решение задачи № 1 Суточный доход I = wL, где L - объем предложения труда (часов в сутки). Свободное время R = 24 - L. Теперь полезность можно представить в виде функции объема предложения труда: U = yfwL + yl200 Х (24 - L). Максимум полезности достигается при выполнении условия du = 1 W - = 0, dL 2 V L 2 V 24 - L или L = 24 - L w~ 200 , 24w откуда L = . Ответы: а) L = 8; б) L = 12. 200 + w в) При наличии автономного дохода функция полезности принимает вид U = ,]wL + Ia + -у/200 Х (24 - L). Условие максимума полезности: dU = 1 w - 1 I 200 = 0 dL ~ wL + Ia 2 V 24 - L ~ '
или 200 Х (wL + I) = w Х (24 - L). 24w2 - 200I Окончательно получаем L= w ж (200 + w) Последнее выражение представляет объем предложения труда как функцию ставки заработной платы и величины автономного дохода. При w = 100 и Ia = 300 объем предложения труда L = 6. г) Используя найденную в предыдущем пункте функцию предложения труда и полагая L = 0, находим Ia = 1200. решение задачи № 2 Имея участок в собственности, владелец может оставить его, полностью или частично, для собственного использования. При этом он несет неявные затраты, равные неполученной арендной плате. Верхняя граница цены аренды, при которой собственник будет использовать некоторую площадь, равна a/b. Более высокая цена аренды побуждает его полностью отказаться от использования земли и сдать весь участок в аренду. Таким образом, функция предложения описывается равенством Д |Sn - a + bw, w < a / b; sS (w)= a / b. Здесь следует сделать одно замечание. Приведенное выражение справедливо, если a < S0, т. е. при сколь угодно малой цене объем собственного спроса землевладельца меньше площади его участка и он готов сдать в аренду площадь не менее S0 - a (рис. а). Если же a > S0 (рис. б), то при достаточно низкой цене аренды объем спроса собственника превышает площадь его участка и он откажется от сдачи какой-либо площади в аренду (более того, у него останется еще неудовлетворенный спрос). Таким образом, при a > S0 предложение описывается равенством 0, w < (a - S0)/ b; SS(w) = a / b
решение задачи № 3 Для нахождения потребительского оптимума найдем предельную норму замещения текущего потребления будущим: dU = C ; dU = C - C-. . Ч C0, dC0 1 dC1 0 так что MRS01 = C/C0; оптимум достигается при MRS01 = 1 + i, где i - процентная ставка за период. Таким образом, C1 = (1 + + i)C0. Подставляя это соотношение в бюджетное ограничение I = I + C0 + -С-г 1 + i 1+i найдем, что
I Cn = + 2 2(1 + i) а) Потребитель предъявит спрос на заемные деньги, если желаемые расходы на потребление в текущем периоде превышают доход в этом периоде: C0 > 10, т. е.:
I I, I -Ч, i < - -1; 2(1 + i) 2 D(i) = (1) I0 i > IL -1.
