Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Гальперин В. М, Игнатьев С. М, Моргунов В. И.. Микроэкономика. Сборник задач, 2007 | |
6.2 РЕШЕНИЯ |
|
| решение задачи № 1 Поскольку имеются лишь два блага, то достаточно определить только одну равновесную цену. Цену блага Y примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Пусть тогда р будет относительной ценой блага X. Следовательно, бюджетное ограничение для индивида 1: pX1 + Y1 = 1, а для индивида 2: pX2 + Y2 = р. Затем индивид 1 выбирает X1 так, чтобы максимизировать Ха (1 - Х1)1-а . Из условия первого порядка получаем Х1 = а, что через подстановку в бюджетное ограничение Р дает нам Х2 = 1 - а. Индивид 2 выбирает X2, так чтобы максимизировать X (p - pX1)1-e. Из условия первого порядка получаем Х2 = р, что через подстановку в бюджетное ограничение дает нам Y2 = p(1 - Р). Из закона Вальраса известно, что в случае двух рынков равновесие на одном из них означает равновесие и на другом. Выберем для рассмотрения рынок блага X. Тогда Х1 + Х2 = 1, или - + р = 1. Следовательно, равновесная цена p* = а p 1 -Р Она дает нам равновесное размещение благ между индивидами: Х1 = 1 - Р; Х2 = 1 - а; Y1 = Р; Y2 = а. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2 Цену блага Y примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Пусть тогда р будет относительной ценой блага X. Следовательно, бюджетное ограничение для индивида A: pXA + Ya = 2р, а для индивида B: pXB + YB = 3. Индивид A выбирает ХА так, чтобы максимизировать ХА/2(2p - pXA)1/2 . Из условия первого порядка получаем ХА = 1, что через подстановку в бюджетное ограничение дает нам YA = p. Индивид B выбирает XB, так, чтобы максимизировать XB/3(3 - pXB)2/3. Из условия первого порядка получаем XB = = Ч, что через подстановку в бюджетное ограничение дает Р нам Y = 2. B Из закона Вальраса известно, что в случае двух рынков равновесие на одном из них означает равновесие и на другом. Выберем для рассмотрения рынок блага X. Тогда XA + XB = 2 или 1 + - = 2. Следовательно, равновесная цена p* = 1. Она Р дает нам равновесное размещение благ между индивидами: ^XA = YA = 1 и ХВ = 1,YB = 2. решение задачи № 3 Цену блага X примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Затем найдем функции спроса индивидов А и В на благо Y как функции от его цены (p). Y 1 X MRSXY = Y- = - ^ PYA = Xa ^ YA = -А . XA Р Р Бюджетное ограничение для индивида А: XA + pYA = m ^ ^ XA = m - pYA, где m - доход индивида А. Отсюда функция спроса на Y индивида А: m - pYA m YA = P 2 p Так как изначальное наделение для индивида А - 10 единиц блага Y, то можно определить, что m = 10p. Следовательно, индивид А предъявит спрос на 5 единиц блага Y Г10р =5> 2р , Поскольку блага X и Y для индивида В абсолютно взаимодополняемые, то для него всегда XB = YB. Бюджетное ограничение для индивида В: XB + pYB = m ^ XB = m - pYB, где m - доход индивида В. m Отсюда функция спроса на Y индивида В: YB = 1 + Р Так как изначальное наделение для индивида В - 20 единиц блага X и 5 единиц блага Y, то m индивида В: 20 + 5р. Следовательно, индивид В предъявит спрос на благо Y, равный: 20 + 5 р 1 + Р ' Отсюда следует, что суммарный со стороны индивидов A и В на благо Y: Д 20 + 5 р 5 + Ч. 1 + р Поскольку изначальное наделение благом Y индивида А составляло 5 единиц, а индивида В - 10 единиц, то легко заключить, что суммарное предложение блага Y равно 15 единиц. Отсюда: к 20 + 5 р 5 + Ч = 15. 1 + р Решение этого уравнения дает нам равновесную цену p* = 2. При данной равновесной цене спрос индивида B на благо Y = 10. Следовательно, равновесное размещение благ между индивидами: XA = 10, YA = 5; XB = 10, YB = 10. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4 4.1. Определим спрос на Q1 и Q2 и выразим его через I. Для этого составляем функцию Лагранжа: V = Q^Q0'5 + A(I - P1Q1 - P2Q2). Максимизируем полезность, для чего находим условия первого порядка: = 0.5Q1Q2' - Щ = 0; (I) DV DQ" DV - = 0.5Q1-5Q2-5 -Щ = 0; (II) DQ2 DV= I - PQ - P2Q2 = 0. (III) DA УМНОЖАЕМ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ (I) НА Q1 И УПРОЩАЕМ ВЫРАЖЕНИЕ: 0.5Q1()-5Q2)-5 - AP1Q1 = 0; 0.5U - AP1Q1 = 0; Q = F- (i'> АНАЛОГИЧНО УМНОЖАЕМ ОБЕ ЧАСТИ (II) НА Q2 И УПРОЩАЕМ ВЫРАЖЕНИЕ. ПОЛУЧАЕМ: л2 = OF- .И ТЕПЕРЬ ПОДСТАВЛЯЕМ (I') И (II'') В (III): T 0.5PU 0.5P2U Л I 1 Ч = 0; XP1 XP2 XI = 0.5U + 0.5U = U; Х = U. (III') И НАКОНЕЦ, ПОДСТАВЛЯЕМ (III') НАЗАД В (I') И (II''), ЧТО ДАЕТ НАМ ФУНКЦИИ СПРОСА НА ТОВАРЫ, ВЫРАЖЕННЫЕ ЧЕРЕЗ I: _ 0.5U I 0.5I 0.5(PLL1+ PKK1) Qi = = = ; 1 P и P P л2 = 0.5U I = 0.5I = 0.5(PLL2 + PKK2) ' U " "PT " P Теперь определим функции предложения товаров. В случае Q1 необходимо вывести функцию общих затрат из производственной функции. Для этого надо решить задачу на минимизацию этих затрат: Z = PKK1 + PLL + X(Q1 - K.5L^5). Получаем следующие условия первого порядка: dZ = Pk - 0.5X K10 5L15 = 0; (v) dK1 - = PL - 0.5X K"'5L-0 5 = 0; (vi) dL dZ = Q1 - КГ L15 = 0. (vii) dX Разделив (v) на (vi), получаем: P?L = L Pl KL, или PKK1 = PLL1, или K1 = PL.. 1P к Следовательно С. = PKK1 + PlL1 = 2PlL1. Теперь осталось только избавиться от L1 в данном выражении. Для этого подставляем полученное выше выражение для к1 в Q. = K10 5LJ.о: ( P L 0.5 Q1 = Откуда L = Q1 L1. V рк ) / n-0.5 ' Pl v рк, Подставляем выражение для L1 в функцию общих затрат С1: С = 2PKa P0Q Отсюда функция предложения Q1: P1 = мс1 = 2PJ05 PL.5. При совершенной конкуренции P. = MC., а функция предельных издержек есть функция предложения Q.. Определим функцию предложения Q2. Так как в производстве в секторе 2 отсутствует капитал, то ее нахождение значительно упрощается. Z = PLL2 + ^Q2 - 3 L2 При совершенной конкуренции на рынке труда: ^ = р - 3 >. = 0; dLt L 2 Qs - 3 L2 = 0. dX 2 2 2 Отсюда: 3 2 2 L2 = Q2 ^ L2 = 3 Q2. Теперь для нахождения функции предложения Q2 надо составить функцию общих затрат С2. С2 = PLL2 = PL 22 Q2. Тогда функция предложения Q2: P2 = MC = 2 PL. 2 3 L Осталось определить спрос на факторы. Для этого применяем лемму Шепарда (см. подсказку к вопросу 4.1): Ll _WL _ Pk Pl Qi; Ki _з- _ PK0-5P0Q дРк L _C _ 2 Q L _ dPL - 3 Теперь внесем полученные результаты в таблицу VI.1. Таблица VI.1 Двухсекторная конкурентная экономика Рынки товаров Товар 1 Спрос: 0.6 (PLL + PKK) (1) Предложение: Р1 = 2Р'ЬР'Ь (2) Товар 2 Спрос: 0.5 (PLL + PKK) Р2 (3) Предложение: U 2 D (4) РО = -РГ - 3 Х Рынки факторов Рынок капитала Спрос KD=KX= PKOAP'6Q1 (5) Предложение KS = 100 (6) Рынок труда Спрос LD = L1 + L2=P^P-0&Q1+^Q2 (7) Предложение Lr = 100 (8) 4.2. Примем цену PK = 1. В секторе товара 1 подставим в уравнение (1) выражение для P1 из уравнения (2): Q _ 0.5(PlL + РКК) Q 2PK'5PL-5 . Затем приравняем спрос и предложение на рынке капитала - правые части уравнений (5) и (6). - а затем подставим полученное выше выражение для Q.: 100 = PK0-5 PL05Q1; 100 = Отсюда получаем: 100 = 0.5(PlL + PkK) 2Pk 0.5(100PL + 100) Из уравнений (2) и (1) находим: P. = 2^3 л 3.46; Л 100 r_ Q. 57.74. 