Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Ситуационная теория индексов цен и количеств тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат

Ученая степень	доктор экономических наук
Автор	Ершов, Эмиль Борисович
Место защиты	Москва
Год	2011
Шифр ВАК РФ	08.00.13

Автореферат диссертации по теме "Ситуационная теория индексов цен и количеств"

На правах рукописи

Ершов Эмиль Борисович

СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ ЦЕН И КОЛИЧЕСТВ

Специальность 08.0013 - Математические и инструментальные методы экономики (экономические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук (представляемой в виде монографии)

Москва-2011

Работа выпонена в Национальном исследовательском университете Высшая школа экономики (НИУ ВШЭ)

Официальные оппоненты: Варшавский Александр Евгеньевич

доктор экономических наук, профессор

Данилов-Данильян Виктор Иванович

член-корреспондент РАН,

доктор экономических наук, профессор

Суворов Анатолий Владимирович доктор экономических наук, профессор

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр РАН

Защита диссертации, представляемой в виде монографии, состоится 10 октября 2011 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002. 013. 01 при Учреждении Российской академии наух Центральном экономико-математическом институте РАН по адресу: 117418, Москва, Нахимовский проспект, д. 47, аудитория 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН по адресу: 117418, Москва, Нахимовский проспект, д. 47.

Автореферат разослан л__2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат экономических наук

РОССИИ <АЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕК 20 И

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Анализ данных, которыми оперирует практическая статистика, и целей, с которыми по таким данным рассчитываются индексы цен и количеств для операций, производимых на множестве товаров и услуг, позволяет выделить две концепции индексов:

статическую, имеющую целью сравнение уровней цен в двух сравниваемых периодах, как правило, коротких, для которых цены продуктов допустимо считать постоянными или рассматривать средние для периода цены как корректно определяемые наблюдениями за ценами в малое число моментов времени. Последние определяются заданным регламентом проведения статистических работ. Рассчитываемые так средние цепы продуктов не зависят от динамик количеств продуктов в каждом из периодов;

динамическую, ставящую и решающую задачу пересчета потока стоимости для периода из текущих цен в цены другого периода, то есть расчета индексов цен-дефляторов для сравниваемых периодов, в каждом из которых цены не признаются постоянными, изменяются закономерным, подлежащим выявлению образом. Периоды в этой концепции принято представлять п виде последовательностей более коротких периодов со своими динамиками цен, для которых средняя цена продукта корректно рассчитана по имеющимся данным. Их можно считать лоднородными, но для них средняя цена продукта зависит от ненаблюдаемой явно динамики количества. Индекс цен-дефлятор стоимости совокупности продуктов для неоднородных периодов дожен быть определен с учетом доступных данных и может не совпадать с индексом, определяемым в статической концепции.

Необходимость различать теоретические конструкции и методы расчета статических и динамических индексов цен очевидна в связи с дифференциацией темпов изменения цен товаров и услуг в условиях существенной инфляции, влиянием на цены, внешних по отношению к экономической системе факторов. В таких условиях ужесточаются требования к регламенту проведения Статистических наблюдений, но выпонение таких требований затрудняется. Действующая практика расчета индексов и используемая ею теория индексов тяготеют к использованию положений статической концепции и недостаточно приспособлены к современным особенностям изучаемого объекта. Классическая теория не содержит обосновываемые рекомендации в отношении формул для индексов цен-дефляторов стоимости в динамических ситуациях, с использованием которых анализируются, моделируются и прогнозируются макроэкономические, межотраслевые и раслевые процессы в экономике.

Потребность в разработке более общей версии теории индексов, позволяющей согласовать исходные положения концепций и выявлять сферы их применения, развивать и адаптировать методы расчета индексов к условиям функционирования экономики, определяет актуальность исследования.

Степень разработанности проблемы. Переход от использования индексов как инструмента исследований к их рассмотрению в качестве объекта теории, начатый в работах И. Фишера, привел к созданию классической теории индексов. В ней сформировались и развивались конкурирующие направления: статистическое (представлено в основополагающих работах Боули, Уоша, Фишера, Борткевича, Фркша), экономическое (Конюс, Бюшгенс, Хаберлер, Фриш) и траекторное (Дивизиа, Торнквист, Монтгомери). Исходные идеи этих направлений развиты Аленом, Айхорном, Баком, Вартиа, Дивертом, Лау, Мамквистом, Полаком, Рихтером, Самуэльсоном и Свами, Сато, Старовским, Стюве-лом, Тейлом, Хатеном.

Каждое направление стокнулось с непреодолимой для него трудностью, не позволяющей выбрать тип практически применяемых индексных формул, имеющих с позиций этого направления теоретическое обоснование, и указать сферу их применения. Не удалось обосновать выбор индексных формул с помощью задания аксиом-тестов, агрега-торной функции (производственной функции или функции полезности) и семейства траекторий, соединяющих сравниваемые состояния. Результатом явилось соглашение использовать эвристически введенные индексы для корзины товаров, индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера, Торнквиста и Монтгомери.

Трудности направлений и противоречия между ними проявляются в том, что: в них используются различные понимания связей цен и количеств; с несогласованных позиций изучаются макроэкономические и микроэкономические объекты и процессы, что приводит к несовпадению целей исследований; не различается экзогенность и эндоген-ность используемых показателей; оказываются несовместными кажущиеся естественными аксиомы; регулярно используется гипотеза постоянства цен в течение периода при различии цен для сравниваемых периодов, которая представляется не соответствующей протекающим в экономике процессам; выявлена практическая невозможность статистического наблюдения постоянно изменяющихся количественных показателей, приводящая к вынужденному использованию их суммарных для периодов значений и моментных цен; игнорируется несовпадение используемых теорией понятий и их статистических аналогов (показателей)..

С конца прошлого Бека в классической теории индексов наметися застой, поиски выхода из которого не увенчались успехом. Не были получены новые результаты принципиального характера. Направления развития теории, включая идеи сближения направлений, не были определены. Сферы и условия применения индексов Ласпейреса, Пааше, Фишера, Торнквиста и Монтгомери не были охарактеризованы теоретически и сформировались, исходя из соображений простоты и удобства использования.

Исследования, предпринимавшиеся Африатом, Баком, Икле, Дивертом, Ван Изерном, Маланем, Пурсиайненом, Рихтером, Триплетом, Хансеном, Адамовым, Ванин-ским, Ершовым, Зоркальцевым, Клейнером, Кбвешем, Липовецким, Шананиным, имевшими целью преодоление разрывав и противоречий в классической теории индексов, сви-

детельствуют о необходимости выяснения того, что объединяет направления и концепции теории, какие стороны изучаемых объектов приводят к реализуемому в ней разнообразию постановок, формулировок и методов решения задач построения индексов по статистическим данным. Этим подтверждается актуальность создания общей по сравнению с классической, непротиворечивой и открытой к развитию теории индексов, логические основы и практические аспекты которой дожны быть обоснованы и экспериментально проверены.

Цели и задачи исследования: выявление пробелов в конкурирующих направлениях классической теории индексов, противоречий и разрывов между ними и характером социально-экономических процессов, создание основ теории индексов, синтезирующей положения статической и динамической концепций, трансформирующей выявленные трудности в требующие решения задачи и их решение с позиций предложенной теории.

Объектом исследования является совокупность исходных положений теории индексов цен и количеств, ей научных результатов, рекомендаций и их практических интерпретаций. Используется практика применения индексов, отраженная с необходимой понотой в руководствах международных и национальных статистических организаций и в публикациях.

Предмет исследования - обоснованность и непротиворечивость конструкций индексов и порождаемых ими формул, рекомендуемых для использования о теоретических исследованиях и в практическом анализе социально-экономических процессов. Их соответствие характеристикам типовых ситуаций, возможность определения индексов, удовлетворяющих бесспорным требованиям и так называемым ситуационным аксиомам.

Научный аппарат исследования. Теоретической основой работы являются: классическая теория индексов цен и количеств; исходные предположения, содержавшиеся в публикациях специалистов, предпринимавших попытки преодолеть ей противоречия и недостатки; системный подход, позволивший выявить многообразие проявлений изучаемого объекта; методы социально-экономической статистики; методы нахождения решений функциональных уравнений, выражающих требования к классам функций многих переменных; методы нахождения решений дифференциальных уравнений, содержащих определяемые параметры и удовлетворяющих граничным условиям; теория пространств аффинной связности; монографический метод, проявляющийся в детализированном изучении объекта и его отражения в совокупности выпоненных исследований по теории индексов.

Информационную базу исследования составляют данные о ценах и количествах товаров, заимствованные из публикаций, получивших признание в мировой экономической и статистической науке, и из Руководства по индексу потребительских цен: теория и практика, подготовленному Международной организацией труда, Международным Валютным фондом, Организацией экономического сотрудничества и развития, Статистическим бюро Европейских сообществ. Организацией Объединенных Наций, Международным банком реконструкции и развития и Всемирным банком.

Научная новизна исследования.

1. Разработаны и теоретически обоснованы положения ситуационной теории индексов цен и количеств, в которой преодолеваются выявленные противоречия классической теории индексов и ее направлений.

2. Предложена система понятий, объединяющая статическую и динамическую концепции теории индексов, позволяющая получать адаптируемые к типовым ситуациям индексы.

3. Для основных индексов статической концепции классической теории (индексов цен для первичной группы товаров, для корзины товаров и для индексов Ласпейреса-Пааше) получены определения, включающие аксиомы, отражающие свойства соответствующих типовых ситуаций.

4. Найдены траектории цен и количеств для скользящих периодов, на которых конструкция динамических индексов, предложенная Дивизиа, порождает индексы Фишера, Монтгомери-Вартиа и Торнквиста.

5. Сформулирована и решена общематематическая задача нахождения медиального факторного разложения конечного приращения гладкой и монотонной функции многих переменных. Сформулированы и доказаны свойства медиального разложения.

6. Дано определение однородности процесса перехода от базового к конечному состоянию, когда цены в сравниваемых однородных периодах не остаются постоянными. Для такой ситуации получено аксиоматическое определение индексов Монтгомери-Вартиа, представляющих собой решение задачи нахождения медиального разложения для функции 1п(^Р/Я')- Доказано, что в силу свойств медиальных разложений эти индексы порождаются конкурирующими конструкциями индексов Дивизиа и Монтгомери.

7. Для ситуации, когда рассматриваются агрегированные, неоднородные периоды, образованные последовательностями однородных периодов с меньшими продожитель-ностями, обосновано использование введенных структурно-динамических индексов цен и количеств.

8. Индексы Дивизиа-Монтгомери (для однородного перехода из базового в конечное состояние) и структурно-динамические индексы Дивизиа-Монтгомери (для неоднородных периодов) обоснованы аксиоматически.

9. Предложено однопараметрическое семейство динамических индексов цен Дивизиа и имплицитных им индексов количеств, названных обобщенными индексами Диви-зиа-Торнквиста. Индексы зависят от скалярного параметра, характеризующего динамичность перехода от базового состояния к конечному, но не предполагают задание траекторий цен и количеств. Значение любого индекса цен интерпретируется как значение обобщенного индекса Дивизиа-Торнквиста как эталонного динамического индекса.

Практическая значимость исследования. Теоретически обосновано

использование формул и конструкций индексов в зависимости от характеристик

ситуации, для которой они рассчитываются и применяются.

Для ситуации, когда необходимо определить индексы цен для первичных групп товаров и услуг, обосновано применения индекса цен Джевонса и его интерпретация б качестве агрегатного индекса цен.

Для наиболее часто встречающейся при расчетах индексов ситуации двух предполагаемых однородными периодов, в которых цены не остаются постоянными, предполагаются изменяющимися закономерно и представляются в виде функций от средних (для периодов) цен и суммарных количеств товаров, обосновано использование в качестве цен для периода логарифмических средних из цен, получаемых из выборочных значений момент-ных цен на границах сравниваемых периодов, и динамических индексов Дивизиа-Монтгомери - в качестве искомых индексов. Предлагаемый метод расчета средней цены для периода не противоречит применяемому в статистической практике линтуитивному методу и корректирует его в ситуации быстрого роста статистически наблюдаемых мо-ментных цен. Получаемые для сравниваемых периодов индексы Дивизиа-Монтгомери удовлетворяют аксиоме-тесту обратимости во времени и являются согласованными относительно агрегирования. Это их характерное свойство обеспечивает совпадение индексов, рассчитываемых различными способами для вариантов выделения групп продуктов. Свойством согласованности относительно агрегирования, выпонения которого требует практика и теория исчисления индексов, определяемых на иерархической классификации групп продуктов, не обладают основные индексы, рекомендуемые для практического использования международными организациями, в том числе индексы Фишера и Торнквиста.

