Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям)
| Гераськин М.И.. Согласование экономических интересов в корпоративных структурах, 2005 | |
Доказательство. |
|
|
Докажем достаточность соблюдения условия (3.29) для выполнения (3.6). Пусть существует управление u0, удовлетворяющее условию максимина (3.6). Покажем, что в этом случае выполняется условие (3.29). Управление, сформированное на основе принципа максимина, обладает следующими свойствами (рис. 3.4): Rk [u0] = R0, к е К . (3.30) R [и*Ь Rk кЬ Rk к] , i * к, i,k е К. (3.31) Поскольку управление u0 максимизирует минимальный из критериев Rk, к е К, то оно соответствует максимуму некоторого лфиктивного критерия R0, то есть, наряду с (3.30), (3.31), должно выполняться свойство R к Ь R к ] , к е К. (3.32) Параметр Wm при К=2 с учетом дополнительно введенного в рассмотрения критерия с индексом л0определяется выражением Wm = 2R]. [u*m ]- Rm [и* ]-i iR к ]. (3 33) ]=0 ]=0 ]=0i=0 ]* m J* mi * m В частности, для управлений u0, u1 выражения параметра Wm имеют вид W0 = 2(R0 к ]+Ri к ]+R2 к ]) - R к* ]+R0 к ])- (R1 к ]+ R1 к ]+ R2 к ]+ R2 [u*2 J (3.34) W1 = 2(R0 к ]+Ri к ]+R2 к ]) -(Ri к ]+Ri к ])- -(R0 к ]+ R0 [u*2 ]+ R2 к ]+ R2 [u*2 ]) Поэтому W0 - W1 = 3{R к ]- Ri к ]) + (R2 к ]- R2 к ])+ (R0 к ]- R0 к ])} С учетом свойства нормализованных критериев (3.9) и свойства максимина (3.30) имеем W0-W1 = 3{R0 -l)+(R0 -0)+Rк]-R0)}= 3{(2R0 -l)+(R[u0]-R0)} (3.36) В выражении (3.35) первое слагаемое (2R0 -1)> 0, так как в силу выпуклости множества Парето (рис. 3.4) R0 > 0,5; второе слагаемое (R0[U0]-R0)>0 исходя из свойства (3.32). Следовательно W0 -W1 > 0, то есть управление u1 удовлетворяет условию максимума параметра Wm (3.29). Аналогично проводится доказательство для управления u2. Докажем необходимость условия (3.29) для выполнения принципа максимина. Предположим, что при некотором управлении u0 выполняется условие (3.29); покажем, что в этом случае управление u0 отвечает условию максимина (3.6). Преобразуем выражение (3.35): W0 = {2R0 [щ ]-R [u* ]+ R [u2 ])}+ {2R1 [u0 ]-R [u*1 ]+ R1 [u (3.37) + {2R2 [Щ ] (R2 [U* ]+ R [u Для максимизации (3.37) необходимо обеспечить max R1 [u0 ] Y max R2 [u0 ]. uEu uEu Однако в силу противоречивости критериев увеличение R1 приводит к уменьшению R2, и наоборот. Поэтому параметр W0 достигает наибольшего значения при R1 [u0}= R2 [u0] = R0, то есть выполняется свойство (3.28). Свойство (3.31) вытекает из условий нормализации критериев (3.9). Кроме того, с учетом нормализации из (3.37) следует: W0 = {2R0 [щ ]-(R0 [u1 ]+ R0 [u2 ])}+ {2R1 [u0 ]-(1 + 0)} + {2R2 [щ ]-(1 + 0)} Максимизация параметра W0 предполагает выбор такого u0, при котором увеличивается значение критерия R0 [u0 ] и уменьшаются значения критериев R0\u!] ,R0\u*2], то есть выполняется свойство (3.32). Таким образом, для управления, выбранного из условия максимума параметра Wm (3.29), выполняются свойства управления, соответствующего принципу максимина (3.6), то есть условие (3.29) является необходимым условием максимина. Доказательство необходимости и достаточности условия максимума параметра Wm (3.29) для соблюдения принципа максимина (3.6) для случая К>2 проводится аналогично. Теорема доказана. Если среди Парето-оптимальных управлений существует управление, удовлетворяющее принципу максимина, то критерий W достигает максимума при этом управлении; если ни одно из Парето-оптимальных управлений не является компромиссно-оптимальным с точки зрения принципа максимина, то критерий W позволяет определить управление, наиболее близкое к и0, то есть минимизируется отклонение: max W m - maxminRk [и ]. meK ueU keK Общие результаты предложенного метода заключаются в следующем: метод многокритериального выбора по критерию W по сравнению с непосредственным применением принципа максимина позволяет избежать, во-первых, дифференцирования функции максимина для выбора компромиссно-оптимального управления и, во-вторых, процедур численного определения максимина; эти процедуры являются трудоемкими, кроме того, функция максимума (минимума) непрерывно дифференцируема не на всей области определения; в результате проблема многокритериального выбора сводится к процедуре алгебраического сравнения скалярных величин W, вычисленных для различных Парето- оптимальных управлений; результат многокритериального выбора по критерию W имеет определенную экономическую интерпретацию; этот критерий является комплексной количественной характеристикой относительной предпочтительности (эффективности) компромиссно-оптимального управления по сравнению с другими Парето-оптимальными управлениями; интегральный критерий W представляет собой сумму относительных приростов (потерь) критериев системы при переходе к компромиссно- оптимальному управлению от других Парето-оптимальных управлений; многокритериальный выбор по критерию W нацелен на решение практически важных экономических задач, в которых могут возникать случаи, когда ни одно из найденных Парето-оптимальных управлений не является компромиссно-оптимальным с точки зрения принципа максимина; при этом практически значимым будет управление, наиболее близкое к компромиссно-оптимальному по принципу максимина, и критерий W является действенным инструментом выбора такого управления. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Доказательство." |
|
|