1 V3 Теперь легко находим: P2 = 2; Q2 = 100. Убедимся. что найденные значения равновесных цен товаров и факторов обеспечивают нам равновесие и на рынке труда. Иначе говоря. проверим действие закона Вальраса. Приравняем спрос на труд к предложению труда: 2 105 Х (3-05) Х 57.74 + -(100) = 33.333 + 66.667 = 100. 3 Из (4.3) следует. что в производстве Q. задействована 1/3 общего количества располагаемого труда. в производстве Q - / . 23 Доход труда PLL = 3 Х 100 = 300. Доход капитала PKK = 1 Х 100 = 100. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5 Представим исходную комбинацию благ индивида 1 через избыточный спрос X. = Ex1 + 78 и Y. = E . Введем избыточный спрос в функцию полезности индивида и максимизируем ее при наличии бюджетного ограничения (P E . + P E .). V = Exl + 78) ЕУ1 + 2(Ex1 + 78) + 5Ey 1 - + РУ EVl). Приравняем нулю частные производные по V.: dVJ8Exl = E. + 2 - XPx = 0; VdEy i = Exi + 83 - = dV1/dX = - ( pE xl + py E.) = 0. Решаем систему уравнений и получаем функции избыточного спроса для индивида 1: X = (Exi + 83)/Py = (Eyi + 2)/Px," - Ex1P1 - Ey1P2 = 0 E P + 2P = E Р + 83P ; yl y y xl x x' Exi = - Eyipy/px; E, = (E Р + 83P - 2P )/P ; y1 x1 x x y y E, = - (E P + 83P - 2P )/P ; x1 x1 x x y x E, = P /Р - 41.5; x1 y x E л = 41.5 P / P - 1. y1 x y Таким образом. избыточный спрос представлен как функции от соотношения цен. Увеличение Р относительно Р xy уменьшит Ex1 и увеличит Ey1. Увеличение Py относительно Px увеличит Ex1 и уменьшит Ey1. Аналогичным образом поступаем с функцией полезности индивида 2. В итоге решения новой системы уравнений получаем следующие функции избыточного спроса для индивида 2: Ex2 = 84 py /px - Ey2 = Px /Py - 84. В соответствии с требованиями лочищения рынка можно записать: Е = E, + E = 85 Р /Р - 42.5 = 0; x x1 x2 y x E = E, + E Д = 42.5 Р / Р - 85 = 0. y y1 y2 x y При решении первого из уравнений имеем Рy/Px = 0.5. а при решении второго - Px /Р = 2. что. как видно. одно и то же. Подставляем соотношения цен в индивидуальные функции избыточного спроса и получаем: E . = - 41; E 2 = 82; E . = 41; E 2 = - 82. x1 x2 y1 y2 Индивид 1 отдает 41 единицу блага X индивиду 2 в обмен на 82 единицы блага Y. Следовательно. парето-эффективная комбинация благ: X.= 37; X2 = 41; Yt = 82; Y2 = 82. решение задачи № 6 6.1. Фиксируем полезность индивида 1 и составляем соответствующее уравнение Лагранжа: L = щх2,у2) + х^вд) - U2] = X2/3 Y2/3 + цх!/3У12/3 -U1]. Поскольку то, что получает индивид 2, не получает индивид 1, и наоборот, то, следовательно х2 = 1000 - X1; Y22 = 1000 - Y11. В результате уравнение Лагранжа становится функцией только двух переменных - X1 и Y1: L = (1000 - X1)2/3(1000 - Y1)1/3 + X[X 1/3 Y 2/3- U1]. Условия максимума первого порядка V 1 У 1 У 1000 - Y = 0. X х + - 3 1000 - X 1/3 1 У \2/3 1 У X 1000 - X 3 + ж = 0; 1 2X 3 1000 - Y dL dX1 dL 8Y 1/3 \2/3 Перенося члены с X в правую часть и производя деление верхних уравнений на нижние, получаем: 4Y или V1000 - X1 у X =2 1000 - Y f Y л V X1 У Л ( 1000 - X1 1000 - Y1 что представляет условие эффективности в обмене (равенство MRSXY и MRSXY ). Теперь можно заполнить таблицу и по значениям X1 и Y1 (или X2 и Y2) построить контрактную кривую (см. рис. 6.1). 6.2. В результате указанного размещения благ индивиды 1 и 2 получают по 500 единиц полезности каждый (точка S в коробке Эджуорта). На контрактной кривой можно найти такую точку (точка О в коробке Эджуорта), где, например, X1 = 660, Y1 = 327; X2 = 340, Y2 = 673. В этом случае U1 = 522 и U = 536.? Xl и, =x2],i у;/3 и2 =Х1'3 Yf А 0 0 0 1000 1000 1000 В 100 27 65 900 973 948 С 200 59 133 800 941 891 D 300 97 206 700 903 830 Е 400 143 284 600 857 761 F 500 200 368 500 800 684 G 600 273 461 400 727 596 Н 700 368 565 300 632 493 I 800 500 684 200 500 368 J 900 692 825 100 308 212 К 1000 1000 1000 0 0 0 Рис. 6.1. Коробка Эджуорта для лэкономики обмена и контрактная кривая dUJ dX1 _2Y1 6.3. MRSU = И MRSXy = dU1/ dY1 X1 dUJ 6X2 = dU 2 / 5Y; 2X2 Индивид 1, таким образом, готов отдавать Y за X, а индивид 2 - наоборот. На рис. 6.1 видно, что при перемещении из точки S в точку А приобретает больше X и меньше Y, а индивид 2 - наоборот. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 7 Строим квадрат со сторонами 21x21 (рис. 7.1). Из условий задачи находим U = 3600 и U20 = 16 200. Легко представить кривые безразличия индивидов 1 и 2, например, через X1 и X2. Y1 = 3600/X^- Y2 = 16 200/X2 Задавая различные значения X1 и X2 в интервале от 0 до 210, можно получить соответствующие им значения Y1 и Y2. Например, X1 = 40, Y1 = 90; X1 = 50, Y1 = 72; X1 = 60, Y1 = 60; X1 = 80, Y1 = 45; X1 = 90, Y1 = 40; X1 = 100, Y1 = 36. По данным точкам можно построить кривую безразличия для индивида 1 (U). Аналогичным образом строится кривая безразличия для индивида 2 (U). 30 60 75 X, Рис. 7.1. Коробка Эджуорта: общее равновесие и парето- эффективность 7.3. Область внутри кривых безразличия индивидов, включая сами кривые от одной точки их пересечения до другой (см. заштрихованную область на рис. 7.1). 7.4. Для нахождения уравнения контрактной кривой надо помнить, что в любой точке этой кривой имеет место эффективность в обмене, т. е. MRS 1XY = MRSX I 2 XY mrsXy - MUX XY MUY mr^. - MUx XY MU dUX / dX = Y1 dUY / dY ~ X1 dUx / dX = dUY / dY X2 Далее можно записать следующую систему уравнений: X1 X2 X1 + X2 - 210; X1 + X2 - 210 Отсюда получаем: Y - XY ^ Y - X1(210 - Y) ^ xД (210 - X1) ^ 210 Y1 - X1Y1 = 210 X1 - X1Y1 ^ X1 = Y1 Получили уравнение контрактной кривой (на рис. 6.1 - диагональ квадрата, представляющего коробку Эджуорта). Аналогичный результат получился бы, если бы записали выражение не для Y1, а для Y2. Контрактная кривая также представляла бы диагональ квадрата (уравнение X2 = Y2). 