1 Флек Л. Возникновение и развитие научного факта: Введение в теорию стиля мышления мыслительного коллектива.  М.: Идея-Пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999.  С. 162.

2 Порус В.Н. Стиль научного мышления// Энциклопедия эпистемологии и философии науки.  М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация», 2009.  С. 931-933.

1 Микешина Л.А. Детерминация естественнонаучного познания. Л.: Наука, 1977.  С. 63, 95.

2 Стеклов В. Математика и её значение для человечества. РСФСР: Государственное издательство. Берлин, 1923.  С. 109.

1 Розов М.А. О стиле в науке // Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб.: РГХИ, 1999. – С. 17-18.

2 Демидов С.С. Стиль и мышление: еще раз о конфронтации двух столиц// Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб.: РГХИ, 1999. – С. 413-414.


1 Кун Т. Структура научных революций. М.: Изд-во АСТ: ЗАО НПП «Ермак», 2003.  С. 271-278.

2 Порус В.Н. Парадигма// Энциклопедия эпистемологии и философии науки.  М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация», 2009.  С. 684.

1 Merton R. Science, technology, and society in seventeenth century England. N.Y.: Harper and Row, 1970.  P. 137.

1 Поппер К. Открытое общество и его враги. Т. 1: Чары Платона. М.: Международный фонд «Культурная инициатива», 1992.  С. 248.

1 Дело академика Н.Н. Лузина / Под ред. С.С. Демидова, Б.В. Левшина. СПб.: РГХИ, 1999.

2 К правой группе относились  Н.М. Гюнтер, В.И. Смирнов, Г.М. Фихтенгольц, к левой группе  Л.А. Лейферт, А.Д. Дрозд, А.Р. Кулишер, и промежуточную группу составили И.М. Виноградов и А.М. Журавский.

1 В «Деле академика Лузина» есть донос написанный Э.Я. Кольманом: «Член Академии наук математик Н. Лузин, избранный в 1929 г. по кафедре философии, отказался подписать обращение советских учёных к заграничным по поводу процесса Промпартии и в знак протеста против реорганизации Московского Математического Института и Московского Математического Общества, президент которого ЕГОРОВ арестован, ЛУЗИН оставил работу в Московском Математическом Институте и ушёл в ЦАГИ. Так как ЛУЗИН является специалистом по абстрактнейшей части теории множеств, не имеющей никаких практических приложений, и в качестве руководителя так называемой Московской Математической школы, он хвастает, что «никогда не решил ни одного конкретного уравнения», то вряд ли в ЦАГи он может принести большую пользу.

Нужно подчеркнуть, что ЛУЗИН близко связан с виднейшим французским математиком БОРЕЛЕМ, активным сотрудником Французского военного ведомства. В бытность свою в 1929 г. в Париже ЛУЗИН гостил у БОРЕЛЯ.

О воинствующем идеализме ЛУЗИНА красноречиво говорит следующая выдержка из отчёта на заседании Академии о его заграничной поездке: «повидимому, натуральный ряд чисел не представляет из себя абсолютно объективного образования. Повидимому он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде. Повидимому, среди задач арифметики есть задачи абсолютно неразрешимые». На эту тему ЛУЗИНЫМ во время командировки во Францию написана книга и там же издана.

Кроме ЛУЗИНА в самое последнее время стал работать в ЦАГи профессор КАСТЕРИН, ушедший демонстративно из Института Физики при 1 МГУ, где он вел разлагающую антиобщественную работу.

22/2.31. Э. Кольман» // Архив Президента РФ (АП РФ). Ф. 3. Оп. 33. Д. 189. Л. 1.

1 Как выглядело это «со стороны» показывает мнение А. Лебега: «Вы увидите, что нападки на Лузина с целью его изгнания и освобождения места для Александрова, начались не вчера. Вы увидите там, что меня уже приписали к этому, противопоставляя «мою» науку, буржуазную и бесполезную, analysis situs [топологии], пролетарской и полезной науке. Потому что первая была наукой Лузина, а вторая — наукой Александрова. Что любопытно, так это то, что Александров исходит, как это делал Урысон, бумаги которого унаследовал Александров, из той же отправной точки, которая была и моей. Только с той разницей, что Урысон ссылался на меня, а Александров больше на меня не ссылается, так как он теперь должен плохо отзываться обо мне в своей борьбе против Лузина!»// Лебег А. Предисловие к книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» // Успехи мат. наук, Т.40, №3, 1985,  С. 9–14.