Доказано, что наиболее часто используемый моментный индекс для корзин товаров и услуг (индекс цен Лоу и его частный случай - линейный индекс цен Ласпейреса-Пааше) разлагается в сумму слагаемых, соответствующих вкладам в этот индекс аддитивных элементов цены (например, оптовой цены, торгово-посредническнх и транспортных наценок, налогов). Предположение о том, что искомый индекс однороден по ценам, удовлетворяет аксиоме обратимости по состояниям и в факторном разложении индекса цен используется только класс функций, определяющих искомый индекс цен, однозначно определяет конструкцию корзинного индекса цен. Использование линейного индекса цен Ласпейреса-Пааше в качестве эталонного индекса позволяет анализировать факторное разложение практически любых индексов цен 1Р по элементам цены.

Рекомендации по использованию научных выводов: при выборе формул применяемых индексов цен и количеств целесообразно и необходимо исходить из характерных, определяющих рассматриваемую ситуацию свойств, характеризующих изучаемый объект, использовать совокупность данных о нем, сведений о способе их получения, о цели, для достижения которой предполагается применять индексы, то есть использовать положения и результаты ситуационной теории индексов;

при динамичных изменениях цен и количеств продуктов игнорирование непостоянства и характерных изменений цен в сравниваемых периодах может приводить и, как правило, приводит к отклонениям значений статических индексов от значений динамиче-

ских индексов, в которых учитываются динамика цен или неоднородность рассматриваемых периодов;

для сравниваемых однородных периодов с непостоянными ценами рекомендуется средние цены продуктов определять и вычислять по реально доступным статистическим данным о ценах и количествах товаров и услуг как логарифмические средние моментных цен на границах таких периодов;

для динамических ситуаций с двумя сравниваемыми состояниями, состоящими из последовательностей относительно однородных периодов с меньшими продожительно-стями, для которых количества и средние цены статистически измеряются, теоретически обосновано и рекомендуется использование структурно-динамических индексов Дивизиа-Монтгомери.

Апробация результатов исследования. Научные и имеющие практическое значение результаты работы, отражены в публикациях диссертанта, заслушивались и обсуждались на семинаре Количественный анализ в экономике ГУ ВШЭ (3 октября 2001 г.), на научном семинаре ВЦ АН СССР (27 апреля 2005 г.; руководитель семинара академик Петров А.А ), научном семинаре Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов ЦЭМИ СССР (руководитель д.ф.-м.н. Айвазян С.А.) и на его Международной юбилейной сессии (24 июня 2009 г.), на научной конференции Стратегия выбора, выбор стратегии (МГУ, 4 ноября 2003 г.), заседании Секции экономических наук РАН (под председательством академика-секретаря секции Львова Д.С. 19 января 2007 г.), научном семинаре кафедры математической экономики и эконометрики ГУ ВШЭ (27 мая 2010 г.), на Научной конференции Фундаментальные исследования ГУ ВШЭ в 2009 г. (29 марта 2010 г.), на Российском Экономическом Конгрессе РЭК-2009), на 1Х-Й Международной научной конференции Применение многомерных статистических методов в экономике и оценке качества (ГУ ВЦ1Э, ЦЭМИ РАН, Московская школа экономики, 24 августа 2010 г.), на Франко-российской научно-практической конференции Экономика, политика, общество: новые вызовы, новые возможности (ГУ ВШЭ, 29 октября 2010 г.).

Структура и объем монографии. Монография содержит 420 страниц, включает 37 таблиц, 14 рисунков, состоит из введения, 3 разделов, включающих каждый 4 главы, заключения, 9 приложений и библиографического списка источников, включающего данные о 265 работах. Монография содержит результаты исследования, выпоненного лично диссертантом. По теме диссертации автором опубликованы монография и 18 работ, в том числе 11 статей в ведущих научных журналах.

II. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Теория индексов цен и количеств создавалась как реакция на разнообразие рекомендуемых для применения индексных формул. К началу XX в, числа формул для индексов цен составляло несколько десятков. Они вводились в ходе расчетов, рассматривались как инструмент, а не как объект анализа. Обзор индексов, использовавшихся до возникновения теории, содержится в монографиях [Фишер, 1928], [Казинец, 1963], [Ален, 1980], [Ковалевский, 1989], [Кйвеш, 1990], [Зоркальцев, 1996].

Первые попытки изучения индексов с теоретических позиций сделали Edgeworth, разрабатывавший вероятностную концепцию индексов, Westergaard, Walsh и Fisher, предлагавшие аксиомы, которым дожны удовлетворять индексы. Базовой работой, положившей начало теории, стала монография Ирвинга Фишера [Fisher, 1922], оформившая статистическое направление теории и привлекшая внимание исследователей к проблеме обоснования индексных формул. В результате, в период с 1924 по 1929 г были опубликованы работы A.A. Конюса, С.С. Бюшгенса и Хаберлера, в которых формулировались исходны позиции экономического направления теории индексов, Дивизиа и Монтгомери, предложивших принципиально новые, траекторные методы конструирования индексов. Направления развивались паралельно. Сторонники направлений критиковали друг друга, обнажило слабые стороны версий теории, но не привело к пониманию причин появления конкурирующих и даже конфликтующих направлений.

1. Состояние классической теории индексов цен и количеств и ее проблемы

В Разделе I целью анализа является выявление принципиальных различий исходных позиций и целей, характеризующих названные направления теории индексов, трудностей и проблем, с которыми они стокнулись в своем развитии и при практическом применении полученных в этих направлениях важнейших результатов, а также подготовка условий для выделения ситуаций, для которых эта теория дожна быть конкретизирована. Изучение публикаций показало, что в них отсутствует объективный анализ состояния теории, достигнутого к началу 21 века. В литературе нет работ, содержащих общий, могущий претендовать на поноту обзор идей и результатов этих направлений. Посвященные индексам монографии отечественных авторов ([Адамов, 1977], [Бакланов, 1972], [Казинец, 1963], [Костюхин, 1960], [Курешева, 1982], [Маслов, 1953], [Никитин, 1965], [Перегудов, 1960], [Плошко, 1958], [Югенбург, 1958]), как правило, не касались многих разделов н аспектов теории. Они предназначались для читателей-практиков, использующих элементарный математический инструментарий, и часто содержали весьма субъективные, даже не впоне профессиональные оценки. Обзорные монографии [Ален, 1980] и [Кйвеш, 1990] не дают достаточно поного и адекватного изложения ключевых вопросов теории индексов и решения возникших в ней проблем. В них не нашли отражения важные результаты, полученные в работах Монтгомери, Полака, Мамквиста, Лау, Бака, Стювела,

Диверта, Рихтера, Вартиа, Сато, Хатена, Айхорна, Африата, Ванинского, Воконского, Ершова, Данилова-Данильяна, Зоркальцева, ЛиповецкогЬ, Сайфулина, Суворова A.B. Трухаева, Шеремета, Шананинаи ряда других исследователей.

Интерес к проблематике теории индексов возобновися в 90-х гг. XX в. Ведущими исследователями, в том числе Дивертом и Баком, опубликованы циклы работ, подводящие, по их мнению, итоги исследований, выпоненных многими авторами. При их участии подготовлено Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика, где достижения теории индексов излагаются в расчете на практикующих статистиков. Изучение публикаций, в том числе использованных при подготовке Руководства, показало, что в них состояние теории индексов отражено непоно, подчас односторонне, и по ряду позиций нуждаются в уточнении.

В этих условиях упомянутые три направления детально, с качественных позиций, анализируются в главах 1, 2 и 3. Приводятся необходимые понятия, определения и обозначения, решаемые задачи и основные полученные результаты. Характеризуются вероятностная, агебраическая и аксиоматическая ветви экономического направления, подход Аплена и Тейла к конструированию индексов для последовательности состояний, параметрические подходы Конюса, Мамквиста и Алена к построению индексов, соответствующих агрегаторным функциям, непараметрический подход Африата, траекторные конструкции индексов, предложенные Дивизиа и Монтгомери. В Приложении 1 систематизированы формулы для индексов цен и количеств, используемые в диссертации. В Приложении 2 охарактеризованы аксиомы, формулируемые для двусторонних индексов цен, в том числе предложенные диссертантом. В Приложении 3 дан анализ свойств наилучших линейных индексов, предложенных Аленом и Тейлом.

Глава 4 подводит итоги анализа и определяет направления исследований, преодолевающих разобщенность, несогласованность и даже противоречивость доминирующих подходов к целям и методам индексной теории. Эти трудности и противоречия охарактеризованы в пункте Степень разработанности проблемы автореферата. Показано, что классическая теории индексов не представляет собой единое, непротиворечивое целое. Вывод из создавшегося положения предлагается искать, интерпретируя несовместность кажущихся очевидными требования к индексам как следствие отождествления различных условий (ситуаций), для которых определяются индексы, учитывать при выделении типовых ситуаций статичный или динамичный характер цен и его отражение в данных.

2. Ситуационная теория индексов для сравниваемых состояний изучаемой системы операций

В Разделе 2 характеризуются основания экономической теории индексов, для которой развивается ей ситуационная версия (Глава 5). С позиций ситуационной теории решается ряд принципиальных проблем, характерных для классической теории индексов (Главы 6-8).

2.1. Ситуационные основания экономической теории индексов

Вдедены понятия, с помощью которых описывается класс изучаемых ситуационной теорией индексов объектов на теоретическом и на эмпирическом уровнях, определяются признаки, классифицирующие основные, стандартные, подлежащие детальному анализу задачи, решавшиеся или подлежащие решению с позиций этой теории.

Совокупность условий, для которых такие обобщенные классы задач формулируются и получаемые методы их решения дожны признаваться соответствующими именно этим условиям, включая выпонение требований к решениям, идущим от целей, которые дожны быть достигнуты, названы ситуациями, рассматриваемыми теорией индексов цен и количеств или, в более обгцем виде, - экономической теорией индексов.

Система исходных понятий и решаемых с их использованием задач оказывается общей для более широкого класса объектов по сравнению с объектами, характеризуемыми в терминах понятий цена и количество, но также имеющих непосредственное отношение к анализу экономических процессов. Исходные положения экономической теории индексов развиваются и применяются для наиболее представительного и важного для приложений случая - для индексов цен и количеств. Термины количество и цена используются как характеристики результатов некоторого класса лопераций, реализуемых в изучаемой системе, имеющей структуру, выявленную в результате наблюдения за ней и теоретических обобщений.

Исходные положения ситуационной теории индексов состоят том, что рассматриваемая система имеет структуру и ее изучаемые состояния характеризуются показателями количества и качества результатов деятельности, называемой лоперацией. Для имеющей структуру системы определена выпоняемая в ней лоперация, характеризуемая на уровне ее элементов показателем количественного результата лу и показателем качества этого результата г, представимого в виде : = ху, где * - коэффициент перевода показателя у в общую для системы или для ее подсистемы единицу измерения. Система предполагается состоящей из подсистем, понимаемых как виды экономической деятельности, отрасли, территориальные образования. В моносистеме подсистемы не выделяются. Для подсистем определен общий набор лэлементов. Для .г-го элемента а-й подсистемы определены три показателя: х,(а)> у,(а), г,(а) = г,(а) ^(а). В подсистеме показатели г5(а) считаются выраженными в общей единице измерения и потому суммируемыми, но показатели у/а) могут иметь различные единицы измерения. Для а-й подсистемы качественные показатели могут быть выражены в различных единицах, например, в единицах национальных валют. Одна из задач теории состоит в определении коэффициентов к(а), чтобы величины к(а) г(а), аеП , выражались в общей единице измерений.

Состояние системы определяется как набор показателей: {х,(а), уДа), (а), (а), г = 1, ..., 51, а е О}. Различают типы взаимоотношений между сравниваемыми состояния-

ми системы. Если состояния допустимо рассматривать как не связанные процессами, влияющими на результаты операции, то систему считают системой с независимыми состояниями. Для таких систем вводило индексные формулы статистическое направление теории индексов. Противоположный случай - системы с взаимозависимыми состояниями. Для таких систем дожно быть определено множество ее допустимых состояний, принадлежность к которому выражают взаимосвязи состояний.

Важный случай систем со взаимосвязанными состояниями имеем, если состояния упорядочиваются и предполагается, что состояние I получается из состояния (I - 1) некоторым преобразованием, допустимым при известных состояниях {1, 2.....I- 1}. Такие

системы называют динамически трансформируемыми системами. Допустимые преобразования определяются способами, изучаемыми при моделировании динамических процессов. Для состояний динамически трансформируемой системы Дивизиа определил такие преобразования в виде соединяющих состояния семейства путей.

Элементы подсистем1 могут рассматриваться как относительно независимые, автономные или как взаимодействующие, то есть такие, для которых результаты ^(а) и гДа). 5, удовлетворяют соотношениям, выражающим их взаимозависимости.

Статистическое направление классической теории индексов рассматривает моносистему, для которой цены и количества не удовлетворяют ограничениям и связям. Экономическое направление предлагает понимать под элементами системы товары и услуги, для которых цены и количества связаны через агрегаторную функцию с закономерностями поведения производителей или потребителей, а цены на товары и услуги для производителей или потребителей заданы. Из опыта разработки и применения моделей экономики, следует, что характер взаимодействия элементов систем может быть существенно более сложным.

