Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Моделирование оптимальной диверсификации инвестиций в условиях неопределенности результатов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат экономических наук
Автор Савин, Антон Борисович
Место защиты Москва
Год 2010
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Моделирование оптимальной диверсификации инвестиций в условиях неопределенности результатов"

На правах рукописи

САВИН Антон Борисович

Моделирование оптимальной диверсификации инвестиций в условиях неопределенности результатов.

08.00.13 - Математические и инструментальные методы в экономике

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

ДЕК 2010

Москва - 2010

004615740

Работа выпонена на кафедре экономической кибернетики ГОУ ВПО Государственный университет управления

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор

Капитоненко Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук,

Андреев Сергеи Владимирович

кандидат экономических наук, Клопов Дмитрий Анатольевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО Российский экономический

университет имени Г.В.Плеханова

Защита состоится л15 декабря 2010 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д.212.049.09 в ГОУ ВПО Государственный университет управления по адресу: 109542, г. Москва, Рязанский проспект, 99.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного университета управления и на сайте www.guu.ru.

Автореферат разослан 15 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.049.09 кандидат экономических наук, доцент

Н.Ф.Атухова

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Проблема распределения инвестиционных средств между различными объектами вложения капитала относится к одному из ключевых направлений теории и практики управления финансами. В приложениях математических методов для описания, анализа и решения широкого круга практических вопросов диверсификации капитала особое место занимают портфельные задачи Г.Марковица, Д.Тобина, модель В.Шарпа и их многочисленные модификации. Модельные представления этих задач учитывают предъявляемые к диверсификации требования повышения ожидаемых приростов капитала и снижения степени риска, обусловленного возможным несоответствием этим ожиданиям. В качестве единого элемента формализации, объединяющего все постановки, рассматриваются рисковые финансовые активы, заданные своими вероятностными характеристиками. Условия применимости соответствующих моделей ограничены допущениями эффективности рынка и возможностями идентификации вероятностных свойств подлежащих отбору активов. Эти предположения даже в периоды относительно стабильной конъюнктуры выпоняются далеко не в поной мере, тем более при развитии кризисных явлений. По этой причине задачи бюджетирования и принятия финансовых решений приходится решать при отсутствии и невозможности получения вероятностной информации относительно влияющих переменных. Для портфельных инвестиций в качестве таких переменных выступают количественные показатели результатов, достигаемых по каждому из допустимых видов вложения капитала. В ситуациях, когда вероятностные суждения о характере изменения этих показателей неправомерны, используют возможности их анализа с помощью сценарных моделей. В инвестиционном менеджменте этот подход предполагает задание трех сценариев - расчетного, лоптимистического и пессимистического. Данный метод позволяет учесть разброс результатов, однако он весьма субъективен (всегда остается вопрос, насколько, собственно, оптимистичны

или пессимистичны были те, кто делал оценки). Содержательно сценарные модели соответствуют условиям неопределенности, в которых принимает решения оперирующая сторона.

Для инвестиций в финансовые активы неопределенности результатов отвечают диапазоны их предполагаемых изменений, т.е. по каждому виду инвестирования результат прогнозируется с точностью до промежутка его возможных значений. Такая модель является вынужденной мерой в ответ на отсутствие вероятностной информации, а значит - на невозможность, в том числе, указать расположение ожидаемого результата по отношению к концам рассматриваемого промежутка. В качестве примера можно сослаться на валютные прогнозы и привести цитату такого прогноза, приведенного в деловой литературе: На этой неделе пара долар/евро будет торговаться в пределах 1,4225... 1,4425, а рубль РФ будет торговаться в рамках коридора бивалютной корзины 37,20...37,70.

Дефицит вероятностной информации и замещение ее неопределенностью не позволяют использовать известные прикладные модели портфельных задач, решаемых в условиях вероятностного риска. В связи с этим тема исследования, посвященного разработке моделей и методов портфельного инвестирования, сопряженного с риском неопределенности, представляется значимой как в теоретическом плане, так и для практических приложений.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка и агоритмизация моделей задач об оптимальном портфеле финансовых активов в условиях неопределенности их характеристик.

