Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Оптимальное управление портфелем ценных бумаг по составным критериям тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат экономических наук
Автор Дорф, Татьяна Викторовна
Место защиты Ростов-на-Дону
Год 2007
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Оптимальное управление портфелем ценных бумаг по составным критериям"

На правах рукописи

Дорф Татьяна Викторовна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ ПО СОСТАВНЫМ КРИТЕРИЯМ

08 00 13 - Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Ростов-на-Дону Ч 2007

ОЗ162Э81

003162981

Работа выпонена в ГОУ ВПО "Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)"

Научный руководитель- доктор экономических наук, профессор

Кардаш Виктор Алексеевич

Официальные оппоненты - доктор экономических наук, доцент

Иванченко Игорь Сергеевич кандидат экономических наук, доцент Охрнменко Ольга Ивановна

Ведущая организация: Ставропольский государственный университет

Защита состоится 13 ноября 2007 г в 12.00 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212 209 03 при Ростовском государственном экономическом университете РИНХ по адресу 344002, г Ростов-на-Дону, ул Б Садовая, 69, ауд 231.

С диссертацией можно ознакомшься в научной библиотеке Ростовского государственного экономического университета РИНХ. С текстом автореферата можно ознакомиться на сайте РГЭУ РИНХ www.rseu ш.

Автореферат разослан л12 октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Тищенко Е.Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Пройдя несколько этапов своего становления и развития, к 2003 году российский фондовый рынок занял достаточно высокую позицию в экономической и политической жизни страны Успешное развитие российского рынка ценных бумаг в настоящее время привело к тому, что не только банки и инвестиционные компании, но и небольшие предприятия и частные инвесторы обратили на него свое пристальное внимание в связи с возможностью получения допонительного дохода Широкое использование сети Internet сделало доступным участие небольших организаций и частных лиц в операциях на фондовом рынке Относительная стабилизация экономической ситуации в России сделала привлекательными не только краткосрочные инвестиции, но и вклады среднего и длительного срока В связи с этим, наряду с необходимостью разумного вложения капитала, возникает потребность в эффективном управлении им в течение определенного времени. Так к ак для большинства частных инвесторов управление портфелем является побочным видом деятельности, корректировка портфеля не может быть постоянной, а, следовательно, необходимо решать задачу пересмотра портфеля в некоторые, впоне определенные моменты В этой связи важно разрабатывать не столько инструментарий для спекулятивных операций на фондовом рынке, сколько совершенствовать методы фундаментального анализа этого рынка для -эффективного управления капиталом инвесторов с учетом прогнозируемых процессов в реальном секторе экономики Все вышеперечисленное обуславливает актуальность построения простых экономико-математических моделей управления инвестициями, ориентированных на широкий круг участников фондового рынка, не занимающихся профессионально игрой на фондовом рынке

Степень разработанности проблемы. Вопросам оптимизации портфеля инвестора на финансовом рынке и прогнозирования курсов ценных бумаг по-

свшцено множество теоретических и практических работ отечественных и зарубежных исследователей.

Основоположниками теории оптимизации портфеля ценных бумаг являются Г. Марковиц, Д. Тобин, У Шарп, Дж Литнер, Дж. Моссин

В настоящее время известен широкий спектр моделей и методов финансового менеджмента, актуарных расчетов, прогнозирования процессов на фондовых рынках и оценки стоимости ценных бумаг. Это в основном разработки зарубежных ученых для развитых финансовых рынков Основные концепции зарубежных исследований нашли отражение в трудах экономистов, внесших заметный вклад в изучение фондовых рынков и в разработку портфельной теории Ф Блока, Э. Бредпи, М Гордона, Дж Кемпбела, Дж Кохрейна, М Милера,? Мюррея, Дж Сороса, Р. Тьюльза, Е Фамы, К Френча и др.

Для развивающегося российского фондового рынка потребовались исследования, учитывающие существенную специфику рыночной трансформации российской экономики и в особенности ее сырьевой ориентации Значительный вклад в исследования рынка ценных бумаг, становления и развития системы регулирования фондового рынка внесли российские ученые-экономисты М Ю. Алексеев, С В. Арженовский, Г И. Белявский, А.Н Буренин, Г В Булычев, А Г. Грязнова, ЯМ Миркин, И А. Наталуха, И.В. Павлов, А.Н Первозван-ский, В А. Перепелица, Е.В. Попова, Б Б Рубцов, А Б. Фельдман, М.А Федотов, Е М Четыркин, А.Н. Ширяев, М А Эскиндаров и другие. В их работах освещены отдельные вопросы теории фондовых рынков, финансовой математики, экономико-математического моделирования и экономического анализа процессов в финансовом секторе экономики

Вместе с тем в существующих разработках недостаточно внимания уделялось динамическим моделям процессов на фондовом рынке; слабо представлены методы поэтапного управления портфелем ценных бумаг. Не разработан инструментарий управления портфелем, в основе которого лежали бы хорошо изученные теория и методы управляемых марковских процессов. Требуют со-

вершенствования и сами постановки задач управления процессами размещения капитала в ценных бумагах в части уточнения критериев качества управления.

Актуальность и недостаточная разработанность указанных проблем определили выбор темы исследования, его цели и задачи.

Объектом исследования является финансовый сектор экономики

Предметом исследования - экономические отношения и процессы управления капиталом инвесторов на фондовом рынке.

Цель и задачи диссертационного исследования. Целью проводимого исследования является разработка методологии и динамической модели процессов поэтапного управления портфелем ценных бумаг (на содержательном примере портфеля конкретных акций), методов и инструментария ее реализации с составным критерием качества управления. В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса взаимосвязанных задач, определяющих логику диссертационного исследования

- построение двухкритериальной многоэтапной стохастической модели формирования портфеля акций и управления им в течение определённого периода времени в зависимости от уровня толерантности инвестора,

- разработка агоритма для решения поставленной задачи;

- проверка практической реализуемости предложенной модели,

- создание прикладного программного обеспечения для решения поставленной задачи;

- построение агоритма решения полученной несобственной задачи линейного программирования,

- разработка методики прогнозирования курсов выбранных акций в виде законов распределения

Теоретические и методологические основы исследования. Теоретическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных учёных по методологии и экономическим приложениям теории вероятностей и математической статистики, экономико-математическому моделированию, эконометрике, теории финансов, теории и методам прогнозирования, а также -

теории и методам нестационарных процессов математического программирования.

Работа выпонена в соответствии с п 1 6 Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов паспорта специальности 08 00 13 Математические и инструментальные методы экономики.

Инструментарно-методический аппарат. Для решения поставленных в работе задач использованы методы оптимизации, регрессионного анализа, градиентные методы фейеровских приближений, стохастического оптимального управления

Информационно-эмпирическую базу исследования составили данные о динамике курсов акций российских эмитентов, участвующих в Российской Торговой Системе, а также данные о динамике изменения основных экономических и фондовых индикаторов Федеральной службы по финансовым рынкам России, Федеральной службы государственной статистики, Министерства финансов РФ

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке математических моделей и инструментария оптимизации решений по управлению портфелем акций на основе теории управляемых марковских процессов с составным критерием, не предполагающих нормального закона распределения стоимости портфеля Конкретное приращение научного знания состоит в следующем.

1 Построена двухкритериальная динамическая а охасггическая модель управления портфелем акций, позволяющая находить оптимальные управления как на стадии формирования структуры портфеля в момент выхода на рынок, так и в процессе изменения условий на фондовом рынке

2 Предложена в качестве критерия риска взвешенная по вероятности сумма квадратов отклонений от заранее установленной стоимости портфеля по недобору, что дает возможность отказаться от неадекватного реальности пред-

положения о нормальном законе распределения стоимости портфеля (в отличии от моделей типа Марковица - Тобина).

3 Предложена модификация задачи управления портфелем акций на основе схемы управляемых марковских процессов, с учетом специфики управления (принятие текущих решений в соответствии с реальным состоянием процесса и возможными вариантами будущих его состояний), что позволило разработать специальный метод обратной рекурсии при поиске оптимальной стратегии

4 Разработан агоритм решения задачи с применением стохастических градиентных методов фейеровских приближений в сочетании с операторами проектированид, который минимизирует невязки при переходе от несовместной задачи

5 Предложен и обоснован метод вероятностного прогнозирования динамики цен на рынке ценных бумаг на основе композиции моделей линейной множественной регрессии, трендовых и авторегрессионных моделей, чго позволило учесть нелинейность процессов взаимодействия факторных и результативных характеристик системного процесса.