Для товаров предполагается задание иерархической структуры их групп с помощью графов-деревьев. Если для группы не определяются группы продуктов более низкого уровня, то она называется первичной группой.

Предъявляемые к индексам в различных ситуациях требования следуют не только из понимания того, какая рассматривается система, но и из того, для каких целей такие индексы предполагается использовать.

Характеристика ситуаций как пары лисследуемый объект (экономическая система и ее структура; операция, характеризуемая количественными и качественными показателями; иерархическая структура групп товаров и услуг) и наблюдатель - исследователь -реагирующая система (субъект) создает интеграционную основу теории индексов. Направления и задачи теории индексов интерпретируются как соответствующие типовым ситуациям, рассматриваемым с общих позиций.

С позиций ситуационной теории изучены возможности получения новых результатов при решении следующих проблем классической теории.

2.2. Индексы цен и количеств для первичных групп

В Главе 6 дано аксиоматическое определение индекса цен для первичных групп продуктов. Доказано, что индекс Джевонса единственным образом определяется свойста-ми-аксиомами для индексов первичных групп, которым дожно удовлетворять семейство функций/,^; ...; tД), п = I, 2, 3,

Аксиома I. Функция fД{t\ \...; 1П) непрерывна, возрастает по каждому аргументу и определена при всех f, > 0 (/' = 1, 2,..., п).

Аксиома II. Функция /Д(о; ..., tД) симметрична по всем аргументам.

Аксиома III Для функций/,^; ..., tД) выпонены тождества/Д(/;

Аксиома IV Функции/,(/|; ...,/Д) удовлетворяют соотношениям

fnitw т, tmH; Х Х , О =Л(П где /=/Д(<!;..., о (т = 2,3,

Аксиома V Функция fД(t\\ положительно-однородная функция пер-

вой степени однородности, т.е./Д(к t) = kfД(t) при к> 0).

Аксиома VI. Для функций fn{t\\ выпоняются соотношения

/Д(l/i,,...;l/rД)x/Д(i,;

Известен результат А.Н. Комогорова [Kolmogorov, 1930], согласно которому функции fД(t\, tД), удовлетворяющие аксиомам с 1 по IV и называемые правильными

средними, имеют вид: /Д (<,, ...,'Д) = g_1 > гДе s~l ~ функция, обратная непре-

рывной, возрастающей функции g(l) одного аргумента. Добавление аксиомы V приводит [Nagumo, 1930] к степенным средним, для которых g(/) = f Добавленная Аксиома VI, формулирующая естественное при расчетах индексов требование, определяет среднюю

геометрическую функцию /Д (/,,..., tД) = ^П'/ j

Проблема определения индекса цен именно для первичной группы проявляется в том, что искомый индекс предполагается зависящим только от индивидуальных цен индексов и не может быть более адекватно определен с использованием разбиений товаров группы на подгруппы. Эта особенность первичных групп товаров характеризуется в виде АкеиомЬ! IV.

В классической теории индексов геометрические индексы, использующие произведения индексов индивидуальных цен, противопоставляются агрегатным индексам, представимым в виде индекса Ласпейреса

/р0.1 = _!-= J-= у

ZaV у" .

и индекса, обратного к индексу Пааше

IA! Ifv,1 ,

IP^ = -iЧЧ. = JJL- = , ХУ У1

где u,

веса статистически не измеримы. Доказана возможность определения таких весов и,0 и и,' ..., л), что индексы /Р0,1 и /Р1,0 равны индексам Джевонса GД(/1, ..., /Д), GД(fi, ..., Л>)~' и удовлетворяют требованиям =|П'/|" = Доказано, что исполь-

зование среднего геометрического индекса цен может рассматриваться как оправданное, если приближенно идентичны количественные или стоимостные структуры изучаемого показателя для первичной группы, получающихся в результате объединения товаров с близкими отношениями цен в сравниваемых состояниях.

2.3. Моментные индексы цен и количеств

В Главе 7 с позиций ситуационной теории характеризуются важнейшие ситуации, постулируемые и изучаемые статистическим и экономическим направлениями классической теории.

2.3.1. Аксиоматическое определение индекса цен для корзины товаров и услуг Дано аксиоматическое определение агрегатного индекса цен для корзины продуктов, называемого индексом цен Лоу и определяемого формулой ? р'а'

1Р{р

я/ > 0 (/' = 1, ..., п). Этот и только этот индекс удовлетворяет трем требованиям [Eichhorn, 1978]: 1Р(р, р) 1 (аксиома идентичности), 1Р(р", р1 + р2) 1Р(р

В цене pi j-ro продукта выделяются ее элементы, например, оптовая цена, торго-во-посреднические и транспортные наценки, налоги. Цены представляются в виде сумм элементов: р

ставляющих цену элементов образуется искомый индекс цен. Для

JPB(p0, p) = IPlYip0a,'Z,Pt[\ получено разложение по элементам цен

в{р

доля а-го элемента иен в стоимости корзины в базовом состоянии. Доказано, что разложение искомого индекса цен IP ра j по элементам цен, представимое в виде

аксиомы

ip{pt.phl.ip{p0a.pa)*ip(pt,p*i), а

в которой используется только искомая функция 1Р(р

2.3.2. Моментные индексы Ласпейреса и Пааше и их свойства

Пара индексов цен Ласпейреса IPL и Пааше IPP систематически применялась и применяется статистическими органами СССР и России. Целесообразно найти достаточно простое аксиоматическое определение класса индексов цен, включающего эти индексы как мгновенные индексы по корзине с количествами a,-, i = 1, которые являются функциями только от количеств <7

Ласпейреса и Пааше естественно рассматривать как индексы по корзине. Аксиома I постулирует представление искомого индскса цен в виде индекса цен по корзине с количествами а, = hi(q

Функе [Funke, 1988], назвавшим такие индексы индексами цен, линейными относительно цен. Аксиоматическое определение этого класса индексов дано теоремой [Balk, 1995]: Функция 1Р(р

IP(p\ , W, ?') =?V. <?') +/V.iV. ?'),

l/IP(p

Аксиому 2 сформулируем в виде требования к функциям q') = hДi(q

Предложена Аксиома согласованности индекса цен относительно агрегирования (Аксиома 3), которая определяет вместе с Аксиомами 1 и 2 именно индексы цен Ласпей-реса-Пааше. Пусть множество номеров товаров и услуг fis (1,2.....л) представлена в

виде объединения двух непустых и непересекающихся множеств таких, что dim (П|) = л(1), dim (П2) = "(2) и п(1) + л(2) = п. Для наборов товаров и услуг с номерами /', принадлежащими множествам Г2, iii и П2, по известным ценам и количествамр

И(П), V\П|), И(П2), индексы стоимостей = К'(П)/И(П), /^-'(fii),

/и

Аксиома 3 состоит в том, что при любых допустимых исходных данных, то есть положительных ценахpf.pi1 и количествах qД (г = 1,..., л), при любом п > 2 и при любом представлении множества П в виде fi = f!|Ui)i значение индекса цен 1РД(р

1А1 (4

В Аксиоме согласованности индексов относительно агрегирования отражается практическая необходимость использования для ряда групп товаров не натуральных единиц измерения, а некоторых задаваемых цен, и расчета согласованной иерархической системы индексов.

2.3.3. Аксиоматические и эвристические определения моментных индексов Фишера и их свойства

Использование в статистике индексов Фишера потребовало объяснить то, почему корень квадратный нэ произведения двух простейших индексов может рассматриваться как заменяющий их моментный индекс. Аксиоматическое определение индекса цен Фишера дал Ван Изерен [Van Ijzeren, 1952]. Он доказал, что положительная функция

У(р

Иное определение индекса цен Фишера предложено в [Ершов, 1965]. Первый вариант постулировал то, что искомый индекс цен IP представляется в виде положительной функции двух положительных переменных^!, х2), аргументами которой являются индекс цен Ласпейреса xi = IPL и индекс количеств Пааше = IQP (Аксиома 1).Функция/предполагалась положительно однородной первой степени (Аксиома 2). Аксиома 3 выражала свойство индекса быть обратимым относительно состояний. Доказано, что этим аксиомам удовлетворяет только функция _Дх|, хг) = (xj xi)0,5 Аналогично формулируются ак определяющие индекс количеств Фишера. При таких определениях Аксиома стоимости является их следствием.

Второй вариант аксиоматического определения индексов Фишера постулирует (как Аксиому 1) представление искомого индекса цен IP в виде положительной функции четырех положительных переменных F(x|, х^, хз, Х4), где х\ - vD,0 = p0 X2=v0'' X3 = v1,1 X4 = v1,0 Аксиома 2 выражает требование положительной однородности функции F(x 1, х*2, хз, Х4) относительно пропорционального и автономного изменения цен и количеств. Аксиома 3 выражает требование обратимости состояний. Это определение индексов Фишера более естественно по сравнению с определением Ван Изерена, посколькуХ оно использует бесспорную Аксиому обратимости состояний, а не спорную Аксиому обратимости факторов.

Обнаружено свойство индексов Фишера: индекс цен IPF не изменяется, если и сравниваемых состояниях поменять местами количества; индекс IQF не изменяется при обмене ценами. Аргументация, обосновывающая это свойства, в работах по теории индексов отсутствует. В статье Бака [Balk, 1995] приведены еще шесть альтернативных определений индексов цен Фишера. Почти во всех определениях используются спорные свойства индексов при обмене состояний ценами или количествами, фактически являющиеся следствиями из Аксиомы 1, и тест обратимости факторов.

В колективном труде лConsumer price index manual: Theory and practice Диверт привел 20 аксиом, которым удовлетворяют только индексы Фишера. Этот набор аксиом включает следствия из подмножеств аксиом набора и не дожен рассматриваться в к стве аксиоматического определения индексов. В число аксиом включены спорные Ак мы инвариантности относительно обмена значениями цен или количеств. Следовательно, в ситуационной и статической теории индексов отсутствует обоснование индексов Фишера, поскольку не удается определить ту ситуацию, которой они соответствуют.

2.4. Эвристико-аксиоМатические обоснования формул моментных индексов

Подход к аксиоматическому определению индексных формул, характерный для классической теории индексов, не учитывает для какой ситуации формулу предлагается применять. Определяющие индекс аксиомы рассматриваются независимо от определения ситуации. Ситуационная теория предполагает, что определяющий данный индекс минимальный набор аксиом, соответствующий его применению в рассматриваемой ситуации, не включает аксиомы, противоречащие определению или характеристике ситуации. Среди минимальных наборов аксиом дожны быть выделены наборы, которые не противоречат выбранной ситуации. В Приложении 5 для семи индексов цен предложен такой набор, состоящий из шести аксиом, что каждый индекс характеризуется своим перечнем выпоняемых требований.

Рядом исследователей рассматривались свойства индексов, казалось бы определяющие выбранную индексную формулу. На следующих примерах показано, что псевдообоснования действительно предлагались.

2.4.1. Эвристико-аксиоматические обоснования моментных индексов, являющихся функциями от индексов Ласпейреса и Пааше

Фишер положил начало поиску индексных формул, представленных в виде функций от индексов Ласпейреса и Пааше, но удовлетворяющих предъявляемым к ним требованиям. КСвсш [Кевеш, 1990] показал, что индекс цен Маршала-Эджворта 1РМЕ = может рассматриваться как функция от также момент-

ных индексов Ласпейреса и Пааше, поскольку 1РМЕ = (I + 1дЬ)~'1РЬ + {/). (1 + Но при этом выбор весов при индексах цен 1Р1 и 1РР не обосновывася.

Идея конструирования индексов в виде функций от индексов Ласпейреса и Пааше, применяемая к известному индексу, может приводить к псевдо-обоснованиям такого индекса. Так в [Кевеш, 1990] индекс 1()Е представлен в виде взвешенного среднего арифметического индеексов

и ЩР- №=(Ш - 1<2Р) {1<2Ь - 1<2Ь + {щь - ^ (/! - 1<2Рух /др

Аналогичная формула получена для индекса цен 1РЕ Но эти представления не определяют индексы Фишера, так как при попытке найти их из этих соотношений получаются только тождества />/Х" = 10.Р, фр =

2.4.2. Стохастические интерпретации моментных индексов цен

Статистическое направление классической теории индексов исходит из детерминированных представлений об экономике. Но предпринимаются попытки обосновать мо-ментные индексы цен с позиций стохастического подхода. Джевонс и Эджорт предполагали, что индивидуальные индексы цен р)/р

ленные случайные величины, представимые в виде р)/р

где а или ехр(й) -оцениваемый общий темп инфляции, е, - случайные ошибки с нулевыми математическими ожиданиями и общей дисперсией а2 Таким предположениям соответствуют индексы цен Карли IPC /р

Взвешенный вариант стохастического подхода предложили Уош [Walsh, 1921] и Тейл [Tlieil, 1967]. Были бведены индексы, где индексам индивидуальных цен ставились в соответствие веса, определяемые по долям расходов s' = p q/V1' логарифмический индекс цен Ласпейреса (геометрический индекс цен весами базисного периода) ln LIPL) = 4 In (л'/й0), логарифмический индекс цен Пааше (с весами текущего периода) ln(/W) = I> 1п(р,1/р,

ln(//Tc>) = 0, + j')ln (jb'/p,0) Веса в этих индексах предлагалось рассматривать

как вероятности, с которыми дискретная случайная величина принимает детерминнрован-ные значения In{p)jЭвристичность введения вероятностей как долей расходов очевидна.

