Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Страхование
| В.П.Орлов. ОСНОВЫ СТРАХОВАНИЯ, 2004 | |
4.3 Постоянные ренты |
|
|
Всюду ниже предполагается, что имеется банковский счет C(t) = (1 + i)f} относительно которого происходят расчеты. Рассмотрим серию платежей ai, a2,... , anj производимых в ti, t2,... ,tn. Определение 4.15. Приведенной к моменту времени t = 0 стоимость a конечной серии платежей a1,a2,... ,an в моменты времени t1,t2,... ,tn называется число a = ^П=1 akvtk. Для бесконечной серии a1,a2,... во времена t1,t2,... приведенная t = 0 стоимос ть a определяется формулой a = ^2 +=1 akvtk при условии сходимости ряда. Определение 4.16. Приведенной к моменту времени t > tk стоимость s серии платежей a1,a2, ...,an, в момен ты t1 ,t2,...,tn называется число s = n=1 ak(1 + i)t-tk. Определение 4.17. Серии платежей, производимые через равные промежутки времени и отличающиеся какой-либо однородностью, называются рентами. Определение 4.18. Серия платежей величиной 1, производимых в моменты времени 0,1, 2, ...,n-1, называется упреждающей рентой. Приведенная стоимость упреждающей ренты обозначается как a-ц и опре-деляется формулой ani = n-0 v% = 1 + v + ... + vn-1. Определение 4.19. Серия платежей величиной 1, производимых в 1, 2, ... , n денная стоимость запаздывающей ренты обозначается как an и определяется формулой a-ц = v + v2 + ... + vn. Величину а~г удобно рассматривать как внесенную в пенсионный фонд в t = 0 n в начале каждого года. Величину an удобно рассматривать как внесенную t = 0 n в размере 1 в конце каждого года. Нетрудно подсчитать, рассматривая a-ц и aЦ как геометрические прогрес- 1 - vn (1 - vn\ v(1 - vn) (1 - vn\ Л ^ =hH'asr = =[Ч Х <4-зл) Определение 4.20. Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m, ...,m+n - 1, называется отсроченной упреждающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость т\0ц отсроченной упреждающей ренты определяется как m\'dn\ = vm + ХХХ + vm+nЧ1. Определение 4.21. Серия платежей величиной 1, сделанных в мо-менты m + 1,..,m + n, называется отсроченной запаздывающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость т\ащ отсроченной запаздывающей ренты определяется как т,\ац = v'm+1 + ... + vm+n. Нетрудно показать, что m\an\ = V an\; m\an\ = V an\; m\an\ = an+m\ - am\; m\an\ = an+m\ - аГ\. Интересно знать стоимость упреждающей и запаздывающей рент в мо- t = n t = 0 n наращения (4.2.9). Эти нара- a s sn = an(1 + i)n, sn = an(1 + i)n. n\ n\ n\ n\ Для отсроченных упреждающих и запаздывающих рент их наращенные к моменту m + n стоимости m\Sny и m\sn\ определяются как т\0щ =(1 + i)n+mm\an\; m^ = (1 + if^ т^Ц- (4-3.2) m Определение 4.22. Серия из nm выплат величины Г произведенных в моменты времени 0, Ч, Ч, , nmЧ1 называется упреждающей рен- m m m той, выплачиваемой с частотой m на промежутке [0,n]. Приведенная к t = 0 ее стоимость обозначается aХ!nm\ а наращенная к моменту времени t = n стоимость обозначается s(m'). n\ Определение 4.23. Серия из nm выплат велич ины Г; произведенных в моменты времени Ч, Ч,nmЧ1, n, называется запаздывающей рентой, m m m выплачиваемой с частотой m на промежутке [0, и]. Приведеныая Kt = 0 ее стоимость обозначается ОП?\ а наращенная к моменту времени t = n стоимость обозначается s(m'). n\ Подсчитаем величину аПm\ Для этого рассмотрим упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой m, как обычную серию платежей на промежутке [0, mn] с промежутком конверсии [0,1/т]. По определен ню, аПТ) = n\ 1 1 1 1 1 nm-1 1 у 1 nm-1 - . . 1 ^ ЧV m ^ ЧV m + ... + -!- V m = -А- (1 + V m + ... + V m ) . ПуСТЬ VL = V m, m m m m m _ 1-vnm Тогда "ПТ> = M (1 + vi +... + vЧ"-1) = Г!-ЧтУ- Выражение в первых скобках - это обычная упреждающая рента на промежутке [0,nm] с коэффициентом дисконтарования Vi. Соответству- i 1 1 1 "(m) 1Ч V1 1ЧV m (1+i) m ющая V1 эффективная процентная ставка и = - = ЧЧ = Г = V1 V M 1" (1+i) m значения 1 + V1 + ... + V'mn = аЧг@,(m). Дл я аЧт с учетом двух последних (1 + i)m - 1. Для того чтобы в приведенной стоимости ренты ац указать, что она приведена по процентной ставке i, пишут йц\т. С учетом этого обо' а г^. .(m). Для aЧт ишу&гХ ^ n\ формул получаем, что 'аОц ^ = ~manm^@i(mk)' ^сли использовать номинальную процентную ставку i(m) (4.2.18), то am = Ч"ЧгШ. n\ munm\@i(m)/m' Аналогично показывается, что am = maЧг@ .(m), am = ГГanm@i ) = ! (m) _ \ = ma'nm\@i(Jn^ an\ = manm\@i(m)/m'. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "4.3 Постоянные ренты" |
|
|