Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Разработка методов исследования и оптимизация стратегии развития экономической системы региона тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат

Ученая степень	доктор физико-математических наук
Автор	Кетова, Каролина Вячеславовна
Место защиты	Ижевск
Год	2008
Шифр ВАК РФ	08.00.13

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Разработка методов исследования и оптимизация стратегии развития экономической системы региона"

На правах рукописи

Кетова Каролина Вячеславовна

УДК 517 977 5+ 519 866 330 14(06)

03172300

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕГИОНА

Специальности

08 00.13 - "Математические и инструментальные методы экономики", 05 13 18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 6 "О 7

Ижевск 2008

003172300

Работа выпонена в Ижевском государственном техническом университете

Научные консультанты

Беленький В.З. - доктор физико-математических наук, профессор,

Русяк И.Г. - доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты

Шананин A.A. - доктор физико-математических наук, профессор (МФТИ, г Москва),

Альес М.Ю. - доктор физико-математических наук, профессор (ИПМ УрО РАН, г Ижевск), Ефимов И.Н. - доктор технических наук, профессор (ИжГТУ, г Ижевск)

Ведущая организация

Вычислительный центр

имени А А Дородницына РАН (Москва)

Защита состоится л 30 июня 2008 г в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212 065 07 по адресу 426069, г Ижевск, ул Студенческая, 7, ИжГТУ Email primat@istu ru, тел/факс (3412)59-39-28

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ижевского государственного технического университета

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим выслать по указанному адресу в двух экземплярах

Автореферат разослан л 2*' ^Cftf -р 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.т. н, профессор

Храмов С Н

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Целью стратегии развития экономической системы является повышение благосостояния населения, достигаемое в результате устойчивого экономического роста Формирование такой стратегии - управленческая задача, заключающаяся в определении оптимальных объемов финансирования социальной и производственной сфер

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2006 года сформулированы приоритетные направления экономического развития, где главным фактором экономического роста признан человеческий капитал

Человеческий капитал имеет многоаспектный характер Среди этих аспектов важную роль играет демографическая составляющая, важнейшим из элементов которой является численное воспроизводство населения Высокий уровень смертности и низкий уровень рождаемости сформировали в России демографический кризис Экономику страны ожидают сложности, связанные с вхождением в трудоспособный возраст малочисленного поколения родившегося после 1990 года Другим важным аспектом проблемы является качество человеческого капитала Поэтому расходы на здравоохранение, образование, науку и культуру становятся ключевой составляющей в развитие, инвестициями в воспроизводство человеческого капитала

Степень серьезности изменений в пропорциях производящей и потребляющей групп, а также их влияние на макроэкономические показатели в силу ряда причин недостаточно изучены Актуальность исследований в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики

Таким образом, в сложившейся ситуации человеческий капитал, включая численность, особенности структуры и качество жизни, является основным фактором экономического развития В этой связи очевидна актуальность изучения фактора человеческого капитала, его моделирования и учета в задачах экономической динамики (ЭД)

Наряду с этим, безусловно, необходимо наращивать научно-технический уровень производственного потенциала и его экономическую эффективность В этой связи актуальна задача моделирования научно-технического прогресса (НТП) и социально-образовательного прогресса (СОП) как главных факторов экономического роста и общественного развития

В настоящее время в стране сформировася ряд научных центров, работающих в области построения математических моделей для прогнозирования и анализа развития экономических систем В Москве такими центрами являются Центральный экономико-математический институт РАН, Вычислительный центр РАН (группа академика А А Петрова), в Санкт-Петербурге - Экономико-математический институт, исследования в этом направлении проводятся также в Новосибирске, Томске, Нижнем Новгороде и других городах

Можно выделить два принципиально разных подхода к постановке задач экономической динамики оптимизационный и равновесный Исследова-

ния, проведенные в данной диссертационной работе, выпонены в рамках первого подхода, здесь применяется математический аппарат теории оптимального управления в экономике, который включает принцип максимума Л С Понтрягина и принцип оптимальности Р Белмана

В настоящее время достаточно хорошо изучены одномерные макромодели экономической динамики, которые основаны на работах Ф Рамсея, Д Касса, Т Купманса К этим работам примыкает работа Р Солоу Развитие этих моделей представлено работами В 3 Беленького и В Д Матвеенко Следует отметить, что до настоящего времени изучению и исследованию многомерных моделей ЭД не уделялось дожного внимания, поэтому разработка методов их исследования и оптимизация развития экономической системы региона является актуальной задачей

Анализ динамических моделей экономики включает определенную последовательность этапов, среди которых существенную роль играет нахождение и исследование стационарного состояния (либо луча сбалансированного роста), и определение необходимых (или необходимых и достаточных) условий существования оптимальности траекторий, сходящихся к найденному стационарному состоянию Эти две задачи в совокупности решают проблему построения оптимальной стратегии управления экономической системой Добавим, что модели, рассматриваемые в диссертации, линейны по управлению, этот класс моделей обладает хорошо известной спецификой

Данные рассуждения касаются теоретических исследований В прикладных моделях, ориентированных на применение в практике реального планирования, стационарного состояния, как правило, не существует, оптимальные траектории сбалансированного роста носят квазистационарный характер (это связано с явной зависимостью от времени многих факторов, входящих в модель), что представляет собой проблему при исследовании и построении синтеза оптимального управления в таких моделях Поэтому возникает необходимость построения новых и расширения возможностей применения существующих аналитических методов и подходов к исследованию оптимизационных моделей экономической динамики

Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются динамические управляемые экономические системы, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов

Предметом исследования являются аналитические методы анализа и решения задач оптимального управления, постановка и решение задач оптимального распределения капиталовложений для различных моделей макроэкономической динамики

Целью диссертационной работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения многопараметрических задач оптимального управления экономической динамикой в многомерном фазовом пространстве, а также модельного инструментария для прогнозирования обобщающих показателей развития региональной экономической системы

Задачи исследования:

1 Математический анализ и исследование структуры оптимального управления в многофакторных стационарных и негомогенных (с экзогенно задаваемой прогнозной временной информацией) моделях экономической динамики

2 Построение агоритмов решения задач оптимального управления для указанного класса моделей

3 Разработка параметрических моделей динамики различных факторов экономики.

4 Построение макромодели региональной экономической системы Удмуртской Республики (УР), идентификация ее параметров и прогнозирование обобщающих показателей развития экономической системы региона

5 Разработка агоритмов решения задачи оптимального управления распределением капиталовложений для экономики УР с учетом таких факторов, как

о демографический прогноз и фактор человеческого капитала, о научно-технический прогресс и социально-образовательный прогресс, о использование внешних инвестиций

6 Проведение научно-аналитических расчетов для различных версий модели развития экономической системы региона (перечисленных в п 5)

7 Разработка проблемно-ориентированного программного обеспечения "Информационно-аналитическая система социально-экономического анализа" (ИАССЭА) УР

Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа и теории оптимального управления (принцип оптимальности Белмана, принцип максимума Понтрягина), методы оптимизации, методы статистической обработки данных, численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений, методы математического прогнозирования, регрессионного анализа, использован аппарат математического компьютерного моделирования

Достоверность и обоснованность полученных результатов Методы, применяемые в диссертационном исследовании, обуславливают необходимый уровень его достоверности В качестве основных факторов достоверности работы можно перечислить использование теории оптимального управления, квалифицированное владение инструментарием математического моделирования социально-экономических объектов и процессов

При использовании численных методов достоверность обеспечена проведенными исследованиями их сходимости

Достоверность результатов прогнозирования макроэкономических характеристик обеспечена сравнением результатов расчетов с экспериментальными (статистическими) данными на участке ретропрогноза

Полученные выводы и рекомендации по повышению эффективности управления региональной экономикой подтверждаются содержательным анализом специфики исследуемых процессов и качественными особенностями функционирования региональной экономики

На защиту выносятся:

1 Результаты теоретических исследований стационарных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа оптимальности Белмана и принципа максимума Понтрягина

1 1 В общей модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1)

1 2 Для монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, определяющей эту точку через исходные параметры модели

1 3 Дано поное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (РКК-модель) (Теорема 2)

1 4 Описана структура оптимального управления в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках с управляемой и фиксированной долями потребления

1 5 Получена конечная формула для луча сбалансированного роста для мно-

гофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (Теорема 3)

2 Результаты теоретических исследований негомогенных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа максимума Понтрягина

2 1 Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и по-

строению в таких моделях оптимального управления на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5)

2 2. В многофакторной ОТ-модели описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая Предложен агоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней значимости факторов (индексный метод)

2 3В многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3)

2 4 Построено оптимальное управление в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления

3 Математическая модель демографической динамики и потенциала трудовых ресурсов, а также результаты анализа демографической ситуации в УР и прогнозирование демографических характеристик

4 Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала, численный прогноз для УР

5 Математическая модель экономической системы региона как инструмент для построения прогнозно-аналитических расчетов Результаты идентификации параметров модели и прогнозирования обобщающих показателей региональной экономической системы

6 Агоритмы и результаты решения задач оптимального управления региональной экономической системой для различных вариантов ее развития Научная новизна работы.

С точки зрения научной новизны результаты, выносимые на защиту (перечисленные выше), можно охарактеризовать следующим образом

1 Теоретические результаты п п 1 1, 12, 14, 1 5, а также все результаты п 2 являются новыми Результат п 1 3 допоняет известный результат Купманса и дает поную характеристику решения РКК-модели

2 Подход к разработке модели прогноза демографических характеристик (п 3) на основе уравнения (сохранения) переноса (известного в механике гетерогенных сред) является теоретически новым

3 Формулировка экономико-математической модели п 4 является теоретически новой Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени

4 Разработки п п 5 и 6 основаны на новых теоретических результатах и имеют научную и практическую значимость Построены агоритмы оптимального управления для различных вариантов развития ЭД

Научная и практическая значимость Полученные новые теоретические результаты относятся к области фундаментальных исследований и являются вкладом в инструментарий научно-методологического анализа моделей экономической динамики Приемы и методы исследований, развитые в работе, могут быть непосредственно использованы в теоретических исследованиях при построении и анализе экономических моделей

Полученные результаты расширяют понимание закономерностей и механизма распределения инвестиционных потоков между производственной и социальной сферами. Сформулированные математические модели и агоритмы их реализации могут быть применены для прогнозирования факторов экономического развития Развиваемое направление исследований дает более поное представление о вкладе различных факторов при формировании стратегии развития региона

Содержащаяся в работе информация и выводы могут быть использованы для выработки научно обоснованной региональной программы развития УР ИАС-СЭА может быть адресована Министерству экономики УР и Государственному комитету по труду УР

Материалы диссертационной работы используются при обучении студентов факультета прикладной математики по специальности 061800 - Математические методы в экономике, а также при проведении исследований на стадии написания дипломных работ и кандидатских диссертаций

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях Научно-практической конференции ИжГТУ (Ижевск, 15-16 июля 2002 года), IV Научной конференции молодых ученых и аспирантов с международным участием "Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем" (Ижевск, 19 февраля 2003 года), VII Научной конференции молодых ученых и специалистов на секции "Информационные технологии и их применение" (Дубна, 3 - 8 февраля 2003 года), IV Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах" (Ижевск, 29 -30 мая 2003 года), отдельные результаты работы докладывалась на семинаре профессора С А Айвазяна "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" в ЦЭМИ РАН (Москва, 2 июня 2004 года); V Международной научно-практической конференции "Государственное регулирование экономики Региональный аспект" на секции "Математическое моделирование экономических систем" (Нижний Новгород, 20 - 22 апреля 2005 года), Межрегиональной научно-практической конференции "Стратегия устойчивого развития города Ижевска" (Ижевск, 28 сентября 2005 года), Юбилейной конференции с международным участием "Современные проблемы науки и образования" (Москва, 5-6 декабря 2005г), Международной научно-практической конференции "Научные школы и результаты в Российской статистике" (Санкт-Петербург, 29 января - 1 февраля 2006 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVII" (Воронеж, 3-9 мая

2006 года), Всероссийской научно-практической конференции "Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие" (Чебоксары, 3 октября 2006 года), 14-ой международной конференции "Математика Компьютер Образование" (Пущине, 22 - 27 января 2007 года); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2007 года), IV конференции "Российская экономика 2007 реальность и перспективы" (Пула, Хорватия, 7-14 июля

2007 года), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVIII" (Воронеж, 3-9 мая, 2007 года), 3-ей Международной научно-практической конференции "Достижения ученых XXI века" (Тамбов, 30-31 июля 2007 года), Всероссийской научно-практической т1егпе1-конференции "Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем", раздел "Математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами" (Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября - 15 ноября 2007 года), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX" (Воронеж, 3-9 мая, 2008 года)

Поностью работа докладывалась на семинаре академика А А Петрова "Математическое моделирование экономических систем" в ВЦ РАН (Москва, 21 мая 2008 года)

По теме диссертации опубликовано 44 печатные работы, в том числе 14 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций (в списке публикаций отмечены *)

Личный вклад диссертанта заключается в непосредственном участии на всех этапах исследования, включающих разработку теоретических подходов и методов к исследуемой проблеме, моделирование изучаемых процессов, математическое описание, разработку методов решения и анализ результатов

Структура и объем работы Задачи и характер исследования определили объем, структуру и логику изложения материала (см рис 1) Общий объем работы составляет 280 стр машинописного текста, она содержит 21 таблицу и 89 рисунков Библиографический список включает 267 наименований

Рис 1 Структура диссертации

Содержание диссертации Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определены цели и задачи исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту Дается краткая аннотация содержания диссертации

Первая глава посвящена анализу гомогенных стационарных моделей экономической динамики, сформулированных в рамках оптимизационного подхода Раздел 1 является обзорным В разделе 2 можно выделить три основные части

Первая часть - понятийный аппарат Здесь формулируются основные теоретические понятия теории моделей ЭД в непрерывном времени

В общем случае задача ЭД в непрерывном времени имеет следующий вид т

Сг = + , (1)

х(0) = /геХ, х = х,еХ' (2)

Здесь Хс^- фазовое пространство состояний рассматриваемой системы, О. с ЯЩ - пространство управлений, II - функция полезности, 5 - норматив дисконта полезности, ф - эволюционная функция Параметр Т е называется горизонтом планирования, в качестве начального момента времени I = 0 выбрано начало календарного интервала [г0 ,/0 +7"] Пространство управлений 1 не зависит от состояния системы * Максимум в (1) берется по множеству всевозможных допустимых управлений, те таких траекторий управления {5, еО,ф,Г{, что х,еХ V/ >О В постановке (1), (2) левое краевое условие задается в обычном виде, правое краевое условие - в виде терминального функционала с помощью которого оценивается конечное состояние системы

В гомогенной модели функции и = и(х^) и 9 = не зависят явным

образом от календарного времени ?, такая модель однородна во времени Решение задачи не зависит от положения интервала планирования на оси реального времени, а зависит только от длины этого интервала (т е от горизонта планирования Т) В гомогенной модели ЭД управление можно задавать как функцию двух аргументов - остаточного горизонта I = Т-1, I е и состояния х, я, =с;(Г-/,*,) Такая функция называется стратегия управления, будем обозначать ее 1; х X О Допустимая стратегия не дожна выводить фазовую точку х, из пространства X Максимизация критериального функционала (1) в гомогенной модели ЭД проводится по стратегиям управления д, его можно представить в виде

[/(*,,я(^ + е_87Ч'(х/) , йеХ (3)

Формула (3) определяет введенную Белманом функцию выигрыша (горизонта Т) Ут X Я+ , аргументом которой является начальное состояние системы *(о) = А По своему экономическому содержанию функции *Р(хг) и Ут (/г) имеют одинаковый смысл - обе они служат для сравнения различных фазовых