6 Предложенные модели и методы реализованы программно, что позволяет эффективно оперировать с предложенной методикой выработки и принятия решений в конкретных условиях. В общую вычислительную схему встроена авторская программа Оптимизация стратегии управления портфелем ценных бумаг (ОСУП), реализующая метод обратной рекурсии и агоритм фейеровских приближений в сочетании с операторами проектирования

Теоретическая и практическая значимость исследования.

Теоретическая значимость состоит в построении адекватной модели управления портфелем, учитывающей несимметричность распределения, разработке специ.шьного метода сочетания фейеровских приближений с операторами проектирования, позволяющего решать задачи минимизации специального вида

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и агоритмы позволяют оптимизировать управление портфелем акций в среднесрочном режиме с использованием вероятностных прогнозов Предложенные модели, методы и агоритмы используются в учебном процессе ЮРГТУ при чтении курсов Экономиико-математическое моделирование и Стохастическая оптимизация

На защиту выносятся следующие результаты диссертационного исследования:

1 Двухкритериальная многоэтапная стохастическая модель формирования портфеля акций и управления им в течение определенного периода времени в зависимости от уровня толерантности инвестора.

2 Агоритм, предполагающий модификацию поставленной задачи, позволяющий разбить задачу на две с противоречивыми критериями и последовательное их решение

3 Агоритм решения полученной несобственной задачи линейного программирования с применением дифференциального фейеровского оператора и операторов проектирования.

4 Разработка методики прогнозирования курсов выбранных акций в зависимости от поведения основных фондовых индикаторов в виде законов распределения.

5. Создание прикладного обеспечения для решения поставленной задачи на основе стандартных пакетов, авторских агоритмических и программных разработок

Апробация результатов исследования.

Основные положения и результаты диссертационной работы представлялись в виде докладов и получили положительную оценку на II Всероссийском симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, Кисловодский институт экономики и права, 23-25 апреля 1998г), III Всероссийском симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г Кисловодск, Кисловодский институт экономики

и права, 1999г), VI Всероссийской школе - колоквиуме по стохастическим методам (г. Самара, 15-21 августа 1999 г.), Международной конференции Математические методы в технике и технологиях (г. Санкт-Петербург, 26-29 июня 2000 г.), VI Международной научно-практической конференции Методы и агоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике (г Новочеркасск, 27 января 2006 г.)

Отдельные результаты диссертационного исследования нашли применение в практической деятельности Новочеркасского отделения Сбербанка России №1799, что подтверждается актом внедрения

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 8 печатных работах общим объемом 2,24 п л (в том числе автора 2,22п л) Получено свидетельство об отраслевой регистрации разработки

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и предложений, списка использованной литературы и приложений Текст диссертации изложен на 116 страницах, включает 9 таблиц, 11 рисунков Список использованной литературы содержит 118 источников

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы исследования, показана степень разработанности проблемы, определены объект, предмет, цель и задачи исследования; сформулированы положения, выносимые на защиту, определены научная новизна и практическая значимость результатов исследования

В первой главе Основные направления и математические методы исследований рынка ценных бумаг рассматриваются известные методологические подходы в изучении процессов функционирования и развития фондового рынка, определена концептуальная основа диссертационного исследования, дан критический анализ существующих моделей и методов прогнозирования динамики финансовых инструментов и оптимизации управления портфелем ценных бумаг, подчеркивается необходимость построения динамических стохастиче-

ских моделей, представляющих процесс управления портфельным капиталом на фондовом рынке как управляемый случайный процесс

Рассматривая в широком плане проблемы управления процессами на фондовом рынке, необходимо более четко определиться с целями управления Цели отдельных инвесторов со своими локальными интересами могут в разной степени сочетаться с общественными интересами В этой связи в диссертации уделяется внимание вопросам влияния фондового рынка на характер и темпы развития реального сектора экономики.

В связи с тем, что положительное влияние фондового рынка на макроэкономическую динамику зависит от степени его развития, нами сделана попытка уточнить содержание понятия уровня развития фондового рынка. Необходимо различать спекулятивную составляющую фондового рынка и составляющую фондового рынка, состоящую из сделок на средне- и догосрочном временном горизонте Как нам представляется, в неэффективной экономике финансовый рынок может функционировать и расширяться в основном за счет спекулятивных операций С позиции интересов отдельных инвесторов размещение капитала в ценных бумагах дожно привести к максимальному приращению этого капитала В спекулятивных посреднических сдеках в краткосрочных режимах этот прирост происходит за счет простого перераспределения ценностей между агентами рынка ценных бумаг В догосрочном режиме функционирования выигрыши или проигрыши с большей вероятностью связаны с динамикой ценностей в реальном секторе экономики

Фундаментальный анализ фондового рынка, учитывающий динамику важнейших факторов, дает объективную характеристику взаимодействий глобальных и локальных экономических процессов Поэтому управление капиталом на фондовом рынок в догосрочном режиме, более точно учитывает закономерности и тенденции макроэкономических процессов и тем самым более оправдано с точки зрения согласования интересов, как непосредственных инвесторов, так и интересов бизнеса в реальной экономике.

Российские компании в настоящее время начинают проявлять все больший интерес к финансовому рынку как источнику догосрочных инвестиционных ресурсов

Однако в России еще не сформированы концепция, модели развития рынка ценных бумаг с учетом российской специфики (сверхвысокие цены на нефть, устойчиво профицитный бюджет, высокие золотовалютные резервы и стабилизационный фонд) Первоочередной задачей для отечественного рынка ценных бумаг дожно стать превращение механизма обслуживания преимущественно спекулятивных операций в механизм перераспределения инвестиций в пользу реальной экономики А основная задача анализа финансового рынка -разработка принципов и методов управления капиталом для инвесторов и финансовых менеджеров

Основными принципами формирования и управления портфелем акций для инвестора являются безопасность, доходность и ликвидность вложений Для достижения необходимого уровня ликвидности предполагается составлять портфель из ценных бумаг, обращающихся на Московской межбанковской валютной бирже и в Российской торговой системе При этом остаются две главные цели, максимизация прибыли или доходности на конец инвестиционного периода и минимизация риска

Важно отметить, что основные положения классической портфельной теории базируются на предположении о нормальном законе распределения величин, выражающих доходность ценных бумаг. Но, как теперь достоверно установлено на праетике, распределения этих величин не всегда следуют нормальному закону Если же распределение доходности не является симметричным, то применение вышеуказанных показателей риска нельзя считать обоснованным Дисперсию и производные от нее характеристики можно рассматривать лишь как частные характеристики меры риска

В экономико-математической литературе мало встречается работ, в которых управление портфелем ценных бумаг рассматривалось бы как развернутый во времени процесс Многошаговые оптимизационные задачи исследовались в

основном в теоретическом плане в рамках теории актуарной математики Из таких построений и анализа получены в ряде случаев интересные качественные выводы и условные суждения о свойствах управляющих стратегий В динамических постановках значительно расширяются возможности выбора критериев оптимальности управления. Так, наряду с максимизацией прибыли и минимизацией риска на конечный момент периода управления, применяют критерии, получение стабильного дохода в течение определенного срока, получение максимума прибыли к заданному моменту, получение максимальной прибыли на каждом временном интервале независимо от предыдущих и последующих этапов управления и др.

В диссертационной работе бизнес на рынке ценных бумаг рассматривается как управляемый дискретный во времени системный случайный процесс Элементами такого процесса являются: 1) Неуправляемые случайные факторные процессы, 2) Характеристики состояния системного процесса в каждый фиксированный момент времени, 3) Параметры управления процессом в каждый момент времени

Важной задачей управления портфелем является также задача прогнозирования динамики факторов и результатов их влияния на системный процесс формирования стоимости портфеля

Исходя из проведенного анализа, в диссертации конкретизированы предпосыки и задачи исследования.

1) Модель рынка ценных бумаг дожна быть динамической моделью управляемого, системного случайного процесса.

2) Модель дожна быть численно и практически реализуемой

3) Процесс управления портфелем дожен быть многошаговым.