В соответствии с поставленной целью в работе решались следующие основные задачи:

Х провести обзор теоретических подходов к оптимизации портфеля финансовых инвестиций для обоснования актуальности вопросов моделирования портфельной задачи, сопряженной с риском неопределенности;

Х основываясь на аналогиях с моделями принятия решений в играх с Природой, разработать меры риска портфеля инвестора, оптимизирующего его в условиях неопределенности;

Х разработать математическую модель оптимизации портфеля финансовых вложений в условиях неопределенности рисковых компонент и дать агоритм поиска оптимального решения;

Х на основе изучения математических характеристик построенной модели дать содержательный анализ свойств полученного оптимального решения и определить типовые условия применимости предложенного подхода в прикладных задачах диверсификации;

Х выявить возможности приложения разработанных моделей для анализа и оценки влияния риска неопределенности на характер инвестиционной деятельности и структуру инвестиций;

Х привести примеры расчетов, илюстрирующие применение предложенного подхода для решения задач портфельного инвестирования в различные виды финансовых активов: акции, валютные вложения и т.д.:

Х оценить перспективы применения разработанного подхода для диверсификации однородных активов неденежной природы.

Объект исследования. Объектом исследования является инвестиционная деятельность, осуществляемая экономическими субъектами на валютном и фондовом рынках различных секторов экономики.

Предмет исследования. Предметом исследования является оптимизация инвестиционных решений в условиях неопределенности характеристик различных вариантов вложений в финансовые активы.

Теоретической и методической основой диссертационной работы послужили фундаментальные положения проблем управления финансами, инвестирования и риск-менеджмента, а также публикации по исследуемой предметной области.

Методически работа базируется на аппарате математического моделирования портфельных инвестиций, теории вероятностей и финансовой математики, моделях и методах исследования операций.

Информационная база. Информационную базу диссертационной работы составили результаты исследований и статистические данные, представленные в российских и зарубежных периодических изданиях, на сайтах в Интернете, материалы конференций, семинаров и совещаний.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы состоит в обосновании необходимости и разработке метода построения оптимизационных моделей диверсификации капитала и их агоритмов для анализа и решения прикладных задач финансового сектора экономики при принятии инвестиционных решений в условиях интервальной неопределенности результатов.

В процессе исследования получены следующие основные научные результаты:

Х предложены меры риска портфеля финансовых активов в условиях интервальной неопределенности результатов;

Х построена минимаксная модель оптимизации портфельных инвестиций, сопряженных с риском неопределенности;

Х предложены два вида эквивалентных минимаксной модели постановок задач линейного программирования и с их помощью выявлены свойства оптимального решения, обусловленные математической спецификой базовой модели.

Х разработаны прикладные модели формирования пропорций мультивалютного вклада, позволяющего защитить сбережения от резкого колебания курсов валют с запретом и при допущении операции коротких продаж;

Х разработаны теоретико-аналитические модели анализа закономерностей, присущих влиянию риска неопределенности на характер инвестиционной деятельности;

Х введено понятие псевдонеопределениости, измеряемой интервалом с заданным уровнем значимости, и обоснована его продуктивность;

Х выявлены условия возможного распространения развитого в работе метода на иные области приложений, в том числе для диверсификации однородных активов неденежной природы;

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. В работе предложен математический подход для моделирования и решения задач о портфельных инвестициях в условиях неопределенности и даны методы его реализации в виде финансово-математических моделей оптимизации структуры портфеля финансовых активов. Результаты работы могут быть использованы для количественного обоснования инвестиционных решений, обеспечивающих существенное снижение степени риска и размеров недополученных доходов по сравнению с оптимальным, но априори неизвестным, в силу неопределенности будущих результатов, вариантом.

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертационного исследования были представлены автором, обсуждены и получили положительную оценку на 7-й Международной научно-практической конференции Актуальные проблемы управления - 2003, 22-й Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов Реформы в России и проблемы управления - 2007, 10-й Международной научно-практической конференции Актуальные проблемы управления - 2005, 15-й Международной научно-практической конференции Актуальные проблемы управления -2010.

Внедрение результатов исследования. Внедрение результатов работы проводилось в рамках проекта Банка Национальная-факторинговая компания (ЗАО).

