Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| Я. Тинбэрхэн,Х.Бос . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА, 1967 | |
2.2. Макромодель без запаздывания отдачи инвестиций, но с учетом амортизации и замены |
|
|
2.21. Для моделей, которые рассматриваются в этом параграфе, характерно предположение об определенном сроке службы (0) таких капитальных товаров. Согласно этому предположению, желательно различать фонд обору дования или капитальных товаров (Ь) и фонд капитала (?). Различие между этими понятиями заключается в том, что каждая отдельная машина входит в неизменный объем оборудования до тех пор, пока она не превратится в лом, тогда как ее вклад в фонд капитала сокращается по мере амортизации. По нашему предположению, не происходит морального износа, иначе вклад машины в фонд оборудо вания (Ь) не мог бы быть неизменным. Для того чтобы чрезмерно не усложнять модель, предполагается аморти зация в виде линейной зависимости. При таких предполо жениях с помощью нашей модели можно выявить некото рые интересные особенности экономического развития. 2.22. Применяются следующие переменные величины: Ь - объем оборудования; к - объем капитала; V - валовой продукт; й - амортизационные отчисления; г - объем замены; с - потребление; 5 - сбережения; уо - валовые инвестиции; / - чистые инвестиции; у - чистый продукт. Соответствующие уравнения данной модели имеют сле дующий вид: Ь = 1-г. (2.22.1) Чистый прирост фонда оборудования можно определить, вычитая объем замены из валовых инвестиций. к = (2.22.2) Чистый прирост фонда капитала равен сумме сбережений. Ь = (2.22.3) Объем валового продукта принимается пропорциональным объему (или мощности) оборудования; х' представляет собой валовый капитальный коэффициент. / = (2.22.4) Чистые инвестиции равны валовым инвестициям за выче том амортизации. г,==/?-е. (2.22.5) Объем замены равен валовым инвестициям за период времени, равный одному сроку службы средств произ водства. й = . (2.22.6) Амортизационные отчисления равны новой стоимости обще го фонда оборудования, деленной на срок его службы. Под новой стоимостью оборудования здесь понимается стоимость без вычета амортизации. у = V - (1* (2.22.7) ? = /G-r = /овог (1 - е-ов), (2.23.3) Доход равен валовому продукту за вычетом амортизации. Поскольку данный вариант модели не предполагает импор та, нет необходимости исключать последний. = с + (2.22.8) С точки зрения расходов доход равен потреблению плюс сбережения. В этом соотношении не предполагается запаз дывания инвестиций. 5 = (2.22.9) Сбережения равны чистым инвестициям. э = ау. (2.22.10) Сбережения являются долей дохода, равной а, где а есть норма сбережения. 2.23. Эта система соотношений допускает также отно сительно простое решение, хотя и не такое простое, как в предыдущей модели. Поскольку данная система линей ная, будет применен обычный метод, который предпола гает принятие решения следующей формы х): = (2.23.1) где есть произвольная постоянная, представляющая начальное значение а со - постоянная величина, кото рая должна удовлетворять некоторому условию; это усло вие можно найти из системы уравнений. Можно легко показать, что П = }и = Цел'-\ (2.23.2) в откуда следует, что 2) 6 = JL ?e t ( Че- ). (2.23.4) Определив 6, можно найти v и d: Ь , Ь v = ^ и d = что даст 1-с1==1 = 8 = оу = о(о-(1) = о г) ЬХ <2-23-5) После расширения выражений для и 6 найдем иско мое условие о=("?"+-Цт) 1 - (2-23-6) Полное решение для и других переменных состоит из стольких же членов формы (2.23.1), сколько имеется корней в уравнении (2.23.6). Корни могут быть веществен ными или комплексными; комплексные корни соответствуют колебательным движениям переменных величин. На рис. 1 показано графическое изображение вещественных корней, которым соответствуют монотонно возрастающие движе ния переменных, пока со > 0. Представим правую часть уравнения (2.23.6) в виде функции = (1-е-л). Тогда корень со0 будет изображен точкой пересечения пря мой линии с коэффициентом наклона, равным 1 (ординаты которой равны со), и кривой с ординатами Ф (со). Можно показать, что для 0>О и 0 > х' (а это вполне реальные предположения) всегда существует такая точка пересе чения. Получить точное решение невозможно, но для малых значений сой выражение е-*6 можно приближенно найти через 1 - со (й) + 1 /2сй282 ..., которое приводится к или -КтгЧ)- С другой стороны, при больших значениях 0 будет получено решение Домара - Харрода со = а/х\ что можно непосредственно вывести из уравнения (2.23.6). Других действительных корней уравнения, очевидно, не суще-ствует. 