Новый этап в стохастическом подходе представлен в работах [Clements, Izan, 1981, 1987], [Selvanathan, Rao, 1994] и [Diewert, 1995, 2004]. Они основываются на предположении о существовании закона распределения вероятностей для отношений индивидуальных цен р'/р,

терпретации моментных индексов цен, в том числе индексов Джевонса, Карли, логарифмических индексов Ласпейреса и Пааше, индекса Тейла-Торнквиста, не представляют собой теоретические обоснования рассматриваемых индексов, так как исходят из предполагаемых, но не являющихся реалистическими ситуаций.

2.4.3. Микроэкономические интерпретации моментных индексов

Экономическое направление теории индексов позволяет по выбранной агрегатор-иой функции (AF) конструировать индексы цен и количеств. Статистическое направление теории ставит задачу расчета индекса цен именно для совокупности домашних хозяйств, которую в общем случае следует признавать неоднородной. Без учета такой неоднородности результаты экономического направления теории оказываются несопоставимы по объекту и целям исследований со статистическим направлением.

Рассмотрены основные случаи моментных индексов, соответствующие параметрическим функциям полезности, а именно индексы количеств и цен Фишера, Уоша, Торнквиста и лойда-Моутона. Возможность получения этих индексов трактуется рядом авторов как обосновывающее их применение к однородным группам потребителей. Эти результаты предлагается понимать только как гипотетические интерпретации известных индексов. В теории индексов количества рассматриваются как агрегированные величины, например, как покупки товаров группой домашних хозяйств. Потребитель определяет использование финансовых ресурсов, в том числе потребительские расходы, с учетом цен на товары, прогнозов цен и доходов. Цены, по которым приобретаются товары по группам, оказываются различными для домохозяйств из разных однородных групп потребителей ([Варшавский, 2009], [Ершов, Матыцин, 2009]). Потребитель выбирает приобретаемые продукты с учетом их цен. Средние цены приобретения для групп товаров являются результатом его выбора. Если средние цены по первичной группе товаров для периода и однородной группы потребителей считать экзогенными, то экономическое направление дает определение индекса цен именно для таких групп потребителей. Но перед теорией стоит более общая задача: определить индекс цен для неоднородной совокупности потребителей. Поэтому экономический подход, даже в варианте со многими однородными группами потребителей, не позволяет обосновать выбор моментных индексов.

3. Ситуационная теория индексов для динамических описаний сравниваемых состояний системы

В Разделе III монографии характеризуются исходные представления и показатели, задачи и основные результаты динамической ситуационной теории индексов. Анализируются попытки преодолеть статичность моментных цен, предпринимавшиеся рядом исследователей в рамках рассмотрения дискретных последовательностей состояний с постоянными ценами. Формулируются и решаются две взаимосвязанные постановки проблемы

обоснованного выбора семейства траекторий цен и количеств в условиях, когда цены изменяются, но наблюдаются только для дискретных моментов.

3.1. Основания и задачи динамической теории индексов

В Главе 9 характеризуются варианты введения траекторных индексов вообще и, в частности, индексов Фишера, Торнквиста и Монтгомери-Вартиа.

3.1.1. Определения и статистические измерения моментных и средних для периодов цен

Для динамической версии теории индексов основным является предположение о том, что цены товаров и услуг изменяются во времени вместе с их количествами и стоимостями. Количества и стоимости благ представляют собой потоковые величины, определяемые для периода времени, имеющего начальный ((о) и конечный (о) моменты. Количество и стоимость /-го товара для периода с т е [/0; '|] обозначим соответственно в,(/0; Л) = 2(('о)> ^('о; = У,(10). Средняя цена для /'-го товара в период с т е [1;1 + Н] равна Л(0 = УМШО-

Тройка показателей {(^(О, УМ, рассматривается как имеющая непрерывный аргумент момент времени предполагая, что Н= 1 и выпонены соотношения 1+1 ,+1

6|(')= \ Р/(0= I в которых функции и V, (т) - соответствующие

плотности и V, (т)/?, (т) е р, (т) - цена в момент времени т. Таким образом, теория рассматривает как функции непрерывного времени два разных объекта - тройки взаимосвязанных показателей: {М, У(0, Л(0) и {д,'(1), ч'((),р'(1)}.

Статистическая практика не наблюдает такие показатели как функции непрерывного времени. Она не для любой группы товаров способна статистически наблюдать показатели {?,(<), У,(О, -Р'М} Для дискретной последовательности значений /. Если известны величины (О), УМ), то средняя цена Р,{1) рассчитывается. Если из величин 0,(1), КМ известна одна, например, УМ,то величины (?М> могут быть определены при использовании допонительных предположений. В тройке {д, (/), V, (г), (/)} только цена может статистически наблюдаться как средняя цена для периода малой продожительности, для которого цену можно предполагать постоянной.

Динамические конструкции индексов, предложенные Дивизия и Монтгомери, постулируют использование троек показателей {?/(') М0,Р/(0). ' = 1. ХХХ> являющихся непрерывными функциями времени I. Анализ работ авторов, рассматривавших индексы Ди-визиа, показал, что в них под такими показателями понимались, в основном, показатели тройки {(2,(1), У/О), -Р/(')}- Но другие авторы понимали под функциями {д,(г), у,((), р(0} моментные показатели {д,'(0, р'(/)} и на этом основании характеризовали индексы Дивизиа как теоретическую конструкцию, которую невозможно напонить реальными

данными. Существование не согласующихся интерпретаций индексов Дивизиа делает проблему определения показателей, используемых в конструкциях индексов, важнейшей для динамической версии теории.

Определение средней цены по группе продуктов для периода, в течение которого цены заведомо изменялись, и метод ее расчета по данным статистики, заслуживает изучения независимо от того, какая версия теории индексов принимается за основу.

3.1.2. Динамические индексы для дискретных последовательностей состояний

Необходимость учета динамики цен и количеств в течение периода достаточной продожительности признается в рамках классической теории, когда она рассматривает цепные индексы, определяемые для дискретной последовательности состояний. Периоды могут трактоваться как последовательности периодов меньшей продожительности. Это приводит к тому, что индексы Дивизиа предлагалось понимать как предельный случай цепных индексов для периодов со стремящимися к нулю продожительностями. При этом используется трактовка индексов Дивизиа, базирующаяся на плотностях. Трактовка, связанная с потоками для скользящих периодов, игнорируется.

При анализе цепных индексов выяснено, что их некорректно использовать, когда цены колеблются или скачут, и их применение допустимо, когда речь идет о примерно монотонных изменениях цен и количеств [Hill, 1988. 1993]. Применение цепных индексов приводит к необходимости учета ограничений на динамику цен и количеств, при выпонении которых индексы согласуются с целями их расчета.

Подход к исчислению индексов, состоящий в использовании цепных индексов, стокнуся с определенными трудностями. Практика имеет дело с ситуациями, когда она не располагает частью данных из троек {д/, /, р'}. Поэтому приходится искать конструкции индексов, в которых используются только имеющиеся в данной ситуации данные. На эту проблему первым обратил внимание Триплет [Triplett, 1989], предвдживший Обобщенный индекс цен Фишера для временных рядов, обозначаемый IPFrdJ', 0; Т), если он рассчитывается для пары сравниваемых состояний в периоды с т=0 и т=Г по данным для периодов с т = 0, 1, ..., Т Триплет предполагал, что известны ценыр,', (= 1, ..., Т, и количества q?, qf, но не наблюдались количества q? при 0 < t < Т В аналогичной ситуации Бак [Balk, 1990] предположил, что ненаблюдаемые доли расходов s^plq'IV1 при 0 < / < Г хорошо аппроксимируются линейными комбинациями долей s,a, .г,г и ввел рассчитываемые по имеющимся данным доли s, '= [/л;Г+ (Г - i) si"]/T, i- 0, 1, ..., Г Это позволило определить квази-индекс

цен Фишера

и квази-индекс цен

Торнквиста 1РТод (/; 0; Т) = ^ > *) = 0,5(j,

Авторы работы [de Haan, Balk, Hansen, 2009] заменили среднее взвешенное геометрическое средними взвешенными арифметическими индексов цен для товаров и ввели квази-арифметический индекс цен Фишера

(<; о; Г) = [IЫ1Щ"ПТ [p'Jp^Y

аппроксимирующий динамику обычных индексов Фишера.

Индексы цен, аппроксимирующие цепные индексы, вводились потому, что предположение о возможности использования статистических данных для последовательности периодов, соединяющих базовое и текущее состояния, далеко не всегда оказывается оправданным. В этих условиях делаются попытки недостающие данные заменить искусственно конструируемыми данными. Исходные предположения о характере данных для промежуточных периодов при статическом подходе и при динамическом подходе близки, признают существование ситуаций, в которых отсутствует часть необходимых дан-нbix. Поэтому важно выявление и учет отклонений реально доступных, предполагаемых известными статистических данных от характера рассматриваемых теорией величин.

3.1.3. Динамические индексы для непрерывных траекторий цен и количеств: струкции индексов Дивизиа и Монтгомери

Для траекторий ценp() и количеств q{t), i = 1, ..., п, соединяющих задаваемые начальную и конечную положительные точки q") - (р,

Путь я(Г) э т[((;р

Монтгомери [Montgomery, 1929] в качестве исходного тождества рассматривал следующее представление для разности К(1) - К(0):

i 0 '0 в котором производные от логарифмов переменных суммируются со стоимостями

V;(Г) = p,(t) q(t), а не с долями расходов s,(i) э v,{t)IV{t).

Второе тождество Монтгомери выбрал в виде 1п{К(1)/К(0)} = (К(1)- K(0)}/Z.(F(1), К(0)), где непрерывная функция Цх, у) = L(y, *)) положительных переменных х,у определена следующим образом: L(x,y) = {х - y)l\a{xly), если дсфу, иЦх, х) = х.

Монтгомери отождествил слагаемые в тождестве ln IP + ln IQ = [К(1) - F(0)]/ / L(V( 1), К(0)) и получил определение индекса цен в предлагаемой конструкции:

In PM =

При V(l) * F(0) имеем ln IPM= (ts.pVlV) ln IV, ln IQM= (Д,К/А^0 In IV и догарифм индекса стоимости In IV разделяется на слагаемые \а1РМи In IQM с помощью долей факторов цен и количеств в ДК= F(l) - V(). {IPM, IQM] - это семейство индексов, в котором формулы получаются при задании граничных состояний и траекторий.

Обоснование отождествлений слагаемых в использующих интегралы разностях [In V(l) - In К(0)] и [К(1) - V(0)]/L(V(l), V(0)) было дано Мэланеем [Malaney, 1996] и Баком [Balle, 2005].

Показано, что, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают индексные формулы, обладающие различающимися свойствами. Следовательно, в рамках динамического направления теории требуется решить проблему выбора и траекторий и конструкции индексов.

3.1.4. Динамические индексы для кусочно-постоянных траекторий с граничными значениями цен и количеств

Постоянство цен при переходе от базового состояния (р

Переход к не дифференцируемым в конечном числе точек траекториям приводит к существенному расширению индексных формул, порождаемых конструкциями индексов Дивизиа и Монтгомери. Но остается необходимым так выбрать траектории цен и количеств для периодов меньшей продожительности, чтобы получить приемлемые и интерпретируемые результаты.

Полученные в этом подходе результаты были систематизированы Баком [Balk, 2005]. В периоде с /е[0;1] предполагались заданными два момента времени /(1) и (2) такие, что 0 < /(1) < 1(2) < I. Чтобы определить траектории цен и количеств при / е [0; I е [f(l); /(2)] и t б [<(2); 1], вводятся специальные векторы цен р' = {р') и количеств q = (q'), используемые в конструкциях индексов Лоу.