7.5. Найдем координаты точек, в которых кривые безразличия индивидов 1 и 2, проходящие через точку изначального размещения благ, пересекают контрактную кривую. Для этого составим следующую систему уравнений: IX - Y; 3600 Y - X Получаем Y/ - 3600 ^ Y1 - 60, X1 - 60. Аналогично: x2 - Y2; 16 200 Y2 - Отсюда Y2 = 127.3, X2 = 127.3. 7.6. Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа. L = U1(XVY1) + - Px Хг - Py YJ, где I - бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещении. Таким образом: I = 1 Х 30 + + 2 Х 120 = 270. ^ = U _х = 0 ^ Y1 = Х; дХ1 дХ1 = dU1 -2Х = 0 ^ Xx = 2Х; дY1 дY1 дТ = 270 - X - 2Y = 0 ^ 4Х = 270 ^ Х = 67.5. дХ 1 1 Отсюда: Y1 = 67.5; X. = 135. Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа. L = U2(X2,Y2) + X(I2 - PX X2 - PYY2), где I2 - бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном их размещении. Таким образом: I = 1 Х 180 + 2 Х 90 = 360. = U-x = 0 Y2 = Х; дX2 дX2 2 ^ = ^ - 2Х = 0 ^ X2 = 2Х; дТ SY Y 2 = 360 - X - 2YД = 0 ^ 4Х = 360 ^ Х = 90. дХ 2 2 Отсюда: Y2 = 90; X2 = 180. В итоге получаем X1 + X2 = 257.5 и Y1 + Y2 = 157.5. Таким образом, благо X окажется в дефиците, а благо Y - в избытке. Заказанная комбинация благ не будет эффективной, так как не лежит на контрактной кривой. Уравнение контрактной кривой X1 = Y1 (X2 = Y2) предполагает, что количество единиц блага X в распоряжении любого из индивидов должно быть равно находящемуся в его же распоряжении количеству единиц блага Y. 7.7. Проводим аналогичные расчеты при Px = 2. Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа. L = UXY) + - Px X1 - PY Y1), где I - бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещении. Таким образом: I1 = 2 Х 30 + 2 Х 120 = 300. ^-dU1 - 21 = 0 Y = 21; дХ1 дХ1 1 21 = 0 ^ X, = 21; dY1 dY1 1 дТ - - 300 - 2Х - 2Y = 0 ^ 300 = 4Х. д1 1 1 1 Отсюда: Х1 = 75, Y1 = 75. Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа. L = U2X2Y2) + 1(I2 - Px Х2 - P^), где I2 - бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном их размещении. Таким образом: I2 = 2 Х 180 + 2 Х 90 = 540. дТ _ dU2 дХ2 дХ2 дТ - ди2 - 21 - 0 ^ Y2 = 21; - 21 = 0 ^ Х2 = 21; дY2 дY2 дТ - - 540 - 2Х - 2Y = 0 ^ 4Х = 540. д1 2 2 2 Отсюда: X2 = 135, Y2 = 135. В итоге получаем X2 + Х2 = 210 и Y1 + Y2 = 210. Таким образом, нет ни избытка, ни дефицита. Рынок лрасчищается, и обеспечивается общее экономическое равновесие. Одновременно заказанные комбинации благ находятся на контрактной кривой, следовательно, достигается парето-эф- фективная комбинация благ. В последнем легко убедиться, обратившись к условию эффективности в обмене: MRSXY = MUx = = MRS,Y = MUx = 21 = 1. XY MUY X1 X MUY X2 Это равенство MRSXY и MRSXY на рис. 7.1 представлено в точке касания кривых безразличия U* и U*. При ценах, заданных лсекретарем рынка в п. 7.7: P MRSXy = mrsXy = PX = 1 = P*, P* PY где Чxr = p * - относительная равновесная цена. На рис. PY* 7.1 луч, представляющий эту цену, проходит через точку касания кривых безразличия U* и U*. 7.8. U1 = 75 Х 75 = 5625; U2* = 135 Х 135 = 18 225. При изначальном размещении благ U = 3600, U = 16 200. Отсюда: ДЦ = 5625 - 3600 = 2025; AU2 = 18 225 - 16 200 = = 2025. Очевидно, что это изменение является парето-улуч- шением (оба индивида повысили свое благосостояние). Суммарная полезность индивидов в п. 7.7 составляет Ui* + U* = 23 850. Суммарная полезность в исходном состоянии U + U = 19 800. Следовательно, общий прирост полезности AU = 23 850 - 19 800 = 4050. Полезность, полученная в п. 7.7, отвечает парето-эффек- тивному состоянию лэкономики обмена. Это означит, что ее нельзя повысить за счет изменения размещения благ. решение задачи № 8 8.1. Находим, что mrsxy = MUx = u/x = XY MUY dUY / dY X1 MRSXY = MUx =U/dX = Ya.. XY MUY dUY / dY X2 Условие парето-эффективности: Y Y Y 10 - Y MRSW = MRS2 ^ Y = Y ^ Y = 10 Y X1 X2 X1 10 - X1 После перемножения получаем: 10Y1 - Y1X1 = 10X1 - X1Y1 ^ X1 = Y1. Отсюда: U1 = X.5X^5 = X1 ^ U1 = 10 - X2. Аналогично можно показать, что U2 = X2. В результате получаем уравнение границы возможных полезностей: U1 = 10 - U2 Эта граница представлена на рис. 8.1 и2 О 10 Рис. 8.1. Граница возможных полезностей 8.2. U = 2.5 Х 2.5 = 2; U20 = 8.5 Х 8.5 = 8. Легко догадаться, что уравнение контрактной кривой есть X1 = Y1, или, что то же самое, X2 = Y2. См. рис. 8.2. Диагональ квадрата (коробки Эджуорта) 002 есть контрактная кривая. Точка А - точка изначального размещения благ. MRSXY = MRSXy = Y = Y = pX = p* = 1. 8.3. X1 X2 Py Следовательно, относительная равновесная цена (p*) есть любой луч, пересекающий контрактную кривую под прямым углом. На рис. 8.2 эти лучи проведены через точку А и точку желаемого лсекретарем рынка размещения (точку В), где индивид 1 имеет X1 = 6, Y1 = 6; индивид 2, в свою очередь, обладает X2 = 4, Y2 = 4. Исходя из заданных нам функций полезностей индивидов можно заметить, что в точке В U1 = 6, U2 = 4 (что и нужно лсекретарю рынка). Используя рис. 8.2, нетрудно заметить, что для достижения нового распределения полезностей между индивидами лсекретарю рынка надо передать индивиду 2 от индивида 1 либо 8 единиц Y1, либо 8 единиц X . Для того чтобы в этом убедиться, достаточно из точки А провести прямые горизонтальную и вертикальную линии до соединения с лучом, пред-ставляющим относительную равновесную цену и пересекающему под прямым углом контрактную кривую в точке В. После указанного перераспределения относительная равновесная цена (р*) обеспечит автоматический переход в точку В - к желаемому лсекретарем рынка распределению полезностей. Х2 8 4 О2 ж II >Н <1 \ 1 / /|\у=1 X 1 \ А ЛХ|= 8 \ / ! О1 2 6 X, Рис. 8.2. Коробка Эджуорта и перераспределение РЕШЕНИЕ ЗАдАчи № 9 См. рис. 9.1. a) Точка I не является точкой оптимума, так как она не является точкой касания изоквант. Напротив, изокванты X1 и Y3 пересекаются в точке I. В точках касания изоквант соблюдается условие