Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности |
|
|
В этом параграфе нам предстоит доказать Теорему 84. Для упрощения выкладок понадобятся некоторые свойства операции выпуклой комбинации лотерей. Доказательство их достаточно очевидно. Теорема 85: Операция выпуклой комбинации лотерей на множестве всех простых лотерей S обладает следующими свойствами: ^ p о 1 о q = p, ^ p о 0 о q = q, ^ p о а о q = q о (1 - а) о p, ^ (p о в о q) о а о (p о 7 о q) = p о (ав + (1 - а)7) о q. J Функция НейманаЧ Моргенштерна является линейной по вероятностям. Дадим общее определение линейности функции. Определение 56: Будем называть функцию полезности U(ж), представляющую предпочтения на лотереях, линейной, если для произвольных лотерей p, q ? S и числа а ? [0, 1] верно соотношение U(p о а о q) = aU(p) + (1 - d)U(q). Докажем, что линейность функции полезности эквивалентна тому, что это функция Неймана - Моргенштерна. Теорема 86: Если U(ж) является линейной функцией полезности, представляющей предпочтения на множестве лотерей S, тогда и только тогда, когда она имеет вид НейманаЧ Моргенштерна. J Доказательство: Обозначим через 5(x) лотерею, в которой x является единственным исходом, т. е. Supp(5(x)) = {x}. Определим функцию u(-) на множестве элементарных исходов X по формуле u(x) = U (5(x)). Тогда U(p) = Еxesupp(p) p(x)u(x). Докажем это утверждение по индукции. Пусть утверждение доказано для лотерей с k исходами, и пусть p - лотерея с k + 1 исходом. Пусть x' - один из этих исходов, т. е. x' ? Supp(p). Тогда p = 5(x') о p(x') о q, где q - лотерея с Supp(q) = Supp(p)\x' и q(x) = p(x)/(1 - p(x')) Vx ? Supp(q). В силу линейности функции U(ж) U(tf(x') оp(x') о q) = p(x')u(x') + (1 - p(x')U(q). В силу предположения индукции U (q) = Е q(x)u(x) = Е P(x)/(1 - P(x'))u(x). xeSupp(q) xeSupp(q) В итоге получим требуемый результат U(p) = (p(x')u(x') + (1 - p(x')) f Е P(x)/(1 - p(x'))u(x)l = ^xeSupp(q) J = Е p(x)u(x). xeSupp(p) Доказательство обратного достаточно очевидно. ж Следующая теорема является обратной к той, которую мы хотим доказать. Теорема 87: Если предпочтения на множестве лотерей представимы линейной функцией полезности U(ж), то эти предпочтения удовлетворяют свойствам (A1)-(A3). J Доказательство: (A1) Свойство (A1) очевидно. (A2) (независимость от посторонних альтернатив) Пусть p У q. Тогда U(p) > U(q). Пусть r - произвольная лотерея, a - число, 0 < a ^ 1. Тогда U(p о a о r) = aU(p) + (1 - a)U(r) > > aU(q) + (1 - a)U(r) = U(q о a о r). Поэтому p о а о r У q о а о r. (A3) (аксиома исчерпания Архимеда) Пусть p У q У r, то есть U(p) > U(q) > U(r). Тогда если а > U(q) - U(r) > U(p) - U(r), то а(U(p) - U(r)) > U(q) - U(r), откуда по свойству линейности p о а о r У q. Аналогично, если , < U(q) - U(r) в < U(p) - U(r), то q У p о в о r. ж Если предпочтения участника на лотереях удовлетворяют аксиомам (A1)-(A3), то можно подобрать линейную функцию полезности, которая представляет предпочтения этого участника, притом такая линейная функция полезности единственна. Ниже мы докажем это , используя следующее вспомогательное предположение (теорема верна и без этого предположения ): (A4) Множество S содержит наихудший w и наилучший b элементы: w ^ p ^ b Vp ? S. Для доказательства этого докажем ряд утверждений. Всюду предполагается, что выполнены свойства (A1)-(A4). В случае, когда b ~ w, все лотереи из множества S эквивалентны и построение функции полезности с нужными свойствами не вызывает труда: U (p) = C, где C - произвольное число. (Понятно, что константа - линейная функция.) Поэтому в дальнейшем будем считать, что w У b. Теорема 88: Для любой пары лотерей p, q таких что p У q, и пары чисел а, в ? [0,1] условие p о в о q У p о а о q выполняется тогда и только тогда, когда в > а. J Доказательство: Докажем сначала, что из в > а следует p о в о q У p о а о q. В случае а = 0 рассмотрим лотерею r = p о ^ о q. Для нее выполнено аа r о в о q = (p о - о q) о в о q = p оЧ в о q = p о а о q. вв Так как p У q, то по аксиоме (A2) при ^ ? (0,1] выполнено aa p = pо ^ оp У pо ^ оq = r. в в Условие p У r при в ? (0,1] позволяет еще раз применить (A2): p о в о q У r о в о q, откуда получаем p о в о q У p о a о q. В предыдущем доказательстве нам требовалось, чтобы д = 0 .