4) Прогнозирование факторных случайных процессов дожно опираться на объективный принцип многозначности прогнозируемых реализаций, а также - принцип поноты учета внутренней закономерности динамики процесса В наибольшей степени эти принципы реализуются в вероятностных прогнозах

5) Под риском мы будем понимать среднеквадратическое отклонение в отрицательную сторону реализаций стоимости портфеля ЦБ от заданной суммы

6) Задача оптимизации управления портфелем будет содержать составной противоречивый критерий- а) максимизацию среднеожидаемой прибыли, б) минимизацию риска в высказанном выше смысле

7) Стратегия управления портфелем ценных бумаг ищется в виде оптимальной стратегии в рамках марковской модели случайного процесса с дискретным временем

Во второй главе Модели оптимального управления портфелем ценных бумаг дается краткий анализ системного взаимодействия фундаментальных макроэкономических факторов в процессе формирования курсовых стоимостей ценных бумаг и обосновывается необходимость применения в методах их прогнозирования нелинейных связей, учитываемых с помощью композиции трендовых и авторегрессионных моделей с моделью множественной линейной регрессии; рассматривается проблема оптимизации стратегии управления портфелем в постановке общей задачи управляемого дискретного марковского процесса, строится модель оптимального управления портфелем ЦБ с составным критерием; излагается предложенный автором двухэтапный метод численной реализации модели- метод обратной рекурсии при максимизации среднего дохода на портфельный капитал, метод фейеровских приближений для решения задачи минимизации риска, предлагается авторская методика подбора многопе-риодного закона распределения курсов ценных бумаг, используемая в оптимизации стратегии управления портфелем

В фундаментальном анализе изучается средне- и догосрочное влияние на финансовые рынки макроэкономических факторов, определяющих динамику стоимости активов и курсов валют. Его задача - выявление главных, длительных трендов динамики основных параметров финансовых рынков Он учитывает комплексное влияние на рынки совокупностей фундаментальных экономических, природных, политических, социальных факторов в их системном взаи-

модействии В предлагаемой методике оптимизации стратегии управления портфелем ЦБ этот анализ применяется а) при выборе для портфеля наиболее ликвидных и перспективных ценных бумаг, б) при подборе совокупности наиболее важных факторов для каждой ценной бумаги, в) при построении уравнений множественной регрессии, описывающих влияние совокупности факторов на колебания цен на рынке ЦБ, г) при прогнозировании дишмики факторов, д) при прогнозировании уровней цен ЦБ в виде законов их вероятностного распределения

Поскольку результаты взаимодействий факторов не объясняются учетом только прямых детерминированных причинно-следственных связей, в своей методике мы разработали специальный метод вероятностного прогноза цен на ценные бумаги, в котором использована композиция модели множественной регрессии, трендовых моделей и авторегрессионной интегральной модели со скользящим средним

Таблица 1 Ч Влияние характера новой информации на рыночную

ситуацию

Характер новой информации Реакция рынка

А Неожиданная Резкое, ажиотажное изменение цен активов фондового рынка, курсов валют и объемов купли-продажи

Б Достоверно ожидаемая 1 Планируемая Общая плавная настройка на новую ситуацию

2 Вероятностная Переориентировка в пенах и объемах купли-продажи в зависимости от склонности к риску

В таблице 1 демонстрируются существенные различия в реакции рынка ценных бумаг на характер поступающей новой информации о динамике макроэкономических и других факторов. В таблице 2 приводит ся группировка фундаментальных факторов по степени их важности при учете в моделях системного процесса динамики фондового рынка Очевидно, что направления динамики каждого из этих факторов и различных их сочетаний при различной силе взаимодействий между ними дают огромное число вариантов возможных измене-

ний макроэкономической, политической, социальной и природной среды функционирования финансовых рынков. В работе рассматриваются упрощенные, принятые в среде специалистов по макроэкономическому анализу, схемы влияния наиболее важных фундаментальных факторов на рыночные цены ценных бумаг

Молодой фондовый рынок России проявляет специфику своей динамики, которая учитывается и отражается в информационных изданиях отечественной системы мониторинга состояний российской экономики и финансов (индекс Российской торговой системы (РТС), сводный фондовый индекс газеты Коммерсант и др )

Таблица 2 - Группировка фундаментальных факторов (ФФ) по

степени важности

Первая группа ФФ Вторая группа ФФ Третья группа ФФ

Экономические факторы 1 Динамика валового национального продукта (ВНП) 2. Дефицит платежного баланса 3 Дефицит торгового баланса 4 Бюджетный дефицит 5. Инфляция. 6 Официальная учетная ставка Центробанка 7 Безработица 8 Индикаторы денежной статистики. 1 Размеры розничных продаж. 2 Объемы заказов. 3 Индекс промышленных цен 4 Индекс потребительских цен. 5 Индекс промышленного производства 6 Производительность в экономике 7 Составной опережающий индикатор 8 Индекс деловой активности 1 Форвардные курсы валют и ЦБ 2 Фьючерсные курсы валют и ЦБ 3. Депозитные ставки. 4 Индексы акций (индекс Доу-Джонса, индексы ведущих фондовых бирж)

Неэкономические факторы 1. Выборы. 2 Войны, политические перевороты. 1 Жилищное строительство. 2 Индекс настроения потребителей 3 Глобальные изменения климата

В диссертации (гл. 3) в качестве основных индикаторов РЦБ использовались такие показатели, как курс рубля к долару США; в1урс рубля к евро, сводный фондовый индекс Коммерсанта; сводный индекс Доу-Джонса, котировки цен на нефть

В качестве основного инструмента оптимизации стратегий управления портфелем ценных бумаг принята общая модель теории управляемых дискретных по времени марковских процессов Это достаточно хорошо разработанный раздел теории случайных процессов. Однако в выработке и реализации оптимальных стратегий управления портфелем ценных бумаг эти методы ранее не применялись

Случайный процесс формирования стоимости портфеля ценных бумаг является системным (сложным) процессом, так как, во-первых, он складывается из случайных процессов динамики стоимостей нескольких ценных бумаг, во-вторых цены каждой составляющей формируются в ходе многих процессов динамики определяющих их факторов Интересующий инвестора результат в момент *, й,, / = 1,2, Т, зависит, с одной стороны, от случайной реализации V

цен на т ценных бумаг портфеля Ау1 = (а/1,а,2, ,аЩа, с другой - от выбора управлений (состава и количества бумаг в портфеле) в момент < Ч 1 = (А'('_!,, Х"^ От выбора портфеля зависят также условные вероятности перехода состояния / портфеля в предыдущий момент (-1 в состояние V.

= = (1) Равенство (1) означает, что вероятность того, что в момент / стоимость портфеля будет равна при условии, что в момент Г-1 структура портфеля определилась вектором Х,_\, равна вероятности реализации на фондовом рынке в интервале времени t ситуации у

Из (1) видим, что существенной спецификой такой задачи, является то, что переходные вероятности не зависят от исходного состояния процесса в мо-

мент t. Эта специфика используется в предлагаемой нами модели и в разработанном нами агоритме ее реализации

Как известно, классическая портфельная теория рассматривает статические задачи оптимизации портфеля. Оптимальное решение ищется для какого-то одного фиксированного момента Т, или в среднем для интервала Г, для которого и предполагается известным некоторое вероятностное распределение реализаций v ситуаций на рынке ценных бумаг На рисунках 1 и 2 приводятся схемы управления портфелем в статическом и динамическом подходах Сопоставляя эти два подхода, мы видим, что динамический подход более поно отражает реальный процесс, чем статический В статическом подходе используется агрегированная информация о фондовом рынке и в экономике в целом, прогнозы и оценю! ситуаций проводятся лишь на один момент принятия решений, решение принимается одно на весь период и потому является менее точным

Рисунок 1 - Схема управления портфелем ЦБ в динамическом подходе

Рисунок 2 - Схема управления портфелем ЦБ в стат ическом подходе

В динамическом варианте на каждом этапе корректировки портфеля можно уточнять информацию, корректировать прогнозы факторов, учитывать воздействие управлений на предыдущих шагах; реализации дохода инвестора учитываются и по ситуациям и по интервалам времени, а также - для финального момента Фт периода управления. Хотя при этом остаются те же две цели управления, максимум дохода и минимум риска своим капиталом - в динамическом варианте значительно расширяются возможности конкретизации критериев оптимальности управления Так, в дальнейшем, мы предполагаем двухкри-териальную постановку задачи управления, в которой, а) максимизируется математическое ожидание суммарного на конечный момент Фт периода управления дохода, б) минимизируется "отрицательная" полудисперсия финальной суммы капитала Ст от заданного порогового значения

Исходную задачу оптимального управления портфелем ценных бумаг сформулируем так

-8г(Як,и,,х0)-^тах,

Х^о - 5,

Здесь х0 - вектор начального распределения денежной суммы 5 по цен-

ным бумагам. ' Ч номер ценной бумаги, т - число видов ценных

бумаг в портфеле, включая сами деньги как самый ликвидный вид ценных бумаг, не приносящий доход, б - заданная сумма, гарантированно сохраняемая при всех возможных ситуациях на рынке за период управления к конечному его моменту Г, [/1,^2 > , = - Г-мерные векторы реализаций траекторий

процесса изменения ситуаций на рынке за весь период управления, пТ Ч число таких векторов; =д(ЛА) - вероятность Л-ой реализации набора ситуаций за период, 5Г =5г(Д4,/,,х0) - суммарная стоимость портфеля на конечный момент Т, зависящая от реализации траектории процесса динамики цен на фондовом рынке, от управлений и, за весь период управления портфелем и от начального распределения средств х0 Заметим, что 1/1 - это матрица управлений, где мЛ, Ч номер ценной бумаги, в которую необходимо переложить средства из I -й ценной бумаги в у, -й ситуации. Под действием этой матрицы получим поэтапные распределения денежных средств в виде векторов-стобцов

хЛ'хл "хУг-1'где хл =(дсл1'*л2' >*т) Х' = 0>1'2> чГ -1. Стоимость портфеля в каждый момент / в результате реализации траектории цен у, и управления х. в начале интервала времени / будет такой.

