Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Оптимизация
| Харчистов Б.Ф.. Методы оптимизации, 2004 | |
Достаточное условие локальной оптимальности |
|
|
. Пусть /(х), g1 (х), g2(х),..., gm(х) дважды дифференцируемы в точке х* е Rn , причем при некотором X Ф 0 выполняются условия (2.2), т.е. х* - стационарная точка. Тогда, если (.aLхх(х*X),а) > 0 ((aL(х*Д*),а) < 0) пП при всех ненулевых а е R таких, что g' (х* - 0, i - 1,m, то х* - точка локального минимума (максимума) /(х) на множестве X. Алгоритм определения точек условных локальных экстремумов заключается в следующем. 1. Составляется функция Лагранжа L( х, X). Находится L'x (x, Я). Решается система dL( ^Я) = 0, j = 1,n; dxj dL( x, Я) gi (x) = 0, i = 1,m . ЭЯг В результате вычисляются стационарные точки x^i) , l = 1, N, и соответствующие им Я^), l = 1, N. Находятся (g'(x),a), i = 1,m . Находится L^ (x, Я), полагается l = 1. Находится L!^ (x{l ),Я(1 )). Составляется квадратичная форма Ql (а), задаваемая матрицей L"xx (x{l), Я{1)): Ql(а) = (^4(x(l ),я(1 )),а). Решается система (g'(x(l)),а) = 0, i =1,m . В результате вычисляются точки а(r). Вычисляются значения Ql (а(r)) и анализируются их знаки. Если Ql (а(r)) > 0 для всех ненулевых a{r), то x{l) - точка условного локального минимума. Если Ql (а(r)) < 0 для всех ненулевых a{r), то x^ - точка условного локального максимума. Проверяется условие определения характера всех стационарных точек l = N. Если оно выполняется, то вычисления завершаются. Если условие не выполняется, то полагается l = l +1 и осуществляется переход к п.6. Пример. Определить точки локальных экстремумов функции 1 2 1 2 f (x) = ^ axf + ^ bx|, a > 0, b > 0, при ограничении x1 + x 2 = 1 . Решение. Составляем функцию Лагранжа L(x, Я) = 2ax^ + 2bx22 + Я(x3 + x2 -1). Находим L'x (x,Я): dL( x, Я) = ax1 + зЯХ-12 , dL( x, Я) = bx2 + зЯт?. 1 1 2 2 dx1 dx2 Решаем систему уравнений ax1 + ЗЯ^2 = x1 (a + 3Яг1) = 0, (1) bx2 + 3Яг22 = x2(b + 3Яг2) = 0, (2) x3 + x23 -1 = 0. (3) Для выполнения (1) должно выполняться условие x1 = 0 либо a + 3Яг1 = 0 . Для выполнения (2) должно выполняться усло- вие x2 = 0 либо b + 3Яг2 = 0 . Однако в силу (3) одновременно не могут выполняться условия xj = 0 и x2 = 0. Следовательно, система имеет 3 решения. 1) Пусть x1 = 0 . Тогда из уравнения (3) получаем x2 = 1. Поскольку x2 Ф 0, то для выполнения (2) должно выполняться условие b + 3Яг2 = 0, откуда Я = - b/3 . Таким образом, получили первую стационарную точку x(1) и Я(1): x(1) = (0, 1), Я(1) =- V 3. 2) Пусть x2 - 0. Тогда из уравнения (3) получаем x1 -1. Поскольку x1 Ф 0, то для выполнения (1) должно выполняться условие a + 3Xx1 - 0, откуда X - - a/3. Таким образом, получили вторую стационарную точку x(2) и X(2): (2) - (1,0), X(2) -- a/3. 