Geum.ru

 

Социология управления Главная Социология Социология управления
Антохонова И.В.. Методы прогнозирования социально-экономических процессов, 2004

3.2.Кривые роста и их свойства

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени, получают путем аналитического выравнивания временных рядов. Они представляют од- нофакторные модели прогнозирования; фактором выступа- ет время. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных, характеризующих развитие во времени исследуемого явления. Использованию кривых роста должен предшествовать содержательный анализ явления с целью выяснения возможности экстраполирования тенденций.
Кривые роста часто используются в исследовании динамики реальных процессов различной природы. Они применяются при анализе миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах
Аналитическое выравнивание состоит из следующих этапов:
выбор типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения временного ряда;
определение численных значений (оценивание) параметров кривой.
Найденная функция позволяет получить выравненные уровни ряда. Выбор типа кривой предполагает знакомство с основными видами кривых и изучение их основных свойств. Основной интерес представляют преобразования приростов, которые можно представить в виде линейной функции. Эти характеристики используются при выборе вида кривой роста.
Основные типы кривых роста подробно описаны и иллюстрированы графически в монографии Е.М. Четырки- на (9):
Полиномы (многочлены).
Экспоненты.
Логистические кривые.
Общий вид многочлена:
yt= а0 + ajt + a2t2 + ... + aktk, (3-1)
где Оо, ct/, a2, ... - параметры многочленов, t - независимая переменная, к - показатель степени многочлена. Параметры полиномов невысоких степеней могут быть интерпре- тированы в зависимости от содержания ряда динамики. Их можно характеризовать как : параметр ао - уровень ряда при t= 0, параметр а} - скорость роста, параметр а2 - уско-рение роста, параметр аз - изменение ускорения.
Действительно, полином первой степени на графике представляет прямую, т.е. предполагается постоянство приростов ординат.
yt = a0+a1i, (3.2)
у,(0)=а0,
цт=yt - уы=Эо+ajt - Эо -ajt +al = al ^const.
и! = О
Линейная зависимость может иметь место в процессах экстенсивного развития, однако это не может происходить в течение длительного периода. Со временем скорость изменяется и либо происходит ускорение, либо спад.
Полином второй степени характеризует динамику с равномерными приростами, положительными для одной ветви параболы и отрицательными для другой. Легко показать, что приросты (первые конечные разности ординат параболы) могут быть охарактеризованы уравнением прямой:
ut(1)=yt - yt_j= a0+ajt +a2t2 - a0 - a^ + a1-a2(t-l)2=(a1-a2)+2a2t.
Соответственно приросты второго порядка (вторые разности) постоянны:
Парабола второй степени применима для описания процессов, характеризующихся равноускоренным ростом или равноускоренным снижением. Если параметр а2>0, то ветви направлены вверх, функция имеет минимум. Если а2 < 0, то ветви направлены вниз и парабола имеет максимум. Параметры ао и а; не влияют на форму кривой, а только определяют ее положение в пространстве.
У параболы третьей степени знак прироста ординат может меняться один или два раза. Первые разности орди- нат при нанесении на график представляют собой ординаты параболы второго порядка, т.е.
utm = (а1-а2+а3) + (2а2 - 3a3)t + 3a3t2. Вторые разности изменяются линейно:
ut(2) = (2а2 - 6а3) + 6a3t.
Разности третьего порядка являются постоянными:
м/3) = 6а3.
Простая экспоненциальная кривая является показа-тельной функцией и имеет следующий вид:
yt=ab\ (3.3)
Кривая характеризуется постоянными темпами роста и прироста. Темп роста будет равен аЪ* ,
тр = = b = const, темп прироста равен
аЪг - аЪг~1 , , Д , . ,
г = -Ч = b -1 = const. Ьсли о >1, то функция явля-
пр ab
ется возрастающей с ростом t и убывающей при Ъ< 1. Логарифмирование обеих частей функции (3.2) приводит к ли-нейной зависимости от t: log yt = log a + t log b .
После обозначения a = log а и /? = log b получаем: log yt = a + pt.
Экспоненциальный характер наблюдается после достижения определенного уровня присуще многим процессам при достижении определенного уровня
Более сложной является зависимость, называемая логарифмической параболой:
yt = ab'c'2. (3.4)
Логарифмирование обеих частей выражения приводит к виду:
log^ =loga + dog6 + ^2logc,
называемому логарифмической параболой. Темп прироста этой кривой равен отношению первой производной к ординате (7, с.24). Поэтому темп прироста примет вид:
Д у' ab'c'2 \nb + 2b'c'2t\nc , 7 Д ,
тпр = Ч^ = 1пЪ + 2Ппс,
yt ab'c'
т.е. темп линейно зависит от времени.
Многочлены не имеют асимптот, а экспоненциальная и логарифмическая параболы имеют асимптоты. У экс-поненциальной кривой Ч 0 при t Ч> Чоо, если Ъ> 1, и
yt Ч О при 7 Ч оо, если й<1.
Достаточно часто динамика социально- экономических процессов такова, что наблюдается тенденция замедления темпов роста и имеет место насыщение. Например, расходы домохозяйств на продукты питания по мере роста доходов характеризуются насыщением. В таких случаях кривая должна иметь асимптоту, отличную от нуля. Такому условию удовлетворяет модифицированная экс-понента. имеющая вид:
yt=k + ab'. (3.5)
Кривая отличается от обычной экспоненты сдвигом по оси ординат на величину к, поэтому имеет горизонтальную асимптоту у = к , ее линия стремится к асимптоте либо при t Ч оо, либо при t Ч -оо . Параметр а равен разности между ординатой кривой (при t = 0) и асимптотой. Если параметр а отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если а положителен, то асимптота проходит ниже ее. Параметр b равен отношению последовательных при-ростов. Чаще всего встречается кривая с параметрами а <0 и Ь<1.
Особенность модифицированной экспоненты заключается в том, что отношения последовательных приростов при равномерном распределении ординат по оси времени постоянны:
ut и,
и,
ок + аЬ')-(к + аЬ
b = const
ut ut ut (к + аЪ* 1)-(к + аЪ{ 2)
h 2 лЧ1 v ' v '
А логарифмы приростов ординат кривой линейно зависят от переменной t. Действительно,
ut=yt-yt- ^ab^ib-l).
Откуда
log ut = loga + log(6-l) + (^-l)log6.
В демографических расчетах и некоторых расчетах в области страхового бизнеса используется S - образная кривая, или кривая Гомперца:

