Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Гальперин В. М, Игнатьев С. М, Моргунов В. И.. Микроэкономика. Сборник задач, 2007 | |
3.2 РЕШЕНИЯ |
|
| решение задачи № 1 Производственная функция q = f(x1, x2) c постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство f(kx1, kx2) = kf(x1, x2). Почленно дифференцируя это равенство по k, получим: df df - - ж x1 + - ж X2 = f(X1, X2), (1) dx1 dx2 или MP1 Х x1 + MP2 Х x2 = q, откуда MP2 = (q - MP1 Х x1)/x2. При данных задачи находим: MP2 = (60 - 3 Х 12)/4 = 6. Комментарий. Равенство (1) есть частный случай уравнения Эйлера: если функция f(x1, x2, ..., xn) однородна степени а, то v f = f ( ) / , Xi ' - = аТ (x1, Х2, ..., Xn ). i=1 dxi Производственная функция c постоянной отдачей от масштаба - однородная функция первой степени, или линейно-однородная функция. решение задачи № 2 Эластичность замещения ресурсов представляет собой эластичность отношения количеств ресурсов x2/x1 по предельной норме технической замены MRTS12. а) Найдем предельные продукты ресурсов: MP = - ; MP = - . 2Vx1 2VxT Отсюда mrts.2 = ^ = i 12 MP2 b \ Предельная норма технической замены представляет собой степенную функцию отношения x2/x1; показатель степени равен 1/2. Эластичность степенной функции равна показателю степени, так что эластичность MRTS12 по x2/x1 равна 1/2, а эластичность обратной зависимости, которая нас интересует, равна 2. , ж MP = п жHv"-xr 1; MRTS =а x 2 б) MP1 = п жax^xe; MP2 = п жpx1ax2M; MRTS12 = P В этом случае зависимость также степенная, показатель степени равен 1; соответственно эластичность замещения равна 1. bX ax2 b x2 в) MP! = Ч2 2; MP2 = MRTS^ = -Х % (ax1 + bx2) (ax1 + bx2) a xx Здесь показатель степени равен 2, эластичность замещения равна 1/2. Комментарий. В рассмотренных задачах пропорция затрачиваемых ресурсов и предельная норма технической замены были связаны степенными зависимостями. Эластичность степенной функции - постоянная величина; производственные функции, обладающие подобными свойствами, получили название функций с постоянной эластичностью замещения, или ПЭЗ-функций. Они служат удобными моделями и широко используются в микроэкономическом анализе. В частности, они позволяют оценивать взаимозависимость ресурсов в производстве: если эластичность замещения ресурсов больше 1, то ресурсы являются взаимно заменяющими, а если меньше, то - дополняющими. В случае а) ресурсы были взаимными заменителями, в случае в) - дополнителями. В случае б) ресурсы были взаимно независимыми. решение задачи № 3 а) Путь оптимального роста фирмы - это множество экономически эффективных способов производства, т. е. таких способов, которые позволяют произвести любое возможное количество продукта с минимальной стоимостью используемых ресурсов. Для каждого экономически эффективного способа предельная норма технического замещения ресурсов равна соотношению их цен. Предельные производительности ресурсов dq a MP2 = dx2 2]j MP, = ^ = a x1 x2 1 dx1 2 \ предельная норма технической замены MP MRTS10 = 1 x MP 21 Таким образом, путь оптимального роста - прямая, описываемая уравнением = А Х2 = Х1* Р2 б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства продукта в количестве q. Подставим выражение для x2 в производственную функцию: q = a Х, Р Р2 откуда a V X2 = Pi P2 Xi = 1 a LTC(q) = px + P2X2 = Pi P2. a в) В случае, когда x2 = const, изменение объема выпуска достигается выбором соответствующей величины x1, так что в коротком периоде q2 a2x и поэтому STC(q) = Pixi + P2X2 = Щ- + P2X2. a2x Комментарий. Поскольку LTC(q) - это минимальные затраты на производство объема q при условии, что все ресурсы - переменные, а STC(q) - минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы - постоянные, можно утверждать, что STC(q) > LTC(q) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение: 2 о (_ пт ^2 +P2X2-~ylPiP2 = ^г1 -4P'. STC(q) - LTC(q) = > 0. М , Д _ 2q a2x a Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках: X2, Р1 q = a т. е. при том объеме выпуска, для которого в условиях длительного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме x2 (проверьте!). решение задачи № 4 а) Пользуясь методами, примененными при решении предыдущей задачи, находим: MP1 = = (x - 5)-0 5 Х (X2 - 10)0 3; dx1 