Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| Я. Тинбэрхэн,Х.Бос . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА, 1967 | |
2.4. Оптимальный темп роста производства ) |
|
|
2.41. Решение о том, какой выбрать темп роста произ водства, исключительно важно с практической точки зре ния. Хорошо известно, что в социалистических странах темпы роста производства, а следовательно, нормы сбере жений, почти в два раза выше, чем в несоциалистических государствах ); этот факт показывает большие различия в принятых решениях. Следовательно, можно задать вопрос, способна ли экономическая наука дать метод для правиль ного количественного выбора того или иного темпа роста производства. Предпринятые нами попытки, по-видимому, не дали положительного результата. Тем не менее имеет смысл описать эти попытки и полученные результаты. Мы пыта лись так объяснить проблему, что оптимальный темп раз вития максимизирует полезность во времени, и использу ются дефицитные ресурсы, определенные соответствующими свойствами функции полезности. Максимизация полезно сти, как критерий решения проблемы, в любом случае лучше максимизации потребления, которая в свою очередь лучше, чем максимизация дохода. В отношении полезности было высказано предположение о том, что она зависит толь ко от потребления в одинаковые единицы времени; это допу щение, по-видимому, имеет слишком ограниченный харак тер, как мы увидим дальше, но мы вообще не располагаем измерителями зависимости полезности от потребления в другие периоды времени. 2.42. Предполагались функции полезности различных типов; по-видимому, желательно ввести такой минималь ный уровень потребления (с), ниже которого предельная полезность становится величиной бесконечно большой. Дальнейшие исследования убедили нас в том, что желатель но также ввести максимальный уровень (или уровень насы щения) ст выше с, то есть с = с"1 + с, при котором предель ная полезность равна нулю. Функция полезности, которой мы будем пользоваться в этом параграфе, имеет следую щий вид: и = 1)\ (2.42.1) где и - предельная полезность, а V - постоянная вели чина. Ее величина была получена на основе хорошо извест ных оценок эластичности предельной полезности Фриша *), первоначально основанных на предположении о том, что сахарЧлнезависимый товар; однако позднее это пред положение в известной степени было опровергнуто. Для того чтобы получить одну единую величину V, необходимо дополнить оценки Фриша еще несколькими предположе ниями. Фриш определил эластичность предельной полез ности для двух групп рабочих - американской группы, для которой она равна (Ч1), и для французской группы, для которой он нашел (Ч3,5). Наши предположения заклю чаются в следующем: а) для обеих групп рабочих приме няется одна и та же функция полезности и б) уровень потребления французских рабочих в момент измерения был в два раза ниже уровня потребления американских рабочих. Эластичность полезности, определяемая как (ди/дс) с!и, очевидно, имеет следующий вид: (с Чс)2 \сЧс ) [ст!(сЧс) - l]v~ с^ + с - с с - с' Обозначив потребление французских рабочих через cF и, следовательно, потребление американских рабочих - через 2cF, мы получим, согласно Фришу, 2 cmv>cF J и cmvcF Ч 35 (cm^cЧ2cF) (2cFЧс) ~ (cm+CЧCF) (cF - c)~ 1 Добавив следующее предположение о том, что ст больше, чем 2cFy приближенно получим A=3'5- (2-42-4) На основе этих уравнений найдем, что п = 0,6 и clcF = = 5/6. Второй результат, по-видимому, не является нереа листичным и может также оправдать некоторое доверие к результату для v. Мы не учитывали полезность будущего потребления, полагая, что при планировании развития страны будущие поколения будут считать ее не меньшей, чем нынешние поколения. С этой точки зрения подобное дисконтирование может иметь практический смысл для планов отдельных лиц, но не обязательно для страны в в целом. Не трудно ввести дисконтирующие множители для будущего потребле ния, если это желательно, но тогда возникает вопрос, на каком уровне следует их установить. Вместо дисконта можно ввести предельный горизонт Tt но и в этом случае возникает вопрос о его продолжительности. Численность населения предполагалась неизменной. Однако нетрудно предположить определенный темп его роста (л) и соответственно изменить формулы. В общем это увеличит оптимальную норму сбережений хорошо извест ным путем, то есть на ях, когда предполагается постоянное соотношение капитал - продукция. В действительности была использована производственная функция. До тех пор пока капитал остается самым дефи цитным фактором, наше предположение может быть под ходящим "приближением. По-видимому, весьма трудно, если не невозможно, найти решение в явной форме, если предполагается более сложная производственная функция, например функция Кобба - Дугласа. 