Ут (/г) = шах

1 Далее нижний индекс ? будем опускать, используя его лишь в тех случаях,

когда необходимо акцентировать зависимость соответствующего параметра от

времени

состояний. Их принципиальное отличие в том, что в исходной информации задачи оптимального управления - информационном паспорте {X, 1, /,ф,6,Ч/,7\/1} - функция является априорным функционалом (задаваемым до каких-либо расчетов), в то время как функция УТ получается в результате расчета и поэтому является апостериорным функционалом Если функционал Т таков, что получаемый в результате расчета функционал УТ совпадает с ним, то такой априорный функционал называется объективным и обозначается V (см В 3 Беленький2) В этом случае решение задачи становится независимым от горизонта Т, такая постановка задачи (и сама модель) называется стационарной В стационарной модели информационный паспорт задается набором {X, О, V, ф, 5, /г}, стратегия управления является функцией только текущего состояния системы <; X Ч> Г2 По определению объективный функционал удовлетворяет соотношению

V(h)= шах

, heX УГ> 0 (4)

Поскольку Г может быть выбрано произвольно большим, то объективный функционал является решением стационарной задачи с бесконечным горизонтом

О = \е^'и(х1:ф1))Л тах = У(ь) (5)

С другой стороны, Т в равенстве (4) может быть взято сколь угодно малым, что приводит к дифференциальной форме этого равенства

5Н(*)= тах[/(*,*)+Г(х) ф(*,$)], хеХ (6)

В такой форме это соотношение называется уравнением Якоби-Гамильтона-Белмана (ЯГБ-уравнение)

Итак, в стационарной модели критериальный функционал задается в виде

V(h) = max Je"3' u(x,, q(x, ))dt

а оптимальная стратегия управления с,0 выражается формулой

q"(x) = arg max [и(х, s}+ У'(х) ф(х, s)], геХ (8)

2 Беленький В 3 Оптимизационные модели экономической динамики Понятийный аппарат Одномерные модели - М Наука, 2007 - 259 с

Эта стратегия порождает поле скоростей и(х) = ф(х,с"(л:)|, хеХ Неподвижная точка х* есть корень уравнения о(.г) = 0 б Я" Локально устойчивая

неподвижная точка является стационарным состоянием модели

Вторая часть - принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии

Пусть искомая неподвижная точка локализована в некоторой окрестности О с X такой, что выпонены следующие предположения

П1. Любая точка хеО может быть "претендентом на неподвижность" в том смысле, что множество

ю(х)={?еО ср(дг^)=0бЛ;}, хеО (9)

непусто Более того, предполагается, что это множество содержит только одну точку, т е управление со(х)- однозначная функция

П2. Для каждой начальной точки х0 - И е О время выхода оптимальной траектории г(/г,х*) в неподвижную точку х* конечно

Тогда задача нахождения неподвижной точки эквивалента определению "точки остановки" (или "момента остановки") при движении из начальной точки И по соответствующей оптимальной траектории

Взяв в качестве точки остановки некоторую "пробную" точку геО (те предполагая, что эта точка является неподвижной) и, обозначив т = Т(Ь, г) отвечающий ей момент остановки, запишем соответствующее значение критериального функционала(5)

+ е^'' N{2)= /?еО, (10)

где - значение критериального функционала, отвечающее предположи-

тельно неподвижной точке г

00 1 #(*) = \е'ыи{2,(о{г))Л = -и{2,к>{г)) (11)

Принцип максимума для неподвижной точки. Для того чтобы искомая точка х* была неподвижной, необходимо, чтобы выражение (10), рассматриваемое как функция точки остановки г е О, достигало при г - х* своего максимума для всех И е О

Поскольку для каждого фиксированного И выбор точки остановки г эквивалентен выбору момента остановки т, то принцип максимума приводит к уравнению

= 0 УЛеО (12)

[=г(й г)-0

Третья часть - для общей оптимизационной задачи ЭД в стационарной постановке формулируется и доказывается теорема о стационарном состоянии (Теорема 1)

Раскрывая условие неподвижности (12) на основе выражения (10), приходим к уравнению

|-[1/М+Г(*)ФМ1 =0 еД;, (13)

здесь 3(z)-существенные компоненты вектора управления (9), число которых обязано быть в точности равным п Пространство существенных управляющих переменных обозначим Qc/f"

Таким образом, имеет место следующая теорема

Теорема 1 (уравнение для стационарного состояния) Пусть оптимальная стратегия (8) стационарной задачи (5), (2) обладает локально устойчивой неподвижной точкой х*. Тогда в подпространстве Г2 управляющих переменных при z ~ х* выпоняется равенство (13), при этом

V(z)=N(z), (14,а)

V'(z)=N'(z) (14,6)

В третьем разделе главы 1 описана многофакторная модель с монопродуктовой производственной функцией, являющаяся основной в диссертации

Производственный блок многофакторной модели описывается функцией f(x), аргумент которой х = {xj )е r" интерпретируется как вектор ресурсов, а скалярное значение Y = F(x) > 0 - как объем производимого продукта Продукт Y распределяется на неотрицательные части У/ (являющиеся управляющими

переменными) У = ^ , из которых У0 = С идет на потребление, а остальные

части инвестируются в соответствующие фондообразующие отрасли, производящие ресурсы В качестве новых управляющих переменных вводятся относительные доли Sj =Yj/Y, тогда пространство управлений представляет собой

стандартный симплекс в пространстве R"+i

Я = = -О SjZO. Х>,=1| (15)

Критериальный функционал модели есть интегральная дисконтированная полезность потребления

Cr(q) = \e-b,U{s!d{t)F{x! ))A->max = V{h), (16)

где и(с)- заданная функция, С е R+

Динамика ресурсов в векторной форме описывается соотношениями

х = <р(д;,*), <р = (ф_,), = , у = 1 ,п, (17)

где г) > 0 - коэффициенты амортизации ресурсов (постоянные величины)

Уравнение для неподвижной точки раздела 2 доведено в этой модели до финальной формы и принимает вид

дР/дг, =5 + 71,, 1 = \п (18)

Приводятся примеры применения принципа максимума для определения параметров неподвижной точки в случае различных производственных функций, типичных для макроэкономических систем Определяются стационарные точки и их явные выражения записываются через исходные данные модели

В разделе 4 приводится содержательная постановка модели экономической динамики с двумя производственными факторами - трудом и капиталом, построенная на основе классической РКК-модели, которая редуцируется к одномерной модели Для одномерной модели с использованием принципа оптимальности Белмана доказана теорема (Теорема 2, о синтезе управления) Показано наличие устойчивого стационарного состояния, в которое система приходит за конечное время Получено поное аналитическое решение задачи

В пятом разделе главы 1 изучаются модели экономической динамики для случая линейно-однородной производственной функции

В диссертации рассматриваются выпуклые модели, в частности, производственная функция Р в которых есть неотрицательная функция, монотонно возрастающая по каждой координате вектора х (при этом Г(о)= 0) и выпуклая

вверх на всем ортанте Я" Класс таких функций обозначается IV

Важным частным случаем производственной функции является положи-телъно-однородная функция Р е IV с показателем однородности 9е(0,1] Условие однородности означает выпонение соотношения

р(Кх)=КвР(х), \/(х&11",К> о) (19)

Существенно различными являются ситуации, отвечающие случаям 0 < 1 и 0 = 1 (в этом случае Р называется линейно-однородной)

В случае 8 < 1 траектории оказываются ограниченными (такую модель назовем моделью с ограниченными траекториями, ОТ-модель), в этом случае решение задачи всегда существует, причем оптимальная стратегия имеет неподвижную точку

Случай линейно-однородной функции является особым, класс линейно-однородных функций обозначается V Здесь траектории неограниченны, и решение существует только при определенных соотношениях между параметрами модели (дело в том, что в этом случае траектории неограниченно растут и темп роста производства может быть выше, чем дисконтное снижение в критериальном интеграле и в задаче с бесконечным горизонтом функционал становится равным бесконечности) В такой модели неподвижной точки не существует и ее аналогом является луч оптимального сбалансированного роста

В диссертации подробно рассматривается двумерный случай модели (16), (17), в котором переменные модели обозначаются содержательными буквами

К- производственный капитал, Н - человеческий капитал, формирование которого описывается в главе 4 Функция полезности

здесь s0 - доля потребления (управляемая переменная), к и h- удельные величины факторов производства (поскольку в силу принадлежности F eW можно записать

F(K,H)= LF(k, h)), nL, np - темпы роста численности трудоспособного населения L и общей численности населения Р соответственно (в данной постановке производится разделение населения на две группы потребляющую и производящую), А.0 - постоянная, фиксирующая величину отношения трудоспособной части населения в общей численности в начальный момент времени

Анализ решения показывает, что на луче сбалансированного роста удельный человеческий капитал h убывает во времени по экспоненте, и, следовательно, также убывает удельный объем производственного капитала к (фондовооруженность труда) В результате приходим к выводу, что в рассмотренной модели оба фактора производства в удельном измерении стремятся во времени к нулю, что, вообще говоря, является негативным Тем не менее, в абсолютных единицах, производство может расти, поэтому отмеченное обстоятельство не является катастрофичным все зависит от соотношения темпов роста производства и темпов роста населения

Более существенным недостатком описанной модели является то обстоятельство, что в стационарном режиме инвестируется только один из производственных факторов, а в другой ничего не вкладывается Для исправления этого недостатка есть смысл изменить постановку задачи так, чтобы устранить отмеченное явление Это удается сделать в модели с фиксированной долей потребления В этой модели получена формула для луча сбалансированного роста, обобщение которой на многомерный случай доказывается и формулируется в виде теоремы

Теорема 3. В стационарной многофакторной модели (16), (17) с производственной функцией FeW луч максимального сбалансированного роста Г определяется из соотношения

Г grad F(z) ~ g (g =ae + r|) (20)

Здесь знак - знак пропорциональности векторов, e = (l, ,l)e R", a =8 + n!i -пр, г[- вектор коэффициентов (г|;)

Вторая глава посвящена негомогенным моделям экономической динамики, в которых реальная прогнозная информация явным образом привязана к календарному времени

В первом разделе сформулирован двухэтапный подход, согласно которому решение стационарной модели может быть принято как нулевое приближение (если прогнозные кривые меняются достаточно плавно) Это особенно важно, когда в стационарной модели удается выявить структуру оптимального управления и перенести затем эту структуру на негомогенные модели

В негомогенном случае стационарной точке сбалансированного роста отвечает квазистационарная траектория, на которую выходят оптимальные тргекто-

рии системы Существование такой траектории нельзя гарантировать в общей негомогенной модели, однако практика показывает, что в области значений реальных параметров такая траектория во многих случаях существует Эта аналогия приводит к идее двухэтапного подхода к построению оптимального управления для негомогенной модели На первом этапе рассматривается гомогенный вариант модели в стационарной постановке и на основе принципа оптимальности Белмана строится синтез оптимального управления На втором этапе структура полученной оптимальной стратегии стационарной модели переносится на негомогенную модель Для проверки корректности такого переноса применяется принцип максимума Понтрягина Если принцип максимума для перенесенной стратегии выпоняется, то она действительно является оптимальной

Во втором разделе главы 2 эта идея в поном объеме реализуется на негомогенной модели Рамсея-Касса-Купманса с двумя факторами (капитал К и труд I), которая в удельных переменных редуцируется к одномерной

Сг = (21)

У,=ц+Ь11, (22)

где X, - отношение численности работников к численности всего насе-

ления (экзогенно заданная функция), 5 - норма накопления удельного капитала к , /(&)- удельная производственная функция, при краевых условиях

к{0)=к0=к, к(т)=кг, (23)

= 0 < ^ < 1} (24)

Из содержательных экономических соображений можно ожидать, что если экзогенные функции времени у(/), А,(/) достаточно гладкие, то при больших Т оптимальное управление будет иметь такую же структуру, как и в стационарной модели Отличие состоит в том, что теперь стационарное состояние будет не неподвижной точкой, а гладко меняющейся функцией времени, иначе говоря, это будет квазистационарная кривая /:*(?)

В стационарном решении неподвижная точка к* является одновременно точкой переключения управления (Теорема 2) Определим по аналогии квазистационарную кривую как такую функцию времени л - к*((), на которой также поддерживается режим переключения управления

Если система находится на кривой л в некоторый момент времени, то для удержания ее в дальнейшем на этой кривой необходимо применять такое управление 5, чтобы выпонялось соотношение (22) при к = к"это условие определяет квазистационарное управление формулой

=(к + 1к)1Щык.{1), >0 (25)

Опираясь на квазистационарную кривую, уточним постановку задачи (21)-(24) в том смысле, что для заданного горизонта планирования Т в качестве правого краевого условия в (23) возьмем

кт=к'{т), (26)

что эквивалентно условию кт ел В такой постановке при определенных допущениях на функцию X, доказана Теорема 4 (о синтезе управления в негомогенной модели с конечным горизонтом), согласно которой для любого И е при всех достаточно больших Т в задаче оптимального управления (21)-(24), (26) имеет место следующее

1) Оптимальное правило управления

1, к, <*Л

я*, к, = к*. г>0,

0, к, > к*,

2) оптимальная фазовая траектория к, выходит на квазистационарную кривую л за конечное время Т(Ь) < оо и далее остается на ней до конца планового периода Т

Доказывается, что если существует постоянная а > 0 такая, что при всех Г>0 выпоняется неравенство о - (1пХ)' > а и квазистационарная кривая л равномерно локализована, т е существуют постоянные К и К > 0 такие, что

к*(()е г], то справедлива теорема 5 (о синтезе управления в негомогенной модели с бесконечным горизонтом), где выпоняются условия 1) и 2) предыдущей теоремы, показывается, что максимальное значение функционала (21) при Т ->оо конечно

В третьем разделе главы 2 рассматривается многофакторная модель ЭД (16), (17), сформулированная здесь в негомогенной содержательной постановке при следующих посыках и допущениях

Д1. Производственная функция /^(х) определена на пространстве /?"+1 и принадлежит классу IV с показателем однородности меньше единицы

Д2. Различается трудоспособное население (/), задействованное в создании ВРП, и все население региона , на которое распространяется потребление в экономической системе

ДЗ. Среди производственных факторов (ресурсов) х = = (х0,, ,хД) выделяется фактор л-0 = (()-объем трудовых ресурсов (в общем случае функция (() считается экзогенно заданной) Остальные факторы хк, к = \,п будем называть материальными ресурсами или факторами производства, они являются фазовыми переменными модели Фазовое пространство есть X с /?" Множест-

во индексов фазовых переменных обозначим N = (1,2, ,л} Множество индексов факторов обозначим № = {ОД, , и}

Д4. Произведенный продукт распределяется на (п +1) часть согласно вектору управления 5 =ф 0'51> где доля 50 направляется на потребление, а остальные доли - на инвестиции в развитие п факторов производства При этом задается нижняя граница потребления 0 < р0 < 1, которая обеспечивает гарантированный уровень душевого потребления Множество допустимых управлений имеет вид

П =|*=(5о,5,. ,5Л) а0 6^0.11,5^0,16^, (28)

Д5. Эффективность инвестиций в развитие факторов производства характеризуется показателями а(/)=(а1,а2, ,осД), а,(/)>0,

Д6. Выбытие факторов производства происходит согласно вектору коэффициентов амортизации у(?)= (у1,у2< ,уД), у,(?)>0, / е N

Для упрощения изложения делается замена управляемых переменных л = Р + (1-Ро^, где (MPo.Pl АМРоЛ .0), ЫМ. .0~н

= $) (29)

В качестве критерия максимизации принимается

Эволюционные уравнения

*о(0 = (*)> хк keN, (31)

где Ак = (1 - р0 )осА, с краевыми условиями

х(0)=х0, х(т)=х'т (32)