парето-эффективности для производства |(MRTSX* = MRTSY^). б) 22.5 + 25 = 47.5. Отсюда AK = 70 - 47.5 = 22.5 50Ly отвечает 10LX. Следовательно, AL = 55 - 10 = 45. K 22.5 = 0.5. MRTS^ = - = Соединяем указанное то^и кривой (см. рис. 9.1). а) См. рис. 9.2. б) См. рис. 9.2. Координаты точки I (Х^ = 40, Y1 = 30). Нахож-дение в точке I означает неэффективность, поскольку она находится слева от кривой продуктовой трансформации (границы производственных возможностей). При имеющихся в данной экономике ресурсах можно достичь более высокого объема выпуска. в) См. рис. 9.2. Нет, не будет. Переход из точки I в точку F сокращает выпуск блага X. Поэтому, несмотря на то что он переводит экономику из неэффективного состояния в эффективное, парето-улучшения не происходит. АХ 100 9.5. = 0.8. MRS XY = MRPTXY = AY 125 9.6. Нет, не обеспечат: Отсюда Px = 3.2. Рис. 9.1. Коробка Эджуорта для производства P P 4 MRPTXY = Px ^ Px = 4. XY P 4 5 решение задачи № 10 к к 10.1. MRTSХк =Ч; MRTSYK = Lx LY KX 2Ky Lx LY KX = 2(100 - Kx) ^ 200Kx = 200Lx - LxKx ^ Lx 200 - Lx x x x x ^ Lx(200 - Kx) = 200Kx. Отсюда 200Kx Lx = Ч. x 200 - Kx Определяем значения Lx при Kx = 0, 25, 50, 75 и 100 По имеющимся в условии задачи данным строим коробку Эджуорта для производства, проводим в ней диагональ и по данным таблицы строим контрактную кривую для производства.? Lx Кх LY KY 0 0 200 100 28.6 25 171.4 75 66.7 50 133.3 50 120 75 80 25 200 100 0 0 10.2. Производство блага X капиталоинтенсивно, так как Kx > Kt, где KT и LT - общие количества капитала и труда. В LX LT коробке Эджуорта этот факт отражен расположением вогнутой контрактной кривой для производства выше диагонали. Капиталоинтенсивность производства блага X вдвое выше капиталоинтенсивности производства блага Y. В этом легко убедиться, рассчитав соответствующие значения LY и KY (см. таблицу) и сопоставив ЧX и ЧY в любых точках (кроме L, 75 : 25 = 2. 120 80 крайних). Например, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 11 11.1. Преобразуем уравнение кривой продуктовой транс-формации: 9Y2 = 100 - X2; Y2 = 100 - X2 9 1 Y = ^(100 - X2)0 5. Теперь находим предельную норму продуктовой трансформации: dY 1 X MRPTXY =- = - (100 - X2)-05(-2X) = -Ч(100 - X2)-05. dX 6 3 11.2. Для вогнутой по отношению к началу координат кривой продуктовой трансформации должны соблюдаться dY d2Y условия: < 0; > 0. dX dX2 d2Y 1 d - = (100 - x2)-15 > 0, dx2 6 так как по условиям задачи x < 10 во всех точках кривой, кроме точки ее соединения с осью 0Y. Кривая продуктовой трансформации вогнута, если а) имеет место убывающая отдача от масштаба в производстве обоих благ; б) если нарушается допущение об однородности факторов (например, один из факторов производства имеет убывающую производительность в производстве какого-либо блага); в) при допущении об однородности факторов и постоянной отдаче от масштаба выпуск благ требует использования факторов в различных пропорциях (например, производство одного блага - трудоинтенсивное, другого - капиталоин- Kx KY тенсивное, скажем, Чx < ЧЧ). Lx LY 11.3. -x(100 - x2)-0 5 =-4; 3 7 - (100 - x2)-1 = - ^ (100 - x2)-1 = ^ 9 49 49x2 49 X 2 100 - x2 = ^ 193x2 = 14 400 ^ x* = 8.64; 144 Y* = ^(100 - x2)0 5 = ^(100 - 8.642)05 = 1.68. 33 решение задачи № 12 12.1 Выражаем Lx и LЧ через x и Y соответственно и получаем уравнение для кривой продуктовой трансформации: x2 + 4Y = 100. Крайние точки данной кривой: x = 10, Y = 0; x = 0, Y = 5. Затем находим общий дифференциал данного уравнения: 2xdx + 8YdY = 0, или dY x = MRPTxY = dx xY 4Y 12.2 Условия оптимума (парето-эффективности) предполагают, что MRPTxЧ = MRSxЧ. MRSxЧ =MUx = Ч. MUY x Следовательно, x = Ч; 4Y " x' x2 = 4Y2; x2 + 4Y = 2x2 = 10. В результате получаем: x* = V50 = 7.07; Y* = V12.5 = 3.535. Общественная полезность: U = у/7.07 Х 3.535 л 5.66. 12.3. Поскольку: Ч* p* MRSxЧ = Ч* = -P* = MRPTxЧ, следовательно: Ч P* V12.5 1 л/50 2' Таким образом, предложенные лаукционистом цены обеспечат парето-эффективность. Ценность выпуска составит P*x* + PЧ*Y = 1 Х 7.07 + 2 Х 3.535 = 14.14. В таком случае из уравнения x2 + 4Y2 = 100 получаем, что Y2 = 9 ^ Y = 3. При таких значениях: U = Тв^Э л 4.9; Px*x* + P*Y = 1 Х 8 + 2 Х 3 = 14.0. Легко заметить, что в результате отклонения от парето- эффективной комбинации благ общественная полезность и ценность выпуска снизились. От подготовки к войне ресурсов не прибавляется, следовательно, граница производственных возможностей и MRPTxЧ остаются прежними. С ростом лоборонного сознания меняется только MRSxЧ. ,mr, MUx 3Y MRS Щ = x = . MUY x Отсюда: X = 3Y ; 12Y2 = X2. 4Y X Следовательно: 12Y2 + 4Y2 = 100; Y = 2.5; X* = 8.66. Соотношение цен: P* X P, = X = 0.866. P* 4Y Оно говорит нам о росте относительной цены пушки (если раньше 1 пушка стоила 0.5 одной единицы масла, то теперь приблизительно 7/8 той же единицы масла). Определим занятость до возникновения напряженности между страной Дураков и страной Баранов. Из условий задачи находим, что LX = X2; LY = 0.5Y2. Из полученных в п. 6.2 значений X*, Y получаем LX л 50, L* л 6.25. В условиях подготовки к войне L^ л 75, LY* л 6.25 . Таким образом, изменение занятости в производстве пушек ALX = 75 - 50 = 25, а изменение занятости в производстве масла ALY = 6.25 - 12.5 = -6.25. YY 12.6. Теперь MRSXY = . Отсюда: 3X X = Y; 4Y2 = 3X2. 4Y 3X Следовательно: X2 + 3X2 = 100; X* = 5; Y л 4.33; P* X Рт = X л 0.289. P* 4Y Очевидно, что цена пушки относительно единицы масла ниже, чем в предыдущих ситуациях (0.289 < 0.5 < 0.866). В условиях долгосрочного мира занятость распределяется следующим образом: LPX = 25, LPY л 18.75 . Таким образом, изменение занятости в производстве пушек ALX = 25 - - 75 = -50, а изменение занятости в производстве масла ALY = 18.75 - 6.25 = 12.5. решение задачи № 13 См. ответ на вопрос 13.6. U = 200, U = 0. A B Оптимальные значения UA и UB находятся в точке пересечения луча, выходящего под углом 45о из начала координат (его уравнение UA = UB), с границей возможных полезностей (UA + 2UB = 200). Совместное решение этих двух уравнений дает нам UA = 662/3, UB = 662/3. Заметим, что UA + UB достигает максимума в пределах области достижимых полезностей тогда, когда она соединяется с границей возможных полезностей в точке ницшеанского оптимума. Следовательно, UA = 200, UB = 0. Творец политики находит следующее решение: L = иАь Х UBb + 1(200 - UA - 2UB); dL = 0.5 UZ-1 = 0 ^1 = 0.5 UB" ж duA ur ur 0.5 0.5 dL = 0.5U- 21 = 0 ^ 21 = 0.5 Ub U UB-5 UA'5 dL d1 Отсюда: - = 200 - UA - 2UB = 0 ^ UA = 200 - 2UB. U0-5 U0-5 Ub = 0.5 Ua U0.5 U0.5 A B UB5 = 0 5 (200 - Ub)0 5 (200 - 2UB )0.5 UB'5 2U = 200 - 2UД ^ 4U = 200 ^ U = 50, U = 100. B B B B A 13.6. См. ниже рис. 13.1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 14 14.1. Творец политики находит следующее решение L = YA0'5 + Y0'5 + 1(100 - YA - YB ); 100 200 Рис. 13.1. Социальные оптимумы: (Х) 1 - ницшеанский и утилитаристский оптимумы, () 2 - роулсианский оптимум, (Х) 3 - оптимум БернуллиЧНэша. dL 0.5 . 