В случае a = 0 соотношение p о в о q У p о a о q выполнено, так как p о a о q = p о 0 о q = q = q о в о q и, кроме того, по (A2) имеем q о в о q - p о в о q. Докажем обратное. Пусть для некоторых a и в выполнено p о a о q - p о в о q, но при этом a Z в. Если a > в, то по только что доказанному p о a о q У p о в о q, что противоречит асимметричности строгого отношения предпочтения. Если же a = в, то p о a о q = p о в о q, что противоречит нерефлексивности отношения У. Таким образом, утверждение доказано. ж Будем обозначать через f (a) выпуклую комбинацией лучшей и худшей лотерей с коэффициентом a ? [0,1], т. е. f (a) = b о a о w. Обозначим множество таких лотерей через f ([0,1]). Напомним, что мы рассматриваем только случай b У w. Из определения функции f(ж) следует, что она задает взаимооднозначное соответствие между отрезком [0,1] и множеством f([0,1]), поскольку при a = в выполнено f (a) = f(в). Следующее утверждение показывает, что на основании функции f (ж) можно построить функцию полезности. Теорема 89: Для любой лотереи p из S найдется единственное число U(p) ? [0,1] такое, что справедливо f(U(p)) ~ p. Функция U(ж) является функцией полезности, представляющей данные предпочтения. Доказательство: Для любой лотереи p ? S нам нужно установить, что существует эквивалентная ей лотерея из f ([0,1]). Когда p ~ b либо p ~ w доказательство существования числа U(p) тривиально: оно равно 1 и 0 соответственно. Рассмотрим случай w - p - b. Обозначим множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые лучше p, через A+: A+ = { a ? [0,1] | p - f (a) } . Аналогично множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые хуже чем p, обозначим A-: A- = { a ? [0,1] | f(a) - p } . Эти два множества непусты, так как 1 ? A+ и 0 ? A-. Так как множества A+, A-, непусты и ограничены, то существуют числа a+ = inf A+, a = sup A . Для этих чисел справедливо соотношение а- ^ а+; в противном случае нашелся бы общий элемент а ? A- , а ? A+, что противоречит нерефлексивности У. Покажем, что f (а+) ^ p ^ f (а-), т. е. а+ ? A+ и а- ? A-. Предположим противное. Пусть, например, w - p - f (а+). В таком случае в силу (A3) существует 7 > 0, такое что для лотереи w о 7 о f (а+) справедливо соотношение w о Y о f (а+) У p. Поскольку w о Yо f(а+) = w о Yо (b о а+ о w) = b о а+(1 - 7) о w = f(а+(1 - 7)), то это означает, что f(а+(1Ч7)) У p. Значит, а+(1Ч7) ? A+, а это противоречит определению числа а+. Итак, предположение f(а+) У p неверно. Поэтому f(а+) ^ p. Рассуждения для а- аналогичны. Таким образом, f(а+) ^ p ^ f(а-). Если сопоставить это с вытекающим из Теоремы 88 и а- ^ а+ соотношением f(а-) ^ f(а+), то f(а-) ~ p ~ f(а+). Таким образом, мы можем выбрать U(p) = а+. Существование числа U(p) доказано. Единственность числа U(p) следует из Теоремы 88. Теперь покажем, что U(p) есть функция полезности. Из Теоремы 88 следует, что из двух лотерей из f([0,1]) хуже та, коэффициент которой меньше и обратно: f (а) - f(в) ^ а < в. Для двух произвольных лотерей p, q ? S соотношение p - q эквивалентно тому, что f (U(p)) - f (U(q)). Поэтому p - q ^ U(p) < U(q). ж Докажем теперь, что построенная таким образом функция является единственной линейной функцией, представляющей рассматриваемые предпочтения. Теорема 90: Функция полезности U(ж), такая что f(U(p)) ~ p, является линейной. Эта функция - единственная (с точностью до линейного преобразования) линейная функция полезности, представляющая данные предпочтения. J Доказательство: (Линейность) Мы хотим доказать, что если p, q ? S, а ? [0,1], то