Так же как и в одномерном случае, предполагается, что в модели существует траектория п-х* (с), называемая квазимагистралью (многомерный аналог квазистационарной траектории), такая, что, двигаясь в оптимальном режиме, система выходит (при достаточно большом горизонте планирования Т) за конечное время на квазимагистраль тг и далее движется по ней Иначе говоря, предполагается, что существует траектория п, являющаяся аттрактором всех оптимальных траекторий

Из принципа максимума Понтрягина находится оптимальное управление

с" = arg шах

= агшахад, (33)

ч 4=1 ;

где - скалярное произведение векторов ^ и <2

й = Ок)=(Оо&. .Оп). & =<7*4. (34)

и эволюционные уравнения для двойственных переменных

Як = а, 4 А (*), кем, (35)

где Гд. = 6 + ук + Ак / Ак , <2т - тах^ Величины <2к называем весами значимости факторов

Так как, попав на магистраль, система остается на ней постоянно, следовательно, все факторы дожны инвестироваться Это возможно только в том случае, если веса значимости всех факторов одинаковы

Так как функция X задана, тем самым на квазимагистрали все веса значимости определены Теперь из (35) следует, что на квазимагистрали выпоняются ра-

венства

Д (** )= 1/А (г* -#Й, кем, (37)

определяющие градиент функции /

gЩ&f = p, р = (рЛ к^Х (38)

Функция /(*) выпукла на X , что позволяет применить теорию сопряженных по Фенхелю функций, в частности, по значению градиента р восстанавливать значение аргумента х* = гас!/*(р), где /* - сопряженная по фазовым аргументам функция к функции / Функция и определяет искомую квазимагистраль Поддерживающие ее компоненты вектора управления Е,*к или *к находятся из соотношений (31) при х = х*

\\^ = , ^ =Ро +(1-Ро& (39)

к/\х) к=\ Осталось изложить основную часть - построение оптимального управления в переходном периоде до момента т* <т выхода на квазимагистраль Основная идея этого построения состоит в том, что в оптимальном режиме перехода политика инвестирования нацелена на выравнивание весов значимости всех факторов Если ввести обозначение

J = Jif)=^xgmгxQl{t) (40)

(это множество назовем носитель), то при политике выравнивания весов значимости факторов носитель постепенно расширяется, присоединяя к себе новые факторы. Фактор, вошедший в носитель в какой-то момент времени (т е ставший конкурирующим), уже никогда его не покидает

Построение оптимального управления в переходном периоде состоит в том, чтобы упорядочить факторы, те определить, в каком порядке они будут включаться в носитель Значимые веса факторов, включаемых в носитель, одинаковы и являются максимальными По мере расширения носителя веса конкурирующих факторов снижаются, те функция Qm(t) убывает, а веса свободных фондов подравниваются к значению Qm(t) Выход траектории на квазимагистраль л происходит тогда, когда веса всех факторов выровняются (все они войдут в состав носителя), этим определяется момент Т* После этого носитель включает все факторы (j{t) = Дт0) и дальше идет движение по квазимагистрали

Для того, чтобы веса факторов выравнивались с течением времени, необходимо, чтобы веса свободных факторов росли быстрее (или, что равносильно, убывали медленнее), чем веса конкурирующих Это есть условие опережающего роста весов свободных факторов Нетрудно видеть из (35), что из этого условия следует соотношение

/,</Д V(/6-Л [о, 7-)), (41)

где I j =Yj -Л,/* (*)- индексы факторов - конкурирующего j G.J и свободного k г J, откуда находим, что в каждый момент времени t носитель определяется выражением

j(f) = Arg mm I,(t), te [О, т) (42)

(следовательно, на носителе значения всех индексов одинаковы)

Тем самым получаем конструктивный агоритм построения носителя Доли распределения инвестиций между факторами, вошедшими в носитель, определяются однозначно из соответствующей системы уравнений (39), записанной для факторов j е J Это дает возможность провести интегрирование эволюционных уравнений (31) на интервале постоянства носителя Описанный метод назван методом индексов

Заметим, что метод индексов не требует знания самих весов значимости факторов qk, k е n, и они в описанной схеме не вычисляются После того, как

момент выхода Т* на квазимагистраль уже определен, веса можно вычислить как решение задачи Коши для уравнений (31) и (35) в обратном времени с правыми краевыми условиями хк{г')=х*к{т*) и <2к{г*)-\{т*) V к е N, с использованием найденного управления Это дает возможность проверить оптимальность построенной траектории для этого необходимо и достаточно, чтобы в течение всего переходного периода множества (40) и (42) совпадали

В четвертом разделе рассмотрена негомогенная модель с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления, аналогичная стационарной модели главы 1 Следуя двухэтапному подходу, в первом приближении построена квазимагистраль этой модели, являющаяся аналогом луча максимального сбалансированного роста Получена формула (Теорема 6) для "квазимагистрального луча"

/*(') ^,/[TI(0 + 5]= /Г;2/[У2(0+5]= =KJ\rДW+5] (43) Третья глава посвящена разработке математической модели анализа и прогноза демографических характеристик Дается вывод уравнения динамики возрастного состава на основе подхода, используемого в механике гетерогенных сред Приводится аналитическое и численное решение задачи Статистически определяется аналитический вид функций распределения рождений и силы смертности населения Дается анализ погрешности вычисления и прогнозирования демографических характеристик, связанной как с погрешностью конечно-разностной аппроксимации, так и со статистической погрешностью определения функций распределения рождений, силы смертности населения и входных демографических данных Представлен ретроспективный анализ и прогноз демографических показателей

В первом разделе формулируется математическая модель анализа и прогноза демографических характеристик во временно-возрастной плоскости Уравнение динамики возрастного состава имеет вид

+ = (44)

где t - время т - возраст, р(/,т) - функция плотности распределения населения по возрастам, ц(/,т) - функция силы смертности, /(/,т)~ функция миграционного взаимодействия, задающая долю мигрирующих в каждой возрастной группе в единицу времени

Начальное условие и граничные условия имеют вид

р('оа) = Ро(т). p(f.0)= J((,t>(/,t)A, t>t0, p(i,oo) = 0, (45)

где р0(т) - известная функция, р(г,т)- плотность распределения рождений из диапазона фертильности женщин [ ]

После определения функции р(/,т) находятся производные демографические характеристики, такие как, например, общая численность населения P(t), численность населения трудоспособного возраста b[t), количество людей, возраст которых выше (ниже) определенного порога или находится в определенном временном диапазоне Также определяются такие характеристики, как средний

возраст населения т(/)=Чр- |тр(/,т)<Л, средний возраст умерших

T>(f) = Ч |ц(г,т)тр(/,т)Л , где М= |ц(/д)тр(г,т)Л Используя данный подход,

можно определить среднее количество детей в семье p(f), обеспечивающее ускоренное воспроизводство населения Искомое значение определяется из условия

|рС 1д )ск

Таким образом, построена замкнутая математическая модель для прогнозирования плотности распределения населения по возрастам. Динамику изменения плотности населения илюстрирует рис. 2 .

(и ВО 9С 100

УМ ;

2.....

ч.

?а 30 40 50 63 70

Рис. 2. Распределение плотности демографических элементов по возрастам: 1 - на момент времени / =2006 год, 2 - (=2026 год

На основе полученной модели рассматриваются группы населения в разбиении по возрасту, полу и типу поселения, а также производится расчет различных производных показателей по Удмуртской Республике.

Ретроспективный анализ расчетных данных показал удовлетворительное совпадение с имеющимися статистическими данными.

Во втором разделе предложена экономико-математическая модель определения потенциала работника и стоимости его жизни. Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента: упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности.

Под экономическим потенциалом работника понимается экономический эффект, полученный обществом за период трудовой деятельности, выраженный в произведенном прибавочном продукте.

Под стоимостью жизни понимается либо упущенная выгода для экономической системы региона, либо потерянная ценность для отдельной семьи.

Упущенная выгода для экономической системы региона равна нереализованному экономическому потенциалу среднестатистического работника, который обусловлен его преждевременной смертью, за вычетом предполагаемых последующих заработной платы, а также выплат и льгот из общественных фондов потребления.

Потерянная ценность для отдельной семьи, обусловленная преждевременной смертью, равна предполагаемому совокупному доходу индивидуума за весь нереализованный период жизни, а также последующих выплат и льгот из общественных фондов потребления, за вычетом последующих расходов на его собственное содержание.

Результаты анализа данной проблемы имеют существенное прикладное значение, позволяя определять экономически оправданный объем инвестиций, направляемых на повышение уровня общественного здоровья и качества жизни населения

В четвертой главе в первом разделе представлена математическая модель динамики производственных фондов Вводится функция распределения стоимости основных производственных фондов по возрастам $(/,,), где возраст основных производственных фондов

В общем случае полагается, что функция выбытия фондов г| зависит от

времени и возраста ri = , тогда можно записать

Начальное условие и граничные условия имеют вид

8(f0.$)=a0(S), 2t0, s(i,0)= /(i), S(/,oo)=0,/>/0, (48)

где известная функция

В дальнейшем предполагается аддитивность фондов не по их стоимости, а по их эффективности, учитывая при этом более высокую эффективность новых

фондов с помощью экспоненциальной функции , где р - темп научно-

технического (инновационного) развития основных производственных фондов Тогда основной капитал К определится по формуле

K(t)=X\e^->

Аналитическое решение задачи (47)-(49) получено методом характеристик В этой связи в данном случае удобно перейти от распределения производственных фондов по возрастам к их распределению по дате "рождения" с помощью замены г = t - Е,, где г - момент введения в строй новых производственных фондов В общем случае решение имеет вид

Дл . Х) \ , w -hi"-'^'--') ' , . , . -}п("-'-У'+Р('-'.,) к =/ePt'-'<,) _ J&o(io _ r^t t _ ry, . dr _ J/^/,/ - r)e ' dr.

откуда, например, при ri(i, i Ч г) = г) = const имеем

K=Ie^)-r]K (51)

Начальное значение

К0 = K{t0)= = /Д('о-r)e'^"'r)dr (52)

Во втором разделе формулируется экономико-математическая модель динамики человеческого капитала и приводится методика его расчета как функции времени

Принимается, что человеческий капитал состоит из трех составляющих, полагая при этом, что удельное (на одну демографическую единицу) среднестатистическое значение человеческого капитала определяется их линейной комбинацией

h{t,т) = o]й,(,т) + a2/2+ cc3/3(t,x), a, e(0,l), =1, (53)

где а, - весовые коэффициенты соответствующих слагаемых, значения h, =h,(t,т) измеряются в денежных единицах, индекс 1 = 1 соответствует образовательной составляющей, /=2 - составляющей здоровья, / =3 - культурной или духовной составляющей человеческого капитала

Для описания эволюции составляющих человеческого капитала h,(t,x), воспользуемся уравнением типа уравнения переноса, тогда имеем

+ = (54)

Здесь g, = gl(t,x), i, = /,(,1)-удельные расходы бюджета и удельные частные инвестиции в i -ю составляющую человеческого капитала соответственно, v, - коэффициент износа г -ой составляющей человеческого капитала, в общем случае v, = v,(/,t)

Начальные условия при t =t0 имеют вид

й,(/0дМо(т), (i = ), (55)

где \ 0 (т) - известные функции

Граничные условия на левом конце демографической кривой

\{t,0) = 0, (г = Т7з) (56)

На правом конце при г = 1,2, следует записать

/^сяМЛ^И, (57>

где хт = xm(t)~ время дожития 5 процентов населения (5 = 1- 5%)

Очевидно, что коэффициенты амортизации v, слабо зависят от времени Зависимость же от возраста для функций v, = v, (т) (г = 1,2) примем в виде

{О т < х

Мехр[в"(т-хш)]-1}, тш<т<хи, (58)

где неизвестные параметры {b,, ,) определятся из условий

,{ехр[е;(тД-тш)]-1} = 1, (59)

][g, (t, т)+/, (/, т )]А = ]{Ь, (ехр[е, {х-ха,)]-1)}й, (t, х )dx (60)

Здесь хт - верхняя граница активного периода трудовой деятельности (г = l) или физического состояния (г = 2) Ниже принимается то1 = ха2 = ха

В отличие от образовательной составляющей и составляющей здоровья, духовная составляющая человеческого капитала не подвержена износу, поэтому принимается у3 =0

Таким образом, суммарная величина человеческого капитала населения, участвующего в общественном производстве, определяется из выражения

Я(0=]аД(/,тН',т)рМЛ, (61)

где е = в(т)-доля населения возраста т, участвующая в общественном производстве в год

Используя решение задачи (54)-(57) и задачи (44),(45), по формуле (61) была определена величина человеческого капитала за период 1996-2006 годы (см рис 3)

Я 1(Г\МН РУб

01 ......................................-...... ГОД

1 936 1 997 1 93а 1 899 2 ООО 10С1 2 002 2 0СЭ 2 0С4 2 005 2 006

Рис 3 Динамика человеческого капитала за период с 1996 года по 2006 год

(в ценах 2006 года)

При проведении оценочных расчетов макроэкономических параметров иногда удобно пользоваться приближенным одномерным уравнением динамики человеческого капитала (кинетическим уравнением), полученным в работе

Н=и-уН, (62)

где 3 - объем инвестиций в развитие человеческого капитала, = (/)- коэффициент, учитывающий долю населения, участвующего в общественном производстве, х - норма амортизации человеческого капитала

В третьем разделе главы осуществляется построение производственной функции экономической системы региона в зависимости от таких факторов производства, как величина производственного капитала и величина человеческого капитала

В четвертом разделе разработаны частные математические модели, предназначенные для анализа различных вариантов развития экономики с разной степенью детализации (сложности) уравнений, описывающих изменение основных факторов макроэкономической динамики Рассматривается моделирование

влияния факторов научно-технического прогресса и социально-образовательного прогресса на экономический рост Изучается взаимосвязь демографических и макроэкономических процессов Моделируется динамика внешних инвестиций экономической системы

Скачкообразный инновационный путь развития предполагает, что до момента о имело место расширенное (экстенсивное) воспроизводство валового регионального продукта (ВРП), когда НТП и СОП можно пренебречь Начиная с момента времени /0, включаются факторы научно-технического и социально-образовательного прогресса, т е начинается инновационный путь развития экономики В случае непрерывного инновационного пути развития предполагается, что факторы НТП и СОП присутствуют постоянно.

Будем различать два вида производственных фондов фонды ^(г,!;)- стандартные фонды или фонды первого типа, и производственные фонды которые формируются в условиях НТП - новые (инновационные) фонды или фонды второго типа

Постановка задачи для фондов обоих типов имеет вид (47)-(49) Следовательно, К({) = К](()+К2({), и при т), = сош1 получим следующие кинетические уравнения для фондов первого и второго типа.