Траектории цен и количеств при 0 < t < 1 определяются следующим образом: путь С(р ), соответствующий задаваемым ценам р = (р')\ для / б [0; f(l)]/!f() - дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям р,(0) = р

для t e [(l); t{2)] q(t) - дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям q,{l(l))=q?, ?,((2)) = q\p,{t) = p (i = 1, .. .,/?);

для I e [/(2); 1] p,{t) - дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям p{t(2)) = p,p\) =р,\ q,(X)=q,1(i= 1, .... rt);

путь C(q ), соответствующий задаваемым количествам q = (g для t е [0; (l)] q(t) - дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям q{0) = q,

для l e [((1); /(2)] p,{t) - дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиямp(t(l)) =p,

для I е [/(2); 1] q,(l) - дифференцируемая функция, удовлетворяющая краеоым уй-

Такой выбор путей, для которых при всех остающихся постоянными на выделяемых периодах ценах или количествах изменяются все количества и цены, не согласуется с исходными предположениями экономического и траекторного направлений классической теории индексов, в которых отражаются связи между этими показателями. Постулируемые траектории оказываются не соответствующими существу динамичес-ской концепции индексной теории, хотя предлагаются для использования в динамической конструкции индексов.

Заметим, что пути интерпретируются как траектории мгновенных показателей цен и количеств (плотностей) и при t = 0, /(1), 1(2) и 1 используемые данные именно к моментам времени, а не к периодам. Тем не менее важным представляется то, что индексы Дивизиа для путей С(р') и C(q') в следующих частных вариантах специальных цен и количеств, совпадают с индексами, рассматриваемыми моментной теорией индексов:

IPD{C(p')} = IPD{C(qa)} = IPL - индекс Ласпейреса; IPD{C(p0)} = JPD{C(q')) = PP - ин-

индекс Бенерджи (Banerjee);

IPDJj = p\ + ) jlLPi +?,')- индекс Маршала-Эджворта;

IPD jc([9Vf)) = ^ШТ p' jUMf rf - индекс Уоша.

В качестве специальных цен р\ было предложено использовать функции от р

. p!+p)/ipd{c{p)} . А =--ЧjЧ^--, в котором цены конечного состояния (р ) дефлируются с помощью неизвестного индекса цен. В этом случае искомый индекс оказывается индексом цен Фишера. В [Van Ijzeren, 1952] показано, что индекс цен Фишера совпадаете индексом

Х 9,

подход к определению индекса цен, в котором использовася вектор специальных цен

Х РЧЧ1 + Р\Ч\НуЧУ)

* qf + q) / IPD{C(P')}

Отказ от рассмотрения только дифференцируемых траекторий имел следствием то, что формулы моментной теории индексов можно интерпретировать как динамические индексы, порождаемые специальными траекториями. Выбор функций, задающих непостоянные куски траекторий, не отражается в получаемых индексах. Но проблема обоснования выбора путей С(р'), C(q') и специальных значений цен и количеств не исследовалась.

Охарактеризованные результаты полезны в свете сближения цепного варианта теории с динамической теорией индексов. В них содержится идея, состоящая в том, что выделяемые подпериоды целесообразно характеризовать в терминах постоянства свойств, присущих неизвестным траекториям цен и количеств. Целесообразно так определить характерные свойства траекторий цен и количеств на однородных периодах, чтобы они позволяли находить их траектории по доступным данным.

3.1.5. Моментные индексы Фишера и Монтгомери-Вартиа как динамические индексы Дивизиа и Монтгомери

Интеграция статистического, экономического и траекторного направлений в теории индексов, начинается с ответа на следующий вопрос: являются ли известные индексы траекторными индексами Дивизиа или Монтгомери? Эта проблема решена для индексов Фишера и Монтгомери-Вартиа.

Известно, что индексы Фишера порождаются как индексы Дивизиа разными путями. Следовательно, мало показать, что выбранные индексы есть индексы Дивизиа. Це-

лесообразно иметь задачу, которая определяет семейство путей, порождающих выбранные индексы как динамические индексы.

Семейство путей S(n), порождающее индексы Фишера IPF и 1QF, найдено в виде дифференцируемых функций pit), q,() параметра I, t е [0; 1], удовлетворяющих очевидным граничным условиям. Параметризация пути выбирается так, что t представляет собой долю прироста стоимости в текущих ценах по сравнению с Vo в таком же приросте, но при

1 е. [0; 1]. Такой выбор возможен, если стоимость V(w) -Y. Pi (w)?, (w) = v, (w) являет/ f

ся монотонной функцией от w. Монотонность стоимости представляется естественным предположением, когда период считается однородным.

Для того чтобы семейство путей порождало индексы Дивизиа, дожны выпоняться при заданных граничных точках уравнения

In PF{p\ q\p(j), g(0) = Z^P?,i')V{t),

j In QF , g" ; m, 9(0) = Z P,

относительно 2n функций p(t), g,{t). Эта система допоненная соотношением {V1 - V

Для преодоления противопоставления статистического и экономиче-кого направлений траекторному направлению ключевую роль играет следующее утверждение: Индексы Фишера, Торнквиста и Монтгомери-Вартиа являются совершенными, так как порождаются задаваемой совершенной системой путей. Для индексов Фишера доказательство сводится к проверке того, что семейство путей SDFE{%), задаваемое следующими формулами для траекторий [pi{t)\ q(t)}, t е [0; 1],

где )',(/) = [ р

[Ершов, 1990, 2003]. Характерное свойство этих путей состоит в том, что вдоль них постоянны значения логарифмических производных (по параметру /) отношений индивидуальных цен р|(/) и количеств д,(!) для каждого продукта

Л 9((г)

Другое свойство этих путей, присущее не только им, выражается в том, что для суперсовершенных по определению путей имеем

А(0?,(') = Р?<}

и параметр ( представляет собой равное для всех продуктов отношение прироста стоимости (р, (0?, (Ок приросту (р'^'-р,0?,0)

Доказано, что индексы Монтгомери являются совершенными индексами ДИвизиа и порождаются суперсовершенным семейством путей ЖМ{и)

рДг.Л^ри'Ы

иУ+Щ-РУ)/

где а,(р) + а,й) - 1 и а,(р) - 1п(р,'/р,с)/1п[(р/ <?/')/(?, V)]-

5./.б. Индексы Торнквиста как динамические индексы

Изучена возможность представления индексов цен и количеств Торнквиста в виде индексов Дивизиа. Наибольший интерес представляет индекс цен Торнквиста РТо э 1РТо(р

в слабой форме и для нее вопрос о представлении в виде индексов Дивизиа может рассматриваться.

Для индексов Торнквиста (IPTo, IQToP) найдена система путей, порождающих их как индексы Дивизиа: ?i(0 = 9/

й(0 = t v4v{t) = t v4{v

3.1.7. Индексы Дивизиа с позиций экономического направления теории индексов

Представление индексов, традиционно рассматриваемых статистическим направлением теории в виде динамических индексов Дивизиа и Монтгомери, позволило преодолеть противопоставление этих двух направлений. Многие моментные индексы оказываются соответствующими исходным положениям экономического направления с его агре-гаторными функциями. Потребовалось дать динамическое обобщение постановок задач, образующих основу экономического направления теории индексов, то есть описать переход от сравнения базового и конечного состояний к рассмотрению непрерывной последовательности состояний, характеризуемых ценамиpi(t), количествами q,(i), i = 1, ..., п, и аг-регаторной функцией F(q(t)).

Такое обобщение с позиций теории индексов изложено Дивертом в Руководстве по индексу потребительских цен (Приложение 15.4.) и в статье Бака [Balk, 2005]. Целью распространения схем получения индексов из задач оптимизации на случай непрерывного времени состояла в том, чтобы показать, что конструкция Дивизиа не противоречит идеям экономического направления. Рассматривалась задача минимизации линейной по ценам и количествам функции затрат потребителя, имеющего положительную, линейно однородную функцию полезности U(q), при заданных для i-ro периода ценах р/, i = п, и уровне полезности и'Х min при условии U{q) = и, q,'> 0. Для ее оптимального решения q/ имеем а'яГ = С(\\р')и', где C(l,p') а с(р') - затраты на лединицу полезности.

Такое представление функции затрат потребителя С(и'; р') постулируется Дивертом и Баком сначала для дискретной последовательности периодов с / = 1, ..., 7", а затем распространяется на случай непрерывного времени. Поскольку при целых значениях t за всеми переменными сохраняются их определения, то фактически рассматриваются скользящие периоды, для которых параметр t интерпретируется как момент начала периода. Для скользящих периодов с начальными моментами времени / е [0; 1], предполагаются заданными траектория полезности и(1) и цены pit) как функции времени.

При каждом /е[0;1] потребитель минимизирует затраты в текущих ценах при заданном уровне полезности. Диверт и Бак формулируют соответствующие задачи в их статической постановке, то есть для каждого (-го периода. При этом не учитывается, что периоды с и t = /[ и t = h при условии 0 < /1 < h < 1, имеют непустое пересечение, и соответствующие задачи не могут решаться как независимые. Недостаток этого подхода к ин-

терпретации связи экономического и траекторного направлений теории преодолевается в следующей простой модели, соединяющей черты статистического, экономического и динамического направлений в их дискретных вариантах.

Поведение потребителя моделируется в период времени, для которого непрерывное время т изменяется от 0 до Г (те[0;7]). Этот лагрегированный период представим в виде последовательности Г периодов равной продожительности ctg [г - 1, /], /= 1, ..., т. В качестве функции полезности используется однородная первой степени, дифференцируемая функция^x) =АХ\>- Х Х.*/>)> определенная прих,> 0, i = 1,.... л, для которой матрица вторых производных с элементами dlf[x)ldxidxj отрицательно определена и потому не вырождена.

Решение динамизированной оптимизационной задачи тах Л,/(*Д,..., *,Д,)

при ограничениях Y,xp! = ' Ч ' = ХХ> ^ ' = Х> "> D которых ценыр! и парамет-1=1

ры А,, V, заданы и положительны, находится. Задача распадается на Г несвязанных между собой задач, их единственные оптимальные решения х

только агрегаторной функцией fix). Множитель X, находится: = А, Vfyi(p'), У(р') =YjPihi(p') I находится и оптимальное решение задачи для f-ro периода

' = ШР')Ы'(Р'> Г<Ф<(Р') л где <р,(р) = ВДМр) -

доли затрат, определяемые только ценами и не зависящие от суммарных расходов. Эти доли традиционно вводятся для линейных однородных функций полезности. Тогда = " найдено максимальное значение критерия

= как функция от экзогенных параметров задачи А = (А,),

'/= (У) и (р') ~ (р/ Аналогичная задача рассматривается для агрегированного периода с т е [0; Т]. В такой однопериодной, то есть статической, задаче максимизируется критерий flJCi,..., ХД) при ограничениях X, > 0 и = V, в которых цены и К заданы. Ей ре-

шение очевидно: X

Сравнение решений этих двух задач при упрощающих предположениях о постоянстве цен (р! = рд и равенстве функций полезности F,(xd = A,(^dJ[xd в агрегируемых периодах А,(д = А, I = 1, ..., Т\ - набор экзогенно заданных параметров), показывает, что при таких предположениях сумма (по периодам) оптимальных решений многопериодной

задачи совпадает с решением однопериодной задачи, если в этих задачах совпадают суммарные расходы.

Предположение о линейной однородности и неизменяемости в агрегированном периоде функции полезности вместе с постоянством цен приводит при заданной сумме расходов и допустимых динамиках расходов к совпадению линтегрального поведения потребителя в однопериодной и многопериодной моделях. Так обосновывается возможность рассматривать индексы для агрегированного периода без учета динамик цен и расходов.

Из решений для многопериодной и однопериодной задач видны различия экономического, по своей сущности статического направления, и траекторного, принципиально динамического направления теории индексов. Траекторное направление считает необходимым рассматривать ситуации, в которых цены для периодов могут не оставаться постоянными и учитывать динамику расходов даже в случае использования функции полезности, которая не изменяется. Если цены не постоянны, то становится очевидна необходимость учета динамического характера изучаемых про11ессов.

3.2. Аксиоматическое определение согласованных траекторий стоимостей, крличеств и средних для периодов цен

По отношению к конструкциям динамических индексов, критическая по- зиция сторонников классического направления теории индексов базировалась на казавшейся им очевидной невозможности обоснованного выбора непрерывных и дифференцируемых траекторий цен и количеств. Проблема выбора семейства траекторий, решение которой приводит к обоснованию выбора динамических индексов, оставалась нерешенной. Она не имела простой формулировки, выходящей за рамки рассмотрения противоречивых систем тестов, предъявляемых к индексным формулам. Трудности поиска такой формулировки были осознаны, когда были обнаруженц примеры существования нескольких семейств траекторий, порождающих имплицитную пару индексов цен и количеств. Выбор путей оказася более общей проблемой, чем выбор индексных формул, поскольку необходимо выбрать конструкцию индексов. В этих условиях обоснование выбора путей, определяющих динамические индексы как индексы Дивизиа или Монтгомери, естественно связывать с неявным постулатом классической теории о том, что искомые индексы для сравниваемых периодов могут быть определены и рассчитаны с использованием только литоговых данных для однородных периодов. Предложена следующая формулировка этого предположения, позволяющая не иметь дело с наблюдениями за непрерывными траекториями цен и количеств.