$ = I л^.ДО-Су,)

где агл - коэффициент роста стоимости г -й бумаги в J1 -й ситуации за один этап (интервал I), су-( - коэффициент трансакционных издержек при покупке I -й ценной бумаги в ситуации , учитывающий колебания иены предложения Задача (2) является квазилинейной многоэтапной (Г-шаговой) задачей оптимизации Из-за ограничения гарантии суммы б она не всегда может быть совместной

Поэтому предлагается модификация этой задачи путем явного задания двух критериев оптимизации. Оптимальное управление на всех этапах, кроме начального, преследует цель - максимизацию среднего дохода на начальный капитал в виде условного математического ожидания, управление же в виде начального распределения капитала преследует цель - минимизацию риска в смысле взвешенной по вероятности суммы квадратов отклонений финальной стоимости портфеля от заданной величины (например, исходной суммы капитала) в сторону недобора Рассмотрим задачу в следующей постановке

^т(Кк,иДдо)->птах,

й=1 А=1

2>,о = 5, х,0 > 0, г = 1,2, ш (=1

Такой постановкой возможная несовместность решения задачи (2) устраняется и заменяется задачей нахождения оптимального компромисса двух противоречивых критериев

Для численной реализации задача (4) разбивается на две взаимосвязанные задачи, допускающие их последовательное решение

В первой задаче находятся матрицы управлений {/(, максимизирующие ожидаемый прирост стоимости портфеля за весь период управления независимо от распределения х0 начальной суммы Для решения этой задачи в работе предложен метод обратной рекурсии Для этого вычисляются средние коэффи-

циенты роста а, (г) каждой ценной бумаги и коэффициенты переложений 1-й бумаги в л-ю в ситуации ] из условия г/3 а,(<)->шах, [г^ =1,1 =5)

5е/ V /

Тогда для нахождения коэффициента роста имеем обратное рекуррентное

соотношение

ял('-1) = 2>!ГР(<-1); тах^й,(/)),/ = Г, Г-1, 1

Эта формула однозначно определяет тактику переложений ценных бумаг каждого отдельного периода управлений

{(и),,*- 1,2, ,Т-1). (6)

Процесс (5) начинается с конечного момента г = Т.

Тогда легко выразить стоимость портфеля на терминальный момент 5Г (ДЛ ) (при условии оптимальных переложений в каждый момент) для каждой реализации Л траектории процесса формирования цен

т Т-1 т

ЯтШ = 5>,ДГКЛ П<'+1 = ,=1 (=1 (=0 1=1

Здесь С,Дл =Пл5,ПС, (=1 (=0

И решается задача второго этапа

К (т V /'

2)2^ = 5, <=1

3)х,0 ^ 0,1 = 1,2, т

Для решети нелинейной стохастической задачи (8) в работе применен модифицированный метод фейеровских приближений с составным оператором проектирования в неотрицательную область решений на директивную гиперплоскость композиция итеративного оператора фейеровских преобразований с

операторами проектирования. В результате получаем решение задачи оптимизации начального распределения. В целом двухэтаное решение задачи (4) дает оптимальную стратегию управления портфелем ценных бумаг- начальное распределение средств {*i0} и тактику переложений средств в моменты пересмотра (6)

Третья глава Исследование оптимальных стратегий управления портфелем ценных бумаг на основе предложенных методов посвящена прикладным аспектам разработанных в диссертации моделей

На рисунке 3 представлена общая вычислительная схема предложенной методики оптимизации управления портфелем ценных бумаг. 1-й, 2-й и 6-й этапы вычислительного процесса осуществляются на основе встроенного пакета анализа данных Microsoft Excel 3-й и 4-й этапы реализуются в пакете финансового анализа. Для выпонения 5-го и 7-го этапов созданы авторские программы Пятый этап выпоняет вспомогательная программа нахождения закона распределения коэффициентов роста цен акций Входной информацией являются законы распределения основных фондовых индикаторов и уравнения множественной регрессии для каждой ценной бумаги Завершающий 7-ой этап выпоняет разработанная автором программа О СУП (Оптимизация стратегии управления портфелем ценных бумаг) Она состоит из двух вычислительных модулей: первый модуль решает тактическую задачу определения матрицы оптимальных управлений и матрицы коэффициентов роста с учетом оптимальных управлений и издержек по управлению. Второй модуль решает стратегическую задачу: распределения капитала по ценным бумагам и итоговых характеристик оптимальной стратегии: математического ожидания стоимости портфеля на конечный момент; величины полудисперсии стоимости портфеля в сторону недобора от заданной инвестором суммы; вероятность недобора заданной критической суммы

1. Состав) 1ение корреляционной таблицы

г% 1. Определение угловых ) коэффициентов л инейно- 1 го тренда курсов акций. : V.-U--..... Х . y.Kv, ешюЛ 3. Построение уравнений | множественной регрессии. I

5. Составление закона расгтредес-. ния коэффициентов роста.

4. Прогнозирование jcyp-^ !сов основных фондовые ! индикаторов.

7. Нахождении оптимальной стратегии управления

Рисунок 3 Ч Общая вычислительная схема реализации предложенной методики

В работе на условном примере проведены расчёты и flail сравнительный анализ результатов, полученных с применением предложенной методики и известной классической модели САРМ (Capital Assets Pricing Model), Установлено явное преимущество динамического подхода в оптимизации структуры портфеля акций по сравнению с возможностями статической модели САРМ. Эффект от оптимизации с применением сис темы ОСУП в том, 4TOj при прочих равных условиях, "полуднеперспя" недобора и вероятность недобора заданных сумм финальной стоимости портфеля оказались существенно ниже, чем при оптимальной структуре портфеля по модели САРМ. Результаты сравнения результатов по дв;,гм моделям приведены ь таблице 3. При этом, как видим, разница этих показателей возрастает с убыванием склонности инвестора к риску (с ростом желаемой суммы сохраняемой стоимости портфеля).

В работе проведены расчёты и анализ с применением разработанного инструментария также на базе реальных характеристик современного российского фондового рынка. Они также подтвердили: практическую реализуемость предложенного методического комплекса и его сравнительную эффективность.

Таблица 3 - Сравнение результатов расчётов по двум методикам

Ограничивающая сумма 90 100 110 117,8 120 130

Мат. ожидание стоимости 117,705 117,767 117,809 118,009 117,911 118,008

Вероятность недобора двухкритериальной модели 0,046 0,103 0,196 0,292 0,322 0,459

Вероятность недобора модели САРМ 0,065 0,191 0,322 0,448 0,497 0,642

Левая полуднсперсия двухкритериальной модели 4,389 17,705 51,982 105,003 125,723 263,912

Левая полудисперсия модели САРМ 2,325 17,879 72,037 159,607 192,78 412,576

В заключении диссертации сформулированы выводы и предложения, имеющие теоретическую и практическую значимость.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: 1. Дорф Т В , Кардаш В А Об одной модели стохастической оптимизации портфеля ценных бумаг на основе многоэтапной схемы принятия решений// Матемагическое моделирование и компьютерные технологии Сб. научных трудов II Всероссийского симпозиума, 23-25 апреля Т 1 - Кисловодск, 1998 -С. 46-47 - 0,06 п л (лично автора - 0,04 п л )

2 Дорф ТВ. Об одной двухэтапной модели стохастической оптимизации портфеля ценных бумаг//Юж.-Рос гос. техн ун-т (НПИ) Новочеркасск, 1999 - 12с - Деп в ВИНИТИ 17 02 99, №519-В 99 - Аннот в БУ ВИНИТИ Деп науч работы - 1999. - №4. - 0,75 п л

3. Дорф Т.В Математическая модель формирования и управления портфелем ценных бумаг за несколько этапов // Математическое моделирование и компьютерные технологии Сб научных трудов III Всероссийского симпозиума Т 4 -Кисловодск, 1999.-С 41-43 -0,12 пл.