К, =еЬ(-'-'

При описании динамики трудовых ресурсов и человеческого капитала также предполагаем, что с момента с = [0 начинается реформа образования, здравоохранения и социальной сферы, что приводит к развитию образовательных и медицинских технологий, повышению качества социального обслуживания населения, что меняет темп социально-образовательного прогресса человеческого капитала, уменьшается смертность и повышается рождаемость Поэтому, как и выше, будем различать два вида трудовых ресурсов ресурсы Х^), к которым применяется фактор СОП с темпом к,, и ресурсы 12(0> которые формируются в условиях СОП с темпом к2 > К]

Динамика трудовых ресурсов первой группы описывается уравнением (считаем, что мигранты входят в первую демографическую группу)

где р({,т) = р,(г,т) + р2(?,т)-функция распределения по возрастам населения в целом (р( и р2 - соответствующие функции по группам), функция ос-

лабления силы смертности, где <7 = с/с0 , с - душевое потребление, с0 -душевое потребление региона в момент (= Начальное условие при ? = :

р,(/0д) = 0, 0 < т < т0, р,(г0д)=Рю(т). т>то> (65)

где р10(т)-в общем случае, известная по исходным данным функция, т0 - возраст, после которого факторы социально-образовательного прогресса не применяются В расчетах полагалось т0 = та Граничные условия при т = 0 и т =

Р1(г,0) = 0, р,(г,ю)ир1(г,ти)=0, г>г0 (66)

Динамика трудовых ресурсов второй группы описывается следующим уравнением динамики возрастного состава

Начальное условие при г = 0

Р2('оД)=РоМ. 0<т<т а, р2(?0,т) = О, х>ха (68)

Граничное условие при т = О

р2(*.0) = |р(*,т)ф(д)р(/,т)й, />/Д, (69)

где ср(д) - функция усиления рождений Граничное условие при х Ч со

р2(г/со);ар2(г,тт) = 0, />/0 (70)

Уравнения составляющих человеческого капитала имеют вид (54)-(57) Как и выше, будем предполагать аддитивность первой и второй групп трудовых ресурсов не по их количеству, а по их отдаче Таким образом, величина человеческого капитала определяется по формуле

= аМ^'Ч((гд)Л (71)

со =1 1=1

Одномерные уравнения динамики человеческого капитала населения, участвующего в общественном производстве, могут быть представлены в виде

= #,Ы= ]^а*Аи(т>(г0,т)р10(т)* , / = 1,2 (73)

Функции и ф(<у) определялись методами математической статистики Конечное решение задачи находилось в форме сигмоидальных логистических функций вида

у(?)=о[1-Ч/1ехр(- Ц>2 /<?)]> ф(?)=ф0[1 + ф1ехр(-ф2/?)]. (74) где параметры V)/,, ф,, г = 0,2 определялись на основе статистических данных по Привожскому АО

При моделировании динамики внешних инвестиций полагалось, что внешние инвестиции, поступающие на развитие экономической системы, предостав-

ляются под один и тот же процент p = p{t) с темпом погашения с = c(t,q)

Уравнение динамики инвестиционного дога в таком случае запишется в виде

где b(t,q)- функция распределения плотности дога по кредитам, q - возраст кредита

Начальное условие и граничные условия имеют вид

bM = b0(q), q>0, b(t,0)=B{t), b(t,co)=0, t>t0, (76) где B(t)~ ежегодный объем внешних инвестиций

Выплаты по кредиту в текущем году равны

При допущениях {р, ст,} = const задача (75), (76) приводится к виду

Z = B-aZ , Z{t0) = Z0, (78)

00 00 где z(i)= jb{t,q)dq- текущая задоженность по кредитам, z(/0)= ji>0 {q)dq - за-

доженность в начальный момент времени Следовательно, R(t) = (р + o)z(t)

Пятая глава посвящена идентификации и прогнозированию обобщающих показателей развития региональной экономической системы

В первом разделе построена математическая модель экономической системы региона, при формулировке которой учитывается, что региональная экономика взаимодействует с внешней экономической средой посредством кредитов, инвестиций, налогообложения, дотаций, трансфертов и субвенций (рис 4) При этом механизм воздействия кредитов и инвестиций на экономику региона будем отождествлять между собой

В качестве показателей макроэкономической системы региона примем объем произведенной продукции , стоимости основных производственных фондов (производственного капитала) К и человеческого капитала Я , объемы инвестиций / и J в производственный и человеческий капитал соответственно, объем потребления С и доходы регионального бюджета D Соответствующий паспорт неизвестных задачи имеет вид (,K,HJ, J,C,D)t

с внешней экономической средой

Производственную функцию примем в виде У - р(К,Н) = АКа Н^ и запишем основное балансовое уравнение макроэкономической модели региона, используя схему воспроизводства экономики, представленную на рис 5

У + В + Т-^ -R = I + J + C, (79)

где В( -внешние инвестиции в экономику региона, Я, - внешний дог,

Л*/ - налоговые отчисления в федеральный бюджет, Т, - дотации, трансферты, субвенции

Рис 5 Схема цикла воспроизводства региональной экономики В относительных переменных балансовое уравнение (79) имеет вид

50+^+5^-54=1, (80)

где 50 =С/Е- уровень потребления, -1/Е- норма инвестиций в основные производственные фонды (капиталовложения), 5Л = //-норма инвестиций в

человеческий капитал, - В/Е-уровень внешних инвестиций,

Е = У + Т-Я

Балансовое уравнение (79) содержит эндогенные и экзогенные параметры К последним относятся параметры При этом внешний дог Л, опре-

деляется динамикой поступления кредитов В,, политикой возврата кредита, или темпом его погашения ст, и процентной ставкой по кредитам р

Для описания дохода регионального бюджета используем схему, представленную на рис 6

Рис 6 Схема бюджетного взаимодействия региона с внешней средой

Пусть N - Л'7' +NR, где , -налоги, собираемые на территории региона, поступающие в федеральный и региональный бюджеты соответственно Обозначим рр , рн ~NRN, тогда рг + рн =1 Объем налогов опре-

деляется через долю и от объема У Г = и У Федеральное бюджетное регулирование выразим через пропорцию V (рис 4) возврата средств в виде дотаций, трансфертов, субвенций как долю от уровня региональных налогов Т = уЫ1* , где -рк\)У Тогда консолидированный доход региона можно записать в виде

В = АГя+Г = (1 + у)рЛиГ (81)

Для описания динамики производственных фондов, человеческого капитала и внешнего дога используются эволюционные уравнения, полученные в главе 4 Таким образом, общая постановка задачи макроэкономической динамики включает в себя следующие соотношения

Е = У + Т - Ыг -R=I+J+C-B, (82)

F = F(^C,tf)=ЛKaЯp, (83)

С = 1 = якЕ, 3 = , В = яьЕ, Т = у рЛиГ, Мр=рриГ, (84)

Е=аР(к,Н), ш = 1 + ир/7Крл/р/?)-1], Д = (1 + у)рйоУ> (85)

к0=к(г0), КТ=К{1Г), (86)

Н(!)=1ьгЕ{!)-1Н{1), ЯД=#('о), Я7=#(гг), (87)

г(г)=5ЬЕ(г)-<тг(*), г0=г(/0), гт =г(/г), л(г)=(р+с)г(0 (88)

Второй раздел посвящен описанию агоритма идентификации неизвестных параметров модели В качестве критерия выбрано условие минимизации отклонения поведения системы от заданного поведения

Систему уравнений (82)-(88) можно представить в виде

х = /(х,2,а,г), Г1(х,г,а)= 0, Е2(х,г,а)< 0 (89)

Здесь л = (к,Н,-вектор фазовых переменных, /Х] - вектор-функции ограничений, г = ДВ,Т,,Аг1<)~вектор допонительных переменных, а = = вектор параметров системы

Задача идентификации состоит в следующем Известно поведение системы х({) Необходимо подобрать коэффициенты а, таким образом, чтобы отклонение поведения системы, определенного из решения уравнений (89) при наличии ограничений, от заданного поведения было бы минимальным

Реализация вычислительной схемы оптимизационного агоритма требует конечно-разностной аппроксимации задачи (89) На отрезке [г0, ] вводится сетка </] < <1М = , при этом дифференциальные уравнения (89) заменяются дискретным аналогом

у+1 =Л(/+1,/,2л+1,дл), и = <й^1 (90)

Здесь Л-оператор, определяющий метод численного интегрирования, у- сеточная функция, аппроксимирующая х

Условие минимизации отклонения поведения системы (90) от заданного поведения х1] в заданных точках оси времени т е [л/0, А/, ] принимается в виде

Х/(д)= ^ф-^тт, а,е[аГ, аГ\ (91)

Если ./(а)- 0, то ут ->хЩ , а-> а0, где а0 - решение задачи идентификации

Для решения оптимизационных задач в работе использована гибридная схема, в которой взаимодействуют генетический агоритм с вещественным кодированием и метод Хука-Дживса, не требующий вычисления производных

В третьем разделе приведены исходные статистические данные для решения задачи и результаты идентификации параметров модели (табл 1), а также результаты прогнозирования обобщающих показателей экономики УР (рис 7)

Шестая глава посвящена решению динамических задач оптимального управления экономической системой региона В качестве исходной берется мо-

дель региональной экономической системы, построенная в пятой главе. На ее основе ставится задача оптимального управления.

Математический анализ моделей и разработка агоритмов решения проводятся с использованием результатов, полученных в первой и второй главах диссертационной работы.

В первом разделе проводится сравнение решения задачи прогнозирования макроэкономических параметров и динамики этих же параметров при оптимальном распределении ресурсов в замкнутой экономической системе региона.

Задача оптимального управления в данном случае имеет вид:

Cr = h)e~b{f~ln]dt -> max

при условиях (82)-(87), где необходимо положить s0 = const, sh = О,

Л = ji = (SI )= (Sk-Sh ):SI 6 TSI =1~'?oj-

(93) Таблица 1

Параметры модели

А а Р Л X и V Сй

1.120 0.1 so 0.820 0.131 0.750 0.046 0.367 0.140 0.704 0.208 0.088 0.760

F'10 .мн.руб.

AM 0 , мн. руб.

Я 10 3.мн.руб.

; | : i lit ; i 1 ..................,,Д...:

......F [г....... .........т........:.......;....... Й4--Н I......j.......!........; -"Х].....1.....!......... "ГГ;.....]

.......j......... .......I..... .......!........

к дыс.руб.Авл.

h ,тыс.руб./чел.

Рис. 7. Динамика изменения валового регионального продукта, производственного и человеческого капитала: "-" - расчетные данные; "и" - статистические данные1 фондовооруженность (1) и капиталовооруженность (2) труда

Используя свойство линейной однородности производственной функции Кобба-Дугласа, запишем фазовые уравнения для удельной величины производственных фондов k = K/L и человеческого капитала h = H/L в виде

к = sk(oF(k,h)-ykk , h-shs(oF(k,h)-yhh (94)

w = (sk-5hBw}of{w)-(yk -y;,K (95)

где F(k, h) = F(K, h)/L , f(w)= Awa, w = kjh, yk + l/L , уh=% + L/L

Следуя теории главы 2, определяются уравнения, которым дожна удовлетворять квазимагистраль оптимальной траектории В итоге получаем следующую систему уравнений

z(w*,s;,j;)=о, (96)

w* = (j; - slew* )a/(w*)- {у к -yh)w\ (97)

s;+s;=\-s0, (98)

где Z - известная функция

После определения квазистационарной кривой w* оптимальная траектория

Wt в переходном периоде определяется путем решения уравнения (95) с использованием правила выбора управлений, сформулированном на основе решения соответствующей гомогенной модели (глава 1), а именно

(l,0), еслим><и>*

(ОД), если w > w*, (99)

если w = w*

S"=(Sk>Sh) =

Таким образом, оптимальное управление построено

Расчеты проводились для исходных данных по УР (см рис 8-10) Представлено сравнение прогнозных значений развития экономики УР при постоянных значениях параметров управления, полученных на основе ретроспективного анализа и с учетом оптимального управления Проанализировано изменение суммарного потребления в зависимости от доли потребления з0 в случае оптимального управления капиталовложениями Показано существование оптимального значения фиксированной доли потребления при которой достигается максимальное значение суммарного удельного потребления в плановом периоде

Рис. 9. Изменение накопленного удельного потребления с течением времени: 1 Ч .уо = 0.704 - прогноз; 2 - 50 = 0.704 - управление; 3 - =0.306 - управление

Рис.8. Зависимость накопленного удельного потребления от нормы потребления в задаче оптимизации при Т= 10 лет

СУ, тыс.руб./чел.

с", тыс.руб./чел. у'" тыс.руб./чел.

Рис. 10. Динамика изменения удельного общественного потребления и производительности труда: 1 - 50 =0.704 - прогноз; 2 - 5о = 0.704 - управление; 3 - 50 =0.306 - управление

Во втором разделе рассмотрена имитационная модель динамики обобщающих показателей развития региональной экономической системы с учетом НТП и СОП

Экономико-математические модели, построенные в главе 4, позволяют моделировать различные сценарии развития переходной экономики Рассматривася следующий сценарий полагали, что в замкнутой экономической системе факторы НТП и СОП включаются, начиная с момента г = (0, т е начинается инновационный путь развития экономики, до этого момента имеет место расширенное воспроизводство ВРП

Постановка задачи имеет вид

Сг = \л0ХсоР{к, к}е~ъ{,~'о)Ж -> шах (100)

при условиях

E^Y+T-Nr = I]+I2+J}+J2+C Vi e[i0,/r], (101)

C = s0E, I, = sk,E, J, - sh,E, / = 1,2, (102)

s0 +sk] + sk2 +sh 1 +sh2 =1, s0 = const, (103)

K, =e^'h;)skiE - r\,K,, / = 1,2, К = T, + K2, (104)

Kw = K(tQ), К2й = 0 , K;T=K,(tT)< ; = 0, 2=>0, (105)

Я, = eK^kshlE-XlHl, i = 1,2, Я = Я, + H2, (106)

Я,0=Я,(/0), , = 1,2, H;r=H,{tr), к, = 0, к2 = к >0, (107)

п = = = si efO^lS5' = 1-Joj (108>

Используя принцип максимума Понтрягина, получена замкнутая система уравнений для определения параметров квазимагистрали оптимальной траектории (к*(/), Я*(/)) и разработан агоритм ее определения

В третьем разделе рассматривается оптимальное управление экономической системой с учетом внешних инвестиций Величина объема внешних инвестиций в каждый момент времени В, определяется в зависимости от состояния исследуемой экономической системы в данный момент времени Постановка задачи имеет вид

Cr = [j0?i[йF(jt,/2)-/-]e"6(l"'

где г = R/L , при условиях

E + B-R = Y + T-Nf +B-R=J+J+C V/ e [/0, tr\, (110) C = s0(E~R), I -skE , J = shE, B = shE, (III)

sk+sh-sb= 1, s0= const, (112)

= (1-50)[<в^,Я)-Л], (113)

K = skE-r\K, K0 =K(t0), Kr=K{tT), (114)

H = shzE-%H, Я0=Я(г0), H;=H{tT), (115)

Z = shE-vZ, Z0=Z(/0) = 0, Zr=Z{tT), R = (p + a)Z , (116)

n = {5 = (ifc,sA,i4) e [0.1 + ВйJ e [о,В/,], л1. + = l} (117) Агоритм определения квазимагистрали [K*(t\ H*(t), Z*(i)) и соответствующего поддерживающего управления {р*к,s*h,s*b) построен по аналогии с предыдущим случаем Найдена также структура оптимального управления в переходном периоде

В приложении представлено описание ИАССЭА УР

Основные результаты и выводы

1 В общей стационарной модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1)

2 Для стационарной монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, выражающей эту точку через исходные параметры модели

3 Дано поное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (Теорема 2)

4 Описана структура оптимального управления в стационарной двухфактор-ной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках с управляемой и фиксированной долями потребления Показано, что в обоих случаях оптимальное управление выводит систему не в неподвижную точку фазового пространства, а на луч сбалансированного роста При этом в модели с фиксированной долей устраняется недостаток, выявленный в модели с управляемой долей потребления, состоящий в том, что на луче сбалансированного роста экономика стагнирует (в душевом измерении)

5 Получена конечная формула (Теорема 3) для луча сбалансированного роста в многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления

6 Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления В отличие от стационарной модели, где неподвижная точка оптимальной стратегии является стационарным состоянием, в негомогенном случае ей отвечает квазистационарная траектория - квазимагистраль, на которую выходят оптимальные траектории системы На первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай В этих

рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4,5)

7 В многофакторной негомогенной модели с ограниченными траекториями описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая Предложен агоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней (весов) значимости факторов (индексный метод) Этот подход позволяет построить оптимальную траекторию на основе принципа максимума, не решая поную систему сопряженных уравнений, точнее, без привлечения двойственных переменных, что является существенным упрощением, так как для интегрирования двойственных переменных краевые условия отсутствуют