3.2.1 Проблема факторного разложения конечного приращения функции многих переменных и ее медиальное решение

Пусть F(X) = F(xi, ..., хт) - гладкая и монотонная функция m действительных переменных, не являющаяся сепарабельной и определенная на Rm. Требуется представить конечное приращение AF(x"; х1) = F(xl) - F(x

Воспользуемся тождеством iKx1)- F (х

0 ы dxk dt

няющий точки х

единственную интерпретацию: Если путь ж(t) выбран, то ДF, (х

'0 дх, dt

Необходимо предложить принцип задания пути или использующую функцию F задачу, решением которой будет семейство путей. Предлагается выбор семейства S{n) основывать на формализации следующего Тезиса: Искомое факторное разложение применяется только при условии отсутствия какой-либо информации о процессе фактического или гипотетического преобразования исходного состояния х

Гипотезу равноправия точек искомого пути, не совпадающих с исходной точкой предлагается формализовать следующим образом. Для т е (0; 1] при заданном пути Хrt(i; х

о Эх, dt AF[x ; х(т))

где Ц-с) - доля вклада / -го фактора в &F(x

Гипотеза равноправия точек пути интерпретируется как имеющая следствием постоянство вектора-функции Цт) = (Х;(т)). Факторное разложение для функции F(x), соответствующее аксиоме ненаблюдаемости путей и гипотезе равноправия его точек, пред-

лагается искать, используя гипотезу <Л,(т)/Л = 0, < = 1,..., т, как решение следующей задачи; найти вектор X = (X/), =1, такой, что система дифференциальных уравнений для

функций *,(/)

dF(x(t)) dx.jt) л ^ 5F(x(t)) dXjit) . , Зх, dt j,\ dXj dt

где параметр /, t s [0; 1], связан с функцией F(x) соотношением F{x{t))-F(x

имеет решение {X, *,(<; х

..., т. Вектор X обозначим X(x0,xV- Такой выбор параметра / возможен, если функция f(x) монотонна как функция одного аргумента, задающего параметризацию пути. 7t(t) = {х/(т)}. В таком случае переменная t определяется как следующая явная функция от т: f(xm)-f(x

Факторное разложение Д/; (х

разложением (медиалом), чтобы отличать его от других возможных факторных разложений. При естественных предположениях доказаны следующие свойства медиальных факторных разложений.

A. Существование для монотонных функций. Медиальное решение (X, x(t))F существует, если х'еш,., х' 6 <>f, ar = R** с fiF, F{x) - гладкая монотонная функция и R** х, >0, 1 = 1,..., т

B. Инвариантность относительно выбора параметризации пути. Медиальный вектор Хг инвариантен относительно взаимно-обратного преобразования параметра / в параметр и, то есть при I = g(u).

C. Инвариантность относительно монотонного преобразования функции F(x). Медиальное решение (X, x(i))f является медиальным решением (X, x(t))н для функции Н(х) = G(F(x)), если G(z), zeJii, гладкая монотонная функция, для которой F(x) е По при х е шf, u>f~ нормальное множество для F(x), и появляется нормальным множеством для

D. Инвариантность относительно взаимно-обратных преобразований переменных, образующих обобщенные аргументы функции F(x). Предполагается, что переменные

х\.....хт разделены на К непересекающихся групп с номерами к {к ~ 1, .... К\ 1 < К < т).

В k-Vi группе переменным х, даны обозначения: х,, = .., т(к). Набор переменных х, при i е Q(к), где 0(к) - множество номеров переменных из к-й группы, обозначен Л*.

Функция F(x) = F(X' предполагается представленной в виде

F(x) = G(gi(Xl), ..., .....гДе S^) -гладкая функция от m(k) переменных.

Переменные i = g*(A*) называют обобщенными аргументами для F(x). Предполагается, что для функции f(x) и точек х

где ш/г- нормальное множество для F(x), существует медиал (X; x(l))r. На множестве рассматривается взаимно-однозначное, гладкое преобразование х =J[u), и = h{x) перемен-ix включенных в каждую из К групп, то есть или

х* = /*(",',...,л(*))Х = А* (*,',.к = 1, К, / = 1, ..., m(fc). Тогда величины

X (х

ными аргументами, взаимно-однозначных преобразований переменных.

Свойства A-D названы медиальной инвариантностью. Возможность нахождения медиала, соответствующего Аксиоме ненаблюдаемости путей, дает апостериорное обоснование отождествлению вклада ЛF,(x

F(x) определяет факторное представление темпа изменения функции F(x) в следуго-

щсмпиде:^7(7) ИТ) Х

2.2.2. Аксиоматическое определение суперсовершенных траекторий цен и количеств для скользящих периодов, порождающих совпадающие индексы Дивизиа и Монтгомери Для семейства медиальных путей, соответствующих функциям ^(Р. 9) = = Р Я и In F(p, q), получены формулы, совпадающие с формулами траекторий цен и количеств для семейства путей SDME{n), рассмотренного в пункте 3.1.5. Найдены медиальные доли факторов;

1пр,'-1пд

In(Ay)-ln(p,V)' ' "^InUVj-lnUV)'

где ^^V

р q -р q

В силу свойства С медиального факторного разложения индексы Монтгомери-Вартиа, одновременно являются суперсовершенными индексами Дивизиа, соответствующими той же системе путей. Это позволяет индексные формулы Монтгомери-Вартиа называть индексами Дивизиа-Монтгомери и считать, что именно эти индексы представляют собой для такой ситуации решение проблемы выбора путей и конструкции индексов.

В Приложении 7 доказывается, что из медиальной инвариантности индексов Ди-визиа-Монтгомери следует их согласованность при агрегировании.

3.2.3. Единственность факторно-идентичных индексов Дивизиа и Монтгомери Проанализировано существование семейств путей, для которых поностью совпадали бы индексы, порождаемые конструкциями Дивизиа и Монтгомери. Определено то, как предлагается понимать поное совпадение траекторных индексов. Доказано, что этим требованиям удовлетворяет только семейство путей, порождающих индексы Монтгоме-ри-Вартиа.

3.2.4. Цепные индексы Дивизиа-Монтгомери для последовательностей состояний В теории индексов обсуждается обоснованность применения индексных формул

для сравнения состояний системы цен и количеств в двух достаточно далеко отстоящих друг от друга периодах. Граничные периоды будем различать по начальным моментам времени: 1 = 0- для начального периода с параметром времени те [0; 1], / = Т - для конечного периода с т е [Г; Т+ 1]. Рассматривается последовательность промежуточных состояний с начальными моментами времени I) < ь < < т-\ (0 < 1\, !т~\ < Т) и для них рассчитываются цепные индексы цен и количеств. Принимается к, к = 1, ., Т- 1.

Для соседних состояний рассчитываются обычные или сцепленные индексы 1Р(к~ 1, к), 1<2(к- 1, ), а затем соответствующие им цепные индексы

1=1 1-1

При расчетах сцепленных индексов фактически используется предположение об однородности процесса перехода от к-то состояния в (к + 1)-е.

Анализ выпонения Аксиомы транзитивности (циркулярноеЩ) для индексов Дивизиа-Монтгомери дожен базироваться на строгом определении этого свойства для траекторных индексов. Достаточно рассмотреть определение для трех состояний, характеризуемых известными значениями п цен и количеств: (р

ч\р\ д1)~*

/?(П0;') X 1Р(тс1'2) -- 1Р(п

Для семейства путей SД не удовлетворяющего специальным ограничениям, они не выпоняются. Но можно ограничиться рассмотрением только транзитивных семейств путей, для которых путь л0,2 является объединением путей п(Г,р

Однако индексы 1Р[0; Т\, IQ[0; Т\, получаемые из индексов Дивизиа-Монтгомери IPDM{k\ k + 1) и IQDM{k\ к + 1) и обозначаемые IPDM[0; Т\ и IQDM[0; Т\, не являются индексами Дивизиа, поскольку в общем случае последовательность состояний (рк, qk*'), /г =0,1, Т, не принадлежит пути я(1; р

\nIPDM[0\T]='Z\nJPDM(k-r,k), \aIQDM[0\ Т] = ln/DM(*-1;к) базируются на i=1 i'-l

тождестве

Г 1//1Л Т I

111Ч= In/PD"1 (*-!;*) +In-f*'(*-!;*)= IPD"'[\T] + IQD*'[\T\,

ы V{k-\) l=i k=l

в котором используются пуги 7t' {t\ pk'\qk'l\рк,qk), генерирующие индексы Дивизиа-Монтгомери. В нем реализуется конструкция индексов Дивизиа, применяемая к последовательности состояний {(р

Для той же последовательности состояний и путей конструкция индексов Монтгомери базируется на другом тождестве

т- ПО) = z[V{k)-V{k-)} = {trv(к) + AjT(i)}

и определяет индексы IPM"'[0; Т\ и IQhT[0; 7]. Следовательно, конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери при их распространении на последовательность состояний {(р

3.2.5. Гипотеза однородности периода с непостоянными i/енами и аксиоматическое определение средних для периода lien

Для рассматриваемых периодов-состояний теория и статистическая практика полагают известными количества и средние для периода цены товаров и услуг. В ситуациях, когда цены не постоянны, средняя для периода цена зависит от динамики его количества, которая, как правило, не наблюдаема статистически. Для такой ситуации решена задача нахождения средних для периодов цен по статистическим данным.

Рассматривается ситуация, в которой базовой период с t е [0; 1] предполагается однородным и статистическими методами получены граничные (при / = 0 и l = 1) значения р,

ном виде К,[0] s У[0; 1] =fv(t)dt, Q[0] =g,(t)dt, где v,(/) и q,(t) - соответствующие функ-о о

ции плотности. Предполагается, что v,(/) = q(t) * р,(г), где p(l) - так называемые мгновенные цены, и р,(0) =p,

Гипотезу однородности двух периодов с I = 0 и t = 1 предлагается понимать так, что при определении индексов цен и количеств для сравниваемых состояний не требуется другая информация, кроме величин К,[0], Q[0], Л[0],

W] Ф; 2] =|v,.(0<ft. Q,[l] =}q,0)dt, Л[1] = к,[1]/е,[1], .., П.

Гипотезу однородности базового периода (или текущего периода с / = 1) в ситуации изменяющихся цен, то есть при p{t) * const, р," * р,1, предлагается формализовать как аксиоматический выбор функций плотности v,(), q{() и функции мгновенной цены p() в том виде, в котором получены траектории количеств и средних цен, порождающих индексы Монтгомери.

Однородность периода предлагается определять одним из двух способов. Первый вариант основывается на том, что однородность определяется как постоянство долей факторов количества и цены в изменениях плотности для стоимости (v,() - v,0} и для ей логарифма {In v(0 - In v,0}. В этом случае используются при 0</<1 уравнения

?,(<) = ?,0[1 + (^

a./(g) = lli/i-I а,(р) Наблюдаемыми считаются цены р,', р

К,[0]. Интегрированием получаем:

V,[0] = 0,5(v, + V;1), Q,[0] - '-

(у'К-ОО + аД?))' O,s(v,0+v;)(v,7v,0-l)(l + tt,fa))

В этих формулах используются неизвестные значения g>', q,

Исследованы два случая, в которых зта задача дожна быть решена. Для типичного случая начальное значение количеств можно считать найденным в результате решения аналогичной задачи, но для предшествующего периода с t е [-1; 0]. Если для такого периода найдены величины Qi[-l], /'/[-1], то по известным величинам уже рассчитаны д,~1 и д," Поэтому Q,[0] и Л[0] вычисляются. В особом случае значение qнеизвестно, поскольку отсутствуют данные для периода, предшествующего рассматриваемому состоянию. Для этого случая представим Л[0] как функцию переменных p,

/}[0] (е'' lb

= < г Л/--ч " f{x'al

р, U -1 )(х + а)

Таким образом, отношение средней и начальной для периода цены в принимаемых предположениях определяется отношениями v,'/v,0 и {р,]/р,а).

В качестве характерного значения аргумента х для функции_Дх; а) при аФ 0 предлагается рассматривать х - решение уравнения d]\f[x\ а)!сЬ?= 0 или его приближенное значение х = 0. Аргументу х' соответствует точка перегиба функции J{x\ а) и наибольшее значение первой производной этой функции. В Приложении 8 рассмотрены свойства функции J[x; а) и показано, что dlj[0\ d)idx * 0. Для применения предлагаемого способа оценивания средней цены Л[0] важно, что х* не зависит от параметра а, и очень мало. Это позволяет использовать значение ехр(;с )l,i =0.