3) Пусть x1 Ф 0 и x2 Ф 0. Тогда для выполнения (1) должно выполняться условие a + 3Xx1 - 0, откуда X- - a/ 3x1; для выполнения (2) должно выполняться условие b + 3Xx2 - 0, откуда ё- - b/3x2 . Приравнивая выражения для X, получаем x2 - - x1. a Подставляя полученное выражение в уравнение (3), нахо- дим x1 : b3 -x1 a a x3 + 13 a3 3 a + b3 1 1 - 0 ^ x3 3Ч - 1 ^ Xj - V a3 + b3 ' 3Vor+b7 Находим x2 и X : a X- - - 3 x1 bb a 3 1 3a3 + b3 ' Таким образом, получили третью стационарную точку X (3) и X(3): 3V a3 + b3 3 a X(3) - x(3) - b ( x) dx2 - 3 x12 - 3 x 22 Находим (g'(x), a): (x) dx1 3x1 ,3x-2 ),(Й1, 4)) - 3X1^1 + 3X2 32. Находим Lxx (x, Я) : d2 L( x, Я) d2 L( x, Я) d2 L( x, Я) b dxf V Х = A + 6Яг1, _ V = 0, Ч_ 2 ' = B + 6Яг2 dx2 0 b + 6Яx7 dx1dx2 a + 6Яx1 L'xx (X, Я) 0 Определяем характер стационарной точки x(1). Находим Lxx (x(1) , Я(1) ) : b 3 0 0 a 0 0 - b a + 6 / г. \ b Lxx (x(1), Я(1)) 3 V У 0 b + 6 Составляем квадратичную форму Q1(a) : a 0 0 - b ж (aa1 ,-ba2), ^"xx (X(1), Я(1)) = (а1 ,а2) Q1 (a) = ((aa1 ,-ba2),(a1,a2)) = aa12 -ba^. Решаем уравнение (g'(x(1)),^ = 0: 3Х 0 a1 + 3-1-a2 = 0 ^ 3a2 = 0. Решением являются точки a(r) = (a1,0). Вычисляем значения Qj (a(r)) : Q1(a(r)) = aa12 > 0 при a1 Ф 0. Поскольку Q1 (a(r)) > 0 для всех ненулевых a{r), то x^ является точкой условного локального минимума. Отметим, что матрица L^ (x^, Я^ ) не является положительно определенной. Определяем характер стационарной точки x(2). Находим Lxx (x(2), Я(2) ): a v4 0 a 0 0 b a + 6 a Lxx (X(2) , Я(2) ) V 3, 0 b + 6 Составляем квадратичную форму Q2 (a) : a 0 0 b (-aa1, ba2), axx (x(2), Я(2)) = (ai, a2 ) Q2(a) = ((-aa1, ba2),a ,a2)) = -aaj2 + ba^. Решаем уравнение (g'(X(2)),a^ = 0 : 3Х1-a1 + 3Х 0 a2 = 0 ^ 3a1 = 0. Решением являются точки a^r) = (0, a2 ) . Вычисляем значения Q2(a{r)) : Q2(a(r)) = ba^ > 0 при a2 Ф 0. Поскольку Q2 (a(r)) > 0 для всех ненулевых a{r), то X(2) является точкой условного локального минимума. Отметим, что матрица LXx (Х(2), Я(2)) не является положительно определенной. Определяем характер стационарной точки Х(3). Находим LXX ( Х(3) , ^(3) ) : 3a3 + b3 Л a a + 6 3 a3 + b3 Lxx (Х(3),Я(3)) V a3 + b3 b + 6 3 a3 + b3 -a 0 0 -b Составляем квадратичную форму Q3 (а) : а 0 0 - b ж (-аа1 ,-Ьа2), аxx (Х(3), ^(3)) = (а1, а2 ) Q(3)(a) = {(-aа1-bа2),(а1,а2)) = -аа? - Ьа2, =-(аа2 + Ьа2). Поскольку Q3 (а) < 0 для всех ненулевых а (в том числе и для а{г), являющихся решением уравнения (g'(Х(3)),^ = 0), то Х(3) является точкой условного локального максимума. 1 2 1 2 Ответ: функция f (x) = ax1 + bx2, а > 0, b > 0, в допустимой области X = {x е R2 : xj + x2 = l} имеет в точках x = (0, 1) и x = (1, 0) условные локальные минимумы, а в точке ^ и Л а b х - условный локальный максимум. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Достаточное условие локальной оптимальности" |
|
|