8 В многофакторной негомогенной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3)

9 Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности Представлено аналитическое и численное решение задачи Исследована сходимость численного решения Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3% может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 20 лет

10 Впервые сформулирована экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности Исследования, проведенные в работе на примере УР, показали

о полный экономический потенциал среднестатистического демографического элемента на 40% превышает расходы на его собственное содержание,

о при выбытии демографических элементов в возрасте т < 40 лет упущенная выгода для экономики в 2-3 раза выше потерянной ценности для отдельной семьи, однако, с увеличением возраста демографического элемен-

та, уже при т > 50 лет, потерянная ценность становится выше упущенной выгоды,

о суммарная упущенная выгода от преждевременных демографических потерь в УР составляют 4 - 6 % ее ВРП

11 Впервые сформулирована экономико-математическая модель динамики человеческого капитала Решена задача его определения как функции времени Построена производственная функция экономической системы региона с учетом фактора человеческого капитала Отношение коэффициентов эластичности фактора производственного капитала и фактора человеческого капитала для УР составляет 0,22, а предельная норма замещения второго фактора первым в 2006 году была равна 23 Таким образом, рассматриваемая экономическая система в настоящее время работает в условиях дефицита второго ресурса

12 На основе построенных моделей факторов производства предложена математическая модель региональной экономической системы Решена задача идентификации неизвестных параметров модели и прогнозирования обобщающих экономических показателей Для решения задачи идентификации использован гибридный агоритм, включающий генетический агоритм с вещественным кодированием и метод Хука-Дживса Установлено, что доля общественного потребления для УР составляет около 70 % от ВРП, а доли инвестирования в производственный и человеческий капитал составляют 21 % и 9 % соответственно

13 На основе математической модели региональной экономической системы сформулирована и решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом демографического прогноза для различных сценариев развития Построены агоритмы оптимального управления в условиях научно-технического и социально-образовательного прогресса, а также с учетом процесса внешнего инвестирования

14 Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить имитационные исследования различных вариантов развития экономики

15 Установлено, что ведущим фактором развития экономики УР является человеческий капитал Если прогнозировать развитие экономики УР на основе существующих пропорций норм потребления и инвестирования в факторы производства, то ее темп развития составит 1-2% в год Существует оптимальное значение нормы потребления , при котором экономика развивается наиболее быстрыми темпами При плановом периоде Т* =10 лет это значение равно 0,36 Решение задачи управления при 50=0,36 приводит к увеличению суммарного дисконтированного удельного потребления на 70 % по сравнению с прогнозным значением При этом в конце планового периода более чем в 5 раз в сопоставимых ценах увеличивается удельное потребление и почти в 10 раз - производительность труда

16 Проведенные численные исследования показали, что рассматриваемая экономическая система имеет достаточные резервы увеличения темпов развития При этом оптимальное управление, устраняя дисбаланс между факторами производства (к и И), приводит к существенному повышению ее эффективности

Основные публикации по теме диссертации

1 Русяк ИГ, Кетова КБ Математическое моделирование демографических показателей // Сб статей "Интелектуальные системы в производстве" -Ижевск Изд-во ИжГТУ, № 2,2002 - С 163 - 169

2 Кетова КБ Задача моделирования оптимального экономического роста региональной экономики с учетом прогноза демографической ситуации // Материалы VII науч конф молодых ученых и специалистов Секция "Информационные технологии и их применение" - Дубна, 2003 - С 305 - 306

3 Русяк ИГ, Кетова КБ Анализ решения задачи управления демографоэко-номическим состоянием региона П Интелектуальные системы в производстве - Ижевск Изд-во ИжГТУ, № 2, 2003 - С 151-160

4 Русяк ИГ, Кетова К В К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ" Изд-во ИжГТУ Ижевск, № 2, 2004 - С 49-52

5 Русяк ИГ, Кетова К В Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ" Изд-во ИжГТУ-Ижевск, №3,2004-С 44-46

6 Кетова КБ Применение принципа оптимальности Белмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке П Интелектуальные системы в производстве - Ижевск Изд-во ИжГТУ, № 1, 2004 - С 145-155

7 Русяк ИГ, Кетова КБ, Дмитриев С В Применение принципа максимума Понтрягина для решения задачи управления демографоэкономическим состоянием региона // Сб статей "Интелектуальные системы в производстве" - Ижевск Изд-во ИжГТУ, № 2, 2004 - С 132 - 143

8. Беленький ВЗ, Кетова КБ Принцип оптимальности Белмана и стационарные модели экономической динамики // Сб статей "Интелектуальные системы в производстве" - Ижевск Изд-во ИжГТУ, № 2, 2004 - С 59 -75

9 Беленький В 3, Кетова К В Моделирование оптимальной стратегии управления макроэкономической системой // Материалы V Междунар науч -практич конф "Государственное регулирование экономики Региональный аспект" Секция "Математическое моделирование экономических систем" (20-22 апреля 2005) - Н Новгород Изд-во НГУ, 2005 - С 66-72

10 Тененев В Л , Кетова К В, Дмитриев С В Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов // Сб статей "Интелектуальные системы в производстве" - Ижевск Изд-во ИжГТУ, № 2, 2005-С 81-87

11 * Беленький В 3, Кетова К В Поное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе // Периодиче-

ский научно-теоретический журнал "Экономика и математические методы" -М Наука, Том 42, Выпуск 4,2006 - С 85-95

12 *Русяк ИГ, Кетова К В Математическое моделирование открытой региональной экономической системы // Периодический научно-теоретический журнал "Фундаментальные исследования" - М Изд-во Академия Естествознания, № 10,2005 - С 73-74

13 Кетова К В, Дмитриев С В Моделирование динамики открытой макроэкономической системы в условиях научно-технического прогресса в производственной сфере // Известия института математики и информатики/ Труды научной конференции-семинара "Теория управления и математическое моделирование" - Ижевск Изд-во УдГУ - Выпуск 2(36), 2006 - С 159 - 162

14 *Русяк ИГ, Кетова К В Динамическая модель открытой макроэкономической системы в условиях научно-технического прогресса в производственной и социальной сферах // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ЮУрГУ", серия "Экономика" - Челябинск Изд-во ЮУрГУ - № 12 (67),2006-С 390-394

15 * Кетова К В, Дмитриев С В Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы К Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ" - Ижевск Изд-во ИжГТУ - № 3, 2006-С 68-70

16 Кетова КВ, Сабирова ОР Применение принципа максимума Понтрягина для определения структуры оптимального управления макроэкономической системой в случае нескольких управляющих переменных // Современные методы теории краевых задач материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII" - Воронеж ЦентральноЧерноземное книжное изд-во, 2006 - С 82

17 Беленький В 3, Кетова К В Вековое уравнение для устойчивой неподвижной точки стационарной динамической конечномерной модели ЭД в непрерывном времени // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей, Вып 3 - М Изд-во ЦЭМИ РАН, 2006 - С 65-82

18 Кетова К В, Сабирова О Р Макромодель развития региона с учетом повышения качества трудовых ресурсов (на примере Удмуртской Республики) // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей, Вып 3-М Изд-во ЦЭМИ РАН, 2006 - С. 83-98

19 *Русяк ИГ, Кетова К В, Сабирова О Р Квазистационарная кривая развития экономики региона в двухфакторной динамической макромодели // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ" - Ижевск Изд-во ИжГТУ.- № 1 (33), 2007 - С 111-116

20 Кетова КВ, Сабирова ОР Влияние соотношения факторов производственной функции на процесс достижения оптимальной траектории в моделях макроэкономической динамики // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы Воронежской зимней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII" - Воронеж Изд-во ВГУ, 2007 - С 99 -100

21 * Кетова KB, Сабирова О Р Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка агоритма ее решения // Научный журнал "Вестник ТОГУ" - Хабаровск Изд-во ТОГУ - № 4 (7), 2007.- С 89-100

22 * Кетова К В Экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь // Научно-практический журнал "Прикладная эконометрика" - М Изд-во Маркет ДС -№3 (7), 2007-С 80-94

23 Русяк ИГ, Кетова К В Оценка и моделирование динамики человеческого капитала // III конференция "Медицинские, социальные и экономические проблемы сохранения здоровья населения" с международным участием, 2128 мая 2007, Турция (Кемер) / Периодический научно-теоретический журнал "Современные наукоемкие технологии" - М Изд-во Академии Естествознания-№ 9,2007 - С 56-58

24 * Кетова К В Построение стратегии оптимального управления экономической системой на макроуровне // IV конференция "Российская экономика 2007 реальность и перспективы", 7-14 июля 2007, Хорватия (Пула) / Периодический научно-теоретический журнал "Фундаментальные исследования" - М Изд-во Академии Естествознания - № 9, 2007 - С 37-38

25 Кетова К В, Сабирова О Р Применение принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления экономической системой, учитывающей распределение производственных факторов по возрасту // Современные методы теории краевых задач материалы Воронежской весенней математической школы ("Понтрягинские чтения - XVIII" 3-9 мая, 2007г) - Воронеж Изд-во ВГУ, 2007 - С 80-81

26 Русяк ИГ, Кетова К В Экономико-математическая модель анализа и прогноза фактора человеческого капитала // Научно-практический журнал "Экономика, статистика, информатика Вестник УМО", раздел "Статистика и математические методы в экономике" - М Изд-во ГОУ ВПО МЭСИ - № 2,2007-С 56-60

27 * Кетова К В К вопросу о расчете потерянной ценности при выбытии демографической единицы // Периодический научно-образовательный журнал "Научное обозрение " - М Наука - № 4, 2007 - С 20-26

28 Кетова К В, Сабирова О Р Взаимосвязь кинетического уравнения динамики производственных фондов и политики их накопления // Сборник материалов 3-ей Международной научно-практической конференции "Достижения ученых XXI века" Тамбов, 30-31 июля 2007г - С 24-26

29 Русяк ИГ, Кетова К В, Сабирова О Р Построение оптимального управления в негомогенной конечномерной макроэкономической модели, обладающей квазимагистралью // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей, Вып 4 - М Изд-во ЦЭМИ РАН, 2007 - С 83-98

30 * Кетова К В Об одной задаче макроэкономической динамики региона с учетом факторов экономического развития // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ"- Ижевск Изд-во ИжГТУ- № 3(35), 2007-С 33-40

31 Кетова К В, Сабирова О Р Решение задачи многопараметрической оптимизации на множестве параметров управления // Всероссийская научно-практическая intemet-конференция "Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем", Раздел "математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами", Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября - 15 ноября 2007г

http //isei communityhost ru/thread/9thread_mid=352653601

32 * Беленький ВЗ, Кетова KB, Сабирова ОР Стационарные состояния в конечномерных динамических моделях с ограниченными траекториями // Периодический научно-теоретический журнал "Экономика и математические методы" - М Наука - Том 44, Выпуск 3 , 2008 - С 135 - 147

33 * Русяк И Г, Кетова КБ Построение производственной функции экономической системы региона с учетом человеческого капитала // Вестник МГУ -М Изд-во МГУ, серия "Экономика", № 3,2008

34 * Русяк ИГ, Кетова К В Анализ экономических характеристик демографических потерь // Научный журнал "Вестник ТГУ" - Томск Изд-во ТГУ - № 310,2008 -С 153-159

35 * Беленький ВЗ, Русяк ИГ, Кетова К В Построение и математический анализ синтеза управления в стационарных моделях экономической динамики с линейно однородными производственными функциями // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ" - Ижевск Изд-во ИжГТУ - № 2 (38), 2008 - С 76 - 83

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 22 05 2008 Формат 60x84 1/16 Тираж 150 экз Заказ № 1025

Типография ГОУВПО Удмуртский государственный университет 426034, Ижевск, ул Университетская, 1, корп 4

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: доктор физико-математических наук , Кетова, Каролина Вячеславовна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИНДЕКСЫ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ:

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ.

1.1. Инструменты анализа экономического роста.

1.1.1. Производственные функции.

1.1.2. Динамические модели.

1.1.3. Теория оптимального управления.

1.2. Модели экономической динамики в непрерывном времени.

1.2.1. Общая постановка задачи.

1.2.2. Гомогенная модель.

1.2.3. Стационарная модель.

1.2.4. Уравнение для неподвижной точки оптимальной стратегии (Теорема 1).

1.3. Стационарная многофакторная модель экономической динамики.

1.3.1. Формулировка модели.

1.3.2. Применение Теоремы 1: финальная формула для неподвижной точки.

1.3.3. Примеры с производственными функциями различного вида.

1.4. Модель Рамсея-Касса-Купманса.

1.4.1. Содержательная постановка и редукция к одномерной модели.

1.4.2. Теорема о структуре решения (Теорема 2).

1.5. Модели с линейно-однородной производственной функцией.

1.5.1. Двумерная модель с управляемой долей потребления.

1.5.2. Двумерная модель с фиксированной долей потребления.

1.5.3. Формула луча сбалансированного роста в многомерной модели (Теорема 3).

Глава 2. НЕГОМОГЕННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ:

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ.

2.1. Двухэтапный подход к анализу и решению негомогенной модели.

2.2. Негомогенная версия РКК-модели.

2.2.1. Модель с конечным горизонтом (Теорема 4).

2.2.2. Переход к бесконечному горизонту (Теорема 5).

2.3. Оптимальное управление для многофакторной модели.

2.3.1. Формулировка модели.

2.3.2. Квазистационарная траектория.

2.3.3. Построение оптимального управления в переходном периоде. Индексный метод распределения инвестиций.

2.3.4. Апробация индексного метода.

2.4. Оптимальное управление в модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления.

Глава 3. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

ПОТЕНЦИАЛ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ.

3.1. Математическая модель анализа и прогноза демографических характеристик.1133.1.1. Подходы и методы исследования в демографии.

3.1.2. Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава.

3.1.3. Определение функций силы смертности и плотности распределения рождений на основе статистических данных.

3.1.4. Аналитическое решение задачи.

3.1.5. Численное решение задачи.

3.1.6. Анализ погрешностей.

3.1.7. Анализ и прогноз демографических показателей.

3.1.7.1. Ретроспективный анализ демографических показателей.

3.1.7.2. Прогнозирование демографических показателей.

3.2. Экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь.

3.2.1. Состояние проблемы. Терминология и допущения.

3.2.2. Экономико-математическая модель.

3.2.2.1. Моделирование характеристик состояния экономической системы.

3.2.2.2. Моделирование стоимостных характеристик демографических потерь.

3.2.3. Результаты расчетов.

3.2.3.1. Расчет демографических характеристик.

3.2.3.2. Расчет характеристик состояния экономической системы.

3.2.3.3. Расчет стоимостных характеристик демографических потерь.

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОСНОВНЫХ ФАКТОРОВ

ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА.

4.1. Математическая модель динамики производственных фондов.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Определение функции выбытия производственных фондов на основе статистических данных.

4.2. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала.

4.2.1. Понятие "человеческий капитал" и методы его измерения.

4.2.2. Моделирование динамики человеческого капитала на основе уравнения переноса.

4.2.3. Моделирование динамики человеческого капитала на основе кинетического уравнения.

4.3. Построение производственной функции экономической системы региона с учетом фактора человеческого капитала.

4.4. Разработка имитационных моделей динамики различных факторов экономики.

4.4.1. Содержательная постановка задачи моделирования различных сценариев развития экономики.

4.4.2. Описание динамики производственных фондов различного типа.

4.4.3. Описание динамики трудовых ресурсов и человеческого капитала различного типа.

4.4.4. Моделирование взаимосвязи демографических и макроэкономических процессов.

4.4.5. Моделирование динамики внешних инвестиций.

Глава 5. ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

ОБОБЩАЮЩИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗВИТИЯ

РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

5.1. Математическая модель экономической системы региона.

5.2. Агоритм идентификации модели.

5.3. Результаты программной реализации модели.