2.43. Проблема оптимального темпа роста получила затем следующую формальную интерпретацию. Если заданы начальный доход у0 и отношение капитал - продукция к (подразумевающее, если оно одинаковое, первоначальный фонд капитала к0 = куо) и функция полезности (2.42.1), то какая программа с (/) потребления (подразумевающая программу сбережений и, следовательно, увеличения капи-тала) обеспечивает максимальное удовлетворение в течение Оо периода времени ^ и (О с11\ где V есть суммарная полез- о ность потребления в период времени /'?. Очевидно, максимум ищется при условии, что в любой период времени ? (условные обозначения те же, что и рань ше), с + 5 = у или при 5 = / = к = ху с + щ = у. (2.43.1) Помимо этого дополнительного условия, мы также рассмо трим два граничных условия, а именно с>с *>0. (2.43.2) До тех пор пока эти граничные условия не действуют, то есть пока доход действительно распределяется между некоторыми положительными значениями сбережений и объемом потребления, превышающего минимум средств существования (с), для всех рассматриваемых единиц вре мени, то есть для О^^оо, максимум требует, чтобы предельная полезность потребления в момент времени I равнялась суммарной предельной полезности дополнитель ного потребления в будущем, которая будет получена в результате отказа от одной единицы потребления в момент времени t. Поскольку будущий рост производства, ставший возможным вследствие отказа от одной единицы потребле ния, равен 1 /х для всех периодов времени в будущем, усло вие имеет следующий вид: оо щ = ^ иьЛГ. (2.43.3) г Не имеет значения то обстоятельство, что не вся получен ная в будущем продукция может в действительности потреб ляться, а будет частично сберегаться; это решение может отличаться от решения, принятого для периода времени Если решение в отношении будущего производства подчи няется условиям уравнения (2.43.3), то предельную полез ность соответствующего прироста продукции можно изме рить либо со стороны потребления, либо со стороны сбере жений; эти две стороны равноценны. Уравнение (2.43.3) можно заменить другим уравнением, которым проще пользоваться, заменяя обе части уравне ния их производными по времени. Однако мы позднее про верим, будут ли также удовлетворяться условия уравне ния (2.43.3), что зависит от примененной нами постоянной интегрирования. Получаем новое уравнение: (2-43-4) Поскольку и зависит от t через с, уравнение (2.43.4) лучше переписать иначе: йи Х = Чи. йс Используя уравнение (2.42.1), мы получим Х гт гг с' = ЧЧс', (2.43.5) хист \ / где с* = с - с. Поскольку уравнение (2.43.5) содержит только переменную с' и не содержит другой переменной у нашей системы уравнений, его интегрирование можно осуще ствить отдельно. Уравнение (2.43.5) есть хорошо известное дифференциальное уравнение логистической кривой; инте грал можно записать следующим образом: где В = е(о/Щ есть произвольная постоянная, которую можно заменить на момент времени, на который с' = = 1/2С7П, ТО есть половине значения асимптоты. Полученный результат означает, что потребление долж но постепенно приближаться к уровню насыщения ст + с, но никогда его не достигнет. 2.44. На следующем этапе интегрируется по у уравне ние (2.43.1) = {2А4Л) когда У'=У-С; (2.44.2) выражение (2.44.1), очевидно, представляет собой неодно родное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Стандартный метод обращения с левой частью уравнения заключается в том, чтобы рассчитать производ ную у'е~*/* по времени: ТГИ'т-е-"* В соответствии с (2.44.1) это выражение должно быть равно ~~ х(1 +Ве-г/Щ) * Следовательно, мы имеем гт г ^Ч^'/х ^ Очевидно, возможно интегрирование в явной форме целочисленных значений Мх>\ поскольку наша оценка V = 0,6 является грубым приближением, по-видимому, имеет смысл провести интегрирование при V = 0,5 или 1 /V = 2. Это можно сделать с помощью подстановки где Г - новая переменная интегрирования. Отсюда сле дует, что е-''/* Ув= Г и X Интеграл (2.44.3) теперь принимает следующий вид: ТГ^ (2.44.4) ИЛИ гт Ч Ч. У' = у=г е"* ? + -ф==г е"* аг^ е-"* \ В + у, где у есть произвольная постоянная, значение которой найдем с помощью граничных условий. Естественное граничное условие, которое должно быть добавлено к первоначальному условию (когда у0 задано), заключается в том, что при п = оо величина у приближает ся к с; в действительности нет причин сберегать на уровне насыщения, потому что нет оснований превышать этот уро вень. Процесс экономического развития находит свое есте ственное завершение тогда, когда достигается насыщение. Поскольку при = оо -/К е гтге-У* У В _ 1 * Ув у" = ст + у и, следовательно, у = 0. Решение для у поэтому имеет вид У г = ДСуп е-ч* V В + с. (2.44.5) Это означает, что (2 44 6) Производство продукции и, следовательно, капитал должны расти, согласно уравнению (2.44.5), по кривой, весьма похожей на логистическую; обе кривые имеют небольшой коэффициент наклона на ранних этапах раз вития, возрастающий с ускорением до определенной точки и затем снова медленно снижающийся и приближающийся к горизонтальной асимптоте. 