Задачи из начал Евклида Решение задач Ссылки на информационные источники Заключение

Вид материала

Решение

Содержание Глава II.Математика в Древней Греции Глава IIIБиография Евклида Достижения в математике Области интересов Заслуги евклида Глава IVАлгоритм Евклида Алгоритм Евклида для целых чисел Связь с цепными дробями Вариации и обобщения Глава VI.Евклидова геометрия и V постулат Аксиома параллельности Евклида Аксиома параллельности Евклида Попытки доказательства Первые наброски неевклидовой геометрии Открытие неевклидовой геометрии Греческий текст Начал. Латинский текст Начал

Подобный материал:

• Комплекс упражнений при сколиозе и методика их выполнения 21 Заключение 25 Список литературы, 40.87kb.
• Календарно-тематическое планирование элективного курса " методы решения физических, 107.87kb.
• Решение задачи всегда начинается с моделирования: построения или выбора ряда моделей., 133.6kb.
• Решение задач в начальной школе имеет центральное значение для развития мышления учащихся:, 114.44kb.
• Задачи и их решение Стандартные и нестандартные задачи Задачи «на работу» Задачи «на, 157.13kb.
• Информационные технологии в кадровой работе, 143.96kb.
• Решение логических задач, 273.53kb.
• Курсовая по туроперейтингу, 87.83kb.
• Программа дисциплины «Информационная безопасность и защита информации» Направление, 280.62kb.
• Решение геометрических задач с помощью сеток. Автор Абрамов Анатолий Руководитель Авилов, 55.65kb.

Купчинские юношеские чтения «Наука. Творчество. Поиск».
Секция «Математика»

«Евклид и его вклад в науку»



Работу выполнил ученик 6 «Б» класса
Суровегин Николай
Руководитель: Васильева
Дарья Геннадьевна

Санкт-Петербург 2008

Оглавление

1. Введение…………………………………….…3

2. Математика в Древней Греции……………..4

3. Биография Евклида……………………….….5

4. Алгоритм Евклида……………………………8

5. Аксиоматика....……………………………….11

6. Евклидова геометрия и V постулат………..12

7. Начала…………………………………………19

8. Задачи из начал Евклида…………………...22

9. Решение задач………………………………..23

10. Ссылки на информационные источники…...24

11. Заключение…………………………………..25

I. Введение

В этом реферате я постараюсь рассказать вам всё, что я знаю о великом древнегреческом математике Евклиде. Идея написать именно про него пришла мне в голову после того, как я узнал об алгоритме Евклида. Этот ученый, очень много сделал для алгебры и геометрии, и его открытиями мы пользуемся постоянно. В реферате также есть практические задачи из начал, книг Евклида.

Глава II.
Математика в Древней Греции

Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всём человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретённых человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретённых человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершённого цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках.

Глава III
Биография Евклида

ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

БИОГРАФИЯ

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Главные труды Эвклида "Начала" (латинизированное назв.- "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В "Началах" Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение "Начал" Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482г. "Начала" Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

"Начала"

Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
4) и что все прямые углы равны между собой;
5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Теория пропорций, разработанная в книге V,одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII ,VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т.е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Не сохранилась педагогическая работа Эвклида "О ложных заключениях" (в математике). Эвклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке.

ЗАСЛУГИ ЕВКЛИДА

ЕВКЛИДА ТЕОРЕМА о простых числах: множество простых чисел является бесконечным ("Начала" Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. закон распределения простых чисел.

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к-рой было дано в "Началах" Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых "точками", "прямыми", "плоскостями"; отношениями между ними: принадлежности, порядка ("лежать между"), конгруэнтности (или понятием движения); непрерывностью. Особое место в аксиоматике Е. г. занимает, аксиома о параллельных (пятый постулат). Первая достаточно строгая аксиоматика Ё. г. была предложена Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. Гильберта система аксиом). Существуют модификации системы аксиом Гильберта и другие варианты аксиоматики Е. г. Напр., в векторно-точечной аксиоматике за одно из основных понятий принято понятие вектора; в основу аксиоматики Е. г. может быть положено отношение симметрии (см. [5]).

ЕВКЛИДОВО ПОЛЕ - упорядоченное поле, в к-ром каждый положительный элемент является квадратом. Напр., поле R действительных чисел - Е. п. Поле Q рациональных чисел не является Е. п. в. Л. Попов.