Глава 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ДИНАМИКОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕГИОНА.

6.1. Оптимальное управление динамикой замкнутой экономической системы.

6.2. Оптимальное управление в условиях научно-технического и социально-образовательного прогресса.

6.3. Оптимальное управление с учетом внешних инвестиций.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Разработка методов исследования и оптимизация стратегии развития экономической системы региона"

Актуальность темы исследования. Целью стратегии развития экономической системы является повышение благосостояния населения, достигаемое в результате устойчивого экономического роста. Формирование такой стратегии Ч управленческая задача, заключающаяся в определении оптимальных объемов финансирования социальной и производственной сфер.

Подобные управленческие задачи решаются с использованием динамических экономико-математических моделей, отражающих механизмы функционирования экономических систем на макроуровне.

Макроэкономическая математическая модель региональной экономики представляет собой описание таких взаимоопределяющих процессов, как: производственный процесс региона и процесс воспроизводства основного регионального капитала; демографический процесс в регионе и процесс воспроизводства человеческого капитала; социально-экономические механизмы воздействия на производственный процесс региона, т.е. механизмы управления.

Существует широкий спектр оптимизационных моделей. В то же время, следует отметить, что во многих исследованиях используются одномерные макромодели экономической динамики (ЭД). Сложность реальных экономических систем приводит к необходимости учета многих факторов, существенно влияющих на функционирование экономики. В связи с этим актуальна задача построения конечномерных макромоделей экономической динамики, позволяющих учитывать произвольное количество факторов производства.

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2006 года [1] сформулированы приоритетные направления экономического развития, где основным фундаментом экономического роста является фактор человеческого капитала.

Фактор человеческого капитала имеет многоаспектный характер. Среди этих аспектов важную роль играет демографическая составляющая, определяющая устойчивость развития человеческого фактора [2,3]. Одним из элементов демографической составляющей является численное воспроизводство населения. Высокий уровень смертности и низкий уровень рождаемости сформировали в России демографический кризис [4]. Изменение демографических отношений неизбежно влечет изменение и в экономических отношениях, поскольку спад рождаемости приводит к нарушению существующих пропорций между производящей и потребляющей группами населения. В этой связи экономику страны могут ожидать сложности, связанные с вхождением в трудоспособный возраст малочисленного поколения, родившегося после 1990 года.

Степень серьезности изменений в пропорциях производящей и потребляющей групп, а также их влияние на макроэкономические показатели в силу ряда причин недостаточно изучены [5]. Актуальность исследований в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики.

Другим аспектом проблемы является качество человеческого капитала. Расходы на здравоохранение, образование, науку и культуру становятся ключевой составляющей в проблеме воспроизводства и повышения качества человеческого капитала [6]. В развитых стран их доля в совокупных инвестициях составляет более 50% и намного превышает инвестиции в материально-техническую составляющую производственного потенциала.

Таким образом, в сложившейся ситуации человеческий капитал, включая численность, особенности структуры и качество жизни, является основным фактором экономического развития. Из этого следует, что приоритетными вопросами развития экономической системы становятся инвестиции в человека в условиях социально-образовательного прогресса (СОП). В этой связи очевидна актуальность изучения фактора человеческого капитала, его моделирования и учета в задачах экономической динамики.

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2003 года [7] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Задача увеличения ВВП успешно реализуется при условии эффективно работающих производств, имеющих отдачу, превышающую расходы на их обслуживание. В этом случае увеличение ВВП приводит к росту уровня жизни населения. Поэтому необходимо наращивать научно-технический уровень производственного потенциала и его экономическую эффективность. В связи с этим актуальна задача моделирования научно-технического прогресса (НТП) как одного из факторов экономического роста.

Анализ динамических моделей экономики, как правило, включает определенную последовательность этапов, среди которых существенную роль играет нахождение и исследование стационарного состояния сбалансированного роста, и нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий существования оптимальности траекторий, сходящихся к найденному стационарному состоянию. Эти две задачи в совокупности решают проблему построения оптимальной стратегии управления экономической системой. Данные рассуждения касаются теоретических исследований.

В прикладных моделях, ориентированных на применение в практике реального планирования, стационарного состояния, как правило, не существует; t оптимальные траектории сбалансированного роста носят квазистационарный характер (это связано с явной зависимостью от времени многих факторов, входящих в модель), что создает ряд допонительных трудностей в исследовании и построении синтеза оптимального управления в таких моделях. Поэтому возникает необходимость построения новых и расширения возможностей применения существующих аналитических методов и подходов к исследованию оптимизационных моделей экономической динамики.

Отметим, что детальные экономико-математические модели, записанные в частных производных, позволяют учитывать не только величины производственных факторов, но и их качественную структуру. Подобные модели, как правило, многомерны и обладают свойством негомогенности. Для анализа моделей такого типа необходимо исследовать как возможности применения аналитических методов, так и современных численных методов оптимизации в тех случаях, когда аналитическое решение задачи либо не существует, либо требует трудоемких вычислительных затрат.

В диссертации рассматривается также ряд других мало исследованных ранее вопросов, относящихся к построению и структуре оптимальных траекторий. Среди них связь различных способов двойственной характеризации траекторий (принцип оптимальности Белмана, принцип максимума Понтрягина); принцип максимума для определения неподвижной точки, построение синтеза управления для многофакторной многомерной модели.

Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются динамические управляемые экономические системы, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов.

Предметом исследования являются аналитические методы анализа и решения задач оптимального управления; постановка и решение задач оптимального распределения капиталовложений для различных моделей макроэкономической динамики.

Целью диссертационной работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения многопараметрических задач оптимального управления экономической динамикой в многомерном фазовом пространстве, а также модельного инструментария для прогнозирования обобщающих показателей развития региональной экономической системы. Задачи исследования:

1. Математический анализ и исследование структуры оптимального управления в многофакторных стационарных и негомогенных (с экзогенно задаваемой прогнозной временной информацией) моделях ЭД.

2. Построение агоритмов решения задач оптимального управления для указанного класса моделей.

3. Разработка параметрических моделей динамики различных факторов экономики.

4. Построение макромодели экономической системы региона УР, идентификация ее параметров и прогнозирование обобщающих показателей развития региональной экономической системы.

5. Разработка макроэкономической модели оптимального управления распределением капиталовложений для экономики УР с учетом таких факторов, как: демографический прогноз и фактор человеческого капитала; использование внешних инвестиций; научно-технический и социально-образовательный прогресс.

6. Проведение научно-аналитических расчетов для различных версий модели развития экономической системы региона (перечисленных в п. 5).

7. Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения "Информационно-аналитическая система социально-экономического анализа" (ИАССЭА) УР.

Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа и теории оптимального управления (принцип оптимальности Белмана, принцип максимума Понтрягина), методы оптимизации, методы статистической обработки данных, численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений, методы математического прогнозирования, регрессионного анализа; использован аппарат математического компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов. Методы, применяемые в диссертационном исследовании, обуславливают необходимый уровень его достоверности. В качестве основных факторов достоверности работы можно перечислить использование теории оптимального управления, квалифицированное владение инструментарием математического моделирования социально-экономических объектов и процессов.

При использовании численных методов достоверность обеспечена проведенными исследованиями их сходимости.

Достоверность результатов прогнозирования макроэкономических характеристик обеспечена сравнением результатов расчетов с экспериментальными (статистическими) данными на участке ретропрогноза.

Полученные выводы и рекомендации по повышению эффективности управления региональной экономикой подтверждаются содержательным анализом специфики исследуемых процессов и качественными особенностями функционирования региональной экономики. На защиту выносятся:

1. Результаты теоретических исследований стационарных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа оптимальности Белмана и принципа максимума Понтрягина.

1.1. В общей модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для* неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).

1.2. Для монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, определяющей эту точI ку через исходные параметры модели.

1.3. Дано поное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (Теорема 2).

1.4. Описана структура оптимального управления в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления.

1.5. Получена конечная формула для луча сбалансированного роста для многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (Теорема 3).

2. Результаты теоретических исследований негомогенных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа максимума Понтрягина.

2.1. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления: на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).

2.2. В многофакторной ОТ-модели описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая. Предложен агоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней значимости факторов (индексный метод).

2.3. В многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).

2.4. Построено оптимальное управление в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной^ долей потребления.

3. Математическая модель демографической динамики и потенциала трудовых ресурсов, а также результаты анализа демографической ситуации в УР и прогнозирование демографических характеристик.

4. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала; численный прогноз для УР.

5. Математическая модель экономической системы региона как инструмента прогнозно-аналитических расчетов. Результаты идентификации параметров модели и прогнозирования обобщающих показателей региональной экономической системы.

6. Агоритмы и результаты решения задач оптимального управления региональной экономической системой для различных вариантов ее развития.

Научная новизна работы.

С точки зрения научной новизны результаты, выносимые на защиту (перечисленные выше), можно охарактеризовать следующим образом.

1. Теоретические результаты п.п. 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, а также все результаты п. 2 являются новыми. Результат п. 1.3 допоняет известный результат Куп-манса и дает поную характеристику решения РКК-модели.

2. Подход к разработке модели прогноза демографических характеристик (п. 3) на основе уравнения (сохранения) переноса (известного в механике гетерогенных сред) является теоретически новым.

3. Формулировка экономико-математической модели п. 4. является теоретически новой. Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени.

4. Разработки п.п. 5 и 6 основаны на новых теоретических результатах и имеют научную и практическую значимость. Построены агоритмы оптимального управления для различных вариантов развития ЭД.

Научная и практическая значимость.

Полученные новые теоретические результаты относятся к области фундаментальных исследований и являются вкладом в инструментарий научно-методологического анализа моделей экономической динамики. Приемы и методы исследований, развитые в работе, могут быть непосредственно использованы в теоретических исследованиях при построении и анализе экономических моделей.

Полученные результаты расширяют понимание закономерностей и механизма распределения инвестиционных потоков между производственной и социальной сферами. Сформулированные математические модели и агоритмы их реализации могут быть применены для прогнозирования факторов экономического развития. Развиваемое направление исследований дает более поное представление о вкладе различных факторов при формировании стратегии развития региона.

Содержащаяся в работе информация и выводы могут быть использованы для выработки научно обоснованной региональной программы развития УР. ИАССЭА может быть адресована Министерству экономики УР и Государственному комитету по труду УР.

Материалы диссертационной работы используются при обучении студентов факультета прикладной математики ИжГТУ по специальности 061800 Ч Математические методы в экономике, а также при проведении ими исследований на стадии написания дипломных работ и кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Научно-практической конференции ИжГТУ (Ижевск, 15-16 июля 2002 года); IV Научной конференция молодых ученых и аспирантов с международным участием "Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем" (Ижевск, 19 февраля 2003 года); VII Научной конференции молодых ученых и специалистов на секции "Информационные технологии и их применение" (Дубна, 3-8 февраля 2003 года); IV Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах" (Ижевск, 29-30 мая 2003 года); отдельные результаты работы докладывалась на семинаре профессора С.А. Айвазяна "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" в ЦЭМИ РАН (Москва, 2 июня 2004 года); V Международной научно-практической конференции "Государственное регулирование экономики. Региональный аспект" на секции "Математическое моделирование экономических систем" (Нижний Новгород, 20 -22 апреля 2005 года); Межрегиональной научно-практической конференции "Стратегия устойчивого развития города Ижевска" (Ижевск, 28 сентября 2005 года); Юбилейной конференции с международным участием "Современные проблемы науки и образования" (Москва, 5-6 декабря 2005г.); Международной научно-практической конференции "Научные школы и результаты в Российской статистике" (Санкт-Петербург, 29 января - 1 февраля 2006 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVH", (Воронеж, 3 Ч 9 мая 2006 года); Всероссийской научно-практической конференции "Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие" (Чебоксары, 3 октября 2006 года); 14-ой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 22 - 27 января 2007 года); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы", (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2007 года); IV конференции "Российская экономика 2007: реальность и перспективы", (Пула, Хорватия, 7-14 июля 2007 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVIII", (Воронеж, 3-9 мая, 2007 года); 3-ей Международной научно-практической конференции "Достижения ученых XXI века", (Тамбов, 30-31 июля 2007 года); Всероссийской научно-практической internet-конференции "Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем", раздел "Математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами" (Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября - 15 ноября 2007 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX", (Воронеж, 3-9 мая, 2008 года).

По теме диссертации опубликованы 44 печатные работы [8 - 51], в том числе 14 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций.

Личный вклад диссертанта заключается в непосредственном участии на . всех этапах исследования, включающих разработку теоретических подходов и методов к исследуемой проблеме, моделирование изучаемых процессов, математическое описание, разработку методов решения и анализ результатов.

Автор выражает благодарность научным консультантам: заведующему лабораторией "Динамические модели экономики" ЦЭМИ РАН (Москва), докт. физ.-матем. наук, профессору В.З. Беленькому за ценные консультации по теории и методам оптимального управления в моделях экономической динамики и декану факультета "Прикладная математика" ИжГТУ, члену-корреспонденту РАРАН, докт. техн. наук, профессору И.Г. Русяку за консультации по теории математического моделирования, всестороннюю помощь и поддержку при подготовке данной работы.

Структура и объем работы. Задачи и характер исследования определили объем, структуру и логику изложения материала (см. рис.1). Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 267 наименований. Общий объем диссертации составляет 285 страниц текста, она содержит 21 таблицу и 89 рисунков.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Кетова, Каролина Вячеславовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты и выводы по работе

1. В общей стационарной модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).

2. Для стационарной монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, выражающей эту точку через исходные параметры модели.

3. Дано поное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (Теорема 2).

4. Описана структура оптимального управления в стационарной двухфактор-ной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления. Показано, что в обоих случаях оптимальное управление выводит систему не в неподвижную точку фазового пространства, а на луч сбалансированного роста. При этом в модели с фиксированной долей устраняется недостаток, выявленный в модели с управляемой долей потребления, состоящий в том, что на луче сбалансированного роста экономика стагнирует (в душевом измерении).

5. Получена конечная формула (Теорема 3) для луча сбалансированного роста в многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления.

6. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления. В отличие от стационарной модели, где неподвижная точка оптимальной стратегии является стационарным состоянием, в негомогенном случае ей отвечает квазистационарная траектория - квазимагистраль, на которую выходят оптимальные траектории системы. На первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).

7. В многофакторной негомогенной модели с ограниченными траекториями описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая . Предложен агоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней (весов) значимости факторов (индексный метод). Этот подход позволяет построить оптимальную траекторию на основе принципа максимума, не решая поную систему сопряженных уравнений, точнее, без привлечения двойственных переменных, что является существенным упрощением, так как для интегрирования двойственных переменных краевые условия отсутствуют.

8. В многофакторной негомогенной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).

9. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности. Представлено аналитическое и численное решение задачи. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3% может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 20 лет.

10. Впервые сформулирована экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь. Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента: упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности. Исследования, проведенные в работе на примере УР, показали: полный экономический потенциал среднестатистического демографического элемента почти на 40% превышает расходы на его собственное содержание. при выбытии демографических элементов в возрасте т < 40 лет упущенная выгода для экономики в 2-3 раза выше потерянной ценности для отдельной семьи, однако, с увеличением возраста демографического элемента уже при т > 50 лет потерянная ценность становится выше упущенной выгоды. суммарная упущенная выгода от преждевременных демографических потерь в УР составляют 4 4- 6 % ее ВРП.

11. Впервые сформулирована экономико-математическая модель динамики человеческого капитала. Решена задача его определения как функции времени. Построена производственная функция экономической системы региона с учетом фактора человеческого капитала. Отношение коэффициентов эластичности фактора производственных фондов и фактора человеческого капитала для УР составляет 0,22, а предельная норма замещения второго фактора первым в 2006 году была равна 23. Таким образом, рассматриваемая экономическая система в настоящее время работает в условиях дефицита второго ресурса.