4 Дорф Т В. Применение метода обратной рекурсии в многоэтапной задаче управления портфелем ценных бумаг // Математические методы в технике и технологиях сб трудов 13 международной конференции Т 5. - СПб - 2000. -С.25-27-0,12 п л.

5 Дорф ТВ Многоэтапная модель оптимального управления портфелем ценных бумаг с составным критерием // Методы и агоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике материалы VI Международной научно- практической конференции Ч 2. - г Новочеркасск, 27 янв 2006г /Юж -Рос. гос техн ун-г(НПИ).-Новочеркасск ЮРГТУ,2006 - С 28-35. - 0,47 цл

6 Дорф Т.В Применение метода фейеровских приближений для решения одной из несобственных задач оптимального управления// Численно-аналитические методы Сб научных трудов/Юж.-Рос. гос техн ун-т - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. - С 72-77. - 0,37п л.

7 ДорфТ.В Программа Оптимизация стратегии управления портфелем ценных бумаг // Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8926 / Федер агентство по образованию, Гос коорд центр информ. технол , Отрасл фонд агоритмов и программ. - Зарег. 17 08 2007.

Статьи в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК:

8 Дорф ТВ Применение составного критерия в многоэтапной задаче управления портфелем ценных бумаг/Юбозрение прикладной и промышленной математики - сер Вероятность и статистика - 1999 Ч Т 6 вып 1 - С 139-140 -0,1 п л

9 Дорф ТВ Многоэтапная стохастическая модель управления портфелем ценных бумаг//И.ш. вузов Сев.-Кавк. регион Техн науки - 2000 - №1 -С 2729 - 0,25 пл

Дорф Татьяна Викторовна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ ПО СОСТАВНЫМ КРИТЕРИЯМ

Автореферат

Подписано в печать 11 10 2007 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Ризография Уел печ л 1,75 Уч-изд л 1,2 Тираж 130экз Заказ 1002

Типография ЮРГТУ (НПЙ) 346428, г Новочеркасск, ул Просвещения, 132 Тел, факс (863-52) 5-53-03 E-mail typography@novoch ru

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Дорф, Татьяна Викторовна

Введение

Глава 1. Основные направления и математические методы исследований рынка ценных бумаг

1.1 Фондовый рынок и реальный сектор экономики ^

1.2 Современное состояние и тенденции на РЦБ России ^

1.3 О критериях оптимальности управления портфелем ценных бумаг

1.4 Динамические модели процессов на рынке ценных бумаг

1.5 Обзор методик прогнозирования динамики финансовых инструментов

1.6 Бизнес на рынке ценных бумаг как управляемый случайный процесс

Глава 2. Модели оптимального управления портфелем ценных бумаг

2.1 Фундаментальный анализ фондового рынка как основа прогнозирования его догосрочной динамики

2.2 Управляемые марковские процессы как инструмент оптимизации стратегий управления портфелем ценных бумаг

2.3 Основные предположения модели о механизме принятия решений по распределению капитала

2.4 Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг с составным критерием

2.5 Метод обратной рекурсии при максимизации среднего дохода на капитал

2.6 Применение метода фейеровских приближений для решения задачи минимизации риска

2.7 Методика подбора многопериодного закона распределения курсов ценных бумаг

Глава 3. Исследование оптимальных стратегий управления портфелем ценных бумаг на основе предложенных методов

3.1 Общая вычислительная схема реализации предложенной методики

3.2 Сравнительный анализ предложенной динамической модели с моделью САРМ

3.3 Расчёты и анализ управления портфелем ценных бумаг из акций РТС

Диссертация: введение по экономике, на тему "Оптимальное управление портфелем ценных бумаг по составным критериям"

Актуальность темы исследования. Пройдя несколько этапов своего становления и развития, к 2003 году российский фондовый рынок занял достаточно высокую позицию в экономической и политической жизни страны. Успешное развитие российского рынка ценных бумаг в настоящее время привело к тому, что не только банки и инвестиционные компании, но и небольшие предприятия и частные инвесторы обратили на него своё пристальное внимание в связи с возможностью получения допонительного дохода. Широкое использование сети Internet сделало доступным участие небольших организаций и частных лиц в операциях на фондовом рынке. Относительная стабилизация экономической ситуации в России сделала привлекательными не только краткосрочные инвестиции, но и вклады среднего и длительного срока. В связи с этим, наряду с необходимостью разумного вложения капитала, возникает потребность в эффективном управлении им в течение определённого времени. Так как для большинства частных инвесторов управление портфелем является побочным видом деятельности, корректировка портфеля не может быть постоянной, а, следовательно, необходимо решать задачу пересмотра портфеля в некоторые, впоне определённые моменты. В этой связи важно разрабатывать не столько инструментарий для спекулятивных операций на фондовом рынке, сколько совершенствовать методы фундаментального анализа этого рынка для эффективного управления капиталом инвесторов с учетом прогнозируемых процессов в реальном секторе экономики. Всё вышеперечисленное обуславливает актуальность построения простых экономико-математических моделей управления инвестициями, ориентированных на широкий круг участников фондового рынка, не занимающихся профессионально игрой на фондовом рынке.

Степень разработанности проблемы. Вопросам оптимизации портфеля инвестора на финансовом рынке и прогнозирования курсов ценных бумаг посвящено множество теоретических и практических работ отечественных и зарубежных исследователей.

Основоположниками теории оптимизации портфеля ценных бумаг являются Г. Маркович, Д. Тобин, У. Шарп, Дж. Литнер, Дж. Моссин.

В настоящее время известен широкий спектр моделей и методов финансового менеджмента, актуарных расчетов, прогнозирования процессов на фондовых рынках и оценки стоимости ценных бумаг. Это в основном разработки зарубежных ученых для развитых финансовых рынков. Основные концепции зарубежных исследований нашли отражение в трудах экономистов, внесших заметный вклад в изучение фондовых рынков и в разработку портфельной теории: Ф.Блока, Э. Бредли, М. Гордона, Дж. Кемпбела, Дж. Кох-рейна, М. Милера, Р. Мюррея, Дж. Сороса, Р. Тьюльза, Е. Фамы, К.Френча и др.

Для развивающегося российского фондового рынка потребовались исследования, учитывающие существенную специфику рыночной трансформации российской экономики и в особенности ее сырьевой ориентации. Значительный вклад в исследования рынка ценных бумаг, становления и развития системы регулирования фондового рынка внесли российские ученые-экономисты: М.Ю. Алексеев, С.В. Арженовский, Г.И. Белявский, А.Н. Буренин, Г.В. Булычев, А.Г. Грязнова, Я.М. Миркин, И.А. Наталуха, И.В. Павлов, А.Н. Первозванский, В.А. Перепелица, Е.В. Попова, Б.Б. Рубцов, А.Б. Фельдман, М.А. Федотов, Е.М.Четыркин, А.Н. Ширяев, М.А. Эскинда-ров и другие. В их работах освещены отдельные вопросы теории фондовых рынков, финансовой математики, экономико-математического моделирования и экономического анализа процессов в финансовом секторе экономики.

Вместе с тем в существующих разработках недостаточно внимания уделялось динамическим моделям процессов на фондовом рынке; слабо представлены методы поэтапного управления портфелем ценных бумаг. Не разработан инструментарий управления портфелем, в основе которого лежали бы хорошо изученные теория и методы управляемых марковских процессов. Требуют совершенствования и сами постановки задач управления процессами размещения капитала в ценных бумагах в части уточнения критериев качества управления.

Актуальность и недостаточная разработанность указанных проблем определили выбор темы исследования, его цели и задачи.

Объектом исследования является финансовый сектор экономики.

Предметом исследования - экономические отношения и процессы управления капиталом инвесторов на фондовом рынке.

Цель и задачи диссертационного исследования. Целью проводимого исследования является разработка методологии и динамической модели процессов поэтапного управления портфелем ценных бумаг (на содержательном примере портфеля конкретных акций), методов и инструментария ее реализации с составным критерием качества управления. В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса взаимосвязанных задач, определяющих логику диссертационного исследования:

-построение двухкритериальной многоэтапной стохастической модели формирования портфеля акций и управления им в течение определённого периода времени в зависимости от уровня толерантности инвестора;

- разработка агоритма для решения поставленной задачи;

- проверка практической реализуемости предложенной модели;

- создание прикладного программного обеспечения для решения поставленной задачи;

- построение агоритма решения полученной несобственной задачи линейного программирования;

- разработка методики прогнозирования курсов выбранных акций в виде законов распределения.

Теоретические и методологические основы исследования. Теоретическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных учёных по методологии и экономическим приложениям теории вероятностей и математической статистики, экономико-математическому моделированию, эконометрике, теории финансов, теории и методам прогнозирования, а также - теории и методам нестационарных процессов математического программирования.

