Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Страхование
| В.П.Орлов. ОСНОВЫ СТРАХОВАНИЯ, 2004 | |
4.2 Теория сложных процентных ставок |
|
|
Определение 4.4. Сложным процентом называется банковский счет, определяемый функцией C (t) = (1 + i)t. (4.2.1) Определение 4.5. Число i называется эффективной процентной ставкой. Определение 4.6. Промежуток времени [0,1], за который 1 у.е. превращается в 1 + i, называется периодом конверсии. t=0 лентна (1 + i) при t > 0. Другая формула банковской ставки (4.2.1) имеет C (t) = est, 5 = ln(1 + i). (4.2.2) Определение 4.7. Число 5 = ln(1 + i) называется интенсивностью i Для сложного банковского процента задача наращения решается с помощью вытекающих из (4.2.1) формул S (t2) = (1 + i){t2-tl) S (t1), (4.2.3) S (t2) = es(t2Чtl )S (ti). (4.2.4) Соответственно, задача дисконтирования решается с помощью формул S (ti) = (1+ i)Ч(t2Чtl)S (t2), (4.2.5) S (ti) = eЧ6(hЧtl)S (t2). (4.2.6) Определение 4.8. Число v = (1 + i)Ч1 (4.2.7) называется коэффициентом дисконтирования (для процентной ставки i Очевидно, что 1v i = . (4.2.8 v Формулы (4.2.5) (4.2.6) могут быть переписаны в виде S (ti) = v(tЧ)S (t2). (4.2.9) В рассчетах часто имеют дело со временем ti = 0 и t2 = t. Тогда, если имеется сумма S(0) в момент ti = 0, ее наращенная стоимость в момент t > 0 S (t) = (1 + i)tS (0). (4.2.10) S( t) t > 0 S(0) S (0) = vtS (t). (4.2.11) Определение 4.9. Эффективной ставкой дисконтирования называется число d = iv. (4.2.12) 1 + i ж ; Смысл d - это выплата в момент t = 0 эквивалентной величины для i Разобьем отрезок [0,1] на m чаетей [0, m, m mЧlт выберем за единицу L J L ^^ ^^ ^^ -I ^ времени [0, mm] и будем на 1 у.е. начислять проценты i(m) в момент 1/m. Эта процедура порождает банковский счет Ci(r ) = (1 + тт (4.2.13) с эффективной процентной ставкой im и периодом конверсии 1/т. Если t 1 у.е. равна C(t) = (1 + i)^ Если мы возьмем новый счет C (t) с периодом 1 (m) конверсии m и ставкой il , то на промеж утке [0, t] промежуток конверсии [0, mm] укладывается tm раз, и стоимость 1 у.е. в момент t по новому счету равна C1(mt) = (1 + ijn))mt. Определим i (m) чтобы начисленная по новому и старому счету суммы совпадали. Тогда должно быть C1(mt) = C(t) или (1 + i)t = (1 + iт)tmж Полагая t = 1, имеем (1 + i) = (1 + iirn^)m. Отсюда легко следует, что i(m) = (1 + i)i - 1. (4.2.14) Определение 4.10. Число i= (1 + i) Щ -1 называется эффективной т Переписав (4.2.13) в виде C1(T) = e5* T, (4.2.15) и полагая т = т, имеем C1 (m) = e5* Г = e5 = C(1), откудa 5= 5/т. Определение 4.11. Интенсивностью процентной ставки, выплачи- т 5 lm) = 5/т. (4.2.16) Аналогично ставке дисконтирования d, определенной через (4.2.12) на промежутке [0,1], вводится ставка дисконтирования на [0,1/т]. Определение 4.12. Эффективной ставкой дисконтирования на промежутке [0,1/т] называется число i(m) 1 + i l В страховой математике для удобств записи формул используют не только эффективные, т.е. реальные, но и номинальные ставки. Определение 4.13. Номинальной процентной ставкой называется число i(m) = mi(m). (4.2.18) Определение 4.14. Номинальной ставкой дисконтирования называется число d(m) = md(m). (4.2.19) Замечание 4.1. Поясним, откуда появляются номинальные процентные ставки. При периоде конверсии 1/m эффективная процентная ставка равна i*m) = (1 + i)m - 1. Так как по формуле Тейлора (1 +1)m = 1 + ^i + ^Чmii(1 + Qi)mЧ2, о < й < 1, m m2 то i(m) = mi(m) = i Ч i2(1 + йi)mЧ2 л i. m Отсюда видно, что при малых i Е (0,1) велпчина i(m) приблизительно i Замечание 4.2. Все выведенные выше определения основываются на i i чины любую из выведенных, мы можем через нее выразить все остальные. В заключение приведем сводку основных формул. d 1 v 5 = ln(1+ i); i = es - 1; i = -; i = ; (4.2.20) 1 - d v 1 v = ; v = eЧ ; (4.2.21) 1 + i ж ; i d =1+!; d =1 - v; d =1 - eЧ ; (4.2.22) i lm) = (1 + i)m - 1; i ={1 + i lm)) m - 1; (4.2.23) .(m) 7 1 dm = -4m); dm = 1 - (1 - d)m; (4.2.24) 1 + i * d(m) = m (1 - (1 - d)m) ; i(m) = ((1 + i)m - 1) m. (4.2.25). |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "4.2 Теория сложных процентных ставок" |
|
|