1Л.З. Мехлис 3 июля 1936 года написал письмо в ЦК партии И.В. Сталину, Л.М. Кагановичу, А.А. Андрееву, А.А. Жданову, Н.И. Ежову и В.М. Молотову: «С делом академика Н. Лузина, выявили ... один серьёзного значения недостаток в работе научных организаций. Сводится этот недостаток к тому, что большинство учёных наиболее интересные свои работы считают нужным публиковать главным образом и раньше всего не в СССР, а в заграничной печати.... Считая такое положение совершенно ненормальным». На письме резолюция И.Ф. Сталина: «Кажется, можно разрешить»// Архив Президента Российской Федерации. Фонд 3. Опись 33. Дело 129. Лист 91.

1 Орлов Михаил Хрисанфович (1900-1936)  механик и математик, чл.-кор. АН УССР (1934). Окончил Киевский институт народного образования (1924), доктор физико-математических наук (1931). В 1931-34 годах работал в Украинском НИИ математики и механики, с 1934 года – в Киевском университете и Институте математики АН УССР. Труды относятся к интегральным уравнениям, численным методам. //Бородин А.И, Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянська школа, 1979.  С. 377.

2 Бернштейн Сергей Натанович (1880-1968)  математик, член-корреспондент АН СССР (1924), академик АН УССР (1925), академик АН СССР (1929). Иностранный член Парижской академии наук (1955; член-корреспондент 1928). Лауреат премий Бельгийской (1911) и Парижской (1926) академий наук. Лауреат Государственной (Сталинской) премии (1942), ордена Трудового Красного Знамени (1944), двух орденов Ленина (1945, 1953). Бернштейн окончил Парижский университет (1899) и Политехническую школу (1901). Доктор математических наук (Париж, 1904), профессор (1907). В 1904 году решил 19-проблему Гильберта об аналитичности гладких решений нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений. В 1917 году решил часть 6-ой проблемы Гильберта, построив первую аксиоматику теории вероятностей. В 1907-1933 годах преподавал в Харьковском университете, в 1933-1941  в Ленинградском политехническом институте и университете, после войны работал в Московском университете и в Математическом институте имени В.А. Стеклова. Внёс существенный вклад в теорию приближений функций многочленами, в конструктивную теорию функций, теорию вероятностей, вариационное исчисление, функциональный анализ, разработал теорию слабозависимых величин, занимался стохастическими дифференциальными уравнениями и применением вероятностных методов в физике, статистике и биологии. // Там же.  С. 50-51.

1 Орлов М. Боротьба за марксо-ленiнску методологiю в математицi // Журнал математического циклу ВУАН. К., 1931, №1,  С. 22–24.

2 Шмидт Отто Юльевич (1891–1956)  математик, географ, геофизик, астроном, исследователь Памира (1928) и Арктики (1929, 1932, 1934, 1937), государственный деятель. Профессор Московского лесотехнического института (19201923), Московского университета (19231956), член-корреспондент АН СССР (1933), академик АН УССР (1934), академик АН СССР (1935). Вице-президент АН СССР (1939–1942). Герой Советского Союза (1937). Кавалер трех орденов Ленина (1932, 1945, 1955), двух орденов Трудового Красного Знамени и ордена Красной Звезды. Член РСДРП с 1918 года, член ЦИК СССР, депутат Верховного Совета СССР (19371946). В 19241941 году был главным редактором БСЭ, главным редактором журнала «Природа» (19511956). Работал в Наркомпроде (19181920), Наркомфине (19211922), Наркомпросе (19201930), заведовал секцией естественных и точных наук Комакадемии (19251930), был директором Арктического института (19301932), начальником Главсевморпути (19321939), директором Института теоретической геофизики АН СССР (19371949). С 1929 по 1949 годы возглавлял кафедру Высшей алгебры на мехмате; с 1951 по 1956 годы заведовал геофизическим отделением физфака, в 19531954 годах – кафедрой физики Земли. Окончил Киевский университет в 1913 году под руководством профессора Д.А. Граве, где преподавал до 1920 года. В МГУ преподавал алгебру, в 1930 году организовал научно-исследовательский семинар по алгебре, действующий по настоящее время. Международную известность ему принесли труды в области теории групп. С середины 30-х годов занимался геофизикой и космологией. В 1942 году высказал метеоритную гипотезу возникновения Солнечной системы, лёгшую в основу современной теории планетной космогонии, а в 1949 году построил теорию происхождения Земли.// Бородин А.И, Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянська школа, 1979.  С. 533-534.