Работа выпонена в соответствии с п. 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов паспорта специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики.

Инструментарно-методический аппарат. Для решения поставленных в работе задач использованы методы оптимизации, регрессионного анализа, градиентные методы фейеровских приближений, стохастического оптимального управления.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили данные о динамике курсов акций российских эмитентов, участвующих в Российской Торговой Системе, а также данные о динамике изменения основных экономических и фондовых индикаторов Федеральной службы по финансовым рынкам России, Федеральной службы государственной статистики, Министерства финансов РФ.

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке математических моделей и инструментария оптимизации решений по управлению портфелем акций на основе теории управляемых марковских процессов с составным критерием, не предполагающих нормального закона распределения стоимости портфеля. Конкретное приращение научного знания состоит в следующем:

1. Построена двухкритериальная динамическая стохастическая модель управления портфелем акций, позволяющая находить оптимальные управления как на стадии формирования структуры портфеля в момент выхода на рынок, так и в процессе изменения условий на фондовом рынке.

2. Предложена в качестве критерия риска взвешенная по вероятности сумма квадратов отклонений от заранее установленной стоимости портфеля по недобору, что даёт возможность отказаться от неадекватного реальности предположения о нормальном законе распределения стоимости портфеля (в отличии от моделей типа Марковица - Тобина).

3. Предложена модификация задачи управления портфелем акций на основе схемы управляемых марковских процессов, с учетом специфики управления (принятие текущих решений в соответствии с реальным состоянием процесса и возможными вариантами будущих его состояний), что позволило разработать специальный метод обратной рекурсии при поиске оптимальной стратегии.

4. Разработан агоритм решения задачи с применением стохастических градиентных методов фейеровских приближений в сочетании с операторами проектирования, который минимизирует невязки при переходе от несовместной задачи.

5. Предложен и обоснован метод вероятностного прогнозирования динамики цен на рынке ценных бумаг на основе композиции моделей линейной множественной регрессии, трендовых и авторегрессионных моделей, что позволило учесть нелинейность процессов взаимодействия факторных и результативных характеристик системного процесса.

6. Предложенные модели и методы реализованы программно, что позволяет эффективно оперировать с предложенной методикой выработки и принятия решений в конкретных условиях. В общую вычислительную схему встроена авторская программа Оптимизация стратегии управления портфелем ценных бумаг (ОСУП), реализующая метод обратной рекурсии и агоритм фейеровских приближений в сочетании с операторами проектирования.

Теоретическая и практическая значимость исследования.

Теоретическая значимость состоит в построении адекватной модели управления портфелем, учитывающей несимметричность распределения, разработке специального метода сочетания фейеровских приближений с операторами проектирования, позволяющего решать задачи минимизации специального вида.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и агоритмы позволяют оптимизировать управление портфелем акций в среднесрочном режиме с использованием вероятностных прогнозов. Предложенные модели, методы и агоритмы используются в учебном процессе ЮРГТУ при чтении курсов Экономиико-математическое моделирование и Стохастическая оптимизация.

На защиту выносятся следующие результаты диссертационного исследования:

1. Двухкритериальная многоэтапная стохастическая модель формирования портфеля акций и управления им в течение определённого периода времени в зависимости от уровня толерантности инвестора.

2. Агоритм, предполагающий модификацию поставленной задачи, позволяющий разбить задачу на две с противоречивыми критериями и последовательное их решение.

3. Агоритм решения полученной несобственной задачи линейного программирования с применением дифференциального фейеровского оператора и операторов проектирования.

4. Разработка методики прогнозирования курсов выбранных акций в зависимости от поведения основных фондовых индикаторов в виде законов распределения.

5. Создание прикладного обеспечения для решения поставленной задачи на основе стандартных пакетов, авторских агоритмических и программных разработок.

Апробация результатов исследования.

Основные положения и результаты диссертационной работы представлялись в виде докладов и получили положительную оценку на: II Всероссийском симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, Кисловодский институт экономики и права, 23-25 апреля 1998г.); III Всероссийском симпозиуме Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск, Кисловодский институт экономики и права, 1999г.); VI Всероссийской школе - колоквиуме по стохастическим методам (г. Самара, 15-21 августа 1999г.); Международной конференции Математические методы в технике и технологиях (г. Санкт-Петербург, 26-29 июня 2000г.); VI Международной научно-практической конференции Методы и агоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике (г. Новочеркасск, 27 января 2006г.).

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 8 печатных работах общим объёмом 2,24 п.л. (в том числе автора 2,22п.л.).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов и предложений, списка использованной литературы и приложений, Текст диссертации изложен на 116 страницах, включает 9 таблиц, 11 рисунков. Список использованной литературы содержит 118 источников.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Дорф, Татьяна Викторовна

Выводы и предложения.

Из проведённых исследований можно сделать следующие теоретические и практические выводы.

1. Положительное влияние фондового рынка на макроэкономическую динамику зависит от степени его развития. В связи с этим важно уточнить содержание понятия уровня развитости фондового рынка на фоне общего уровня развития рыночной экономики страны. На наш взгляд, необходимо более чётко различать содержание и роль краткосрочных и догосрочных процессов функционирования фондового рынка. В быстропротекающих процессах сдеки купли-продажи ценных бумаг носят в основном спекулятивный характер. Спекулятивная составляющая фондового рынка не способствует повышению деловой активности и росту эффективности в реальном секторе экономики. Поэтому расширение объёма и увеличение скорости обращения ценных бумаг ещё не характеризует уровень развитости фондового рынка. На развитом, цивилизованном, фондовом рынке реализуются, прежде всего, интересы непосредственных инвесторов и фирм-эмитентов в реальном секторе. В неразвитой экономике фондовый рынок может функционировать и расширяться в основном за счёт спекулятивных операций, слабо связанных с динамикой ценностей в реальном секторе экономики.

Фундаментальный анализ фондового рынка, учитывающий динамику важнейших факторов функционирования реального сектора, даёт более объективную картину взаимодействий этого сектора с движением средств на финансовом рынке. Поэтому управление капиталом, проходящим через фондовый рынок, в догосрочном режиме более точно учитывает закономерности и тенденции макроэкономических процессов и тем самым более оправданно с точки зрения согласования интересов, как непосредственных инвесторов, так бизнеса в реальном секторе экономики. Отсюда, наиболее важными представляются проблемы, связанные с определением сравнительных оценок и догосрочной динамики привлекательности ценных бумаг действующих фирм-эмитентов; проблемы формирования устойчивых цен акций предприятий; прогнозирования динамики рыночной стоимости высоколиквидных ценных бумаг на основе динамики прибыльности стоимости их производственных активов.

2. Современный российский рынок ценных бумаг, при всех его недостатках, обладает огромным потенциалом развития. Однако ещё не сформировались общая концепция его развития и конкретная модель, учитывающие исторический опыт и российскую специфику. Основной целью развития рынка ценных бумаг в России на ближайшее десятилетие дожно стать его превращение в высокоэффективный механизм перераспределения финансовых ресурсов. Применительно к текущей ситуации рынок ценных бумаг дожен превратиться из механизма обслуживания преимущественно спекулятивных операций в механизм перераспределения инвестиций в пользу реального сектора экономики.

3. При выборе портфеля ценных бумаг инвестор руководствуется двумя важнейшими для него критериями: максимизация дохода на капитал и минимизация риска потерь капитала. Из двух принципиальных групп методов, позволяющих снизить риск портфеля: методы и модели хеджирования и модели и методы стохастической оптимизации, - в диссертации рассматриваются модели и методы второй группы. В классической портфельной теории в качестве меры риска принято среднеквадратическое отклонение от математического ожидания, а также различные производные от него показатели. Обоснование такого подхода базируется на предположении о нормальном законе распределения случайных величин доходностей ценных бумаг. В то же время, как достоверно установлено многими исследованиями, на практике закон распределения этих величин не является нормальным, а имеет большие ("жирные") хвосты на графике плотности этих распределений. Очевидно, что в этом случае применение вышеуказанных критериев риска не обоснованно, так как нельзя относить к риску немаловероятное получение доходности выше среднеожидаемой. Поэтому для фондового рынка важно различать и учитывать в моделях риск позитивного и риск негативного исходов. В диссертационной работе в качестве меры риска предложено использовать следующие критерии: а) минимум среднеквадратического отрицательног отклонения финальной суммы капитала (на конечный момент периода управления портфелем ценных бумаг) от заранее заданной суммы ( в соответствии с большей или меньшей склонностью инвестора к риску); б) минимум вероятности такого отклонения.

Такой подход избавляет от необходимости априори принимать нереальное предположение о нормальном законе распределения доходностей ценных бумаг.