12. На основе построенных моделей факторов производства предложена математическая модель региональной экономической системы. Решена задача идентификации неизвестных параметров модели и прогнозирования обобщающих экономических показателей. Для решения задачи идентификации использован гибридный агоритм, включающий генетический агоритм с вещественным кодированием и метод Хука-Дживса. Установлено, что доля общественного потребления для УР составляет около 70 % от ВРП, а доли инвестирования в производственный и человеческий капитал составляют 21 % и 9 % соответственно.

13. На основе математической модели региональной экономической системы сформулирована и решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом демографического прогноза для различных сценариев развития. Построены агоритмы оптимального управления в условиях научно-технического и социально-образовательного прогресса; а также с учетом процесса внешнего инвестирования.

14. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономию!.

15. Установлено, что ведущим фактором развития экономики УР является человеческий капитал. Если прогнозировать развитие экономики УР на основе существующих пропорций норм потребления и инвестирования в факторы производства, то ее темп развития составит 1-2% в год. Определено оптимальное значение нормы потребления s0, при котором экономика развивается наиболее быстрыми темпами. При плановом периоде Г* =10 лет это значение равно 0,36. Решение задачи управления при 50=0,36 приводит к увеличению суммарного дисконтированного удельного потребления на 70 % по сравнению с прогнозным значением. При этом в конце планового периода более чем в 5 раз в сопоставимых ценах увеличивается удельное потребление и почти в 10 раз - производительность труда.

Проведенные численные исследования показали, что рассматриваемая экономическая система имеет достаточные резервы увеличения темпов развития. При этом оптимальное управление, устраняя дисбаланс между факторами производства (к и h ), приводит к существенному повышению ее эффективности.

Диссертация: библиография по экономике, доктор физико-математических наук , Кетова, Каролина Вячеславовна, Ижевск

1. Послание Федеральному Собранию Российской Федерации, 10 мая 2006 года // Официальный сайт Президента России htpp://www.kremlin.ru/text/appears/2006/05/l 05546. shtml.

2. Иванов В.И. Трудовые ресурсы и рост благосостояния народа Ч Минск: Наука, 1987.-117 с.

3. Иванов В.И. Население и глобализация Ч М.: Наука, 2002 Ч 87 с.

4. Максимович С. Русские вымирают быстрее других национальностей // Аргументы и факты Ч 2001.- № 1. С. 6.

5. Вишневский А.Г. Демографическая модернизация России и ее противоречия // Мир России. Социология. Этнология 1999.- Т. VIII - № 4 - С. 5-21.

6. Стенограмма выступления Первого заместителя Председателя Правительства РФ Дмитрия Медведева на заседании Общественной палаты, 9 февраля 2007 года, Москва //Ссыка на домен более не работаетofficial/2007/02/0900007893.shtml

7. Послание Федеральному Собранию Российской Федерации, 10 мая 2003 года // Официальный сайт Президента России htpp://www.kremlin.ru/text/appears/2006/05/l 05546. shtml

8. Русяк И.Г., Кетова К.В. Математическое моделирование демографических показателей // Сб. статей "Интелектуальные системы в производстве" Ч Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. № 2. - С. 163 - 169.

9. Русяк ИГ., Кетова КВ. Постановка задачи управления демографоэконо-мическим состоянием региона // Материалы IV Междунар. науч.-техн. конф. "Информационные технологии в инновационных проектах".Ч Ч. 2. Ч Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. С. 62 - 64.

10. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ решения задачи управления демографо-экономическим состоянием региона // Интелектуальные системы в производстве. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - № 2. - С. 151 - 160.

11. Русяк И.Г., Кетова КВ. К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ": Изд-во ИжГТУ. Ижевск, 2004. - № 2. - С. 49 - 52.

12. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ": Изд-во ИжГТУ. Ижевск, 2004. - № 3 - С. 44 - 46.

13. Кетова К.В. Применение принципа оптимальностиономического роста в стационарной постановке // Интелектуальные системы в производстве Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. -№ 1.-С. 145- 155.

14. Беленький В.З., Кетова К.В. Принцип оптимальности Белмана и стационарные модели экономической динамики // Сб. статей "Интелектуальные системы в производстве". Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. Ч № 2. Ч С. 59 -75.

15. Тененев В.А., Kemoea КВ., Дмитриев С.В. Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов // Сб. статей "Интелектуальные системы в производстве". Ч Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2005.-№2.-С. 81-87.

16. Беленький В.З., Kemoea КВ. Поное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе // Периодический научно-теоретический журнал "Экономика и математические методы" М.: Наука, Том 42, Вып. 4, 2006 - С. 85 - 95.

17. Русяк И.Г., Kemoea КВ. Математическое моделирование открытой региональной экономической системы // Периодический научно-теоретический журнал "Фундаментальные исследования".- М.: Изд-во Академия Естествознания, 2005. Ч№ 10, С. 73 - 74.

18. Кетова КВ., Дмитриев С.В. Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ".- Ижевск: Изд-во ИжГТУ. Ч № 3, 2006.- С. 68 70.

19. Кетова КВ., Сабирова О.Р. Макромодель развития региона с учетом повышения качества трудовых ресурсов (на примере Удмуртской Республики) // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей. Вып. 3. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 2006. - С. 83 - 98.

20. Русяк И.Г., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Квазистационарная кривая развития экономики региона в двухфакторной динамической макромодели // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ". Ч Ижевск: Изд-во ИжГТУ.-№ 1 (33), 2007.-С. 111-116.

21. Кетова КВ., Сабирова О.Р. Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка агоритма ее решения // Научный журнал "Вестник ТОГУ". Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2007. № 4 (7) - С. 89 - 100.

22. Кетова КВ. Экономико-математическая модель потенциала трудовых ре-1 сурсов и стоимостных характеристик демографических потерь // Научно-практический журнал "Прикладная эконометрика". Ч М.: Изд-во Маркет ДС. № 3 (7), 2007. - С. 80 - 94.

23. Кетова КВ. К вопросу о расчете потерянной ценности при выбытии демографической единицы // Периодический научно-образовательный журнал "Научное обозрение ". М.: Наука. - № 4, 2007. - С. 20 - 26. {<

24. Кетова КВ. Об одной задаче макроэкономической динамики региона с учетом факторов экономического развития // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ". Ижевск: Изд-во ИжГТУ. - № 3(35), 2007.-С. 33-40.

25. Русяк И.Г., Кетова КВ. Построение производственной функции экономиЧ1ческой системы региона с учетом человеческого капитала // Вестник МГУ" серия "Экономика". М.: Изд-во МГУ. - № 3, 2008.

26. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ экономических характеристик демографи----ческих потерь // Научный журнал "Вестник ТГУ".- Томск: Изд-во ТГУ. Ч310, 2008. -С. 153- 159.

27. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. Ч М.: Экономика, 1988.-486 с.

28. Аишанов С.А. Введение в математическую экономику.- М.: Наука, 1984 Ч 293 с.

29. Макконнел К.Р., Брю C.JI. Экономикс: принципы, проблемы и политика: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1999. - 974 с.

30. Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. В книге "Антология экономической классики". Т.1. М.: Эконов, 1993.

31. Замков О. О., Тостопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические мето-,' ды в экономике. Ч М.: Дело и сервис, 2001. Ч 365 с.

32. Маршал А. Принципы экономической науки: в 2 т./ пер. с англ. Ч М.: Прогресс, 1993.-т. 1.

33. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели. М.: Изд-во РУДН, 1999. - 182 с.

34. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. Ч М.: Экономика, 1997. 182 с.

35. Канторович JJ.B. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. Ч М.: Гостехиздат, 1939.

36. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. Ч М.: Экономика, 1973. 294 с.

37. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и догосрочного планирования народного хозяйства. -М.: Изд-во РУДН, 1992.

38. Багриновский К.А., Сумин Г.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства. Ч М.: Изд-во РУДН, 1993.

39. Гражданников Е.Д. Прогностические модели социально-демографических процессов. Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1974. - 112 с.

40. Имитационное моделирование экономических систем: Сб. ст. под ред. К.А. Багриновского. Ч М.: Наука, 1978. 221 с.

41. Соколовский JI.E. Модели оптимального функционирования предприятия. -М.: Наука, 1980.-172 с.

42. Информационное моделирование экономической системы / Под ред. Е.Г. Ясина. М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1979.

43. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства // учебное пособие для студентов ВУЗов, обучающихся по специальности "Экономическая кибернетика". М.: Экономика, 1985. - 240 с.

44. Потерович В.М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. Ч М.: Наука, 1990.

45. Потерович В.М. Равновесные траектории экономического роста.//Методы функционального анализа в математической экономике. Ч М.: Наука, 1978.s

46. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического ^моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

47. Петров А.А., Шананин А.А. Экономические механизмы и задача агрегирования модели межотраслевого баланса. //Математическое моделирование. 1993, т.5, № 9.

48. Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: к теории производственных функций // Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, №2, 1979.-С. 28-38.

49. Поспелов И.Г. Моделирование экономических структур. М.: ФАЗИС, 2003.

50. Петров А.А. Об экономике языком математики. Ч М.: ФАЗИС, 2003.

51. Solow R. A contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics, v. 70, 1956. Pp. 65 - 94.

52. Solow R. Growth theory: An exposition. 1988 edition. Oxford, Oxford Univ. Press, 1970.

53. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

54. Гейл Д. Замкнутая линейная модель производства // Линейные неравенства и смежные вопросы. Ч М., 1959.

55. Gale D. Pure Exchange Equilibrium of Dynamic Economic Models // Journal of Economic Theory, v. 6, 1973. Ч Pp. 12-36.

56. Макаров B.JI., Рубинов A.M, Левин М.И. Математические модели экономического взаимодействия. Ч М.: Наука-Физматлит, 1993.

57. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

58. Макаров В.Л. Состояние равновесия сбалансированного роста в модели Неймана с функцией полезности // Оптимальное планирование. Ч Вып. 8. Ч Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1967. С. 168 - 169.

59. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана-Гейла // ДАН СССР, 242, 2, 1978.

60. Беленький В.З. Стационарные динамические модели управления экономическими системами / Дис. д-ра физ.-мат. наук. М.: ЦЭМИ РАН, 1992.

61. Беленький В.З. Стационарные модели экономической динамики. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1981.

62. Беленький В.З. Экономическая динамика: обобщающая "бюджетная" факторизация гейловской технологии // Экономика и математические методы. -1990.-Вып. 1.-С. 165-177.

63. Беленький В.З. Объективные функционалы в стационарных моделях экономической динамики // Математический аппарат экономического моделирования. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1983. - С.216-222.

64. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование: Учеб. пособие. -М.: Изд-во РЭШ, 2001. 114 с.

65. Матееенко В.Д. Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Ч С-Пб, 2004.

66. Матееенко В.Д. Эффективный функционал и магистраль в моделях экономической динамики. // Математические модели экономической динамики. Вильнюс: ИЭ АН ЛитССР, 1988.

67. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. Ч М.: Финансы и статистика, 1986. Ч 239 с.

68. Клейнер Г.Б. Факторы производства и производственные функции: моделирование в условиях качественных измерений. // Производственные функции: Теория, методы, применение. Ч М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1997.

69. Терехов JT.JI. Производственные функции. М.: Статистика, 1974. - 128 с.

70. Терехов Л.Л., Куценко В.А., Сиднее С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. Ч Киев: Выща шк., 1984 Ч 231с.

71. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 126 с.

72. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. Ч М.: Наука, 1979.-303 с.

73. Бессонов В.А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике. М.: Институт экономики переходного периода, 2002. - 23 с.

74. Лукашин Ю., Рахлина Л. Производственные функции в анализе мировой экономики // Мировая экономика и международные отношения, 2004. №1 -С. 17-27.

75. Бурое А.В., Минъков С.Л., Ушаков В.М. Моделирование экономических процессов и систем. Томск: Изд-во ТГПУ, 4.1, 2001 - 158 е.; ч.2, 2003Ч 167 с.

76. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. Journ. December 1928. -Pp. 543-559.

77. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. Ч М.: Статистика, 1974 Ч 472 с.10в. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. Ч М.: Прогресс, 1975. 605 с.

78. Алексеев В.М. и др. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. Ч 429 с.

79. Ботянский В.Г. Математические методы оптимального управления. Ч М.: Наука, 1969.-408 с.

80. Ботянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. Ч М.: Наука, 1973.-446 с.

81. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финансы и статистика, 2003. - 191 с.

82. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. -М.: Наука, 1977.-216 с.

83. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

84. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Ботянский и др. М.: Наука, 1983. - 392 с.

85. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высш. шк., 1990.-429 с.

86. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. - М.: Наука, 1998.

87. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. Ч М.: Наука, 1961.

88. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Наука, 1989.-61 с.

89. Белман Р. Динамическое программирование. Ч М.: Иностранная литература, 1960.

90. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. Ч М.: Наука, 1978.-352 с.

91. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений ЧМ.: Логос, 2000 293с.

92. Беленький В.З. Вековое уравнение для неподвижных точек оптимальной стратегии стационарного уравнения Белмана. //Экономика и математические методы. М.: Наука, 1991. - № 5.

93. Кетова КВ. Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза / Дис. кандидата физ.-мат. наук. Ч Ижевск: ИжГТУ, 2004.

94. Н.Б. Мельников Существование и единственность функции цены в многомерной модели Рамсея // Вестник МГУ, серия 15, Вычислительная математика и кибернетика. М.: Изд-во МГУ, 2205. - № 3.

95. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

96. Беленький В.З. Операция ratio-сопряжения и ее применение в линейно-однородных моделях экономики. //Экономика и математические методы. Ч М.: Наука.-№2, 2006.

97. Беленький В.З. Количественный анализ в моделях экономики (лекции для студентов) / Экономический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Изд-во ТЕИС, 2002. - 112 с.

98. Яковенко С.Ю. О моделях Неймана-Гейла, функционирующих в непрерывном времени. // ДАН СССР, т. 291, № 4, 1986.

99. Рокафелар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

100. Капица С.П. Математическая модель роста населения мира // Математическое моделирование. 1992. - Т. 4. - № 6.

101. Боярский А.Я. Курс демографии. -М.: Статистика, 1985. 652 с.

102. Боярский А.Я., Валентей Д.И., Кваила А.Я. Основы демографии: Учебное пособие для экономических специальностей вузов. М.: Статистика, 1980. - 295 с.

103. Боярский А.Я. Модели демографических связей. -М.: Статистика, 1972.

104. Венецкий И.Г. Статистические методы в демографии. Ч М.: Статистика, 1977.-208 с.

105. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии. Ч М.: Статистика, 1971.-296 с.

106. Вишневский А.Г. Методы количественного анализа рождаемости. Ч М.: Мысль, 1986.

107. Борисов В.А. Демография: Учебник для вузов. Ч М.: NOTA BENE, 1999. Ч 272 с.

108. Стешенко B.C. Изучение воспроизводства народонаселения. Киев: Наук, думка, 1981.-326 с.

109. Вишневский А.Г. Мировой демографический взрыв. -М.: Знание, 1978.

110. Валентей Д.И., Зверева Н.В. Изучение народонаселения: вопросы методологии. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 154 с.

111. Демографические модели: Сб. статей под ред. Е.М. Андреева, А.Г. Вокова. М.: Статистика, 1977. - 182 с.

112. Валентей Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии: Учебник для экон. спец. вузов. -М.: Мысль, 1989.-284 с.

113. А2.Валентей Д.И., Алексеев А.И., Андреев Е.Н. и др. Демография: современное состояние и перспективы развития. М.: Высш. шк., 1997.

114. Боярский А.Я. Население и методы его изучения // Сб. научных трудов. -М.: Статистика, 1975. 264 с.