0.5 - X = 0 ^ = X; Y Y^ Ya dL 0.5 . 0.5 . ж - X = 0 ^ ЧЧ = X. dYB YB Отсюда YA = YB = 50. 14.2. Теперь лтворец политики находит следующее решение L = Y0'5 + Y05 + X(100 - 2Ya - YB ); dL 0.5 _ Д 0.5 _ 1 2 - 2X = 0 ^ Ч0- = 2X ^ = 4X2; d*A Yл/ Yл/ 4YA dL 0.5 . 0.5 . 1 X2 - X = 0 ^ ЧЧ = X ^ = X2. dYB *Г Y^'5 4YB Отсюда YB = 4YA ^ YB = 80, YA = 20. решение задачи № 15 15.1. Представим функцию общественного благосостояния как W = +ЧЧ y1-e. Тогда dW = y^edy1 + y2edy2 = 0. 1 - e 1 - e Отсюда наклон кривой равного общественного благосостоя- ния dy2 e У2 dyx 15.2. - e V У1 У . = -1 при e = 0, что отвечает утилитарист- V У1 у скому критерию. 15.3. Функция Лагранжа для лтворца политики: j^e [y!-e+y1*- ] - 1[У!+У2 -1], L = -e и тогда условия первого порядка (кроме ресурсного ограничения): дТ ^L = y-e -1 = 0, i = 1.2. 5У; Следовательно, y-e = y2e, что предполагает y1 = y2. Значение e в данном случае не влияет на оптимальное решение. 15.4. Теперь функция Лагранжа для лтворца политики L = [yi1-e+y2- ] - 1[аУ1+У2 -1], и условия первого порядка: dL -ел ^ = У- - 1a = 0; дУ1 dL -e л ^ = У2 -1 = 0; дУ 2 dL л = 1 - ау1 - ау2 = 0. 51 Избавляясь от 1, получаем y2 = ау1 и y2 = 1 - ауг Решая Отсюда можно заключить, что рост а снижает y1 и увеличивает y2, тогда как рост e, напротив, увеличивает y1 и снижает y2. Это можно интерпретировать следующим образом: а измеряет, во что обходится (сколько стоит) перераспределение в пользу индивида 1 (чем выше затраты на него, тем меньше доход индивида). С другой стороны, e измеряет неприятие неравенства лтворцом политики; при а > 1 пе-рераспределение в пользу индивида 1 становится дороже, но неприятие неравенства лтворцом политики, напротив, направляет перераспределение в пользу индивида 1. Следовательно, при выработке оптимального решения лтворец политики будет взвешивать затраты на перераспределение, с одной стороны, и лценность перераспределения с точки зрения его этических установок - с другой. решение задачи № 16 Набор достижимых аллокаций {(х, y): x + y < 100}. Если (х, у) такие, что х + y < 100, то от лпирога после раздела остается 100 - x - y и это может быть передано Адаму, Еве или же им обоим для увеличения их полезности. Однако в таком случае раздел пирога не является парето- эффективным. В результаты можно заключить, что {(х, у): х + у = 100} - набор парето-эффективных аллокаций. Так как х - это полезность и доход Адама, а у - полезность и доход Евы, то свобода от зависти предполагает, что х > у и что у > х, а это соблюдается только тогда, когда х = y. В таком случае набор всех достижимых свободных от зависти аллокаций {(х, у): х = у и х + у < 100}. Следовательно, некоторые свободные от зависти аллокации достижимы, но не являются парето-эффективными. Учитывая особые функции полезности, которые линейны по отношению к доходу, предельные полезности дохода обеих индивидов постоянны и равны 1 независимо от величины дохода. Тогда все (x, y), такие что x + y = 100, удовлетворяют утилитаристскому критерию. Раз предельная полезность дохода постоянна, то, следовательно, утилитарист не заботится о распределении полезностей. Значит, есть не единственное утилитаристское решение. Набор утилитаристских решений тождественен набору парето-эффективных аллокаций {(x, y): x + y = 100}. Напротив, максиминное решение является единственным. Так как следует максимизировать полезность наименее обеспеченного индивида, то x = y = 50. Нет принципиального различия с предыдущим ответом. Однако должно быть ясно, что лтворец политики здесь может выбрать как только разделение дара в 100 д. е., так и в дополнение использование налога для разделения 50 д. е. Адама. В этом случае надо проводить четкое разграничение между тем, как должен быть разделен дар в 100 д. е. и конечным распределением дохода. Пусть (x, y) будет разделением дара, а (x, y) - конечным распределением дохода. Предположим далее, что лтворец политики может только разделить дар, но не в состоянии ничего сделать по отношению к изначально располагаемой Адамом сумме, т. е. x > 0. Так как X = 50 + x, y = y и x + y = 100, то набор утили- таристких (парето-эффективных) аллокаций {(x, y): X + y = = 150 и x > 0}. Раздел дара не определен, но распределен он должен быть весь {(x,y): x + y = 100}. По той же причине максиминное решение относительно конечного распределения x = y = 75. Однако для его достижения лтворец политики даст Адаму из дара только 25 д. е., так как 50 д. е. он уже имеет. Следовательно, максиминное распределение дара x = 25, y = 75. Ресурсное ограничение (набор достижимых аллокаций) может быть представлен как {(x,y): 2x + y = 100}, поскольку если все отдать Адаму, то он получит только 50 д. е. (половина дара исчезает в процессе перераспределения), тогда как если Ева получает все, то на нее придется 100 д. е. Задача лтворца политики-утилитариста: max L = х + у + Х(100 - 2х - у). х > 0, у > 0 " v Условия первого порядка дТ = 1 - 2Х* < 0 х* > 0; дх дТ = 1 - X* < 0 у* > 0; ду дТ = 100 - 2х * - у* = 0. дХ Предположим, что х* > 0. Тогда X* = 0.5. Однако в то же время, из следующего неравенства следует, что X* > 1. Из этого противоречия очевидно, что х* > 0 не есть оптимальное решение для лтворца политики-утилитариста. У него остается единственный вариант: х* = 0, у* = 100. Максиминное решение может быть получено, если заметить, что ресурсное ограничение везде имеет отрицательный наклон. Следовательно, надо найти достижимое распределение, которое уравнивает полезности, т. е. решить систему уравнений: х = у; 2х + у = 100. Отсюда следует, что Адам получит 662/3 д. е., Ева - 331/3 д. е. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 17 17.1. Произведем подсчет полезностей каждого из индивидов в каждом из состояний. Состояние UA UB 0 100 100 1 117 117 2 81 169 Состояние 1 превосходит состояние 0 по критерию Парето. Состояние 2 превосходит состояние 0 по критерию Калдора, но не по критерию Парето (состояния 2 и 0 парето- несравнимые). Состояния 2 и 1 парето-несравнимые, но состояние 2 превосходит состояние 1 по критерию Калдора. 17.2. Простая утилитаристская функция общественной полезности для индивидов А и В есть W = UA + UB, а роул- сианская функция для тех же индивидов W = min {UA, UB}. В таком случае по утилитаристскому критерию состояние 1 предпочтительнее состояния 0, состояние 2 предпочтительнее состояния 0 и состояние 2 предпочтительнее состояния 1. По критерию Роулса, только состояние 1 предпочтительнее состояния 0, тогда как при переходе из состояния 0 в состояние 2 общественное благосостояние не возрастает, так же как и при переходе из состояния 1 в состояние 2. решение задачи № 18 dY Условие равновесия w = VMP ^ w = P Х ^ 50 = 1000 Т = ЧЧ ^ 2500LY = 1 000 000 ^ LY = 400. Отсюда Y = 40 000. Ly Так как производственные функции заводов одинаковы, то L = 400, X = 40 000. Если химзавод создает внешний негативный эффект (а < 0), то на его решения о найме и выпуске этот факт никак не повлияет (LY = 400, Y = 40 000). Однако у пивзавода VMP по этой причине снизится. Теперь: dX 50=P =1000LX6(Y-38000)-01 =1000LX6(2000)-01 =468LX'5 dLx Отсюда Lx = 87 (вместо 400 ранее), а выпуск X = = 2000(87)05(2С)00)-0.1 = 8723 (вместо 40 000 ранее). Поскольку выпуск химзавода Q(Y) равен 38 000, то можно найти LY из 38000 = 2000LY5. LY = 361. Ставку налога можно найти из: (1 - t)VMPL = (1 - t)1000(361)- 05 = 50. Отсюда t = 0.05. Этот налог снизит PY до 0.95 и наем на 39 работников. Пивзавод, как и в первом случае, будет выпускать 40 000 единиц продукции и нанимать 400 работников. решение задачи № 19 P = MC ^ 20 = 0.4Q ^ Q = 50. P = SMC ^ 20 = 0.5Q ^ Q = 40. При общественно оптимальном выпуске (Q = 40) MC = 0.4Q = 0.4 Х 40 = 16. Отсюда налоговая ставка t = 20 - 16 = 4. решение задачи № 20 Если каждая фирма действует независимо, то частные предельные затраты (МС1 и МС2) просто приравниваются к ценам. Р1 = МС1 ^ 2 = Q1/50 ^ Q1 = 100; Р2 = МС2 ^ 3 = 2Q2/100 ^ Q2 = 150. Объединенная фирма максимизирует свою прибыль как разность между общей выручкой и суммарными затратами: п = 2Q1 + 3Q2 - Q12/100 - Q12/100 + Q^ cn/cQ1 = 2 - 2 Q1/100 + 1 = 0 ^ Q1 = 150; dn/dQ2 = 3 - 2Q2/100 = 0 ^ Q2 = 150. Полные общие издержки пасеки (TSC1) должны учитывать ее влияние на снижение издержек выращивания яблок: TSC1 = Q12/100 - Q1. Тогда предельные общественные издержки (MSC1) можно приравнять к цене и получить общественно эффективный выпуск: MSC1 = 2Q/100 - 1= 2 ^ Q* = 150. Чтобы вывести пасеку на общественно эффективный выпуск, можно предоставить ей субсидию на единицу продукции (s). Ее надо вычесть из частных предельных издержек. решение задачи № 21 Приравниваем предельные затраты каждого хо-зяйства к цене и находим выпуск и прибыль при раздельном хозяйствовании: Р1 = МС1 15 = 0.2Яг + 5 ^ Q1 = 50; Р2 = МС2 15 = 0.4Q2 + 7 ^ Q2 = 20; П0 = P1Q1 - TC1 = 15^50 - 0.1-502 - 5^50 + 0.1^202 = 290; п20 = P2Q2 - TC2 = 15^20 - 0.2-202 - 7^20 - 0.025^502 = 17.5. С тем чтобы определить оптимальный налог и субсидию на единицу продукции, сначала нужно найти общественно-оптимальную величину выпуска для первого и второго хозяйств. Она находится путем приравнивания к цене предельных общественных затрат (MSC). Предельные общественные затраты первого хозяйства учитывают негативный внешний эффект, который его деятельность оказывает на затраты второго, т. е. 0.025Q12. Предельные общественные затраты второго хозяйства, напротив, исключают положительный внешний эффект, который его деятельность оказывает на затраты первого, т. е. 0.1 Q22. Тогда: MSC1 = P1 0.2Q1 + 5 + 0.05Q1 = 15 ^ Q* = 40; MSC2 = P2 0.4Q2 + 7 - 0.2Q2 = 15 ^ Q* = 40. Теперь подсчитаем, какую величину нужно добавить к предельным затратам первого хозяйства (иначе говоря, каким налогом обложить каждую единицу его продукции) и какую величину необходимо вычесть из предельных затрат второго (иначе говоря, какую субсидию предоставить на каждую единицу его продукции) с тем, чтобы и первое, и второе хо-зяйство вышли на оптимальный выпуск в 40 единиц: 0.2Q1 + 5 + t = 15 ^ t = 15 - 5 - 0.2 Х 40 = 2; 0.4Q2 + 7 - s = 15 ^ s = 0.4 Х 40 - 15 + 7 = 8. 21.3. После объединения двух ранее самостоятельных хозяйств в одно прибыль определяется как: п = 15(Q1 + Q2) - 0.125 Q/ - 5Q1 - 0.1Q22 - 7Q2. Максимизируем прибыль. Находим частные производные и приравниваем к нулю: dn/dQ1 = 15 - 0.25Q1 - 5 = 0; Src/<3Q2 = 15 - 0.20Q2 - 7 = 0. Отсюда Q1 = 40; Q2 = 40 (следовательно, совокупный выпуск = 80) и совокупная прибыль п = 360. Прирост прибыли по сравнению с прибылью при раздельном хозяйствовании составил Дп = 360 - (290 + 17.5) = 52.5. решение задачи № 22 LX + LY = 20. Отсюда: LY = 20 - LX; FT = FX + FY; FT = 10LX - 0.5LX + 5(20 - LX) = 5LX - 0.5L2X + 100. FF x = Y ^ 10 - 0.5LX = 5. Приравниваем средние уловы на озерах X и Y: F F Jx = Y LX LY Отсюда LX = 10 и Ly = 10. FT = 50 - 0.5(100) + 100 = 100. max FT : 5LX - 0.5 lLX + 100; dF T X X Ч^ = 5 - LX = 0. LX = 5, FT = 112.5. dLX X В случае свободного доступа FX = 10LX -0.5lLX = = 10 Х 10 - 0.5 (10)2 = 50. Средний улов в этом случае = 50/10 = 5. В случае ограниченного доступа, обеспечивающего максимальный суммарный улов, FX = 10LX - 0.5 lLX = 10 Х 5 - 0.5 (5)2 = 37.5. Средний улов в этом случае = 37.5/5 = 7.5. Цена лицензии равна разности между средними уловами, т. е. 2.5. решение задачи № 23 Из условий задачи очевидно, что АС = МС = 50 000 Тогда объем добычи при совершенной конкуренции будет выбран при равенстве AR = MC. PQ AR = Ч. N Объем добычи из каждой скважины (q): Q q = ?