4. Большинство известных моделей оптимизации портфеля ценных бумаг, следуя классической портфельной теории, являются статическими моделями. Между тем инвестирование является, как правило, многошаговой, развёрнутой во времени, деятельностью. Поэтому возникает необходимость в создании новых динамических моделей оптимального управления портфелем ценных бумаг, учитывающих многопериодичность как в процессах изменения ситуаций на фондовом рынке, так и в процессах принятия и корректировки управляющих решений.

Нами построена двухкритериальная динамическая стохастическая модель управления портфелем акций, позволяющая находить оптимальные управления как на стадии формирования структуры портфеля в момент вхождения в рынок (что имеет место в классических моделях типа Марковица-Тобина), так и в процессе изменения условий на фондовом рынке, требующих пересмотра и корректировки структуры портфеля (чего нет в статических классических моделях).

5. Численная реализация предложенной динамической стохастической модели потребовала разбиения её на две взаимосвязанных задачи: а) задачи максимизации доходности портфеля на конечный момент периода управления за счёт оптимизации стратегии корректировки портфеля в соответствии со складывающимися ситуациями на фондовом рынке на протяжении принятого периода управления; б) задачи минимизации полудисперсии реализации финальной стоимости портфеля, ниже приемлемого порогового значения этой стоимости - за счёт оптимизации начального распределения капитала.

Задача а) управления портфелем акций формулируется на основе схемы управляемого Марковского процесса (с учётом специфики процесса формирования стоимости портфеля). В выработке оптимальных стратегий управления портфельным капиталом с учётом специфики процесса схема оптимального управления Марковским процессом применена здесь впервые.

В диссертации разработан специальный метод решения этой задачи, названный нами методом обратной рекурсии.

Для решения задачи второго этапа - задачи минимизации риска - нами разработан агоритм, использующий стохастический градиентный метод фейеровских приближений в сочетании с оператором проектирования в неотрицательную область решений на ограничивающую гиперплоскость.

6. В рамках предложенной методики оптимизации стратегий управления портфелем акций возникает необходимость прогнозирования динамики факторов и курсов ценных бумаг в виде многопериодного закона распределения соответствующих случайных величин.

В диссертации предложен метод вероятностного прогнозирования динамики цен на рынке ценных бумаг с применением композиции моделей линейной множественной регрессии; трендовых и авторегрессионных моделей, что позволило учесть нелинейность результатов взаимодействия факторных и результативных процессов фондового рынка, а также - степень и характер коррелированности цен различных акций.

7. Сформулированная на основе этих разработок методика оптимизации стратегии управления портфелем акций реализована программно. При этом в общей вычислительной схеме использованы стандартные пакеты, а также - авторская программа реализации двухкритериального метода оптимизации (программа "Оптимизация стратегии управления портфелем ценных бумаг"). Программа содержит два вычислительных модуля соответственно с задачами реализации метода обратной рекурсии и агоритма метода фейе-ровских приближений в сочетании с оператором проектирования.

8. Численные расчёты с применением разработанного в диссертации инструментария на базе условных данных и реальных характеристик современного российского фондового рынка подтвердили практическую реалии зуемость предложенного в работе методического комплекса и выявили сравнительную эффективность предлагаемого подхода к оптимизации стратегии управления портфелем акций в средне- и догосрочном режиме работы инвестора на фондовом рынке. Так, эффект оптимизации с применением системы ОСУП по сравнению с известной моделью САРМ выразися в том, что, при прочих равных условиях, полудисперсия недобора и вероятность недобора фиксированных сумм стоимости портфеля в конце периода управления по нашей методике существенно ниже. При этом разница в результатах возрастает с убыванием склонности инвестора к риску (с ростом желаемой суммы сохраняемой стоимости портфеля).

Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Дорф, Татьяна Викторовна, Ростов-на-Дону

1. Blanchard О. Macroeconomics. 3d ed. M1.. Prentice Hall. - 2003.

2. Cootner P., ed. The Random Character of Stock Market Prices. Cam-bridge;MA: MIT Press. 1964.

3. Durham B. The Effects of Stock Market Development on Growth and Private and Investment in Lower Income Countries // Emerging Markets Review. 2002. V.3. P. 211-232.

4. Greenwood J., Smith B. Financial Markets in Development and the Development of Financial Markets // Journal of Economic Dynamics and Control. 1997. V.21.P. 145-181.

5. Jones C.K. Digital Portfolio Theory. Computational Economics. 18.2001. 287-316 pp.

6. Markowitz H. Portfolio Selection // J. Finance. 1952. V.7. № 1, pp.7791.

7. Wurgler J. Financial Markets and the Allocation Capital // The Journal ofFinance. 2000. V. 58. P. 187-214.

8. Айвазян C.A., Енюков И.О., Мешакин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. -М.: Финансы и статистика, 1983. 471 с.

9. Альгин В.А., Нурутдинова И.Н. Учёт факторов интервально-вероятностной неопределённости в некоторых экономических моделях. // Изв. вузов Сев.- Кавк. регион. Обществ, науки, 2000, С. 93-96.

10. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971. Ч224 с.

11. Ашманов С А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.-294 с.

12. Бабешко Л.О. Колокационные модели прогнозирования в финансовой сфере. М.: Экзамен, 2001. - 288 с.

13. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. Как управлять капиталом? М.: Финансы и статистика, 1994. - 384 с.

14. Балабанов И.Т. Риск менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 1996.-192 с.

15. Барышников И., Хальпуков А. Метод bootstrap для оптимизации портфеля на российском рынке акций. // Рынок ценных бумаг, №1-2. 2004, С. 90-93.

16. Белых Л.П. Основы финансового рынка. М.: Финансы, 1999. - 231с.

17. Биржевая деятельность. Учебник под ред. Грязновой А.Г., Корнее-вой Г.В., Галановой В.А. М.: Финансы и статистика, 1995. - 240с.

18. Бронштейн Е., Спивак С. Как сформировать оптимальный портфель. // Рынок ценных бумаг, № 14. 1997, С. 52-54.

19. Буянов В.П., Кирсанов К.А., Михайлов JI.A. Управление рисками (рискология). М.: Экзамен, 2002. - 383 с.

20. Вадайцев С.В., Воробьёв П.П. Инвестиции. М.: ТК Веби, Изд-во Проспект, 2005. - 440 с.

21. Ватер Я. Стохастические модели в экономике. М.: Статистика, 1976.-231 с.

22. Ван Хорн Дж. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996.-791 с.

23. Васин В.В., Ерёмин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа (теория и приложения).- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005. -200 с.

24. Винтизенко И.Г. Детерминированное прогнозирование в экономических системах // Труды III Международной конференции Новые технологии в управлении, бизнесе и праве. Невинномысск: Изд. ИУБиП, 2003, С. 30-37.

25. Гиляровская Л.Т., Ендовицкий Д.А. Регулирование риска в догосрочном инвестировании //Бух. учёт, 1996. № 12, С. 48-52.

26. Гитман Дж., Джонка М.Д. Основы инвестирования. Фундаментальное издание. -М.: Дело, 1997. 979 с.

27. Голубев C.B. Ценные бумаги как инвестиционный товар // Финансы, 1995, №2, С. 34-37.

28. Голубин А. Ю. Об оптимальности близоруких политик в многошаговых задачах инвестирования.// Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.5, вып. 2. 1998, С. 213-214 .

29. Горбань А.Н. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука, 1996. - 352 с.

30. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и синергетической экономики в управлении. Отрадная: РГЭУ -ИУБиП - ОГИ, 2001.-577 с.

31. Дорф Т.В. Математическая модель формирования и управления портфелем ценных бумаг за несколько этапов // Математическое моделирование и компьютерные технологии: Сб. научных трудов III Всероссийского симпозиума, Кисловодск, 1999. -Т.4. - С. 41- 43.

32. Дорф T.B. Многоэтапная стохастическая модель управления портфелем ценных бумаг//Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2000. -№1-С. 27-29.

33. Дорф Т.В. Об одной двухэтапной модели стохастической оптимизации портфеля ценных бумаг. //Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 1999. 12с-Деп. в ВИНИТИ 17.02.99, №519-В 99. - Аннот. в БУ ВИНИТИ Деп. науч. работы,-1999.-№4.

34. Дорф Т.В. Применение метода обратной рекурсии в многоэтапной задаче управления портфелем ценных бумаг // Математические методы в технике и технологиях: сб. трудов 13 международной конференции. Санкт-Петербург - 2000. -Т.5. - С. 25-27.

35. Дорф Т.В. Применение метода фейеровских приближений для решения одной из несобственных задач оптимального управления// Численно-аналитические методы: Сб. научных трудов/Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. - С. 72-77.

