Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения |
|
|
В самом общем смысле под полнотой предпочтений можно понимать то, что индивидуум всегда может определить, как он относится к паре альтернатив: является ли x для него более предпочтительной, чем y, или y для него более предпочтительна, чем x, или эти эти альтернативы эквивалентны. При этом можно не накладывать ограничения, что эти ситуации несовместны, т. е. для двух альтернатив, x и y, выполняется хотя бы одно из трех соотношений: x У y, или x - y, или x ~ y. Тогда отношение ллучше или эквивалентно, вообще говоря, может не совпадать с отрицанием отношения - (т. е. с отношением лне хуже), но уже не по причине неполноты, как это было в предыдущем пункте. Мы не будем обсуждать это (слишком серьезное) отклонение от рациональности и будем в дальнейшем исходить из того, что всегда выполнено ровно одно из трех соотношений: x У y, или x - y, или x ~ y .В таком случае смысл нестрогого отношения предпочтения становится однозначным. Будем рассматривать предпочтения, которые могут быть нетранзитивными, т. е. такими что, например, возможно выполнение соотношений x ~ y, y ~ z и z У x для несовпадающих альтернатив x, y, z. Определение 22: Назовем предпочтения (У, полными, если они удовлетворяют следующим предполо жениям: для любых x, y X выполняется ровно одно из следующих трех соотношений: x У y, или x - y, или x ~ y; выполнено = Уи~. Теорема 20: Если предпочтения (У, полные, то они обладают следующими свойствами: нестрогое отношение предпочтения является полным и рефлексивным; строгое отношение предпочтения У является иррефлексивным и асимметричным; отношение безразличия ~ является рефлексивным и симметричным. J Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Такие предпочтения можно использовать для моделирования коллективного выбора, например, голосования простым большинством в случае, если каждый из участников голосова- 47 ния имеет неоклассические предпочтения . Как обсуждалось выше, условие транзитивности является ограничительным при моделировании поведения потребителя. Поэтому представляется вполне естественным задаваться вопросом о свойствах предпочтений и о существовании функции полезности в случае, если строгое отношение предпочтения У не обладает свойством отрицательной транзитивности, или, что эквивалентно, нестрогое отношение предпочтения не обладает свойством транзитивности. При полноте предпочтений правила выбора C^(A) и C^(A) совпадают, и поэтому не возникает проблем с определением правила выбора. В то же время, нетранзитивность предпочтений, так же как и неполнота, может приводить к тому, что правило выбора может быть пустым даже если ситуация выбора A лхорошо устроена. Например, при выборе из трех альтернатив, таких что x У y У z У x, значение правила выбора будет пустым. Как показывает приведенная выше Теорема 6 (с. 26), при нетранзитивности не существует функции полезности в смысле Определения 7 (с. 25), т. е. показателя, заданного на отдельных альтернативах и оценивающего уровень благосостояния при выборе данной альтернативы. Но, тем не менее, даже в этом случае можно построить некоторый индикатор, который давал бы полное описание рассматриваемых предпочтений. Такой индикатор может быть задан на парах альтернатив и сравнивать две альтернативы между собой. Идея состоит в том, чтобы подобный индикатор (Д(-)) удовлетворял следующим условиям: (Д1) Д^, y) > 0 тогда и только тогда, когда x У y; (Д2) Д^, y) < 0 тогда и только тогда, когда y У x; (Д3) Д^, y) = 0 тогда и только тогда, когда x ~ y; (Д4) Д^, y) = ЧД(У, x). Так построенная функция может считаться обобщенной функцией полезности. Нетрудно понять, что если предпочтения представимы обычной функцией полезности u(-), то в качестве Д^, y) можно взять функцию u(x) - u(y). Следующая теорема дает условия существования лобобщенной функции полезности, соответствующей полным, но, возможно, нетранзитивным предпочтениям. Для доказательства существования такой функции используется некоторый аналог условия непрерывности предпочтений (замкнутость ^). Пары альтернатив в доказательстве обозначаются p, q, r, s. Типичная пара альтернатив имеет структуру p = (x, y), где x, y ? X. Порядок альтернатив в паре при этом существенен. Теорема 21: Пусть на X С R1 заданы полные предпочтения (У, , такие что бинарное отношение ^ замкнуто (в R1 х R1). Тогда существует непрерывная функция Д: X х X м R, удовлетворяющая условиям (Д1)Ч(Д4). J Доказательство: Рассмотрим отношение безразличия ~. Так как предпочтения полные, то оно рефлексивно. Таким образом, оно непусто, если рассматривать его как подмножество множества X х X (в него входят все пары вида (x, x)). Кроме того, из замкнутости ^ следует замкнутость ~. Пусть d(p, q) = |p - q| - евклидово расстояние на R1 х R1. Определим функцию d*(-): X х X м R так, чтобы паре альтернатив p ? X х X она сопоставляла наименьшее расстояние между p и парой эквивалентных друг другу альтернатив (т. е. q ? ~): d*(p) = m? d(p, q). Инфимум конечен, поскольку расстояние ограничено снизу нулем. Покажем, что так определенная функция является непрерывной. Рассмотрим две произвольные пары альтернатив p, q ? X х X. Для любой пары эквивалентных между собой альтернатив r ? ~ в силу неравенства треугольника имеем d(p, r) ^ d(p, q) + d(q, r). Следовательно, d*(p) = inf d(p, s) ^ d(p, q) + d(q, r). Так как левая часть последнего неравенства не зависит от r, то d*(p) ^ d(p, q) + mf d(q, s) = d(p, q) + d*(q). С другой стороны, по аналогии можно доказать, что выполнено d*(q) < d(p, q)+ d*(p). Комбинируя два последних неравенства, находим d*(q) - d*(p)| < d(p, q), откуда очевидным образом следует непрерывность функции d*(-). Поскольку расстояние неотрицательно, то d*(p) Z 0. Кроме того, данная функция обладает тем свойством, что d*(p) = 0 тогда и только тогда, когда p представляет собой пару эквивалентных альтернатив (p ? ~). Действительно, если p ? ~, то d*(p) = d(p, p) = 0. Обратно, пусть для пары альтернатив выполнено p ? ~. В силу замкнутости ~ дополнение к ~ - открытое множество, и, значит, точка p содержится в этом дополнении вместе с некоторой е-окрестностью. Поскольку около p нет пар эквивалентных альтернатив, которые бы находились от p ближе, чем на расстоянии е, то по определению d*(-) должно быть выполнено d*(p) Z е > 0. Положим A(x y) = I d*(x, y), если x ^ y, I Чd*(y,x), если y x. Непрерывность A(-) следует из непрерывности d*(-). Проверку того, что так определенная функция A(-) удовлетворяет условиям (A1)Ч(A4) оставляем в качестве упражнения. ж Очевидно, что если в качестве базового индикатора полезности взять функцию A(x, y), то возможно систематическое построение микроэкономической теории на основе полных предпочтений, которые не обязательно являются транзитивными . |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения" |
|
|