Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) |
|
|
К выбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные модели инвестиционного повеления. Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели. Рассмотрим задачу распределения одного блага - капитала - между несколькими активами k ? K = {1,...,1}. Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем обозначать и (и > 0). Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене). Пусть fЧ - валовая доходность k-го актива, т. е. валовой доход на рубль вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство состояний мира дискретным, как и выше, то доходность fЧ - дискретная случайная величина и принимает значения rЧs (s ? S) с соответствующими вероятностями ps. Инвестор должен выбрать размеры вложений zЧ в каждый из доступных активов k K при следующих ограничениях: 7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) $ Можно покупать актив, но не эмитировать его, т. е. zfc ^ 0. $ Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т. е. YI Zfc ^ W. fceK Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения. Вектор (zfcбудем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен: x = YI Zfc Г. fceK Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x - дискретная случайная величина и принимает значения xs ^ ] zfcrfcs fceK с вероятностями Р^ . Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа НейманаЧ Моргенштерна U = E u(x) = ? Р^-и^). В дальнейшем мы везде будем считать, что Ч(ж) - дифференцируемая функция, причем производная и'(-) положительна и убывает (инвестор - рискофоб). Поскольку капитал W - постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно вместо величины вложений в k-й актив, , рассматривать долю этого актива в портфеле afc = zfc/W. Тогда x = W Y afc rfc. fceK Получим следующую задачу: U = E u(x) = E u(w ? akrk) ^ max. ? ak ^ 1, ak ^ 0, Vk G K. keK ak keK Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью Г = Го (его можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребования). Этот актив имеет одну и ту же доходность Го независимо от состояния мира. При этом к = {0,...,о. Еще одно предположение, которое принято делать - нет ограничения на неотрицательность вложений в безрисковый актив, т. е. может быть < 0. Интерпретация - можно взять кредит на любую сумму по той же ставке Го. Так как производная u'(x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому лбюджетное ограничение в задаче инвестора выходит на равенство, т. е. ао = 1 - fc=o afc. Исключив ао , преобразуем задачу инвестора к виду E u(w(ro + У2 afc(Г - Го))) ^ max. ^^ ak fc/о k? При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной8. Будем предполагать, что эти условия выполнены. Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид E[u'(X)w(f - ro)] < 0, Vk = 0. Кроме того, если > 0, то это условие выполняется как равенство E[u'(X)w(f - ro)] = 0. или E[u'(X)fk] = ro E u'(X). Нетрудно проверить, что в силу свойств функции u(-) (инвестор - рискофоб) и линейности оператора E, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соответствующие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными условиями оптимальности портфеля. Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива - безрисковый и один рискованный. Задача инвестора имеет вид: E u(w(aoro + a1f1)) ^ max . л0,л1 ao + a1 ^ 1, ai Z 0. Исключив ao, получим следующую задачу одномерной максимизации: U = E u(w(ro + a1(f1 - ro))) ^ max. a1Zo Обозначим максимизируемую функцию через U(ai) и вычислим ее производную: dU (ai) = E[u'(w(ro + ai(fi - ro)))w(fi - ro)] = da1 = w(E[u'(X)fl - ro Eu'(X)). Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (ai > 0) либо граничным (ai = 0). Если в оптимальном портфеле ai > 0, то dU (ai )/dai = 0, откуда E[u'(X)f1] = ro E u'(X). Заметим, что в рассматриваемом случае u'(X) является убывающей функцией fi, поэтому E[u'(X)f1] < E u'(X) E f1. (Ковариация u'(X) и fi отрицательна). Таким образом, поскольку Eu'(X) > 0 (ожидание положительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего решения состоит в том, что ro < E fi Если в оптимальном портфеле ai = 0, то X = wro (т. е. доход портфеля - не случайная величина). Значит, dU (ai) ' Ч = wu (wro)(E fi - ro). da1 Поскольку для граничного решения dU(ai)/dai ^ 0 и производная элементарной функции полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности граничного решения: E r1 ^ ro. Рис. 7.6. Возможные ситуации в случае выбора из двух активов Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет в портфель (ai > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной (Eri > ro). Тот факт, что для случая двух активов условие E ri > ro является достаточным, является частным случаем более общего результата, который называется теоремой о диверсификации. Теорема 92 ((теорема Самуэльсона о диверсификации )): Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа НейманаЧ Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(-), и пусть, кроме того, О функция u'(x) положительна и убывает; О доходности активов (статистически) независимы ; О ограничение ao ^ 0 несущественно; выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной. Тогда любой актив k ? K, ожидаемая доходность которого выше доходности безрискового актива (E r^ > ro) войдет в портфель, т. е. > 0. J Доказательство: Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет вид (постоянный множитель и > 0 можно сократить) E[u'(X)(rk - ro)] < 0, Vk = 0, Предположим, что = 0, k = 0 (k-й актив не входит в портфель). При этом величины r^ и X должны быть между собой независимы (X зависит только от доходностей остальных активов). Следовательно, r^ и u'(X) также независимы (функции от независимых случайных величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим, что E rk E u' (X) ^ ro E u'(X). Так как E u'(X) > 0, то E r^ ^ ro. Следовательно, если E r^ > ro, то не может быть = 0, т. е. такой актив войдет в портфель. ж Если несколько преобразовать условие первого порядка, можно привести интересную его интерпретацию. По определению ковариации для двух случайных величин ? и п выполнено E(?n) = Cov(?,n) + E(?) E(n). С учетом этого соотношения условия оптимальности (если k-й актив вошел в портфель, т. е. afc > 0), E[u'(X)fk] = ro E u'(X). можем записать в виде Cov(u'(X),f) E f = ro {ТТгл . E u'(x) Второе слагаемое этого выражения - величина Cov(u'(X), fk) E u' (X) представляет собой превышение ожидаемой доходности k-го актива над доходностью безрискового актива и носит название премии за риск. Заметим, что полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его средней доходностью, но и величиной корреляции его доходности с доходностью всего портфеля. Премия за риск является положительной, если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны. Это объясняется тем, что если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны, то доходность актива и предельная полезность отрицательно коррелированны, поскольку предельная полезность у рискофоба является убывающей функцией. Следовательно, такой актив включается в оптимальный портфель, только если он характеризуется положительной премией за риск. С другой стороны, премия за риск является отрицательной, если доходность актива и доходность портфеля отрицательно коррелированны. Такой актив может входить в оптимальный портфель, несмотря на то, что он характеризуется отрицательной премией за риск. Этот феномен называется хеджированием. Так, например, у страховых полисов ожидаемая чистая доходность, как правило, меньше нуля, но они часто включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом от портфеля. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)" |
|
|