0 S(i) = (2) 1 + i б) Рассуждая аналогично, можно утверждать, что потребитель захочет дать деньги взаймы при условии I0 > и его предложение описывается функцией i < 11 - 1; I0 i >^ - 1. I0 - I1 Х I
2 2(1 + i) I0 Комментарий. В отличие от товарных рынков любой участник рынка заемных средств может оказаться как в роли заемщика (покупателя), так и в роли кредитора - в зависимости от процентной ставки. По этой причине целесообразно объединить функции предложения и спроса, введя в рассмотрение функцию чистого предложения NS(i) = S(i) - D(i), совпадающую с функцией предложения при NS(i) > 0 и отличающуюся лишь знаком от функции спроса при NS(i) < 0. Таким образом: NS(i) = 10 -Ч11Ч, i > 0. (3) 2 2(1 + i) в) В предыдущих пунктах предполагалось, что рынок заемных средств совершенный. В данном пункте учитывается, что кредиторы и заемщики действуют через посредников, устанавливающих различные процентные ставки по кредитным и депозитным операциям. Тем не менее формулы (1) и (2) справедливы с одним лишь уточнением: в них фигурируют различные процентные ставки. Следует положить i = iD в формуле (1) и i = iS - в формуле (2). Таким образом, потребитель предъявит спрос при iD < I1/I0 и предложение - при iS > I1/I0. При iS < I1/I0 < iD потребитель не выступит ни в той ни в другой роли. Комментарий. Для рынка с различными процентными ставками формулу (3) следует откорректировать:
I I 2 2(1 + is) I .s - < is Х I ; 0 I NS(i) = 0 is < iD; 0
I > iD . I I 0 2 2(1 + iD)
решение задачи № 4 Функции рыночного спроса и рыночного предложения на рынке заемных средств, как и на других рынках, формируется путем суммирования функций индивидуального спроса и индивидуального предложения. Равновесие достигается при такой процентной ставке, при которой объем спроса равен объему предложения. Поскольку на рынке заемных средств роли участников не фиксированы, а зависят от процентной ставки, здесь целесообразно воспользоваться функцией чистого предложения, NS(i) (см. комментарий к предыдущей задаче). Значение рыночной функции чистого предложения при каждом i представляет собой сумму индивидуальных значений: NS(i) = ]Г NSk(i). k=1 Здесь NS(i) - рыночная функция, NSk(i) - индивидуальная функция чистого предложения k-го участника рынка, k = 1, ..., n. Равновесная ставка процента iE удовлетворяет равенству NS(iE) = 0. В рассматриваемой задаче
15 20 NSA (i) = 0 - NSB (i) = 20 - 2 Х (1 + i) 2 2 Х (1 + i)
25 28 NSr (i) = 2 2 Х (1 + i) так что чистое рыночное предложение
30 NS(i) = NS A (i) + NS B (i) + NSC (i) = 14 . 1 + i Равновесие достигается при iE = 0.25. Чистое предложение участников рынка: NSa = - 6; NSB = 2; NSC = 4. Таким образом, A - заемщик, он берет взаймы 6 единиц у кредиторов B и C, предоставляющих ему 2 и 4 единицы соответственно. решение задачи № 5 Факторный доход при ставке w равен I = wF = 100w - - 500. Рента определяется интегралом w wf КЛЛ\ / \ R(w) = J F(x)dx = JI 100 1 dx = 500 -I w - ln w - 1 1. (1) Так как сумма ренты и удерживающего дохода (TE, Transfer Earning) равна факторному доходу, удерживающий доход равен ( w w 1 w TE = I - R = (100w - 500) - 500 -I - - lnЧ - 1 I = 5001n Ч. 15 5 J 5 Комментарии. 1. Приведенная здесь функция предложения иллюстрирует случай, когда объем предложения ресурса ограничен сверху некоторым располагаемым его количеством: при неограниченном росте цены ресурса объем его предложения не превышает 100. 2. Рента может быть определена либо интегрированием объема предложения по цене (как это сделано в предлагаемом решении), либо интегрированием по объему превышения цены над значением цены предложения при переменном объеме: F 500dy = Ч(w л ^ 100 R = J(w - wS (y))dy = wF-J -500dy- = 500-1 w -1 - ln 0100 - y | 5 100 - F J Подстановка F = FS(w) приводит к выражению (1). Выбор того или иного способа интегрирования определяется соображениями технического удобства.