36. Дорф Т.В. Применение составного критерия в многоэтапной задаче управления портфелем ценных бумаг/Юбозрение прикладной и промышленной математики сер. Вероятность и статистика. - 1999. - Т.6. вып.1-С. 139-140.

37. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Инфра, 2001. - 432 с.

38. Дынкин Е.Б., Юшкевич A.A. Управляемые марковские процессы и их приложения. М.: Наука, 1975. - 338 с.

39. Емельянов C.B., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. -М.: Знание, 1985. 32 с.

40. Ерёмин И.И., Мазуров В.Д. Нестационарные процессы математического программирования. М.: Наука, 1979.-288 с.

41. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.-239 с.

42. Жак C.B. Математические модели менеджмента и маркетинга. -Ростов-на-Дону: ЛаПО, 1997. 320 с.

43. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. - 400 с.

44. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-272 с.

45. Зинковский С.А., Первозванская Т.Н., Первозванский А.А. Задача об оптимальном портфеле ценных бумаг при наличии малорисковых инвестиций. // Вестник С.-Пб. Университета, сер.5 Экономика. 1993, вып. 4(№26), С. 37-44.

46. Инвестиционно-финансовый портфель. Книга инвестиционного менеджера. Под ред. Петракова Н.Я. М.: Соминтек, 1993. - 235 с.

47. Кардаш В.А. Введение в стохастическую оптимизацию. Кн. 2. -Новочеркасск: Изд. НГТУ, 1996. 114 с.

48. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. -М.: Филинъ, 1998. 142 с.

49. Качалов P.M. Управление хозяйственным риском. М.: Наука, 2002.- 192 с.

50. Клейнер Г.Б., Тамбовцев B.JL, Качалов P.M. Предприятие в нестабильной экономической среде: риски, стратегии, безопасность. М.: Экономика, 1997.-288 с.

51. Ковалёв В.В. Финансовый анализ. М.: Финансы и статистика, 1995.-432 с.

52. Крейнина М.Н. Анализ финансового состояния и инвестиционной привлекательности акционерных обществ в промышленности, строительстве и торговле. М.: АО ДИС, МВ-Центр, 1994. - 256 с.

53. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИТИ, 2000.-407 с.

54. Крянев А. В., Чёрный А. И. Численные решения оптимизационных задач для математических моделей теории инвестиций. // Математическое моделирование, № 8.1996, С. 97 103.

55. Кубонива М., Табата С., Хасэбэ Ю. Математическая экономика на персональном компьютере. М.: Финансы и статистика, 1991. - 304 с.

56. Кудрявцев М.А., Королёв А.Ю. Методы формирования портфеля ценных бумаг с учётом рисков // Финансы, 2001. № 4, С. 70-71.

57. Литвиненко С.Н., Поддубный В.И. К выбору эффективного инвестиционного портфеля. // Фондовый рынок. 1998, №16 (74), С. 18-20.

58. Лишанский М.А. Основы оценки инвестиционных и финансовых решений.-М.: Дека, 1997. 310 с.

59. Ломакин М.И. Метод формирования портфеля ценных бумаг. // Методы менеджмента качества, 2002, № 1, С. 27-30

60. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М.: Финансы, ЮНИТИ. 1998. - 400 с.

61. Лукасевич И.Я. Методы анализа рисков в инвестиционных проектах // Финансы. 1998, № 9, С. 59-62.

62. Лукашин Ю. П. Показатель риска в задаче о портфеле ценных бумаг//ТВП. 1996, Т.41, вып. 2, С. 109-110.

63. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. 1995. Т. 31, вып. 1, С. 138-150.

64. Майн X., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. М.; Наука, 1977.- 175 с.

65. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности // Сб. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. -М.: Наука, 1996, С. 165-190.

66. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики/ УРАО. М.: Изд-во УРАО, 1998. - 160 с.

67. Маслаченков Ю. Некоторые аспекты анализа при принятии инвестиционных решений // Рынок ценных бумаг. 1994. Вып. 17, С. 21-36.

68. Мекумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. М. ИНФРА-М, 1996. - 336с.

69. Минченкова О. Диверсификационное хеджирование как задача финансового менеджера // Рос. экон. журн. 1996. № 11/12, С. 103-104.

70. Мищенко A.B., Попов A.A. Некоторые подходы к оптимизации инвестиционного портфеля // Менеджмент в России и за рубежом. 2002, №2, С. 103-109.

71. Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

72. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука. 1981.-488 с.

73. Нагаев A.B. К вопросу о вычислении справедливой цены опциона // Экономика и математические методы., № 1. 1998, С. 166-171.

74. Нартова Д.С. Моделирование оптимальной структуры портфеля рисковых активов. // Математика, компьютер, образование. Сб. научных трудов. Москва-Ижевск. 2002, С. 180-185.

75. Нейман Э.Л. Малая энциклопедия трейдера. Киев: Альфа-Капитал. Логос, 1997. - 236 с.

76. Некипелов Н.И. Опыт прогнозирования финансовых рынков. Режим доступа: http: // www.BaseGroup.ru.

77. Норкотт Д. Принятие инвестиционных решений. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. - 247 с.

78. О'Брайен Дж., Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами (FAST). M.: Дело ТД,1995. - 208 с.

79. Павлов С. Методика оценки инвестиционной привлекательности акционерных компаний // Экономист. 1992, №13, С. 82-89.

80. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск.- М.: Инфра-М, 1994. 192 с.

81. Перепелица В.А., Попова Е.В. Анализ критериев финансово-экономического риска в случае сильноасимметричных распределений. П Изв. вузов Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки., №2. 2002, С. 13-18.

82. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально-экологических рисков. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2001.- 126 с.

83. Перепелица В.А., Попова Е.В. Многокритериальный подход к моделированию финансово-экономических рисков // Изв. Вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. №4, - С. 37

84. Перепелица В.А., Попова Е.В., Окопная В.А. Использование методологии нелинейных динамических систем в дискретной многокритериальной оптимизации. Деп. в ВИНИТИ. 1998, №2619 - В98. - 118 с.

85. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования. Ставрополь: Ставропольское книжное издательство. 2006 - 283 с.

86. Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. -304 с.

87. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. - 333 с.

88. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Советское радио, 1975. - 192 с.

89. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256 с.

90. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 312 с.

91. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.-495 с.

92. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Москва - Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 198 с.

93. Розанова Н.М. Фондовый рынок как фактор экономического роста. // Экономический вестник Ростовского государственного университета. -2006. Т.4,№3.-С. 71-83.

94. Рябикин В.И. Актуарные расчеты. М.: Финстат-информ, 1996.87 с.

95. Рябушкин Т.В. Экономическая статистика. М.: Статистика, 1996.-263 с.

96. Сафонов B.C. Трейдинг. Допонительное измерение принятия решений. М.: Изд. Дом АЛЬПИНА, 2001. - 300 с.

97. Сергеева JI.H. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). Запорожье: ЗГУ, 2002. -227 с.

98. ЮЬСорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах. М.: Интернет-трейдинг, 2003. - 400 с.

99. Ю2.Узденова Ф.М. Управление рисками и надёжностью банков. Дис. на соиск. уч. ст. к.э.н. Нальчик: КБГУ, 2000.

100. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. -М.: Наука, 2000.-432 с.

101. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. М. ФАЦ МГУ, 1994.-85 с.

102. Федер Е. Фракталы. И.: Мир, 1991. - 260с.

103. Фролова А.Г. Некоторые математические модели теории риска. // ТВП, с.117-118.

104. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райте А. Дж. Бизнес-прогнозирование. -М.: Вильяме, 2003. 65 с.

105. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. М.: Советское радио, 1964. - 324 с.

106. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. 2-е изд. М.: Дело тд, 1995.-320 с.

107. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977. - 276 с.

108. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2002. - 400 с.

109. Шабалин A.A. Агоритм построения модели арбитражного ценообразования // Моделирование. Теория, методы и средства: Материалы V Международной научно-практической конференции. Новочеркасск: ЮР-ГТУ. 2005, С. 44-47.

110. Шабалин A.A., Арженовский C.B. Идентификация эффекта леве-риджа для акций российских эмитентов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск. Новочеркасск: ЮРГТУ. 2006. - С. 86-87.

111. Шарп У., Александер Г., Бэйли Д. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1998.- 1028 с.

112. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления, приложения. М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

113. Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: Большая российская энциклопедия: Изд. Дом ИНФРА-М, 2003. - 688 с.

114. Экономическая информатика. Под ред. Евдокимова В.В. СПб.: Питер, 1997.-592 с.

115. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях непоной информации. -М.: Экономика, 1974. -400с.

Похожие диссертации