Публикации. По теме диссертации в открытой печати опубликовано семь научных работ общим объемом 2,1 п.л.. из них три - входят в рекомендованный ВАК перечень; лично автору принадлежит 1,9 п.л.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Работа содержит 112 страниц машинописного текста, 13 рисунков, 10 таблиц. Список использованной литературы включает 117 наименований трудов отечественных и зарубежных авторов.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обоснованы актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследования, объект и предмет исследования, приведена научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе Математическое содержание задач портфельного инвестирования анализируются современные подходы к моделированию и решению задач инвестирования в финансовые активы и обоснована необходимость построения математических моделей и методов оптимизации портфельных инвестиций в условиях неопределенности. Изучены известные меры вероятностного риска и риска неопределенности и предложены их обобщения для моделирования задачи о портфельных инвестициях при интервальном прогнозировании будущих доходов.

На основании проведенного анализа обосновано применение минимаксного подхода для диверсификации капитала в условиях интервальной неопределенности и сформулирована задача построения математических моделей для его реализации.

Вторая глава Минимаксные постановки задач об инвестиционном портфеле посвящена построению математических моделей портфеля финансовых активов с критериями оптимизации, зависящими от отношения инвестора к риску неопределенности. На основе принципа двойственности из линейного программирования и с использованием игровой интерпретации

проведен сравнительный анализ оптимальных решений этих задач и изучены их свойства. С использованием характеристик фондового рынка дано математическое обоснование типовых вариантов взаимного расположения диапазонов неопределенности в разрезе финансовых активов как условия применимости предлагаемого подхода.

В содержании третьей главы Применение минимаксных моделей для анализа и диверсификации инвестиций исследуются вопросы использования разработанных моделей и методов для анализа и решения прикладных задач. В предельно агрегированной форме проводится оценка влияния диапазонной неопределенности на объемы финансирования высокорисковых инвестиционных проектов и структуру кредитного портфеля. Для практической реализации разработанного метода построены модели задач о мультивалютном вкладе и выпонены расчеты параметров диверсификации капитала с использованием интервальных прогнозов, приближенных к реальным данным. Рассмотрены вопросы возможного развития предложенного подхода для диверсификации однородных активов неденежной природы.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Риск неопределенности. В финансовом анализе за меру риска неопределенного результата а<1<_<Ь принимают показатель размаха р=Ь-а. В работе введено понятие условного риска результата Л, И[<!,;&,] одного вложении по отношению к результату /гг е [л2;й2] другого вложения. Предложенное определение основывается на восприятиях предельно осторожного инвестора, который при выборе своих действий исходит из предположения об оппортунистическом поведении природы. Например, выбирая первый актив, он считает, что для него реализуется наихудшая для данного выбора возможность (11|=а|), а упущенный вариант составит максимальную величину

R2=b2. Этой модели поведения отвечает мера условного риска Pi/2=b2-Э|. Аналогично, условный риск переменной R? относительно исходов неопределенности для R| составит величину p2/i=b|-a2. Минимизируя риск, инвестор выберет актив с наименьшим показателем условного размаха: min{pi/2, р?/|}- Для оптимиста, который рассматривает природу как соратника, условные риска в смысле принятого выше определения будут равны величине r||/2=b|-a2, r|2/i=b2-ai для первого и второго актива соответственно. Откуда видно, что даже в этом простейшем случае двухальтернативного выбора по критерию минимизации риска, решения оптимиста и пессимиста будут различаться.

Для инвестора, диверсифицирующего капитал и воспринимающего природу как злонамеренного противника, обобщением рассмотренной выше меры условного риска является максимум потерь из-за диверсификации по отношению к вложению в k-й актив

А,л (О

Предрасположенности экономического поведения к интервальному восприятию информации удовлетворяет предложенный в работе метод приближенной замены вероятностного риска риском неопределенности. Для этого наряду с известной мерой риска VAR (сумма под риском) предлагается аналогичная оценка наилучшего при данном уровне значимости варианта VACH (сумма под шансом). Для достаточно высокой доверительной вероятности события, выводящие результат вне диапазона [VAR; VACH], считаются пренебрежимо редкими и их можно не учитывать. В результате подобной замены все сведения о возможных значениях результата R сводятся лишь к заданию данного диапазона, т.е. к риску неопределенности.