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства к-рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п.- конечномерное действительное векторное пространство Rn со скалярным произведением (х, у), х, к-рое в надлежащим образом выбранных координатах (декартовых) выражается формулой

Глава IV
Алгоритм Евклида

Алгори́тм Евкли́да — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Этот агоритм применим также для нахождения наибольшего общего делителя многочленов, кольца в которых применим алгоритм Евклида получили название Евклидовы кольца.

Евклид описал его в VII книге и в X книге «Начал». В обоих случаях он дал геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков. Алгоритм Евклида был известен в древнегреческой математике по крайней мере за век до Евклида под названием «антифайресис» — «последовательное взаимное вычитание».

Алгоритм Евклида для целых чисел

Пусть a и b суть целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел



определена тем, что каждое r_k это остаток от деления пред-предыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, т. е.

a = bq₀ + r₁

b = r₁q₁ + r₂

r₁ = r₂q₂ + r₃



r_{n − 1} = r_nq_n
Тогда (a,b), наибольший общий делитель a и b, равен r_n, последнему ненулевому члену этой последовательности.

Например возьмём числа 678 и 392:

678 = 392 * 1 + 286
392=286 * 1 + 106
286= 106 * 2 + 74
106=74 * 1 + 32
74=32 * 2 + 10
32=10 * 3 + 2
10= 2 * 5 + 0

(678,392)= 2

Существование таких r₁,r₂,..., то есть возможность деления с остатком m на n для любого целого m и целого , доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

• Пусть a = bq + r, тогда (a,b) = (b,r).
  
• (0,r) = r. для любого ненулевого r.
  
• Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу
  

Формулы для r_i могут быть переписаны следующим образом:

r₁ = a + b( - q₀)

r₂ = b − r₁q₁ = a( − q₁) + b(1 + q₁q₀)



(a,b) = r_n = as + bt

здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве основной теоремы арифметики.

Связь с цепными дробями

• Отношение a / b допускает представление в виде цепной дроби:
  

.

• Отношение - t / s, в расширенном алгоритме Евклида допускает представление в виде цепной дроби:
  

.

Вариации и обобщения

Кольца в которых применим алгоритм Евклида называются евклидовыми кольцами, к ним относятся в частности кольцо многочленов..

Ускоренные версии алгоритма

Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является выбор симметричного остатка:

• 
  

причем

• 
  

Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. При применении стратегии Divide & Conqurer наблюдается большое ускорение асимптотической скорости алгоритма.

Глава V.
Аксиоматика

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) или постулат — утверждение, принимаемое без доказательства.

Аксиоматизация теории — явное указание конечного набора аксиом. Утверждения, вытекающие из аксиом, называются теоремами.

Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию. Аксиомы являются своего рода "точками отсчёта" для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта).

Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времен Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

Глава VI.
Евклидова геометрия и V постулат

Евкли́дова геоме́трия (старое произношение — «Эвклидова») — привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида. В его книге «Начала», в частности систематически описывается геометрия евклидовой плоскости.

Аксиоматизация

Аксиомы, приведённые Евклидом в «Началах», таковы:

1. Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую.
   
2. Вдоль любого отрезка можно провести прямую.
   
3. Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок — радиус, а один из его концов — центр окружности.
   
4. Все прямые углы равны.
   
5. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
   

Чтобы определить трёхмерное евклидово пространство, нужно ещё несколько аксиом. Существуют и другие, современные аксиоматизации.

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. Первую такую полную систему аксиом создал Д. Гильберт в 1899 г, она уже состоит из 20 аксиом разбитых на 5 групп.

Аксиома параллельности Евклида или пятый постулат — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1].


И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.


Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.


В школьных учебниках обычно приводится другая формулировка, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу [2]:



Постулат Прокла

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну прямую, параллельную данной.


Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

• Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
  
• Существуют подобные, но не равные треугольники.
  
• Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
  
• Существует треугольник как угодно большой площади.
  
• Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.
  
• Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются.
  
• Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
  
• Существуют такие прямые, что расстояние от точек одной до другой постоянно.
  
• Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону) расходиться.
  
• Сумма углов одинакова у всех треугольников.
  
• Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
  
• Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу.
  
• Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
  
• Для всякого треугольника существует описанная окружность.
  
• Справедлива теорема Пифагора.
  

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

В неевклидовых геометриях вместо V постулата используется иная аксиома, что позволяет создать альтернативную, внутренне логически непротиворечивую систему. Например, в геометрии Лобачевского формулировка такая: «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с данной». А в сферической геометрии, где аналогами прямых выступают большие круги, параллельные прямые вообще отсутствуют.