выполнено U(p о а о q) = аU(p) + (1 - a)U(q). При а = 0 и а = 1 доказываемое очевидно. Рассмотрим случай 0 < а < 1 . Пусть утверждение теоремы неверно, например, для некоторых p, q ? S U(p о а о q) < aU(p) + (1 - a)U(q). Тогда можно подобрать числа 0 ^ в < U(p) и 0 ^ Y < U(q), такие что U(p о a о q) = aв + (1 - a)Y, откуда p о a о q ~ f (aв + (1 - a)Y). По свойствам операции комбинирования лотерей f^в + (1 - a)Y) = b о ^в + (1 - a)Y) о w = = (b о в о w) о a о (b о Y о w) = f (в) о a о f (Y). Поскольку в < U(p), то f (в) - f (U(p)) ~ p, и по аксиоме (A2) получим f (в) о a о f (Y) - p о a о f (Y). Аналогичным образом, поскольку Y < U(q), то верно соотношение f (Y) - f (U(q)) ~ q, и по аксиоме (A2) p о a о f (Y) - p о a о q. Получаем, в противоречие с нерефлексивностью отношения предпочтения - , цепочку соотношений p о a о q ~ f (в) о a о f (Y) - p о a о f (Y) - p о a о q. Аналогичным образом можно прийти к противоречию, предположив, что U(pоaоq) > aU(p) + (1 - a)U (q). Значит, U(p о a о q) = aU(p) + (1 - a)U(q). (Единственность) Предположим, что V(ж) - другая линейная функция полезности. Обозначим V(p) = V(p) - V(w). v V(b) - V(w) Данное преобразование является линейным. Покажем, что V*(p) = U(p). Поскольку V(ж) линейна, то V*(p) также линейна. Кроме того, функции V*(ж) и U(ж) совпадают для худшей и лучшей лотерей: V*(w) = U(w) = 0 и V*(b) = U(b) = 1. Это означает, что функции V*(ж) и U(ж) в силу линейности совпадают на f([0,1]). Поскольку любая лотерея из S эквивалентна лотерее из f([0,1]), то V*(ж) и U(ж) совпадают на любой лотерее из S. I Сопоставляя доказанные в этом параграфе теоремы, видим, что мы, фактически, доказали Теорему 84. Правда, при этом мы использовали дополнительное предположение (A4). (Способ доказательства Теоремы 84 обрисован в задаче 371.) Теорема 91: Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям (A1)-(A4), то существует представляющая их функция полезности U(ж), имеющая вид НейманаЧ Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного преобразования. J? 7.3. Предпочтения потребителя в условиях неопределенности 7.2.1 Задачи ^ 367. Пусть отношение предпочтения на множестве лотерей, У, транзитивно и выполнено свойство (A2). Покажите, что если p У q, r У s,то p о а о r У q о а о s (а ? [0,1]). ^ 368. Пусть отношение предпочтения на множестве лотерей, У, нерефлексивно и выполнено свойство (A2). Покажите, что если p ~ q,то p о а о q ~ q (а ? [0,1]). ^ 369. Пусть выполнены свойства (A1)-(A3). Покажите, что если p r q, то найдется единственное а ? [0,1], такое что p о а о q ~ r. ^ 370. Пусть выполнены свойства (A1)-(A3). Покажите, что если p ~ q, и r - произвольная лотерея, то p о а о r ~ q о а о r (а ? [0,1]). ^ 371. Докажите Теорему 84, т. е. лподправьте доказательства этого параграфа таким образом, чтобы не требовалось использовать предположение (A4). Указание: Пусть p и q - две лотереи, такие что p У q. Тогда, как было показано выше, существует функция полезности НейманаЧ Моргенштерна, определенная на лотрезке { r|p r q }. Пусть теперь s - любая лотерея. Тогда, по отрицательной транзитивности У , выполняется одно из трех соотношений: p ^ s ^ q, s ^ p ^ q, p ^ q ^ s. Предположим, что функция полезности НейманаЧ Моргенштерна, представляющая отношение предпочтения, определена на отрезке { r|p r q } и пусть s удовлетворяет соотношению: s p q (p q ^ s). Тогда существует (и единственно) число а (в) такое, что p = s о а о q (q = p о в о s) Определим U(ж) в последних двух случаях на основе соотношений: U(p) = aU(s) + (1 - a)U(q) (U(q) = вU(p) + (1 - вЖ(s)). Демонстрация линейности определенной таким образом функции в значительной степени воспроизводит этапы доказательства теоремы в частном случае, когда U(ж) определена лишь на лотрезке { r|p r q }. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "7.2 Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности" |
|
|