Актив к, верхняя граница доходности которого перекрывается нижней границей доходности некоторого другого актива s (bk<as) уступает ему по эффективности при всех возможных вариантах снятия неопределенности. Подобные активы заведомо невыгодны и не входят в число рассматриваемых

для диверсификации видов. Формально это означает, что для допустимого множества вложений ]=1,2,...,п выпоняется следующее неравенство:

тахл( < ттЛ(. (2)

Вместе с тем, наличие в первоначальном множестве доминируемых активов является скорее исключением, а не правилом. В качестве примера правомерности данного факта доказано следующее утверждение. Пусть Л,} -совокупность нормально распределенных случайных доходностей. Допустим, что их математические ожидания и дисперсии связаны следующими законоподобными соотношениями:

(то,,(т,) < (т|4,,стД|); (сг/+| -сг,) > - от,), / = 1,2...., А' -1

Тогда промежутки |Л, -м,|<5, одинаковой вероятности р образуют последовательность вложенных интервалов.

Минимаксная постановка задачи диверсификации вложений. Пусть N - число имеющихся видов вложения с эффективностями Г{Д, известными с точностью до множества неопределенности Г2Д. Это множество может быть задано набором или диапазонами {[аД,Ьп]} возможных значений, совокупностью их непересекающихся диапазонов и т.д. Условие (2), которое дожно при этом выпоняться, состоит в том, что для любого варианта п найдется сочетание оптимизирующих его эффективностей.

Несклонный к риску инвестор выбирает пропорции смешанного вклада, минимизирующие . наибольший из условных рисков, оцениваемых по отношению к результатам чистых вложений {КД }. Этому правилу отвечает следующая модель:

тттахтах] Я,. =1; ДД е ПД =[Д,/>Д],хД >0,о = 1,2,...,Л/1 (3)

Доказано, что постановка задачи (3) сводится к ее математическому описанию с использованием амплитудных значений неопределенности {аД},{ЬД}:

minmaxj^l-xjfej = ^0,n = 1,2,...,//| (4)

При необходимости в модель (4) можно ввести безрисковый актив, полагая при п=1 крайние значения диапазона неопределенности 2; равными неслучайной доходности этого актива R|= г : ai=b|=r.

Для двувидовой диверсификации (N=2) задача (4) имеет аналитическое решение:

х<тт _ _fy ~~ (l 1_ х<т__~ __\

1 ~ (Ь,-л,) + (А,-а,)' ' -я, ) + (/>,-агУ

при котором относительно каждого из активов условные риски диверсификации (1) будут равны:

.ДДД _,,Д,Д (fy ~ "г К^г ~ )

КЛя/l ~ Р<>./2 - ,, . , ,, ,

т.е. капитал дожен распределяться между активами обратно пропорционально их условным рискам.

Доказано, что при N>2 решение системы линейных уравнений, отвечающей равенству всех условных рисков диверсифицированного портфеля, не является оптимальным планом задачи (4). В связи с этим для его поиска выводятся эквивалентные минимаксной модели (4) задачи линейного программирования.

Формирование минимаксного портфеля как задача линейного программирования. Вводя переменную z, равную при каждом допустимом наборе X|,X2,...,XN максимальному значению условных рисков (1), получим задачу линейного программирования (ЗП) для расчета оптимальных по минимаксному критерию долей (х|,х2,...,хп):

2 - min

z>( 1 - хк) А - .к = '.2,..., п

хД > 0,п = 1,2,..., jV

Воспользуемся заменой переменных \у=1/г, ирх/г, и

преобразуем запись (6) к виду стандартной задачи линейного программирования с критерием максимизации целевой функции ш= и матрицей ограничений

' 0 (А, -лэ> Х (Ь, ч \

(Ь2-а,) 0 (Ь2-а,) . Фг

А = (by~a2) 0 (А,

(bN~ci2) (bN-a3) о ,

Обозначим двойственные переменные через V|, v2,...,vN. В результате придем к следующей паре взаимодвойственных стандартных задач линейного программирования:

е' и Ч> шах е' v Ч> min Аи<е 'v>e и > О V > О

Здесь матрица А размерности (NxN) имеет вид (7), Т-знак транспонирования, ет=(1,1,...,1). Ниже представлен фрагмент расчетов, выпоненных с помощью базовой модели (6) и ее эквивалентной постановки

Таблица 1.Примеры расчетов трехкомпонентного минимаксного портфеля.