- = 5000 - N. N Тогда AR = 50q = 250 000 - 50N = 50 000. В результате N = 4000; q = 5000 - 4000 = 1000. Отсюда следует, что равновесная добыча qN = 1000 Х 4000 = 4 000 000. Общественные предельные затраты выше частных, поскольку имеет место негативный внешний эффект - добыча из еще одной скважины снижает добычу из всех остальных. Общественно эффективный объем производства будет при условии VMP = MC. Общая выручка (TR) равна PQ = 250 000N - 50N2. Отсюда VMP = 250000 - 100N = 50000 ^ ^ N = 2000. Далее, q = 5000 - 2000 = 3000. Общая добыча qN = 3000 Х Х 2000 = 6 000 000. Таким образом, заметим, что количество скважин сократилось на 1000, добыча из каждой скважины выросла на 2 тыс. баррелей, а общая добыча - на 2 млн баррелей. Обозначим цену лицензии как T (так как цена лицензии есть, в сущности, налог на доступ к добыче). Тогда AR - T = MC. При N = 2000, AR = 50 Х 3000 = 150 000. Следовательно, цена лицензии (Т) = 150 000 - 50 000 = 100 000 USD. решение задачи № 24 24.1. Фабрика максимизирует свою прибыль при X = 6. дп Находится из = 1200 - 200X = 0. дХ dU Отсюда U(Yi, X) = 9Y - Y* - 6Yt ^ = 9 - 2Y - 6 = 0 ^ ^ Y = 1.5 часа. dY ш U(Y.,X) = 9 Х 1.5 - 1.52 - 1.5X. Отсюда - = -1.5. Это можно интерпретировать как готовность каждого индивида заплатить 1.5 д. е. за каждую единицу снижения сброса сточных вод. Так как озером пользуются 1000 индивидов, то их суммарная готовность заплатить за это 1000 Х 1.5 = 1500 д. е. При X = 6 прибыль фабрики п = 1200 Х 6 - 100 Х 36 = = 7200 - 3600 = 3600. Если фабрика снизит сброс сточных вод на 1 единицу, то ее прибыль сократится до п = 1200 Х 5 - 100 Х 25 = 6000 - 2500 = 3500. Таким образом, фабрика потеряет 100 д. е. прибыли. Однако потребители озера готовы заплатить 1500 д. е. Очевидно, что средств им хватит. решение задачи № 25 U (c, l) = 1 - 12 = 0. U (c, l) = s - (s)2 = 3/. На эту величину увеличится полезность каждого потребителя. Следовательно, будет иметь место улучшение. Если каждый потребляет одно и то же количество dU блага, то c = l. Следовательно, U (c) = с - с2 ^ = 1 - 2c = = 0 ^ с = 1/2. dc Потребуется кооперация между всеми 100 владельцами коттеджей. решение задачи № 26 26.1. = 48 - 2X = 0 ^ X = 24; dX дп = 60 - 2Y - X = 0 ^ Y = 18. dY Отсюда па = 48 Х 24 - 242 = 1152 - 576 = 576, а rcd = 60 Х 18 - 182 - 24 Х 18 = 1080 - 324 - 432 = 324. п + п = 576 + 324 = 900. ad X = 0 ^ = 60Y - Y Х = 60 - 2Y = 0 ^ Y = 30. п = 60 Х 30 - 302 = 900. dY d После полной компенсации ущерба от шума nd = 60Y - - Y - XY + XY = 60 Y - Y2. В результате Y = 30, п = 900. п = 48X - X2 - XY = 48X - X2 - 30X. a = 48 - 30 - 2X = 0 ^ X =9, п = 81. п + п = 900 + 81 = 981 dX a a d пт = п + п = 48X - X2 + 60Y - Y2 - XY. I a d 5пл = 48 - 2X - Y = 0 ^ Y = 48 - 2X dX = 60 - 2Y - X = 0 ^ 60 - 2(48 - 2X) - X = 0 ^ X = 12. dY Отсюда Y = 48 - 2 Х 12 = 24. пт = п + п = 48 Х 12 - 122 + 60 Х 24 - 242 - 12 Х 24 = 1008. I a d 26.5. После сокращения полетов на 1 единицу п = 48 Х 23 - 232 = 1104 - 529 = 575. Таким образом, па снижается на 1 д. е. После снижения числа полетов до 23 п = 60 Х 18 - 182 - 23 Х 18 = 1080 - 324 - 414 = 342. d Таким образом, п возрастает на 18 д. е. Очевидно, что после полной компенсации ущерба аэропорту от сокращения полетов на 1 единицу чистая прибыль девелопера остается выше на 17 д. е. решение задачи № 27 Выпуск находится из уравнений: P1 = MC1 и P2 = MC2. 40 = 15 + 0.5Q2 ^ Q1 = 50. 90 = 5 + Q2 ^ Q2 = 85; ^ = 40 Х 50- 10 - 15 Х 50 - 0.25 Х 502 = 615; п2 = 90 Х 85 - 5 - 5 Х 85 - 0.5 Х 852 - 502 = 1107.5; ^ + п2 = 615 + 1107.5 = 1722.5. Л2 = 40Q1 - 10 - 15Q1 - 0.25 Qf . Находим предельную прибыль (предельную выгоду) фирмы 1 B' (Q1) = Ч^ = 40 - 15 - 0.5Q2 = 25 - 0.5Q1; dQi ' п2 = 90Q2 - 5 - 5Q2 - 0.5 Q22 - Q? . Находим предельный ущерб фирмы 2 от деятельности фирмы 1 (отрицательную предельную прибыль): ?>2 Q =-дп2 = 2Q1. 27.4. Оптимально определить выпуск там, где B[ (Q)1 = ?1(Q)1 . Поэтому 25 - 0.5Q1 = 2Q1 ^ Q1 = 10. Отсюда плата фирмы 1 (f) за выпуск единицы продукции (Q1) = D'2 (Q1) = 2 Х 10 = 20 д. е. Далее определяем: п1 = 40Q1 - 10 - 15Q1 - 0.25 Q2 - 20Q1 = = 40 Х 10 - 10 - 15 Х 10 - 0.25 Х 102 - 20 Х 10 = = 400 - 385 = 15 д. е. Теперь осталось определить: п2 = 90Q2 - 5 - 5Q2 - 0.5 Q22 - Q2 + 20Q1 = = 90 Х 85 - 5 - 5 Х 85 - 0.5 Х 852 - 102 + 20 Х 10 = 3707.5 д. е.; п1 + п2 = 15 + 3707.5 = 3722.5. Графически решение представлено на рис. 27.1 ВШ) от) /оШ) 10 50 Рис. 27.1. Коузианское решение 27.3. Аналогично путем приравнивания предельной выгоды к предельному ущербу находим, что Q1 = 10, а оптимальная лвзятка (b) за сокращение выпуска на единицу продукции также равна 20 д. е. Отсюда п = 90 Х 85 - 5 - 5 Х 85 - 0.5 Х 852 - 102 - 20 (50 - 10) = 2707.5; п1 = 40 Х 10 - 10 - 15 Х 10 - 0.25 Х 102 + 20 Х (50 - 10) = 1015; п1 + п2 = 1015 + 2707.5 = 3722.5. Составим уравнение для прибыли объединенной фирмы ^ = 40Q1 + 90Q2 - 10 - 15Q1- 0.25Q1 - 5 - 5Q2 - 0.5Q22 - Qf; л Ч1 = 25 - 2.5Q1 = 0 ^ Q1 = 10; dQ 1 1 л Ч^ = 85 - Q2 = 0 ^ Q2 = 85. dQ2 п, = 40Q1 + 90Q2 - 10 - 15Q1- 0.25Q2 - 5 - 5Q2 - 0.5Q22 - Q2 = 3722.5. № п/п Q?. л, 712 ПУ 1 50 85 615 1107,5 1722,5. 2 10 85 15 3707,5 3722,5 3 10 85 1015 2707,5 3722,5 4 10 85 - - 3722,5 Теорема Коуза выполняется. И запретительный, и разрешительный правовые режимы приводят к парето-эффектив- ности, что подтверждает совпадение результатов коузианских сделок с результатами объединенной фирмы. Неэффектив-ность наблюдается только в первом случае. решение задачи № 28 28.1. Кривые спроса на общественное благо складываются по вертикали. Для этого удобнее пользоваться обратными функциями спроса: P = 100 - QA и P = 200 - QB. Отсюда получаем, что при выпуске от 0 до 100 P = 300 - 2QI. При выпуске от 100 и до 200 спрос на это благо предъявляет только группа В и, соответственно, ее спрос тогда совпадает с общественным спросом на общественное благо, т. е. P = 200 - QB. При Р = МС = 140 = 200 - QB ^ QB = 60 не попадает в интервал от 100 до 200. В данном случае очевидно, что оптимальное количество общественного блага находится в интервале от 0 до 100. 