Понятно, что в неевклидовой геометрии все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

Попытки доказательства

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных (см. Начала Евклида). Он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

Математики с давних времён пытались „улучшить Евклида“ — либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны) действительно оказался лишним — он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.

За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

Первое дошедшее до нас упоминание о такой попытке сообщает, что этим занимался Клавдий Птолемей, но детали его доказательства неизвестны. Прокл (V век н. э.) приводит собственное доказательство, опираясь на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.

После упадка античной культуры V постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство аль-Аббаса аль-Джаухари, ученика аль-Хорезми (IX век) [3], неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно V постулату.

Сабит ибн Курра (IX век) дал 2 доказательства; в первом он опирается на предположение, что если две прямые удаляются друг от друга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. Во втором - исходит из существования равноотстоящих прямых, причём этот факт ибн Курра пытается вывести из представления о "простом движении", т. е. о равномерном движении на фиксированном расстоянии от прямой (ему представляется очевидным, что траектория такого движения — тоже прямая) [4]. Каждое из двух упомянутых утверждений Ибн Курры эквивалентно V постулату.



Четырёхугольник Ламберта

Аналогичную ошибку сделал ибн аль-Хайсам, но он впервые рассмотрел фигуру, позже получившую название „четырёхугольник Ламберта“ — четырёхугольник, у которого три внутренних угла — прямые. Он сформулировал три возможных варианта для четвёртого угла: острый, прямой, тупой. Обсуждение этих трёх гипотез, в разных вариантах, многократно возникало в позднейших исследованиях.

Поэт и математик Омар Хайям подверг критике попытки ввести в геометрию механическое движение. Он предложил заменить V постулат на другой, более простой: две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения. Каждая из двух частей этого утверждения равносильно постулату Евклида [5].

Насир ад-Дин ат-Туси предложил аналогичное построение [6]. Отметим, что сочинения ат-Туси стали известны Джону Валлису, и тем самым сыграли роль в развёртывании исследований по неевклидовой геометрии в Европе.

Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника [7].

К XVI веку относится доказательство учёного-иезуита Христофора Клавиуса. Доказательство его, как и у ибн Курры, основывалось на утверждении, что линия, равноотстоящая от прямой — тоже прямая [8].

Валлис в 1693 г. в одной из своих работ воспроизводит перевод сочинения ат-Туси и предлагает эквивалентную, но более простую формулировку: существуют подобные, но не равные фигуры. Клеро в своих «Началах геометрии» (1741), как и Герсонид, вместо V постулата взял его эквивалент „существует прямоугольник“ [9].

В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между V постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы V постулату — гипотезы острого и тупого угла.

Первые наброски неевклидовой геометрии



Сочинение Саккери

Глубокое исследование V постулата, основанное на совершенно оригинальном принципе, провёл в 1733 г. итальянский монах-иезуит, преподаватель математики Джироламо Саккери. Он опубликовал труд под названием "Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии". Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив "ложную геометрию", и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного [10].

Саккери рассматривает всё те же три гипотезы о 4-м угле четырехугольника Ламберта. Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив — ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает» [11].

Поcле этого Саккери переходит к опровержению „гипотезы острого угла“, и здесь его исследование гораздо интереснее. Он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Сам того не подозревая, он продвигается довольно далеко в построении геометрии Лобачевского. Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в "ложной геометрии" любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии» [12].

Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого „доказательства“, потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери знает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем».

Во второй половине XVIII века было опубликовано более 50 работ по теории параллельных. В обзоре тех лет (Г.С.Клюгель) исследуется более 30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик И.Г.Ламберт, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана посмертно в 1786 г.


Сферическая геометрия: все прямые пересекаются

Ламберт первым обнаружил, что „геометрия тупого угла“ реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из „гипотезы острого угла“ множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

В своей книге Ламберт проницательно отметил :


Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод — заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддается опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.





Геометрия на поверхности отрицательной кривизны

Ламберт не нашел противоречия в гипотезе острого угла и пришел к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Однако в ложности „геометрии острого угла“ он не сомневался.

Тем временем попытки „смыть пятна“ с Евклида продолжались (Бертран, Лежандр и другие). Лежандр дал целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники [14]. Последнее „доказательство“ он опубликовал в 1823 г., за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии.

Открытие неевклидовой геометрии

В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли сразу три математика: К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский и Я. Бойяи. Но цель у них была уже иная — не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире. На тот момент это была совершенно еретическая идея; никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство евклидово.