Результаты расчетов при Ri=0,2, 0,1<R2<0,3, 0<R3<0,4. Результаты расчетов при 0,l<Ri<0,28, 0,2<R2<0,4,0,25<R3<0,5

Оптимизация с помощью модели (5) Оптимизация с помощью модели (6) Оптимизация с помощью модели (5)

Х|=0,75, х2=0, Хз=0,25, z=0,15 U|=5, u2=0, из=5/3, w=20/3 Х]=0, х2=1/3, х3=2/3, z=0,l

Для определения оптимальных долей по значениям второго стобца следует использовать обратную замену: г=1/\у=0,15, Х|=ги|=0,75, х2= ги2=0, х3= ги2=0,25, что совпадает с результатами модели (6).

Из таблицы видно, что в отличие от двувидового портфеля (5) в случае трех активов один из них не входит в состав минимаксного портфеля. В работе

на основе применения принципа двойственности доказывается, что при N>3, по крайней мере, одна из переменных {х,, =1,2,...,14} не будет содержаться в оптимальном базисе ЗП (6). Практически это означает, что при наличии активов, задаваемых с точностью до промежутков неопределенности, один из них заведомо не войдет в минимаксный портфель, т.е. число включаемых в оптимальный состав компонент будет меньше числа доступных для инвестирования вложений. Это свойство целесообразно использовать для перебалансировки оптимального портфеля, меняя его состав в зависимости от характера изменения интервальных прогнозов по периодам инвестирования.

Для оптимизации вложений по минимаксу можно использовать возможности, если они есть, коротких продаж, т.е. исключить ограничения неотрицательности для соответствующих переменных в задаче (6). Допустим, что в оптимальном плане этой задачи единственная из таких переменных Х| оказалась отрицательной. Это означает, что инвестор дожен взять в дог финансовый актив А) в количестве достаточном для его продажи с выручкой равной доле Х| располагаемого капитала и добавить эту сумму к объему вложения в прочие активы в пропорции х2.'хз: В конце периода он обязан купить актив А| в количестве достаточном для покрытия дога. При снятии ограничений на знак допустимое множество ЗП становится шире. В силу этого наличие коротких продаж снижает риск и увеличивает доходность минимаксного портфеля.

В работе приводятся различные модификации базовой модели (3). Основные из них относятся к описанию портфеля с гарантированным результатом для оптимистических сценариев неопределенности и задачи диверсификации с критерием пессимизма-оптимизма Гурвица. На примере портфелей для двух активов проводится сравнительный теоретический анализ предложенных модификаций, и выявляются преимущества исходной постановки (3). Для илюстрации полученных выводов выпонены имитационные расчеты для сравнения по риску и эффективности портфелей

оптимиста, пессимиста и популярного в приложениях портфеля с равными долями вложения в каждый из доступных активов. В таблице 2 дан пример расчетов, проведенных по результатам случайной выборки в границах заданной для каждого актива неопределенности.

Таблица 2. Доходности базового н сравниваемого с ним портфелей.

№ [9;12] (%) [8;14] Доходность портфеля Результат сравнения

пессимиста: Кп=(4К,+5К3)/9 оптимиста К0=(5Я,+4К,)/9 равнодолевого КП=(Я,+К3У2

1 9 10 9,57 9,44 9,50 кД> кД

2 9 9 9,00 9,00 9,00 ЯД= 1*0=

3 10 12 11,11 10,89 11,00 Г(Д> К,,> [}Д

4 12 13 12,55 12,44 12,50 кД> и,,> кД

5 10 И 10,55 10,44 10,50 ИД> Кп> К.

6 12 II 11,44 11,56 11,50 [!Д> НД

7 9 II 10.11 9,89 10,00 !*Д> Яр> И.

8 II 13 12,11 11,89 12,00 КД> КД> И.

9 12 13 12,55 12,44 12,50 кД> кР> а.

10 11 и 11,00 11,00 11,00 И,, !(Д= Яр

11 9 14 11,78 11,22 11,50 кД> Ир>

12 12 8 9,78 10,22 10,00 Яо> |}р> Ип

Результаты расчетов показывают, что портфель пессимиста является наилучшим по доходности: в 8 случаях из 12 он дает наивысший по сопоставлению результат, в двух - такой же, как и у сравниваемых с ним портфелей и только в оставшихся двух, т.е. с вероятностью 0,17, он хуже, чем портфель оптимиста.