Для функции F(x\ а) = sign(a)[/[x; а) - 1]/(е" - 1), интерпретируемой (при of 1) как функция распределения для случайной величины х, значение х определяет ее моду. Доказано, что функция F(x; а) монотонно возрастает и ей можно рассматривать как функцию распределения случайной величины х, принимающей значения от -

Второй вариант определения однородного периода с изменяющимися ценами связан с традиционной для экономической теории и статистики гипотезой постоянства тем-

пов роста для рассматриваемых показателей. Траектории моментных количеств, цен и стоимостей задаются в виде

q,(t) = д,

К,[0] = (V,1 - v/V ln(v, V), Q,[Q] = (,/ - 9,0)/ Info,У) и для средней (для периода) цены получаем

,LJ ц^ш)

В этой формуле предполагаются известными мгновенные цены рл' и статистически не наблюдаются мгновенные количества qfl Вводя параметр а - Infpi'/p,0) и переменную х = Info,1/?,0), получаем формулу P[0]/p

Традиционно применяемая в практической статистике формула для средней (для периода) цены Л[0] л 1/2(р,

К[0]/{(р/ -р,

3.2.6. Индексы для периодов, состоящих из однородных периодов меньших про-дожителъностей

Соседние периоды, для которых уже определены сцепленные индексы, названы первичными периодами. Под первичными периодами можно понимать, например, месяцы или кварталы, объединяемые в периоды большей продожительности - кварталы или годы. Такие периоды назовем агрегированными периодами или A-периодами. Для них определяются те же показатели стоимостей и количеств, что и для первичных периодов. Допустимо считать, что они равны суммам показателей для входящих в A-периоды первичных периодов. Для соседних A-периодов оказываются определенными те же индексы, что и для первичных периодов. Но требует ответа вопрос: можно ли ограничиваться для двух соседних A-периодов, которым присвоены шифры л0 и л1, расчетом индексов, в которых используются только суммарные показатели стоимости F(0), 6(0), V(l), Q( 1) и сред-

ние цены ДО) = К(0)/2(0), Р(1) = 1/(1)/2(1)? В этих индексах не используются сведения о совместной динамике показателей для первичных периодов. Такую возможность классическая теория принимает на веру, постулируя, что индексы /2(0; 1) и 1р{0; 1) представляют собой функции от 4/1 аргументов р,{0), Л(1), (2/(0), <2,(у). Для первичных периодов это предположение оправдывается. Но применение индексов, оперирующих суммарными показателями для А-периодов, означает согласие оставаться в рамках статического подхода. Использование данных для первичных периодов, а не только их сумм, означает переход к реализации динамического подхода.

Предполагается, что для соседних первичных периодов с шифрами (/-1) и (/), включенных в сравниваемые А-периоды, уже выбраны индексные формулы 1Р(!~1,!), /2('~ . 0 и 1Р{1',1), /2('11). И для этих индексов выпоняются Аксиома стоимости и Аксиома обратимости во времени. Пусть базовый А-период имеет шифр л0, а следующий за ним А-период- шифр л1. АО- и А1-периоды состоят из Гпервичных периодов с номерами ! = ..., Г, Г+1, ..., 27" Стоимости, количества и цены для /-й группы продуктов в 1-м первичном периоде будем обозначать v,', считая, чтор! = //7/ Используются

обозначения: К' = Х>,', = 0,(0) = 9,' У,( 1) = ^" 2,(1 ) = Цепные

1 1-1 /=1 /=1 I-1

индексы для базового периода т и текущего периода / определяются обычным способом. Для них выпоняются соотношения /Р[т; /] х /2[т; = у/у, 1р[г, т] * т] = у/у и определены стоимость у[1\ = 1Р[т; /] х у= И//2[т; г] = уир[1\ т] = у х /0[/; т] для периода 1 в ценах периода < и стоимость У[х\ (] для периода! в ценах периода т.

Рассмотрены следующие варианты индексов цен 1р{0; 1) и количеств /2(0; 1) для двух А-периодов. В традиционном варианте индексов ;-й продукт в каждом из Т первичных периодов рассматривается как один из 7л продуктов. Получаемые индексы используют данные для всех продуктов и всех первичных периодов. Очевидным недостатком этого подхода является то, что такие индексы не изменяются при любой перестановке Тп продуктов, в том числе при изменении порядка следования перйичных периодов. В ситуации, когда порядок периодов отражает процесс совместного изменения стоимостей, количеств и цен продуктов, такая инвариантность является недостатком, не имеющим оправдания. Проанализированы возможности использовать пересчет количеств для первичных периодов из А1-периода в цены АО-периода или какого-нибудь другого периода и получить на этом пути индекс количеств /2(0; 1), а затем имплицитный ему индекс цен 1Р{0; 1). Такой пересчет возможен в нескольких вариантах.

Во-первых, объемы 2/(1) можно рассчитать в ценах АО-периода, используя среднюю цену -го продуктов К,(0)/2/(0). Тогда индекс /2(0; 1); естественно определить как отношение Х/РДО^уХ^С) В этом варианте Получаем индекс количеств Ласпейреса

/2 и индекс цен Пааше 1РР для А-периодов. Они не изменяются при перестановке первичных периодов и не учитывают динамический характер ситуации. Если пересчитывать

объемы АО-периода в средние цены товаров А1-периода, то получаемые индексы 1Р1 также определяются суммами стоимостей и количеств продуктов.

Во втором варианте количества пересчитывшотся в цены периода I н в качестве индекса получим отношение ХХЧГ+' Но з ги индексы не равны индек-

/I I / у

сам, получаемым при переводе количеств <7/ в цены периода (Г+ /). Зависимость индексов от выбора А-периода, в цены которого пересчитываются стоимости, имеет следствием то, что индексы не удовлетворяют Аксиоме обратимости состояний. Поэтому этот вариант отвергается.

Третий вариант индексов для агрегирующих периодов сконструирован, используя цепные индексы цен 1Р{т; /], получаемые из сцепленных индексов ;/>(';,+|) для первичны периодов. Выберем первичный период, а именно период т (1< т <27), считая его базовым и пересчитывая в его цены с помощью цепных индексов суммарные стоимости всех п продуктов для первичных периодов. Из получаемых так стоимостей V * 1Р11 образуем суммарные стоимости для АО- и А1-периодов в ценах периодах. Их отношение предлагается рассматривать как третий вариант индекса количеств Уб(0;

Xут"Х1Р[Т+г,1} Ш, 1 = -

г'X//>[/; т]

Важнейшим свойством этого индекса является его независимость от выбора базисного периода. Это свойство выпоняется при любом выделении из последовательности первичных периодов двух агрегированных периодов. Оно названо свойством согласованности индексов относительно агрегирования состояний. Индексы 1<2(0\ и Р(0; 1)/г/= {И(1)/Р(0)}//Р(0; \)щ названы структурно-динамическими индексами.

Индекс 1Р(0; \)щ не инвариантен относительно перемешивания первичных периодов, не определяется суммарными стоимостями и количествами продуктов в сравниваемых А-периодах, удовлетворяет Аксиоме обратимости состояний и отражает динамику цен и количеств в них.

Индексы 1Р(0; 1);;/ и 1<2{0; 1)щ, в которых сцепленные индексы - это индексы Ди-визиа-Монтгомери, названы структурно-динамическими индексами Дивизиа-Монттомери 7Я50М(0; 1) и /(25Ш/(0; 1) или 1РБОМ и Важно, что первичные пе-

риоды, образующие агрегированные и неоднородные периоды, рассматриваются как однородные. Следовательно, корректно реализована идея введения динамических индексов для неоднородных периодов, в которых подпериоды связываются естественным образом с имеющимися данными о ценах и количествах, а не выбираются произвольным образом. Это отличает структурно-динамические индексы Дивизиа-Монтгомери от индексов Диви-зиадля путей С{р') и С(д ).

J.J. Инвариантные свойства семейств суперсовершенных путей, порождающих индексы Фишера, Монтгомери-Вартиа и Торнквиста как индексы Дивизиа

Теория стокнулась с трудностями сравнения экономических структур, представляемых точками пространства состояний. Если структуры различаются существенно, это жет интерпретироваться как свидетельство произошедших изменений в изучаемом объекте и, следовательно, непоноты характеризующего объект набора показателей. Наряду с чкями в пространстве состояний можно рассматривать соединяющие их траектории. Но необходимо обоснованно наделить пространство состояний особьш геометрическим объектом - аффинной связностью, определяющей геодезические линии как траектории кого движения объекта.

Пути семейств, порождающих индексы Фшиера, Монтгомери и Торнквиста, как геодезические линии пространств со связностью

Для семейств путей, порождающих индексы Фишера (SDFE), Монтгомери-Вартиа (SDME) и индекс цен Торнквиста вместе с имплицитным ему индексом количеств (SDToE), получены дифференциальные уравнения как уравнения геодезических линий пространств, наделйнных аффинной связностью. В переменных, ln р, и ln q, производные которых интерпретируются как темпы изменения, они представляются в виде: для тс(0 е SDFE(%}

d2 lnp _ ifrflnp, йЧпдЛ2 d2\nq \(d\nq d\np,^\

~d? 2{ dt + dt J dt2 ~ П di + dt ) для я(0 e SDME{n)

d1 lnp, _ d]np, dlnq, f din p, Y d2\nq_ dlnq^lnp, fdlnq,Y dt2 ~ di dt l dt ) dt2 ~ dt di { di J Доказано, что индексам Фишера соответствует плоское риманово (евклидово) пространство нулевой кривизны с абсолютным паралелизмом.

Для траекторий, порождающих индексы Торнквиста, имеем:

Р, = (л)"'(А)2 +

я. = q(px4pf-4pq)-,(j>yi.{pjgj + pj4j) + u>l)-,p,9.

гдеpq = YjPkQt - '7(0 ~~ общая стоимость товаров.

3.3.2. Проблема выбора между динамическими индексами цен и количеств Фишера, Дивизиа-Монтгомери и Торнквиста

С использованием свойств индексов Фишера, Монтгомери и Торнквиста обосновано теоретические и практические преимущества индексов Дивизиа-Монтгомери перед другими индексами. Они заключаются в том, что: индексы Дивизиа-Монтгомери имеют

аксиоматическое обоснование, основанное на определении однородного процесса перехода от базового к текущему состоянию; они медиально инвариантны относительно преобразований переменных, согласованы относительно агрегирования; являются индексами, пррождаемыми конструкциями индексов Дивизиа и Монтгомери, и, следовательно, обладают свойствами таких индексов; аппроксимируют любые суперлативные индексы, нуждаясь в обосновании выбора аппроксимируемой агрегаторной функции; их значения изменяются при обмене состояний ценами, количествами или расходами для товаров. Индексы Фишера и Торнквиста не изменяются при таких подобных обменах. Для индексов Дивизиа-Монтгомери доли факторов d изменении стоимости совпадают с долями вкладов факторов в темпе прироста стоимости.

В Приложении 7 сравниваются и анализируются значения 12 индексов цен и количеств, рассчитанных по данным из получивших международное признание работ, развивающих и илюстрирующих индексную методологию. Источники данных: Глава 19 Построение индексов цен с использованием набора условных данных из Руководства по индексу потребительских цен: теория и практика (2004, 2007); Ирвинг Фишер. Построение индексов (ЦСУ СССР, 1928; данные о ценах и количествах 36 товаров в экономике США за 1913-1918 гг.); Пал Кевсш. Теория индексов и практика экономического анализа (М.. Финансы и статистика, 1990;. данные о ценах и количествах 39 продовольственных товаров на рынках Будапешта за 1961-1970 гг.); Yuskavage R.E. Improved Estimates of Gross Product by Industry, 1959-1994. Survey of Current Business, 1996, August (данные о произведенных в период 1987-1994 гг 66 отраслями экономики США объемах ВВП в текущих ценах и доларах 1992 г.). В Приложении 9 приводятся результаты расчета структурно-динамических индексов для агрегированных периодов (используются данные первого источника).

Расчеты подтвердили: неприспособленность гранич индексов Ласпейреса, Пааше и их геометрических аналогов для анализа динамик цен и количеств по реальным статистическим данным; близость значений основных динамических и моментных дексов, исключающую выбор из них на основании прагматических соображений; ванность выбора индексных формул, в том числе индексов Дивизиа-Монтгомери структурно-динамических индексов Дивизиа-Монтгомери, в результате анализа рассматриваемых ситуаций; целесообразность использования лэталонных характеристик индексов, получаемых для однопараметрических семейств индексов, в том числе введенных в следующем пункте, для выделения периодов, однородность которых заслуживает анализа.

3.4. Обобщенные индексы Дивизиа-Торнквиста

Конструкция индексов Дивизиа позволяет вводить в рассмотрение новые индексные формулы. Предложен новый класс индексов Дивизиа, называемых Л-индексами, для

которых траектории цен задаются в виде A,(t) =р,

удовлетворяет условиям А(0) = О, Л(1) = 1. Для любой функции h(t) индекс цен IPDh определяется формулой:

\n!PDh = А(р

В случае, когда r= V для допустимой функции h{i) имеем и и = 1. Эту ситуацию естественно характеризовать как наименее динамичную. В качестве показателя динамичности перехода из начального состояния в конечное, используется показатель W- 1 Для индекса Торнквиста v = 0,5 Показатель И^для А-индексов удовлетворяет неравенству 0 < W< 1. Значениям W, равным 0 и 1, соответствуют логарифмические индексы цен Ласпейреса и Пааше. Выход показателя Ж за границы неравенства может трактоваться как следствие специфической динамики показателей, в том числе нарушения монотонности траекторий цен и количеств.

