Geum.ru

А. Н. Туполева Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления М. П. Шлеймович, М. В. Медведев Методическое руководство

Вид материалаРуководство

Содержание


2. Частотные характеристики линейных систем автоматического
Подобный материал:

Министерство образования и науки Российской Федерации


Казанский государственный технический университет

имени А.Н. Туполева

____________________________________________

Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления


М. П. Шлеймович, М.В. Медведев


Методическое руководство

к лабораторной работе

по основам теории управления


«Частотные характеристики линейных систем автоматического

управления»


КАЗАНЬ 2010


1. Передаточная функция линейной системы автоматического управления

Обыкновенные линейные системы автоматического управления описываются в общем случае неоднородными дифференциальными уравнениями следующего вида:

, (1.1)

где x(t) – входной сигнал объекта управления, y(t) - выходной сигнал объекта управления.

К основным задачам исследования сложных объектов относится расчет переходных процессов – зависимостей y(t) при различных воздействиях x(t).

В качестве основного математического аппарата, с помощью которого изучают свойства линейных систем автоматического управления, используется операционное исчисление. В настоящее время под операционным исчислением понимается совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. Сущность операционного метода заключается в следующем. Пусть задана некоторая функция f(t) действительной переменной t, причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа

, (1.2)

т.е. интеграл в правой части этого равенства является сходящимся. Используя преобразование Лапласа можно каждой преобразуемой функции f(t) (оригинал) поставить в соответствие функцию F(s) (изображение) комплексной переменной s (s = + j, j – мнимая единица). Преобразование Лапласа позволяет заменить дифференциальное уравнение, записанное относительно оригинала, на алгебраическое уравнение, записанное относительно изображения. Решив полученное алгебраическое уравнение относительно F(s) и выполнив обратное преобразование Лапласа, можно получить вид искомой функции f(t). Обратное преобразование Лапласа имеет вид:

(1.3)

где > 0 (см. условия существования преобразования Лапласа).

Используя преобразование Лапласа, уравнение (1.1) можно представить в алгебраическом виде:

, (1.4)

где Y(s) и X(s) – изображения функций y(t) и x(t), описывающих изменение значений входной и выходной переменных соответственно. Тогда выход системы можно найти с помощью выражения

. (1.5)

Это значит, что преобразование входной величины в выходную выполняется с помощью функции

, (1.6)

которая называется передаточной функцией системы автоматического управления. Числитель передаточной функции называется оператором воздействия R(s), а знаменатель – собственным оператором системы Q(s).

2. Частотные характеристики линейных систем автоматического

управления

В настоящее время для анализа и синтеза систем автоматического управления широко применяются частотные методы. Они основаны на применении частотных характеристик системы. Для получения частотных характеристик нужно заменить в передаточной функции W(s) переменную s на j (j – мнимая единица). В результате замены получают функцию W(j), которая называется комплексной частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой частотной функцией.

Амплитудно-фазовая частотная функция может быть представлена в следующем виде:

W(j)=U() + jV()=A()ej(), (2.1)

где U() – вещественная частотная функция, V() – мнимая частотная функция, A() – амплитудно-частотная функция, () – фазо-частотная функция.

Амплитудно-частотная и фазо-частотная функции выражаются через вещественную и мнимую частотные функции следующим образом:

(2.2)

Кроме этого, используется также логарифмическая амплитудно-частотная функция:

(2.3)

Графики частотных функций называются частотными характеристиками. Для построения частотных характеристик необходимо найти значения соответствующих функций при изменении от 0 до  (табл. 2.1). Координатные плоскости частотных характеристик приведены на рис. 2.1.

Таблица 2.1

Значения частотных функций
U()
V()
A()
()
L()

0
U(0)
V(0)
A(0)
(0)
L(0)

…
…
…
…
…
…



U()
V()
A()
()
L()





Пример 2.1. Найти частотные функции системы с передаточной функцией

(2.4)

и построить соответствующие частотные храктеристики.
  1. Амплитудно-фазовая частотная функция:

(2.5)
  1. Вещественная частотная функция:

(2.6)
  1. Мнимая частотная функция:

(2.7)
  1. Амплитудно-частотная функция:

(2.8)
  1. Фазо-частотная функция:

(2.9)
  1. Логарифмическая амплитудно-частотная функция:

(2.10)

Значения частотных функций при изменении приведены а табл. 2.2. Соответствующие частотные характеристики показаны на рис. 2.2 (сверху вниз и слева направо: амплитудно-фазовая частотная характеристика, вещественная частотная характеристика, мнимая частотная характеристика, амплитудно-частотная характеристика, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика, фазо-частотная характеристика, логарифмическая фазо-частотная характеристика).


Таблица 2.2

Значения частотных функций из примера 2.2
U()
V()
A()
L()
()

0.0000001
100
-0.00001
100
40
-0.0000001

0.000001
100
-0.0001
100
40
-0.000001

0.00001
100
-0.001
100
40
-0.00001

0.0001
100
-0.01
100
39.99
-0.0001

0.001
99.99
-0.1
99.99
39.99
-0.001

0.01
99.99
-0.99
99.99
39.99
-0.01

0.1
99.00
-9.9
99.5
39.96
-0.1

1
50
-50
70.71
36.99
-0.8

10
0.99
-9.9
9.95
19.96
-1.47

100
0.01
-0.99
0.99
0
-1.56

1000
0.0001
-0.1
0.1
-20
-1.56

10000
0.000001
-0.01
0.01
-40
-1.57

100000
0.00000001
-0.001
0.001
-60
-1.57

1000000
0.0000000001
-0.0001
0.0001
-80
-1.57

10000000
0.000000000001
-0.00001
0.00001
-100
-1.57



Задания.


Построить частотные характеристики системы с передаточной функцией.


1. 2. 3. 4.


5. 6. 7. 8.


9. 10. 11. 12.


13. 14. 15. 16.


  1. 18. 19. 20.