115. Раяцкас P.JI. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1973. -268 с.

116. Раков А.А. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1976.

117. Басалаева Д.И. Моделирование демографических процессов и трудовых ресурсов. -М.: Наука, 1978. 88 с.

118. Белова В.А., Дарский JI.E. Статистическое мнение об изучении рождаемости. -М.: Статистика, 1972. 144 с.

119. Дарский JI.E. Формирование семьи. -М.: Статистика, 1972. -208 с.

120. Общая теория статистики / Под ред. О.Э Башиной, А.А. Спирина. М.: Финансы и статистика, 2000. Ч 439 с.

121. Урланис Б.Ц. Проблемы демографического прогнозирования. М.: Наука, 1971.

122. Бахметова Г.Ш. Методы демографического прогнозирования. Ч М.: Финансы и статистика, 1982. 159 с.

123. Венецкий И.Г. Вероятностные методы в демографии. Ч М.: Финансы и статистика, 1981.

124. Демографические прогнозы: Сб. ст. под ред А.Г. Вокова. М.: Статистика, 1973.- 167 с.

125. Имитационные модели в демографии: Сб. статей под ред. А.Г. Вокова. Ч М.: Статистика, 1980. 207 с.

126. Боярский А.Я. К проблеме демографического оптимума. Ч М.: Наука,1968.-36 с.

127. Вишневский А.Г. Воспроизводство населения и общество. Ч М.: Финансы и статистика, 1982. -287с.

128. Вишневский А.Г. Демографический потенциал России // Вопросы экономики. 1998. -№ 5. с. 103-122.

129. Уилъямсон М. Анализ биологических популяций. М.: Мир, 1975. - 271 с.

130. Глобальная энергетическая проблема / Под ред. Н.Д. Иванова. М.: Мысль, 1985.-240 с.

131. Агзамходжаев И.Х. Модели перспективной оценки движения населения и трудовых ресурсов: Дис. канд. техн. наук. Ташкент, 1992.

132. Папенов К.В. Модель размещения населения и трудовых ресурсов с учетом естественного и механического движения: Дис. канд. техн. наук. Ч М.,1969.

133. Форрестер Дж. Мировая динамика. -М.: Наука, 1978. 167 с.

134. Гинзбург JI.P. О динамике и управлении возрастной структурой популяции // Проблемы кибернетики. 1970. - Вып. 23.

135. Горбунов В.К. Системный анализ экономического и демографического рос-та//Техническая кибернетика-М.: Изд-во АН СССР.- №1, 1981- С. 32-38.

136. Староверов О.В. Модели движения населения. М.: Наука, 1979. Ч 342 с.

137. Староверов О.В. Общие марковские модели движения населения и его потенциал // Экономика и математические методы. Ч Т. 27. 1991. Ч Вып. 4.

138. Староверов О.В. Оценка притяжения групп по межгрупповым потокам // Экономика и математические методы. Т. 31. - 1995 - Вып. 2.

139. Староверов О.В. Один подход к оценке насыщенности рынка труда // Тез. докл. V науч. конф. "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценка". М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1993.

140. Раков А.А. Демографические основы народно-хозяйственного планирования. Минск: Навука и техника, 1990. Ч 268 с.

141. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р.А. Полуэкто-ва. М.: Наука, 1974. - 455 с.17Х.Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики. М.: Физматлит, 1994. - 414 с.

142. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. -336 с.

143. Русяк И.Г., Ушаков В.М. Внутрикамерные гетерогенные процессы в ствольных системах. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001. - 269 с.

144. Численность населения по полу и возрасту в Удмуртской Республике: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, ., 2007.

145. Естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. бюл. Госкомстата УР. Ч Ижевск, 1996, ., 2007.

146. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. - 400 с.1.l .Lax P. Weak solution of nonlinear hyperbolic equation and their numerical computation // Comm. on purl and aple math. 1954. Ч V. 7. - № 1.

147. S. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т. 2. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 976 с.

148. Удмуртия в цифрах: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1980-2001, 2006.

149. Численность и естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, ., 2007.

150. Численность работников и движение рабочей силы: Стат. бюл. Госкомстата УР.-Ижевск, 1996, .,2007.

151. Социально-экономическое положение городов и районов Удмуртской Республики: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996,., 2006.

152. Динамические ряды итогов переписей населения 1959, 1970, 1979, 1989 гг. по Удмуртской Республике (не опубл.).

153. Динамические ряды по естественному движению населения Удмуртской Республики (не опубл.).

154. Сводные статистические таблицы об итогах естественного движения населения УР за 1990-1998 гг. Опись 7 (не опубл.).18в.Россет Э. Процесс старения населения: Демографическое исследование. -М.: Статистика, 1968. 509 с.

155. Россет Э. Продожительность человеческой жизни. М.: Прогресс, 1981. -383 с.

156. Прохоров Б.Б., Шмаков Д.И. Оценка стоимости статистической жизни и экономического ущерба от потерь здоровья // Проблемы прогнозирования, 2002, №3,-С. 125-135.

157. Трунов И.Л., Трунова Л.К., Востросаблин А.А. Экономический эквивалент человеческой жизни // Вестник РАЕН, 2004, № 4.

158. Трунов ИЛ., Айвар Л.К., Харисов Г.Х. Эквивалент стоимости человеческой жизни / htpp//www.trunov.com/content.php?act=showcont&id=1858.

159. Саградов А.А. Экономическая демография // Учебное пособие. М.: Ин-фра-М, 2005. - 253 с.

160. Урланис Б.Ц. Проблемы экономической демографии // В сб. Проблемы демографии. Вопросы теории и практики / Под редакцией Д.Л. Бронера и И.Г. Венецкого. М.: Статистика, 1971. - С. 93 - 110.

161. Отчетность об испонении консолидированного бюджета РФ, Министерство Финансов Российской Федерации, Федеральное казначейство (Казначейство России) Ссыка на домен более не работаетreports/cb.html.

162. Саградов А. А. К разработке модели пожизненных доходов // Экономический альманах: статистика, анализ, прогноз. Вып.1, 2001. Ч С. 46 Ч 49.

163. Саградов А.А. Теория и методы изучения качества населения. Ч М.: Гуманитарный фонд, 1995.

164. Закон о бюджете Удмуртской Республики на 1999,., 2006 г.г.

165. Бюджет УР на 2005, 2006 г.г. Основные параметры (информационная записка). Управление аналитического обеспечения и информационных ресурсов при аппарате Государственного Совета УР. Ч Ижевск, 2006.

166. Основные фонды Удмуртской Республики: Стат. сб. Госкомстата YJE*.1. Ижевск, 1998-2005.

167. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. Ч JVI.: Финансы и статистика, 2004. 621 с.

168. Информационный сайт Госкомстата России http: //www.info.gks.ru.

169. Дятлов С.А. Инвестиции в человеческий капитал: критерий эффективности // Известия СПбУЭФ, № 4, 1996. 298с.

170. Айвазян С.А. Анализ синтетических категорий качества жизни населения субъектов РФ: их измерение, динамика, основные тенденции // Уровень жизни населения регионов России, №11, 2002.

171. Ильинский КВ. Инвестиции в будущее: образование в инвестиционном воспроизводстве. СПб.: Изд-во СПбУЭФ, 1996. - 250 с.

172. Агабеков С.И. Инновационный человеческий капитал и эволюция социсальIно инновационной структуры России. - М.: Наука, 2003.205 .Добрынин А. И., Дятлов С.А. Человеческий капитал в транзитивной экономике. СПб.: Наука, 1999.-309 с.

173. Юб.Галаева Е.В. Исследование человеческого капитала в зарубежной литературе. //Общество и экономика, № 7 8, 1997. - С. 244 - 255.

174. Макконел К.Р. Брю C.JI. Экономикс: принципы, проблемы и политика. Т. 2.-М.: Республика, 1992.

175. Эренберг Р. Современная экономика труда. Теория и государственная политика. М.: Изд-во МГУ, 1996. - 198 с.

176. Корицкий А.В. Введение в теорию человеческого капитала. Ч Новосибирск: Изд-во СибУПК, 2000. 112 с.

177. Schultz Th.W. Investing in People. The Economics of Population Quality. Ч Berkeley: University of California Press, 1981.

178. Schultz T.P. Economics of Population. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing Company, 1981.

179. Борисов Г.В. Инвестирование в человеческий капитал в условиях трансформирующейся экономики России. СПб., 1998. - 320 с.

180. Клочков В. В. Экономика образования: илюзии и факты-М.: Мысль, 1985.

181. Ткаченко А.А. Экономические последствия современных демографических процессов в СССР. -М.: Статистика, 1978.

182. Фотеева Е.А. Качественные характеристики населения СССР. Ч М.: Финансы и статистика, 1984.

183. Фишер С., Дорнбуш Р. Экономика. М.: Дело, 1993.

184. Дятлов С.А. Теория человеческого капитала. // Учебное пособие. СПб.: СПбУЭФ, 1992.

185. Лаптев А.П. Здоровье Ч фундамент деловых успехов //Управление персоналом, №10, 1997.

186. В.Нестерова Инвестиции в человеческий капитал. М.: Аспект пресс, 2002.-215 с.

187. Farr W. On the Economic Value of the Population // Population and DevelopmentReviev, № 27 (3), 2001 1877. -P.565-571.

188. Rice D., Cooper B. The economic Value of Human Life // American Journal of Public Health № 57 (11), 1967. P. 1954-1966.

189. Mushkin S. Health as Investment // Journal of Political Economy № 70 (5), 1962.-P. 129-157.

190. Solow R. Technical change and the aggregate production function // Review of Economics and Statistics, v. 39, 1957. Ч Pp. 312 Ч 330.22в. Глазьев С. Ю. Экономическая теория технического развития. М.: Наука, 1990.-232 с.

191. Lucas R.E. On the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics, v. 22, 1988. Pp. 3 - 42.

192. Lucas R.E. Making a miracle // Econometrica, v. 61, 1993. Pp. 251 - 272.

193. Romer P. Increasing returns and long-run growth // Journal of Political economy, v. 94, 1986. Pp. 1002 - 1037.

194. Закиров P.X. Экономическая эффективность капитальных вложений и производственных фондов. Ч М.: Прогресс, 1976. Ч210 с.

195. Твисс Б. Управление научно-техническими нововведениями. Сокр. пер. с англ. М.: Экономика, 1989. -115 с.

196. Бетехтина Е., Пойсик М. Мировая практика формирования научно-технической политики. Кишинев: 1990. -231 с.

197. Чечурина М.Н. Анализ моделей научно-технического прогресса как фактора экономического развития. М.: Вестник МГТУ, 2005. - вып. 8 Ч № 2 Ч С. 338-347.

198. Оппенлендер К. Технический прогресс: воздействие, оценки, результаты. Ч М.: Экономика, 1981. 176 с.

199. Царьков В.А. Экономическая динамика и эффективность капитальных вложений. -М.: Издательство дома Лексикон, 1997. 278 с.

200. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика, 1971.

201. Валинурова JI.C., Казакова О.Б. Управление инвестиционной деятельностью: учебник. М.: КНОРУС, 2005. - 384 с.

202. Валинурова JI.C. Прогнозирование объема инвестиций в экономическую систему //Закон и право, 2005, № 5, С. 49-61.

203. Валинурова JI.C. Управление инвестиционным процессом в экономических системах. Ч М.: Палеотип, 2002. 278 с.

204. Петровская Л.А., Шипук П.М. Модели открытой экономики //Международные экономические отношения, 2002, №45. // Web: Ссыка на домен более не работаетl 998/4/P/l 3 .shtml.

205. Крувшиц JI. Финансирование и инвестиции. Ч СПб.: Питер, 2002.

206. Рождаемость, смертность и естественный прирост населения по регионам РФ в 2002 2006 годах // Стат. сборник Государственного комитета РФ по статистике. - 2006.

207. Доходы, расходы и потребление домашних хозяйств в 2002 2006 годах (по итогам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств) // Стат. сборник Государственного комитета РФ по статистике. Ч 2006.

208. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. М.: Финансы и статистика, 2006.

209. Бугаков В.К, Бугаков О.В. Моделирование динамики обобщающих показателей развития региональных экономических систем России // Экономика и математические методы, т.42, №1, 2006. С. 32 - 49.

210. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994.-528 с.

211. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. Ч М.: Наука, 1982. 432 с.

212. Курейчик В.М. Генетические агоритмы // Перспективные информационные технологии и интелектуальные системы, 2000, № 1. С. 18 -22.

213. Курейчик В.М., Зинченко Л.А., Хабарова И.В. Агоритмы эволюционного моделирования с динамическими параметрами // Информационные технологии, 2001, №6. С. 10 -15.

214. Тененев В.А., Паклин Н.Б. Гибридный генетический агоритм с допонительным обучением лидера // Интелектуальные системы в производстве, 2003, №2.-С. 181 206.

215. Дмитриев С.В. Разработка гибридных генетических агоритмов для решения задач оптимального управления динамическими системами / Дис. канд. техн. наук. Ч Ижевск: ИжГТУ, 2007.

216. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Изд-во МАИ, 1995.-334 с.

217. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические агоритмы и нечеткие системы. Ч М.: Горячая линия Телеком, 2004. - 452 с.i

218. Тененев В.А. Применение генетических агоритмов с вещественным кроссовером для минимизации функций большой размерности // Интелектуальные системы в производстве, 2006, № 1. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2006.-С. 93-107.

219. Her г era F., Lozano М., Verdegay J.L. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and tools for the behavior analysis // Artificial Intelligence Review. -1998.-Vol. 12, No. 4.-Pp. 265 -319.

220. Ballester P.J., Carter J.N. Real-parameter genetic algorithms for finding multiple optimal solutions in multi-modal optimization // Genetic and Evolutionary Computation Conference. Part I. Lecture Notes in Computer Science 2723. -2003.-Pp. 706-717.

221. Deb K., Agrawal S. Simulated binary crossover for continuous search space // Complex Systems. 1995. - Vol. 9, No. 2. - Pp. 115 - 148.

222. Schlierkamp-Voosen D., Muhlenbein H. Strategy Adaptation by Competing Subpopulations // Parallel Problem Solving from Nature III. Lecture Notes in Computer Science 866. Ч Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1994. Pp. 199 Ч 208.

223. Muhlenbein H., Schlierkamp-Voosen D. Predictive Models for the Breeder Genetic Algorithm: I. Continuous Parameter Optimization // Evolutionary Computation. 1993. - Vol. 1, No. 1. - Pp. 25 - 49.

224. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Пер. с англ.; Под ред. В.А. Волынского. Ч М.: Радио и связь, 1988. Ч 128 с.

225. Отчетность Федеральной налоговой службы "Отчет о начислении и поступлениям налогов, сборов и иных обязательных платежей в бюджетную систему РФ", по состоянию на 01.01.2007.

226. Геловани В.А., Голубков В.В., Юрченко В.В. и др. Моделирование глобальных процессов. Система интерактивного моделирования: Препринт. Ч М.: ВНИИСИ, 1985. 56 с.

227. Щербов С.Я., Гречуха В.А. Диалоговая система моделирования многомерных демографических процессов II Глобальное развитие: модели и вычислительные эксперименты. М.: ВНИИСИ, 1986. - С. 23 - 33.

228. Хомоненко А.Д., Цыганков В.М., Мальцев М.Г. Базы данных: Учебник для вузов / Под ред. проф. А.Д. Хомоненко.- СПб.: КОРОНА- принт, 2002.672 с.

Похожие диссертации

• Государственное регулирование рынка частных ценных бумаг в России, 1890-1914 гг.
• Функционирование и стратегия развития ходингов в регионе
• Развитие социально-экономической системы региона на основе повышения эффективности использования инвестиционного резерва
• Совершенствование методов оценки инновационного развития экономической системы региона
• Устойчивое развитие социально-экономической системы региона