решение задачи № 6 а) Так как фирма является ценополучателем на рынке ресурса X, максимум ее прибыли определяется условием MRPX = MR Х MPX = w, где w - цена ресурса. На рынке своего продукта фирма также является ценополучателем, и ее предельная выручка совпадает с ценой, MR = P = 50, так что для нее P Х MPX = w. Предельный продукт ресурса X mpx = * = -l dx Vx Итак, из условия 50 Х 1/4x = 5 находим объем использования ресурса x = 100 и объем производства q = 2 Х Vx = 20. Из равенства q = 2 Х yfx находим: x = q2/4. Поскольку X - единственный переменный ресурс, функция общих затрат TC(q) = FC + w Х x = FC + 5 Х q2/4. Отсюда MC(q) = 2.5q. б) Теперь фирма является монополистом, ее предельная выручка не совпадает с ценой и в соответствии с рыночном спросом определяется равенством MR = 75 - 2 Х 2.5q = 75 - 5q (для монополии Q = q). Используя зависимость q от x, запишем условие максимума прибыли виде уравнения относительно x: (75 - 5 Х 2-JxY-^ = 5. Его решение: x = 25. Отсюда q = 10, P = 75 - 2.5 Х 10 = 50. Комментарий. Сравнение этой задачи в частях а) и б) с задачей 4 части IV показывает, что в обеих задачах речь идет об одной и той же ситуации: функция предельных затрат одна и та же, условия продажи продукта совпадают. Из того, что при равенстве цен продажи фирма-монополист производит меньше продукта, чем производила бы в конкурентных условиях, следует, что она потребляет меньшее количество ресурсов (во всяком случае, если переменный ресурс - единственный).
в) Поскольку фирма не является ценополучателем на рынке ресурса, ее оптимум определяется равенством MRPX = = MFCX, причем предельные факторные затраты (MFC) не равны цене ресурса. Для общих факторных затрат справедливо равенство TFCX = wSx) Х x = 0.2x2, так что предельные расходы равны MFCX = 0.4x. Таким образом, имеет место соотношение 50 - l/Vx = 0.4x, откуда x = 25; цена ресурса определяется функцией предложения и равна w = 0.2 х 25 = 5. Выпуск продукта равен q = 2л/25 = 10. Комментарий. г) Фирма не является ценополучателем ни на рынке своего продукта, ни на рынке ресурса, поэтому общее соотношение MR Х MPX = MFCX принимает в данном случае вид (75 - 5q) --^ = 0.4x. Vx Используя зависимость объема производства от объема использования ресурса X, представим это соотношение в форме уравнения относительно x: (75 - 5-24x)= 0.4x. Vx Решая это уравнение (например, каким-либо численным методом), находим: x = 18.542; q = 2 Х Vl8.542 = 8.612; по условиям спроса на продукт фирмы определяем его цену: P = 75 - 2.5 Х 8.612 = 53.47 а цену ресурса - по условиям его предложения: w = 0.2 Х 18.542 = 3.7084. решение задачи № 7 Ресурсы абсолютно комплементарны и используются в пропорции 1 : 2. Введем обозначение z для числа потребляемых комплектов, считая комплектом (x, y) = (1, 2). Тогда
Цена комплекта p = p + 2p . Определим спрос на ком- Z x y плекты. 1 12 /32 MRPz = MR Х MPz = 8 . 1 ^ - =]jЧ = pz, 32 так что спрос на комплекты описывается равенством z = Ч^. pz2 Но каждый комплект содержит 1 единицу первого ресурса, так что 32 32 x = (px + 2 pv )2 (px + 1)2 решение задачи № 8 Ресурсы являются совершенными субститутами: 1 единица первого ресурса замещает 2 единицы второго. Поэтому при соотношении цен p > 2p первый ресурс не используется x y вовсе. Если же px < 2py = 1, то используется только первый lx ресурс, при этом q = JЧ, так что 1 1 8 MRPx = MR . MPx = 8 . - .-= = - = px, 2 2x x так что
8 x= px < 1; x 0, pX > 1.