2.45. Характер выявленного движения можно проил люстрировать заменой последней части альтернативным набором, который, по-видимому, более ясен с математиче ской точки зрения и является даже неплохим приближением с экономической точки зрения. Записав в уравнении (2.41.1) вместо у выражение (у, Ч то есть средний темп роста в течение последних х единиц времени (практически от 3 до 4 лет), мы найдем, что это уравнение принимает осо бенно простую форму: Сг + Уг - Уг-* = Уи (2.45.1) сразу же приводящую к решению = сг или = (2.45.2) Применение этого альтернативного набора можно оправ дать практически тем, что инвестиции основываются на темпе роста дохода, полученного в последние 3Ч4 года, а не в последний небольшой период времени, на что должны обратить внимание экономисты. Смысл полученного резуль тата становится весьма простым: как потребление, так и выпуск продукции должны двигаться по логистической Р и с. 2 кривой; единственное различие между ними состоит в запаз дывании на х единиц времени (см. рис. 2). Логистическая кривая для значений у должна располагаться так, чтобы выходить из верхней точки у0 отрезка на вертикальной оси. Величины сбережений измеряются вертикальным рас стоянием между двумя кривыми. У начала координат оно мало; далее оно может стать весьма значительным как по абсолютной, так и по относительной величине, но в конце, когда пройдена половина уровня насыщения потребления, оно уменьшается и, наконец, становится равным нулю. 2.46. Мы можем закончить наш анализ попыткой опре делить на основе наших формул норму сбережений при различных обстоятельствах. Из первого граничного усло вия (2.43.2) вытекает, что сбережений не будет, если у0 = с. В результате также не будет дальнейшего развития эконо мики, а потребление и производство останутся на уровне обеспечения средств существования. Однако сумма перво начальных сбережений должна быть положительной вели чиной всегда, когда у0 > с; сначала сбережения могут быть невелики, но затем они будут расти и во время полного размаха процесса экономического развития они должны составлять значительную величину. Это можно показать, рассчитав максимальную норму сбережений, вытекающую из наших формул. Снова записав Г = ?>- + С (2'46'2) и У Г + Г, (2.46.3) откуда мы получим норму сбережений о: о = 1 --1-1- ст/(' + '"2>Ч . (2.46.4) У (ст/Г)а^Г + с Теперь лучше принять Г' = а^ Г или Г = tg Г; напи сав также А вместо ст/с, мы найдем = Х (2.46.5) 1 + А Г Поскольку а Г/tg Г - убывающая функция от Г; Г, очевидно, имеет наибольшую величину при начальном значении у, равном у о, и затем уменьшится. мы получим Как можно видеть из (2.46.5), максимальная величина а зависит только от Л, по крайней мере до тех пор, пока у0 меньше значения у, соответствующего максимуму а. Это всегда применимо для у0, меньших ст + с. Расчеты пока-зывают, что значение атах очень велико, что иллюстрируется следующими данными; 2.47. Приведенные цифры, очевидно, показывают, что примененная нами модель дает нереально высокую опти мальную норму сбережений. Действительно, полученные нами формулы имеют тенденцию рекомендовать ласкетизм для того, чтобы достичь уровня насыщения лтак быстро, как это возможно. Это можно проиллюстрировать расче том темпа роста потребления на уровне 112ст + с, то есть на полпути между уровнем обеспечения средств существо вания и уровнем насыщения; спрашивается, сколько вре мени потребуется при таком темпе роста, чтобы достичь уровня насыщения. Из формулы (2.43.5) следует, что с = = с' = ст12 при с* = г/2ст; это означает, что при таком темпе роста расстояние от с до ст + с равно 2х лет или только 6Ч8 лет. Даже если в действительности потребуется больше времени, так как скорость на половине пути макси мальная, это показывает порядок рассматриваемой величины. Существуют, по-видимому, две основные причины, почему фактические нормы сбережений намного меньше. А тах 10 100 500 0,63 0,86 0,94 С одной стороны, отдельные лица преуменьшают будущее потребление по сравнению с настоящим, хотя мы и не обра-щали внимания на это обстоятельство. С другой стороны, программы сбережений, близкие к программам, вытекаю щим из наших формул, всегда означают, что нынешнее поколение людей жертвует своими интересами в интересах подрастающего поколения в такой степени, которая обычно не считается правильной. Поэтому, если бы элемент лболь шей справедливости в отношениях между поколениями людей был добавлен к нашей концепции полезности, мы получили бы меньшие сбережения, чем в оптимальной про грамме развития. Поскольку нам не известны попытки изме рить соответствующие шкалы предпочтения, мы не пыта лись обобщить наши результаты по всем этим направле ниям. Следовательно, наш вывод в отношении вопроса о том, может ли экономическая наука указать оптимальный темп развития производства, по-видимому, отрицателен. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.4. Оптимальный темп роста производства )" |
|
|