Аудит /
Институциональная экономика /
Информационные технологии в экономике /
История экономики /
Логистика /
Макроэкономика /
Международная экономика /
Микроэкономика /
Мировая экономика /
Операционный анализ /
Оптимизация /
Страхование /
Управленческий учет /
Экономика /
Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) /
Экономическая теория /
Экономический анализ
Главная
Экономика
Экономика
| С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов, 2001 | |
1. Аукцион (Gibbons). |
|
|
Представим себе, что есть 2 покупателя i = 1,2. Покупатель оценивает некоторый неделимый товар в (единиц), т. е. если он получает товар, заплатив Ьг-, то его выигрыш есть - Ьг-. Будем считать, что оценки покупателей распределены независимо и равномерно на отрезке [0,1]. Считаем также, что Vi > 0 . Покупатели одновременно представляют свои заявки. Назвавший большую цену, платит эту цену и получает товар. Другой - не получает (и не платит) ничего. Если оба называют одну и ту же цену, то бросают монетку. (Покупатели нейтральны по отношению к риску.) Все это общеизвестно. Сформулируем это как Байесову игру, т.е. определим пространства ходов, пространства типов, представления и функции выигрышей. Действия игрокаЧ заявить цену Ьг- ( р оставляем для представлений), а тип есть Vi . Поскольку оценки независимы, то игрок i считает, что Vj распределено равномерно на [0,1] вне зависимости от Vi. Выигрыши игрока i есть: 11: - h: h: % h: щ{Ъ\, ь2; vXl v2) 0, bi < bj. Определим пространство стратегий. По определению, стратегия игрока i - это функция &;(Х) , ставящая в соответствие каждому Vi цену bi(vi) , которую готов заплатить игрок i, если он оценивает товар в Vi. В равновесии по Байесу-Нэшу bi(-) - это лучший ответ на стратегию 2-го Ь2(-) и наоборот. Формально пара (bi(-), b2(-)) - равновесие по Байесу-Нэшу, если для любого в [0,1] (и;) является решением задачи Мы будем искать линейное равновесие, то есть равновесие, образуемое линейными стратегиями bi(-) и b2(-) : bi(vi) = ai + C1V1 и b2(v2) = а2 + c2v2. (Заметим, что мы не ограничиваем пространство стратегий линейными стратегиями. Мы допускаем любые, но ищем равновесие, которое будет линейным. В действительности в силу равномерности распределения оценок окажется, что равновесие не только существует, но и единственно (в смысле, который станет понятным ниже).) Мы получим, что (и;) = у Х Предположим, что j использует стратегию bj(vj) = aj + CjVj . Для данного значения лучший ответ i есть решение задачи max(vj - bi)P{bi > aj + CjVj} i>i (поскольку P{bi = bj(vj)} = 0 , так как bj(vj) = {bi > dj+CjVj} и Vj равномерно распределено, а значит и bj распределено равномерно). Поскольку для игрока i бессмысленно назначать цену ниже минимального назначения j и глупо - выше максимального, то cij < bi < cij + Cj, и, следовательно, ^r, Д Г b; - а,-) bi - а,- P{bl>aJ+cJvJ} = P\vJ<^Ч^- I cj следовательно, лучший ответ игрока i есть b.-fo) = J "Г^ еСЛИ ( cij, если Vi < cij. Если 0 < cij < 1, то существуют некоторые Vi такие, что Vi < cij , а тогда bi(vi) - не линейна (она равна aj вначале, а потом возрастает). Значит, поскольку мы ищем линейное равновесие, мы должны теперь считать, что либо aj > 1, либо cij < 0 . Однако первое неравенство в равновесии невозможно: поскольку для более высокого типа оптимально назначать по крайней мере столько же, сколько оптимально для более низкого типа, то Cj > 0 , но тогда aj > 1 давало бы bj(vj) > Vj , что не может быть оптимальным. Следовательно, если мы хотим, чтобы bi(-) была линейной, то должно быть aj < 0, следовательно, а это значит, что аз cii - 2 > ^ - / Повторив то же для j , предполагая, что i использует стратегию bi(vi) = аг + CiVi, получаем, что аг- <0, aj = у, Cj = 1/2, и, следовательно, (ц = aj = 0, С{ = Cj = 1/2. Таким образом, (и;) = иг-/2. Теперь мы обратимся к поиску симметричного равновесия, т.е. равновесия, в котором оба игрока играют одинаковые стратегии . Предположим теперь, что оба игрока j используют стратегию &(Х) , причем &(Х) - строго возрастающая и дифференцируемая функция. Следовательно, для данного оптимальная заявка игрока i решает задачу таx(vj - bi)P{bi > b(vj)}. Пусть b~1(bj) обозначает оценку, которую должен иметь j , чтобы заявить bj . Т.е. b~l(bj) = vj (если b(vj) = bj ). Т.к. Vj равномерно распределено на отрезке [0,1], то P{bi > b(vj)} = Pib-^bi) >Vj} = b-^bi). Условие 1-го порядка для задачи первого игрока есть -b-1(bi) + (vl-bi)^b-1(bi) = 0. Далее, не слишком вдаваясь в детали, мы имеем: поскольку мы ищем симметричное (в указанном выше смысле) равновесие, то bi = b(vi) , следовательно, d или b'(vi)vi + b(vi) = Vi . Таким образом, учитывая, что b'(vi)vi + b(vi)) = (b(vi) ж v^', мы получаем Для исключения к нам нужны граничные условия. Ясно, однако, что никто заявлять цену выше своей оценки не будет, следовательно, b(vi) < Vi для любых Vi. В частности, 6(0) < 0 , а в силу неотрицательности b имеем 6(0) = 0 , а тогда Уг 2 ' к = 0 и b(vi) |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1. Аукцион (Gibbons)." |
|
|