MP2 = dL = 0.6 Х (x - 5)0 5 Х (X2 - 10)-0 7; dX2 MP, 1 x2 -10 p 1 MRTS10 = MP2 0.6 x1 - 5 p2 4 Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста: x2 = 10 + 0.15 Х (x1 - 5). б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства заданного объема q продукта. Подставим выражение для x2 в производственную функцию: q = 2 Х (x1 - 5)05 Х [0.15 Х (x1 - 5)]03 = 1.1320(x1 - 5)08, откуда определяются x1 = 5 + 0.8564 q125; x2 = 10 + 0.12846 q125 и функции затрат LTC(q) = p1x1 + p2x2 = 45 + 1.3702 q125; LAC(q) = - + 1.3702 q025; LMC(q) = 3.6025 Х 103 q025. q в) Эффективный масштаб производства qe определяется объемом выпуска, при котором средние затраты принимают минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах xi = ii7.5, x2 = 26.875. г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством q = 2 Х (xi - 5)05(20 - i0)0 3 = 3.9905 Х (xi - 5)0 5, так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно xi = 5 + 0.062797q2, и функции затрат STC(q) = i Х (5 + 0.062797q2) + 4 Х 20 = 85 + 0.062797q2 85 SAC(q) = - + 0.062797q; SMC(q) = 0.i2559q. q решение задачи № 5 Любой объем выпуска фирмы Q = qi + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TCi(qi) + TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием: TC(Q) = min(TCi(qi) + TC2(q2)) при условии Q = qi + q2. В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q - qi и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов: TCi(qi) + TC2Q - qi) = = 200 + i0qi + 0.5 q^ + i00 + i0(Q - qi) + 2(Q - qi)2. Минимум достигается при qi = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения qi дает выражение для искомой функции затрат: TC(Q) = 300 + i0Q + 0.4Q2. Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для qi и q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы: MC1(q1) = 10 + q1 = 10 + 0.8Q; MC2(q2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8Q. Кроме того, эти значения совпадают с предельными затратами фирмы в целом: MC(Q) = 10 + 0.8Q. Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде мини-мизации суммы TC1(q1) + TC2(Q - q1). Дифференцируя по q1, найдем, что MC1(q1) - MC2(Q - q1) = 0, т. е. при эффективном распределении MC1(q1) = MC2(q2). Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказываются неравными, например MC2(q2) > MC1(q1), то уменьшение объема q2 на малую величину в > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (MC2 Х в) превысит увеличение затрат первого завода (MC1 Х в). Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят n заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием TC(Q) =]Г TCi(qt) при условии ? q = Q. i=1 i=1 Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи условной минимизации: L(q1, q2, ..., qn, X) =J TCt (qt)-X\qt - Q t=1 V t=1 у где X - множитель Лагранжа. Условие минимума: дГ - = MCt(qt) - X = 0, t = 1, 2, ..., n, dqt так что при эффективном распределении общего объема производства MC.(q.) = X, i = i, 2, ..., n, т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине X. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (TC(Q)) по ограничивающему параметру (Q), следовательно, MC(Q) = X. решение задачи № 6 Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты первого завода MCi(qi) = i0 + qi предельным затратам второго MC2(q2) = 25 + 4q2 и получим соотношение qi = i5 + 4q2. Так как Q = qi + q2 = i5 + 5q2, находим: q2 = 0.2Q - 3; qi = 0.8Q + 3. Такое распределение возможно лишь при Q > i5: в противном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и qi > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотри-цательности qi и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < i5 эффективным окажется лраспределение, при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак, qi = Q, q2 = 0 при Q < i5; qi = 0.8Q + 3, q^ = 0.2Q - 3 при Q > i5. Комментарий. Методы дифференциального исчисления позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и qi, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < i5 отсутствует. В этом случае MCi(qi) = i0 + Q, MC2(q2) = 25, так что MC2 > MCi, но лисправить распределение, увеличив на qi величину в и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом. | |
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.2 РЕШЕНИЯ" |
|
|