Применение разработанных моделей для анализа и решения прикладных задач. Под кредитным риском понимают риск невозврата кредита либо его возврата не в поном объеме. Вероятностный кредитный риск моделируют вероятностными распределениями случайных потерь кредитора, в простейшем случае - вероятностью потери, как величины основного дога, так и причитающихся процентов. В работе предлагается более простой способ описания кредитного риска в виде диапазона неопределенности эффективной ставки процента Я. Для различных кредитных продуктов правая граница этого диапазона может быть вычислена методом внутренней нормы доходности

догового денежного потока: Ь-1кК. Левую границу можно положить равной размеру максимально возможных потерь при заданном уровне значимости, которая определяется величиной а=УАЯ: Л е [УАII, III К]. При таком описании кредитного риска задача формирования кредитного портфеля сводится к минимаксной модели вида (4), ключевым элементом которой является эффективная доходность кредитного портфеля

с условием неопределенности Л, е |>аг,,/>/-, у = 1,2,...,п.

Применяя двухкомпонентную минимаксную модель с безрисковой составляющей, проанализировано как влияет риск неопределенности на склонность к наличности. В качестве примера рассмотрен облигационный заем с доходностью -1<г<т\, где г| - купонная ставка. Для этих условий оптимальные по минимаксному критерию доли наличности и инвестирования равны

значениям х. =Ч?Ч- и соответственно х2=1-Х|. Таким образом, если (1 + |/)'

неопределенность сопряжена с риском потери вложений, то в такой экономике склонность к наличному хранению денег возрастает, отвлекая их тем самым с рынка капитала. В тоже время, чем выше верхняя граница неопределенности т] и больше период Т, тем такое отвлечение будет ниже. Более того, показано, что если заемщик возмещает инфляцию, то с ростом инфляции склонность к наличности будет убывать в пользу банковских вкладов, и это верно даже при наличии риска в границах неопределенности от поной потери до поного возврата.

Еще одна теоретико-аналитическая модель относится к минимаксной предельно агрегированной постановке задачи распределения капитальных вложений по двум направлениям экономического развития: высоко рисковые инновации и реальные инвестиции умеренного риска. Рассматриваемая диверсификация относится к возможным путям развития хозяйствующего субъекта, включая макроэкономический уровень, и поэтому ее решение

допускает использование непрерывных долей Х|, х2. Допустим, что для инноваций возможен провальный исход, когда теряется весь вложенный капитал, а для инвестиций наихудшему сценарию отвечает нулевая рентабельность. Математически это означает, что а|=-1, b|=b2, а2=0, l. Согласно свойствам минимаксного решения вложения дожны распределяться обратно пропорционально условным рискам: Х|: х2= b2:(b2+l). Откуда видно, что с ростом относительный вес высокорисковой части дожен увеличиваться и это несмотря на достаточную успешность консервативных инвестиций.

В теории, посвященной портфелю ценных бумаг, доказывается, что на эффективном рынке каждый инвестор - оптимизатор, принимающий в расчет ожидаемую доходность и стандартное отклонение своего портфеля, будет комплектовать его только из рыночного портфеля и безрискового актива по критерию максимизации его функции полезности. Ведем промежуток псевдонеопределенности [а;Ь], покрывающий возможные значения рыночной доходности R с вероятностью р. Значение безрисковой доходности г0 лежит внутри этого промежутка, поэтому диверсификация имеет смысл. Обозначим х0, Х|=1-х0 доли вложения в безрисковый актив и в рыночный портфель. Для рассматриваемого портфеля постановка минимаксной задачи (4) примет следующий вид:

min max {(1 - х0 )(/ХД - a); (Ь - г0 )дс0}

Решение этой задачи определится условием равенства сравниваемых рисков.

Допустим, что рыночный портфель имеет ожидаемую доходность ш=10% и риск а =5%. Для нормально распределенной доходности R доверительный с вероятностью р=0,95 интервал [а;Ь]=[0;20]. Пусть безрисковая доходность г0=5%. Решая соответствующее уравнение, найдем структуру искомого портфеля: хо=0,25, Х|=0,75, т.е. на одну денежную единицу вложения в безрисковый актив дожно приходится три денежных единицы, инвестируемых в рыночный портфель.