Первым был, вероятно, Гаусс. Однако никаких работ на эту тему он не публиковал, опасаясь невежественных насмешек; о его взглядах можно судить только по его черновым заметкам и нескольким письмам. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу он писал:


Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову.


Стоит отметить знаменательный факт: ознакомившись с работой Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных», Гаусс энергично ходатайствует об избрании русского математика иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества (что и произошло в 1842 г.).



Н.И.Лобачевский

Лобачевский и Бойяи проявили бо́льшую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (около 1830 г.), независимо друг от друга, опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского. Как профессионал высокого класса, Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она по праву носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить V постулат, измерив сумму углов треугольника) [15] .

Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого остракизму в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны. Но и его борьба была не напрасна. Спустя несколько десятилетий математики (Бернхард Риман), а затем и физики (Общая теория относительности, Эйнштейн), окончательно покончили с догматом об евклидовой геометрии физического пространства.

Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели - тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна и другие модели, реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом, и доказать его невозможно. Многовековая драма идей завершилась.

Глава VII.
Начала Евклида.

Греческий текст Начал.

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты Начал Евклида. Самый известный был найден на развалинах древнего города Oxyrhynchus, вблизи современной деревни Behnesa (примерно в 110 милях вверх по Нилу от Каира и в 10 милях к западу от него) в 1896-1897 и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.





На их основе текст Начал был реконструирован Гейбергом (J.L. Heiberg) в конце 19 века, ее методы подробно описаны Хизом (T. L. Heath). В этом виде Начала Евклида представляют собой 13 книг и 2 подложные, каждая книга начинается с определений (definitio), затем следуют предложения-теоремы (propositio). После каждого предложения следует изложение (enunciatio) и доказательство; почти каждое предложение снабжено одним рисунком. В некоторых книгах между определениями и предложениями вставлены аксиомы (axiom) и постулаты (postulate). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, напр., I def. 2 – второе определение перовой книги.


Гейберг использовал в своей реконструкции 8 манускриптов, датируемых сейчас 9-11 веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку “из издания Теона” или “из лекций Теона” и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта не много (наиболее существенный концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают Начала в контекст греческой культуры, напр., сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принес в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу еще в 16 веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии 16 века. Лишь в 1808 Пейрар (F. Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.

Латинский текст Начал

В Европе Начала Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты Начал Евклида, каталогизированы Фолкертсом (Dr. Menso Folkerts). В этом каталоге манускрипты разделены на след. группы:

1. Геометрия Боэция. Трактаты этой группы начинаются словами “Incipit Geometriae Boetii”, имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, напр., линия – объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т.д. Язык не засорен арабскими терминами, поэтому считается, что геометрия Боэция - прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга
   
2. Геометрия Аделарда (Adelard) составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как Adelard II, содержит все 15 книг Начал Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорит об этом нужно с осторожностью. Характерная черта – наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII-IX и XI-XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего 12 века шла работа по улучшению доказательств.
   
3. Геометрия Кампано (Campanus) – комплекс рукописей 13-15 вв. В этой версии Начала весьма схожи с византискими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, засоренный арабскими терминами (напр., параллелепипед назван belmaui). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор Начал, и ученик Сократа философ Евклид Мегарский, упомянутый Диогеном Лаэртским, ныне считающиеся разными историческими персонажами.
   

Печатные издания Начал Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом. Первое печатное издание Начал было осуществлено Эрхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) в Венеции в 1482 и оно воспроизводило Начала в обработке Кампано. Следующее издание, которое не копируют первое, было осуществлено Бартоломео Замберти 1505. Из предисловия известно, что Замберти переводил греческий манускрипт, передающий Начала в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В 16 веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания Начал без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Замберти. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале 16 века была издана геометрия Боэция, которая тоже являлась переводом Начал Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Отмечалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в 17 веке.

Глава VIII.
Задачи из «Начал» Евклида.

1.Из первой книги «начал»:

1. Данный прямолинейный угол рассечь пополам
   
2. Данную ограниченную прямую (т.е.отрезок) рассечь пополам
   

2.Из третьей книги «начал» :

1. Найти центр данного круга
   
2. Рассечь данную дугу пополам
   

3.Из четвёртой книги «начал»:

1. В данный круг вписать круг данной длины
   

Глава IX.
Решение задач из «Начал» Евклида.

Ссылки.

1) ru.wikipedia.org

2) Г.И. Глейзер «История математики в школе» (VII-VIII классы)

3) Г.И. Глейзер «История математики в школе» (X-XI классы)

Заключение

`