Введение семейства обобщенных динамических индексов Дивиэиа-Торнквиста решает задачу расширения множества индексов, представимых в виде элементарных функций от цен и количеств товаров и услуг в сравниваемых состояниях.

4. Заключение. Выводы и основные научные положения и результаты выпоненного исследования

В результате анализа направлений классической теории индексов показано, что она не представляет собой единое, непротиворечивое целое. Разработаны и теоретически обоснованы положения ситуационной теории индексов цен и количеств, в которой преодолеваются выявленные противоречия классической теории индексов и ее направлений. Введена система понятий, объединяющая статическую и динамическую концепции теории индексов, позволяющая получать адаптируемые к типовым ситуациям индексы, решать задачи выбора индексов для ситуаций, используемых в статистической практике и теоретических исследованиях.

2. В типовых ситуациях, изучаемых классической теорией, применяемые в статистической практике индексы цен для первичной группы товаров и услуг, индексы для кор-

зины и индексы Ласпейреса-Пааше определены минимальными системами их свойстл-аксиом. В число аксиом включены безусловно признаваемые свойства индексов и ситуационные аксиомы, характеризующие рассматриваемые ситуации. Сформулированы и интерпретируются ранее не рассматривавшиеся ситуационные аксиомы, в том числе аксиома разложения индекса цен по элементам цены и аксиома согласованности индексов относительно агрегирования. Первая из аксиом определяет важный для приложений прием анализа влияния на индексы цен динамик их составляющих, в том числе оптовых цен, торгово-посреднических и транспортных наценок, налогов. Выпонения второй аксиомы естественно требовать при расчетах индексов для иерархической системы продуктов, не Имеющих на уровне групп общей единицы измерения количеств.

3. Для основных применяемых индексов цен (индекса Лоу, линейного индекса Ласпейреса-Пааше, индексов. Маршала-Эджворта, Стювела, Фишера, Торнквиста, Монтгомери-Вартиа) найдены характерные множества их свойств. Эти наборы аксиом могут использоваться при определении ситуаций, для которых применение индекса признается естественным.

4. Для индексов Фишера и Торнквиста, рекомендуемых международными организациями и отдельными учёными для использования, выявлены свойства, не имеющие содержательных интерпретаций в классической и ситуационной теории. Эти свойства являются следствиями из не критически выбранных требований к индексам, необоснованно постулируемой равноценности аксиом, определяющих индексы, и отказа от поиска и содержательного анализа ситуаций, которым индексы соответствуют.

5. Выявлена необходимость рассмотрения в теории индексов двух различных возможных определений показателей стоимостей количеств и цен, используемых в динамических конструкциях индексов, а именно моментных показателей и показателей, вводимых для скользящих периодов с непрерывно изменяющимися граничными моментами. Преимущество второго определения состоит в том, что оно обобщает определения индексов, применяемые статическим и экономическим направлениями теории.

6. Обнаружено и доказано, что индексы Фишера, Торнквиста и Монтгомери-Вартиа являютсд частными случаями индексов Дивизиа. Найдены системы дифференциальных уравнений для путей, порождающих эти индексы, интерпретируемые как уравнения геодезических линий пространств аффинной связности. Уравнения могут использоваться при моделировании происходящих в экономике процессов, когда моменту времени сопоставляется скользящий период. Выбор семейства динамических индексов трактуется как выбор естественной совместной динамики цен и количеств

7. Дано определение однородного процесса перехода от базового к конечному состоянию, позволившее найти траектории цен и количеств для скользящих периодов, на которых предложенные Дивизиа и Монтгомери конкурирующие конструкции динамических индексов генерируют совпадающие индексы цен и количеств. Цены в однородных

периодах не предполагаются постоянными. Доказана единственность семейства путей,

для которых конструкции индексов Дивизиа и Монтгомери порождают совпадающие индексы. Полученные индексы Дивизиа-Монтгомери обоснованы аксиоматически, удовлетворяют аксиоме согласованности относительно агрегирования) и совпадают с известными логарифмическими индексами Монтгомери-Вартиа.

В определении однородности периода формализовано принимаемое классической теорией индексов предположение о возможности введения индексов в виде функций от цен и количеств в двух сравниваемых состояниях, без знания процесса перехода от начального состояния к конечному. Нахождение траекторий основано на предложенной задаче получения факторного разложения конечного приращения гладкой и монотонной функции многих переменных и на доказанных свойствах ее решений.

8. Предложена формулировка и найдено решение задачи конструирования индексов для пары сравниваемых состояний в динамических ситуациях, когда рассматриваются неоднородные периоды-состояния, образованные последовательностями однородных первичных периодов с меньшими продожительностями. Структурно-динамические индексы для агрегированных периодов, получаемые дефлятированием стоимостей для первичных периодов в цены выбранного элементарного периода, не зависят <5т его выбора. В них учитывается динамика цен, количеств и стоимостей для совокупности товаров в агрегированных периодах, а не только их суммарные для периодов количества и стоимости (в текущих, не предполагаемых постоянными ценах).

9. Сформулирована и решена задача оценки по статистическим данным средней для периода цены товара, когда период предполагается однородным. Оценка такой цены необходима при расчетах любых индексов. В условиях существенной динамики цен в течение периода полученная оценка корректирует традиционную оценку средней цены, определяемую как среднее арифметическое моментных цен в его граничные моменты.

10. С использованием конкретных статистических и конструируемых данных о ценах и количествах товаров, заимствуемых из работ авторитетных специалистов и ученых, илюстрирующих и развивающих индексную методологию, и подготовленного международными организациями методического руководства по индексу потребительских цен, показано, что не являющиеся граничными индексы цен Маршала-Эджворта, Уоша, Тейла Стьювела, Фишера, Торнквиста, Монтгомери-Вартиа и Сато-Вартиа могут различаться столь незначительно, если принимать во внимание неточности используемых данных, что выбор между ними не может базироваться на сравнительном анализе их значений. Поскольку сравниваемые индексы характеризуются наборами свойств, выявляемых ситуационной теорией индексов, то проблема выбора индекса дожна решаться и в диссертации решается с позиций этой теории. Последняя предполагает обоснование выбора си туационных аксиом, соответствующих рассматриваемой типовой ситуации.

В результате анализа индексов Фишера, Монтгомери-Вартиа и Торнквиста, определяемых как моментные индексы и индексы Дивизиа, обоснованы теоретические и

практические преимущества индексов Дивизиа-Монтгомери перед другими динамическими индексами.

12. Сконструировано однопараметрическое семейство динамических индексов цен Дивизиа и имплицитных им индексов количеств. Индексы зависят от задаваемого параметра, характеризующего степень динамичности перехода от базового состояния к конечному. Эти индексы не предполагают знание траекторий цен и количеств товаров как функций времени. Индекс цен Торнквиста является частным случаем индексов этого семейства. Значения индексов, названных обобщенными индексами Дивизиа-Торнквиста, лежат между значениями логарифмических индексов цен Ласпейреса и Пааше, Любой индекс цен, вычисляемый по заданным значениям цен и количеств товаров, интерпретируется как обобщенный индекс Дивизиа-Торнквиста, и его значение может рассматриваться как значение этого эталонного индекса. Это свойство семейства создает новые возможности анализа совместной динамики цен и количеств товаров.

II. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии (н главы в монографиях):

Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. М.: РИОР, 2011 - 420 с. (Научная мысль). ISBN 978-5-369-00765-5- 26,5 п. л.

2. Ершов Э.Б. (в составе авторского колектива). Глава 4 Использование вычислительной техники и математических методов в расчетах по международным сопоставлениям экономических показателей и Приложение 7 Некоторые методические вопросы международных сопоставлений и их решение математическими методами в монографии Сопоставление уровней экономического развития социалистических стран. М.: Экономика, 1965 - С. 110-124, 269-281 (общий объем монографии - 15,54 п.л.; вклад автора - 1,7 п.л.).

3. Ершов Э.Б. (в составе авторского колектива). Межотраслевой баланс и проблемы ценообразования. Глава в монографии Методы планирования межотраслевых пропорций. М.: Экономика, 1965 (соавтор по главе - Белоусов Р А.). С. 204-20; общий объем монографии - 22,0 п л.; объем главы 1,0 п.л.; вклад автора - 0,5 п.л.

Статьи в журналах по списку ВАК:

4. Зайцева А., Ершов Э., Белоусов А., Поляков И. Методология исчисления вынужденных сбережений и подавленной инфляции: новый подход // Вестник статистики, 1991. № 9. С. 31-42. - 1,3 п л. (вклад автора - 0.5 п. л.).

5. Ершов Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа // Экономика и математические методы. 2003. Т. 39. № 2. С. 136-154. - 1,9 п.л.

6. Ершов Э.Б. Линейные связности в пространстве цен и количеств, индуцируемые индексами Фишера и Монтгомери // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41. №4. С. 53-67.- 1,0 п.л.

7. Ершов Э.Б. Имплицитно-суперсовершенные индексы цен и количеств Дивизиа // Экономика и математические методы. 2006. Т 42. № 3. С. 68-85. - 1,1 п.л.

8. Ершов Э.Б. Теория клювов и моделирование. // Экономика и математические методк. 2007. Т. 42. № 1. С. 52-67. - 1,7 п.л.

9. Ершов Э.Б. Межотраслевые модели и теория клювов // Экономика и математические методы. 2007. Т.42. № 2. С. 57-75. - 2,0 п.л.

10. Ершов Э.Б. Развитие и реализация идей модели межотраслевых взаимодействий для российской экономики // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2008. Т. 12. № 1.С. 3-28.-1,7 п.л.

Шугалъ Н.Б., Ершов Э.Б. Теоретическая модель взаимосвязи элементов добавленной стоимости и конечного продукта // Проблемы прогнозирования. 2008. № (106). С. 33-54. - 1,4 п.л. (вклад автора - 0,8 п.л.).

12. Шугаль Н.Б., Ершов Э.Б. Эмпирическая модель взаимосвязи добавленной стоимости и конечного продукта в российской экономике // Проблемы прогнозирования. 2008. №2 (106). С. 19-48.-1,8 п.л. (вклад автора-0,8 п.л.).

13. Ершов Э.Б. Факторная идентичность траекторных индексов порождаемых конструкциями Дивизиа и Монтгомери как определяющее свойство логарифмических индексов цен и количеств // Экономический журнал Высшей школы экономики 2010. Т 14 № 1. С. 70-87 - 1,2 п.л.

14. Ершов Э.Б. Струетурно-динамические индексы цен и количеств для агрегированных периодов и средние цены для однородных периодов // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2010. Т 14. № 4. С. 440-467. - 1,8 п.л.

Зарубежные публикации:

15. Slrnad Vladimir, Yershov Emil. Some mathematical problems arising in international comparison of economic indicators // Czechslovak Economic Papers. 1965. № 5. P 91-105. 1,0 п.л. (вклад автора - 0,5 п.л.).

Публикации в других изданиях:

16. Ершов Э.Б. Математические вопросы международных сопоставлений экономических показателей (тезисы доклада). М.. НИЭИ Госплана СССР (препринт), 1965. - 1,0 п.л.

17 Ершов Э.Б. Вступительная статья и допонение к переводу монографии Пал Кевеш Теория индексов и практика экономического анализа. М.. Финансы и статистика, 1990. С. 5-34, 291-297. - 2,5 п.л.

18. Ершов Э.Б. Современное состояние теории индексов цен и количеств. Международный Научный семинар Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов. Труды. М.. ЦЭМИ РАН, 2009. С. 51-59. - 0,5 п.л.

Тезисы докладов на научных конференциях, семинарах и конгрессах:

19. Ершов Э.Б., Матыцин М.С. Экономическая теория и статистическая практика анализа потребительского поведения домашних хозяйств (Адрес в Интернете: Ссыка на домен более не работаетcongress/phtm; Первый Российский Экономический Конгресс РЭК-2009, Программная секция 31 Экономическая статистика, Сессия 2, Доклад 3; 09. 12. 2009; файл 87р6; 6 е.). - 0,3 п.л. (вклад автора- 0,15 п л.).

Ершов Эмиль Борисович

СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ ЦЕН И КОЛИЧЕСТВ

Специальность 08.0013 - Математические и инструментальные методы экономики (экономические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук (представляемой в виде монографии)

Заказ №31

Объем 2,6 п.л.

ЦЭМИ РАН

Тираж 100 экз.

2010202471

2010202471

Похожие диссертации

• Методические основы оценки конкурентоспособности промышленных предприятий
• Научный анализ, моделирование и реализация маркетинговых инноваций в режиме эксплерентных торгов на российском рынке ценных бумаг
• Профессиональное пенсионное страхование как элемент пенсионной системы государства
• Ситуационный анализ в управлении жилищно-коммунальным хозяйством в Российской Федерации
• Систематизация теорий рациональности поведения на рынке ценных бумаг