(3.6)
Наибольшее применение находит кривая, у которой log а <0 и Ъ < 1. Траектория кривой имеет четыре различных этапа. На первом этапе прирост медленно увеличивается с ростом t , затем скорость возрастает, затем после прохождения точки перегиба приросты начинают уменьшаться и, наконец, вблизи от асимптоты приросты снова замедляются.
Кривая Гомперца имеет особенность: отношение последовательных приростов ординат в логарифмах посто-янно. b = const.
log Ум = 1оз а-(Ъм~Ъ1)
log^-logJVj log а Х (b' -
t-1 Логарифмирование выражения (3.5) приводит к известной модифицированной экспоненте: log^ = log? + 6'loga.
Для нахождения линейного преобразования характеристик приростов и уровней относительно t можно определить темп прироста с помощью производной:
kabb'\na\nb lt. . 1
T "P= =
Логарифмирование полученного результата дает линейное выражение:
In г* = ln(ln а) + ln(ln V) +1 ж In b .
Если в модифицированной экспоненте (3.4) yt заменить обратной величиной Ч, то преобразованное выра-
yt
жение дает логистическую кривую:
Ч = k + ab' (3.7)
yt
Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида записывается в виде:
где е- основание натуральных логарифмов, /(t) - функция от t, например, /(/) = -at. Тогда
Если Ъ=1, а вместо основания натуральных логарифмов взять основание десятичных логарифмов и положить f(t) = a + bt, то получится логистическая кривая, центрально симметричная относительно точки перегиба:
yt 2 2 ' 1
При t -оо ордината стремится к нулю, а при t +оо ордината стремится к асимптоте. Если взять вторую производную от yt по времени для функции (3.8) и приравнять ее нулю, то местоположение точки перегиба кривой t = In b : а, в этой точке yt = к : 2? Преобразование приростов и ординат кривой, линейное относительно t, находится вычислением производной функции (3.8):
, _ kbe at(-a) У'~ (1 + be-atf
Полученное выражение легко приводится к линейному относительно t делением на yt2 и логарифмированием полученного результата:
ln^- = ln a-b-at.
Уг
Рассмотренные кривые могут описывать процессы технологического развития, расширения товарных рынков, реализации инвестиционных проектов.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "3.2.Кривые роста и их свойства"
  1. 2.4. Оптимальный темп роста производства )
    кривые имеют небольшой коэффициент наклона на ранних этапах раз вития, возрастающий с ускорением до определенной точки и затем снова медленно снижающийся и приближающийся к горизонтальной асимптоте. 2.45. Характер выявленного движения можно проил люстрировать заменой последней части альтернативным набором, который, по-видимому, более ясен с математиче ской точки зрения и является даже неплохим
  2. 10.2. ТЕОРИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ ФРАНЦУЗСКИХ ФИЗИОКРАТОВ И АНГЛИЙСКИХ КЛАССИКОВ
    кривые торговых возможностей (показаны штриховыми линиями), каждая точка которых свидетельствует о росте потребления товаров, поступающих из-за границы. В Португалии потребление сукна увеличится с 12,5 до 25 м (точка F), в Англипотребление вина - с 16 до 25 л (точка Ситуацию сравнительных преимуществ можно проиллюстрировать и на другом примере, который использует сам Д, Рикардо. Для Португалии
  3. 4-1. Накопление капитала
    кривые пересекаются При kk* инвестиции меньше выбытия, и запасы капитала уменьшаются Приближение к устойчивому состоянию Устойчивый уровень капиталовооруженности соответствует равновесию экономики в долгосрочном плане. Независимо от первоначального объёма капитала, с которым экономика начинает развиваться, она затем достигает устойчивого состояния.? Предположим, что запасы капитала ниже