2.24. Полученные решения можно использовать для решения аналитических проблем, когда объясняется раз-витие производства при заданных коэффициентах, включая норму сбережений (а), и при заданных начальных значе ниях таких переменных величин, как и т. д. В этом случае имеют значение и комплексные корни уравне ния (2.23.6). Данную аналитическую проблему с задан ными начальными значениями переменных можно решить только тогда, когда вводится достаточное число членов, имеющих общую форму (2.23.1) (где, однако, постоянные величины теперь не идентичны /{р, поскольку они применимы только тогда, когда берется один член, как в (2.23.1)). Но эти начальные значения могут быть такими, что при ведут к циклическому движению системы. При решении проблемы развития производства ситуация иная. В данном случае цель состоит в том, чтобы рассмо треть образец развития без циклических спадов. Математи чески это означает, что нам подходит только один корень, а именно действительный корень уравнения (2.23.6), и, соответственно, справедливы уравнения (2.23.1) - (2.23.5) со значениями равными начальному значению по которому можно вычислить все другие начальные значения. Таким образом, чтобы обеспечить нецикличе ское движение, должны соблюдаться определенные соот ношения между начальными переменными. Если, кроме того, желательно найти определенный темп роста (со0), то норму сбережений (а0) можно получить из уравне ния (2.23.6): -vra-"* (2.24.1) Легко видеть, что для й = оо уравнение (2.24.1) сов падает с (2.13.4). 2.25. Если придерживаться подобного образца эконо мического развития, то между переменными величинами установятся фиксированные отношения. Разумеется, это является результатом ряда упрощений, включенных в нашу модель. Позднее мы рассмотрим модели, в которых это до некоторой степени нереалистичное предположение было устранено. Тем не менее кажется интересным вычислить некоторые отношения, которые могут иметь значение, хотя бы приближенное, при более общих условиях. Мы вы числим отношения k!y> k/b и rid. Из уравнения (2.23.5) мы получим US = a(i-{)l-. (2.25.1) Используя (2.23.4), найдем k = 'л^ (2-25.2) Интегрируя по времени и принимая k стремящимся к нулю при t = - оо, когда уже рассмотренные другие переменные также стремятся к нулю, мы получим * = бО^'О-в-"о)- (2.25.3) Теперь мы можем вычислить три упомянутых выше отно шения: A ЧJL. АЧ(А 1Л . г - 0)6 /о л\ у ~ a' b ~ (0 V х' 6/' d~ ' Для решения проблем развития производства жела тельно выразить эти отношения через (О, что можно явно сделать с помощью уравнения (2.23.6); получим следую щие результаты: k _ 1/(1 - g-"6) Ч1/0)0. k_ = 1 г сов у ~ 1/х' - 1 /е ' Ь ~ соо ' d ~~ - l ' (2.25.5) 41 При очень малых и очень больших значениях сой эти выражения можно еще более упростить. Результаты при ведены ниже. к/у И/Ь г/а Малые значения 0)0 1/2 1/х'Ч1/0 1/2 1 Большие значения х' 1 0 (00 2,26. Модель упрощается, если вместо уравнения (2.22.3), представляющего собой чисто технологическую производ-ственную функцию, подставить более обычное, но менее очевидное соотношение к = *у. (2.26.1) В этом случае, как и в параграфе 2.14, переменные к, $ или / и у составляют внутренний цикл, движение кото рого не зависит от уравнений вне его (2.22.2), (2.22.10) и (2.26.1). Мы имеем * = (2.26.2) и следовательно, соотношение Л = к^1 выполняется, если ю = (2.26.3) В результате получаем у = (?0/и) еа'/х. Остальные переменные можно определить на основе первой разности Ь\ значение которой должно удовлетворять соотношению Ь = 1- /?-е = оу +ау^е Ч^ Х (2.26.4) Выражение (2.26.4) представляет собой неоднородное дифференциально-разностное уравнение. Его общее реше ние состоит из двух частей: а) общего решения однородного уравнения = (2.26.5) и б) частного решения неоднородного уравнения х). Легко видеть, что общее решение уравнения (2.26.5) имеет сле дующий вид: ^ = + (2.26.6) Если, однако, мы потребуем, чтобы для I = - оо вели чина Ьь была равна нулю, то это решение окажется, кроме того, неприемлемым. Можно попытаться получить частное решение неодно* родного уравнения, предположив Ь% = Ь0е<где о> = а/х, как в уравнении (2.26.3). Это решение допустимо только в том случае, когда Ь0 удовлетворяет условиям уравнения л = <1-л-<*>0Г? + -5-)- (2.26.7) Поскольку при решении проблем развития производ ства а следует приспособить к желаемому темпу роста со, уравнение (2.26.7) можно преобразовать в уравнение Интересно отметить, что эта формула идентична отно шению к\Ь в (2.25.5). Остальные переменные можно получить из уравнений, связывающих их с уже определенными переменными. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.2. Макромодель без запаздывания отдачи инвестиций, но с учетом амортизации и замены" |
|
|