140 = 300 - 2Q*. Отсюда Q* = 80. В случае частного блага кривые спроса складыва-ются по горизонтали. Получаем совокупный спрос QB = 300 - - 2Р при цене от 0 до 100. при цене от 100 до 200, совокупный спрос совпадает со спросом группы В, т. е. QB = 200 - P. Поскольку Р = МС = 140, то совокупный спрос совпадает со спросом группы В. Следовательно, QB = 200 - 140 = 60. Q**. = 80, а Р = 140 ^ Т = Р Х Q**. = 140 Х 80 = 11200 д. е. 100 - РА = 80. В этом случае РА есть налоговая цена (ТА) общественного блага для группы А. Очевидно, что ТА = 20. 200 - Р = 80 ^ Р = Т = 120. 28.4. B B В ТЛ= 20 60 80 100 решение задачи № 29 Оптимальные распределения дохода на покупки благ каждым из раздельно живущих студентов IG = 1/3 и IX = 2/3 (следует из степенных коэффициентов функции Кобба-Дугла- са). Следовательно, G. = 100/100 = 1, а X. = 200/0.2 = 1000. UA(G, X) = 11/3 Х 10002/3 = 100; UB(G, XB) = 11/3 Х 1500/3 = 131 X MRS GX = - . G,Xi 2G MRS A,X = 1000/2 = 500; MRS B,X = 1500/2 = 750. Это говорит о том, что вместе они готовы пожертвовать 1250X за 1G, то есть пожертвовать 1250 ккал за еще 1 картину, которая в действительности обошлась бы им в 500 ккал (из того, что PG / PX = 500). При том же бюджете они могли бы обеспечить чистый выигрыш в полезности, приобретя дополнительную картину. Следовательно, ситуация не является парето-эффективной. MRSA x + MRSB X = Xa + XB = MRTG X = pG = 500. G,X G,X 2G G,X p Следовательно, XA + XB = 1000G. Бюджетное ограничение 0.2(XA + XB) + 100G = 600. Подставляем 1000G и получаем G = 2. Отсюда XA + XB = 2000. При условии, что студенты делят расходы на картины пополам, получаем: U = U = 21/3 Х 10002/3 = 126 ^ U. + U = 252. A B A B По сравнению с исходом ситуации из вопроса 30.2 студент В теряет 5 единиц полезности. Следовательно, переход в паре- то-эффективное состояние здесь не является парето-улучше- нием. Поэтому студенту В выгоднее быть лбезбилетником. Если студент А берет на себя 75% расходов на 2 картины, а студент В - 25%, то студенту А удастся приобрести только 750 ккал. [300 -(0.75 Х 200)]/0.2. Студент В окажется в состоянии приобрести 1250 ккал. Отсюда: U = 21/3 Х 7502/3 = 104 A U = 21/3 Х 12502/3 = 146 В U. + U = 250. AB По сравнению с исходом ситуации из вопроса 30.2 студент А приобретает 4 единицы полезности, а студент В теряет - 15 единиц полезности. Имеет место парето-улучшение, но парето-эффективность не достигается (сумма полезностей, как видим, меньше, чем в исходе ситуации из вопроса 30.4). Теоретически это положение может быть достигнуто на основе добровольного обмена. решение задачи № 30 Ответ на вопрос требует какого-то предположения о том, каковы ожидания каждого относительно оплаты общественного блага другим. Если каждый исходит из предположения, что другие будут безбилетниками, то тогда, естественно, G = 0 и U. = 0. На границе производственных возможностей выполняется равенство в дифференциалах 2XdX + 200GdG = 0. Из него следует: MRTax = - dX = 200G = I00G . G'X dG 2dX X ъг^ы X. X /100 Далее находим MRSG X = Ч- = . GG Парето-эффективность требует, чтобы сумма всех MRS 100 X 100G равнялась MRT. Отсюда ? MRS. = - = ^ X = 10G. i=1 G X Подставляем в выражение для границы возможных полезностей и получаем: 200G2 = 5000 ^ G = 5, X = 50. X = X/100 = 0.5. Следовательно, полезность каждого индивида . U. = 50.5 Х 0.505= 1.57. Отношение потоварного налога на единицу блага X для финансирования оптимального количества G к рыночной X1 цене X должна быть равна MRSG X = = Ч. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 31 31.1. Для ответа на этот вопрос найдем MRS' = MUg ; G,X MUX ДДT dU 100 ,ДT dU Д ,mrii 100 MUG = - = Ч; MU = = 1 ^ MRSG X . G dG G2 dX G,X G2 P Находим далее MRTGX = ЧЧ = 10; отсюда PX ? MRSLx = i"Щ = 10 ^ G = 100. i=1 G PG Х G = 10 Х 100 = 1000 д. е. ^ каждый житель будет тратить на общественное благо 1 д. е. из своего дохода в 1000 д. е. При PX = 1 д. е. на оставшиеся 999 д. е. своего дохода каждый житель будет покупать 999 единиц частного блага. Бюджетное ограничение каждого жителя может быть записано как X. + G/100 = 1000. Каждый житель максимизирует свою полезность при данном бюджетном ограничении. Следовательно L = Xt - 100/G + 1(1000 - Xt - G/100) -dL = 1 -1 = 0 ^1 = 1; dX dL = НЮ = 0 ^ 100G2 = 1000 000 ^ G = 100. dG G2 10 000 Каждый житель проголосует за парето-эффективное количество. решение задачи № 32 (б). Яхт-клуб предпочтительнее больницы, больница - моста. Кроме того, в паре яхт-клуб-мост побеждает яхт-клуб. (г) Возникает лпарадокс голосования (нетранзитивность коллективного предпочтения): мост предпочтительнее яхт-клуба, яхт-клуб - больницы, а больница - моста. Строительство моста, так он предпочтительнее яхт-клуба, а яхт-клуб - больницы. Строительство больницы, так как она предпочтительнее моста, а мост - яхт-клуба. Имеет место манипулирование голосованием через повестку дня. решение задачи № 33 33.1. Будет установлено 30 фонарей. За это предложение проголосуют Крупняк, Здоровяк и Середняк. За 40 фонарей проголосуют только Здоровяк и Крупняк, а Середняк будет голосовать против, так как его предельные выгоды (80) стали бы меньше падающих на него расходов (100).Количество фонарей будет парето-эффективным, так как ЕМВ = МС = АС =500. В таком случае было бы принято предложение установить 40 фонарей. Это их количество превышает паре- то-эффективное. Затраты С роду так будут равны его предельным выгодам (40). Затраты Бедняка на 1 фонарь будут ниже его предельной выгоды от него на 10 единиц. Однако более всего выиграет Середняк - 20 единиц с каждого фонаря. Закон Директора выполняется, так как Середняк занимает позицию медианного избирателя. Крупняк и Здоровяк проиграли бы. Им пришлось бы выплачивать в сумме 350 д. е. за каждый фонарь, тогда как их суммарные предельные выгоды равны лишь 220. Следовательно, их чистые потери от каждого фонаря составили бы 130 единиц. При правиле единогласия было бы установлено только 10 фонарей. Предложение установить 20 фонарей было бы заблокировано С роду так. Естественно, что оно не было бы парето-эффективным. Общество недополучало бы в сумме 200 единиц полезности с каждого фонаря (180 - - 100) + (160 - 100) + (140 - 100) + (120 - 100) = 200. Если бы Крупняк стал диктатором, то было бы установлено 50 фонарей. Легко убедиться, что потери общества были бы точно такими же, как и при правиле единогласия. | |
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "6.2 РЕШЕНИЯ" |
|
|