При px = 1 объем спроса на первый ресурс лежит в пределах (0 < x < 8), недостающее для выпуску количество восполняется вторым ресурсом.
|
- ВСТУПЛЕНИЕ
решением проблемы, поставленной Беккариа. Джамбаттиста Васко из Кремоны, где он вел жизнь затворника после неудач, постигших его в университете Кальяри, также предавался дерзким фантазиям об осуждении на каторжные работы за "применение опасных лекарств". Детально разработанный тосканский уголовный кодекс 1786 года являл собой образец практического применения идеи Беккариа и служил любопытным
- К ТОМУ, КТО ЧИТАЕТ
решению людских жизней и судеб. Эти законы, являющиеся наследием времен самого жесткого варварства, и служат предметом исследования в данной книге в той их части, которая касается уголовной системы. Причем я беру на себя смелость рассказать о недостатках этих законов языком, не доступным для непросвещенной и необузданной толпы тем, кому доверено общественное благо. Поиск истины в ее первозданном
- ///. Выводы
решения о наказании другого члена того же общества. Наказание более суровое, чем предписанное законом, 71 справедливо, но это уже другое наказание. И, следовательно, судья не может, даже под предлогом ревностного служения общественному благу, увеличивать меру установленного в законе наказания гражданину, нарушившему этот закон. Второй вывод состоит в том, что каждый член общества связан с этим
- IV ТОЛКОВАНИЕ ЗАКОНОВ
решения на основе хаотичных представлений, витающих в его мозгу. Поэтомуто мы видим, что одни и те же преступления в тех же самых судах по-разному наказываются в разное время. Причина этого заключается в том, что судьи нс прислушиваются к постоянному и отчетливому гласу закона, а идут на поводу у толкования, ошибающего77 ся и непостоянного. Недостатки, связанные с точным следованием букве
- ХI.ОБ ОБЩЕСТВЕННОМ СПОКОЙСТВИИ
решения, чтобы навсегда закрыть путь туманным софизмам, соблазнительному словоблудию и пугливому сомнению при рассмотрении данного вопроса. Если бы мне не удалось оказать иной услуги Италии, кроме той, что я первым представил ей с большой ясностью то, о чем другие народы уже имели смелость написать и начали практиковать, то и в этом случае я считал бы себя счастливым. Но если бы я, защищая права
- ХIV. УЛИКИ И ФОРМЫ СУДА
решения в соответствии с данными выводами следует руководствоваться исключительно здравым смыслом, который более надежен, чем знания судьи, склонного всюду видеть преступников и все подгонять под искусственную схему, усвоенную им со студенческой скамьи. Счастлив народ, у которого законы не составляют науки. Наиболее полезен закон, согласно которому каждый должен судиться се113 бе равным,
- ХУ1. 0 ПЫТКЕ
решение о том, что он нарушил условия, которые ему эту защиту гарантировали. Таким образом, какое другое право, кроме права силы, наделяет судью властью наказывать гражданина до того, как установлен факт его виновности или невиновности? Не нова следующая дилемма; доказано преступление или нет. Если доказано, то оно подлежит наказанию исключительно в соответствии с законом, и пытки излишни, так
- ХХ1. НАКАЗАНИЯ ДЛЯ ДВОРЯН
решения не исходили от какого-либо законодательного собра144 ния всего рода человеческого, но они коренятся в вечной и неизменной природе вещей. Они не отменяют тех выгод, которые, как полагают, явились результатом существования дворянства, и препятствуют проявлению связанных с этим отрицательных явлений. Они заставляют уважать закон, преграждая все пути к безнаказанности. Тому, кто скажет мне,
- XXIX О ВЗЯТИИ ПОД СТРАЖУ
решение вопросов тюремного заключения граждан, лишения свободы под любым предлогом своих противников и безнаказанности своих друзей, несмотря на явные доказательства вины последних, следует оставлять на усмотрение судьи, который является лишь исполнителем законов. Это противоречит самой цели общества - обеспечивать личную безопасность граждан. Взятие под стражу в отличие от всех других наказа180
- ХХХУ УБЕЖИЩА
решении этого вопроса до тех пор, пока законы, более соответствующие потребностям человечества, более мягкие наказания и отсутствие зависимости от произвола и мнений не обеспечат безопасность притесняемой невинности и презираемой добродетели, пока тирания не будет изгнана отовсюду в обширные равнины Азии всеобщим разумом, все более объединяющим интересы престола и подданных. Однако лишь полная
|
Экономика