1 Дубовицкая М.А. Деятельность О.Ю. Шмидта в Московском университете // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 13 (48). М., 2009,  С. 145-147.

2 Яновская (Неймарк) Софья Александровна (18961966)  математик, логик, философ и историк математики. Окончила Институт красной профессуры (1929), профессор (1931), доктор физико-математических наук (без защиты диссертации, 1935). Член большевистской партии с 1918 года. Работала в Одесском губкоме партии (1920-1923), в МГУ (1925). Заведовала кафедрой алгебры в Молотовском государственном университете (19411943), кафедрой истории математики и математической логики мех-мата (1943-1959). Совместно с М.Я. Выгодским и А.П. Юшкевичем соруководила научным семинаром по истории и методологии математики (19351966) и совместно с И.И. Жегалкиным, П.С. Новиковым и А.А. Марковым  семинаром по математической логике (19431966). Организовала переводы логических трудов Д. Гильберта и Ф.В. Аккермана (1947), А. Тарского (1948), С.К. Клини (1957), Д. Пойя (1957), Р. Карнапа (1959). В области истории отстаивала приоритет русской науки во многих областях математической и логической мысли. В 19201930 годах проводила идеологическую линию партии в среде московских математиков, выступала против математического идеализма. Изучала и частично издала математические рукописи К. Маркса (1933). Награждена орденом Ленина (1951).// Успехи математических наук, 1966, т. 21, в. 3(129),  С. 239-247.

3 За поворот на фронте естествознания: Дискуссия на заседаниях президиума Комакадемни 23/XII-1930 г. – 6/I-1931. М.-Л., 1931.  С. 39.

1 Математические результаты Э.Я. Кольмана историками науки (С.С. Демидов и В.Д. Есаков), а также им самим оцениваются невысоко.

2 Архив РАН. Ф. 496. Оп. 2., Ед. хр. 387.

1 Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М.: Наука, 1993 – С. 19-20.

2 Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1170  после 1228)  итальянский математик. Математическое образование получил в Алжире, усвоив арифметику и алгебру арабов. Написал «Книгу об абаке» (1202), где изложил индийское позиционное исчисление, правило нахождения кубических корней и построил «числа Фибоначчи». Другая его книга, «Практическая геометрия» написана в 1220 году. Труды Фибоначчи стали известны, когда в 1494 году их повторил в своей «Сумме знаний по арифметике, геометрии, учение о пропорциях» Лука Пачоли (14541514), учитель Леонардо да Винчи (14521519).// Бородин А.И, Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянська школа, 1979.  С. 308, 385.

3 Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. М.: Изд-во ЛКИ, 2007,  С. 79-80.

1 Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1984.  С. 221-224.

2 В 1872 году Кантор написал работу по теории функций, где появились бесконечные числовые множества. Изучение их требовало построения теории числового континуума. В статье были изложены её начальные положения. Кантор указал, что всякое число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел, например, число вещественное является пределом своих конечных десятичных представлений. Некоторые математики приняли подход Кантора как вызов своим интуитивным представлениям, поскольку он предполагал существование актуально бесконечных множеств. Казалось, что из этого допущения вытекают парадоксы. Ещё Галилей заметил, что чётных целых чисел должно быть столько же, сколько всех целых. Ведь всякому чётному числу можно сопоставить его половину, а любое целое удвоить, получив число чётное. Это противоречит общепринятой аксиоме, что часть вещи всегда меньше целой вещи. Фома Аквинский был против завершённой бесконечности, считая её вызовом единственной бесконечной природе Бога. Во избежание подобных антиномий, учёные до Кантора проводили различие между актуальной бесконечностью и бесконечностью потенциальной, представляемой некоторым предельным переходом. Правомерной они считали потенциальную бесконечность, а актуальную отвергали // Даубен Дж. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств // В мире науки, 1983, № 3,  С. 78-82.

1 Даубен Дж. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств // В мире науки, 1983, № 3,  С. 76-86.

1 Нагорный Н.М. Абстракция актуальной бесконечности // Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация», 2009.  С. 15.

2 Хилькевич Э.К. Из истории распространения и развития идей Н.И. Лобачевского в 6070 годах XIX столетия // Историко-математические исследования. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. Вып. 2.  С. 187.

1 Там же,  С. 215.

2 Там же,  С. 216.

3Новиков С.П. Вторая половина ХХ века и её итог: кризис физико-математического сообще­ства в России и на За­паде // Вестник ДВО РАН, 2006, Вып. 4,  С. 3-22.