  4. 3.2. Спрос и предложение
    роста дохода в зависимости от качества товара, его места в бюджете потребителя и ряда других свойств, которые будут выяснены позже Такая ситуация типична для большинства товаров за исключением низкокачественных Рост доходов переключает спрос потребителей на товары лучшего качества, спрос же на низкокачественные товары снижается, то есть кривая перемещается из положения D в положение Dr Рост цен
  5. 5.2. Выбор производственной технологии. Техническая и экономическая эффективность
    кривые безразличия для процесса потребления. Они обладают аналогичными свойствами: имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат и не пересекаются друг с другом. Изокванта, лежащая выше и правее другой, представляет собой больший объем выпускаемой продукции, например 20 тыс жевательных резинок, 30 тыс. штук и т.д Однако, в отличие от кривых безразличия, где суммарное
  6. З.З.Выбор формы кривой
    кривые и указываются соответствующие признаки, по которым можно определить, какой вид кривых подходит для выравнивания. В некоторых случаях последние три характеристики не могут быть получены для некоторых t, поскольку значения ut оказываются отрицательными. Это происходит тогда, когда значения отдельных наблюдений существенно отличаются от остальных данных. Чтобы уменьшить такой разрыв и выявить
  7. VI СОРАЗМЕРНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕСТУПЛЕНИЯМИ И НАКАЗАНИЯМИ
    роста народонаселения, ведущего к расширению масштабов столкновения частных интересов. А этими последними невозможно управлять в интересах общественного блата по законам геометрии. В политической арифметике математическая точность вынуждена уступить место приблизительным расчетам. Обращение к истории убеждает в том, что расширение государственных границ сопровождается усилением хаоса в той же
  8. 7.6. ВЛИЯНИЕ НТП НА КАЧЕСТВО И СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ
    роста продажной цены, увеличения экспорта, снижения брака продукции. В конечном итоге это проявляется в получении дополнительной прибыли на предприятии, которая может быть определена по формуле где ДП - общая дополнительная прибыль от реализации продукции на предприятии за счет улучшения ее качества; ДПГ - дополнительная прибыль, полученная предприятием от увеличения объема производства и
  9. 16.4. ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА НА ПРЕДПРИЯТИИ
    роста - несколько ниже; на фазе зрелости и упадка она продолжает снижаться. Важным для предприятия является учет фактора государственного регулирования цен. Государство посредством активной ценовой политики может сделать прибыльным для производителей бизнес, не являющийся выгодным для чисто рыночного хозяйствования (долгосрочные научно-технические разработки, ВПК, транспорт, связь, городское
  10. 4.1. Принципы и методы оценки эффективности предпринимательской деятельности
    роста, когда появляются реальные доказательства соответствия товара требованиям целевого сегмента, целесообразно использование показателя прибыли. На этой же стадии необходимо решать задачи по увеличению рыночной доли и завоеванию новых рынков или сегментов, так как увеличение темпов роста объема продаж и прибыли свидетельствует о достаточно широком рыночном признании. Оценка степени достижения