В прикладном плане общая модель задачи о минимаксном портфеле и ее агоритмизация были применены для диверсификации единичного вклада по разновалютным депозитам. В качестве примера ограничимся случаем трех депозитов: в рублях, доларах и евро, с соответствующими им депозитными ставками г, с! и е. Обозначим Бо, Е0 - начальные курсы долара и евро. Предположим, что прогнозы будущих курсов ограничиваются заданием коридоров, внутри которых они могут находиться в конце депозитного срока:

Г), .= [Д*,],, е[в2,62] (8)

С учетом двойной конвертации начальный капитал (принят за единицу) в конце периода вырастет до величины

Для применения общего метода необходимо пересчитать неопределенность (8) на коэффициенты а, Ь, с при неизвестных х0, хь х2 в выражении (9):

я = (1 + г); 6 И[Д/?,] =

(1 + d)a, (! + </)&,

; с е [а2,/32] =

(1 + е)а2 (1 + е)Ь2

Допустим, что для любой из валют найдутся исходы неопределенности, при которых вложение в данную валюту будет оптимальным, иначе говоря, выпоняется условие

max {(1 + d)a{ / D0, (1 + е)а21Е0} < 1 + г < min {(1 + d)bt / D0, (1 + e)b2 / Ea} (11)

Поскольку условие (11) отвечает требованию (2), то для нахождения искомых долей воспользуемся минимаксной постановкой (4) , которая примет вид:

z = max[(l-x0)a-xlal - х2а2,(\-xt)t -х0а-х2а2,( \-x2)2 -х0а - xiai ] min (12)

Как и в общем случае, сведем формализацию (12) к ЗП:

г>(1-х0)а-х,о(|-x2a2, г > (1 Ч je, )/J,-xДa-x2a2, z>(l-x2)2-x0a-x[al, (13) x0+x+x2=] xД,x,,x2>0

Необходимые для модели (13) сведения были взяты из открытых источников и аналитических прогнозов компании Калина-Финанс по состоянию на 21 ноября 2008 года. Решению поставленной задачи соответствует таблице 3.

Таблица 3. Исходные данные и расчетные значения задачи о валютной корзине.

№ RUR USD EHR

Исходные данные

1 Годовая депозитная ставка 25,00% 11,50% 10,50%

2 Курс в начале периода 1,00 руб. 26,06 руб. 35,17 руб.

3 Интервачьные прогнозы значений курса в конце периода [1,0; 1,0] [28,9; 34,0] [38,0; 43,0]

Расчетные данные

4 Диапазоны неопределенности для коэффициентов при неизвестных [1,25; 1,25] [1,2367; 1,4549] [1,1938; 1,3509]

5 Оптимальное решение задачи хД=0 X, = 0,7938 х2 = 0,2062

Отсюда следует, что оптимальный вклад дожен содержать только две валюты: долар и евро. При необходимости продлить вклад еще на период задача решается повторно при новых исходных данных, и деньги распределяются с учетом возможного изменения ассортимента валют (согласно общему результату одна из них заведомо исключается).

В завершение приводятся примеры и обсуждаются перспективы применения разработанного подхода для диверсификации однородных активов неденежной природы: товарного капитала при ценовом риске, фонда рабочего времени оборудования на освоение производства, посевной площади при неопределенности сельскохозяйственных результатов и т. д.

III. ВЫВОДЫ

В качестве результатов выпоненного диссертационного исследования

можно сделать следующие основные выводы:

1. По результатам анализа современного состояния теории и практики применения математических методов в области инвестиций в финансовые активы обоснована задача моделирования оптимального портфеля инвестора, принимающего решения в условиях неопределенности получаемых результатов.

2. Выявлены типовые варианты взаимного расположения интервалов неопределенности результатов инвестирования, обусловленные закономерностями финансового рынка, и для данного вида неопределенности предложены отвечающие ему меры портфельного риска.

3. Разработаны модели минимизации максимального риска портфеля инвестора с учетом различных характеристик его отношения к риску неопределенности. На основе сопоставления результатов применения портфеля пессимиста, воспринимающего природу как противника, с портфелем оптимиста, рассматривающего ее как партнера, сделан вывод о преимуществе первого подхода по сравнению со вторым.

4. Предложены эквивалентные минимаксным моделям постановки задач линейного программирования, допускающие введение допонительных ограничений и учет возможности коротких продаж.

5. Доказано, что при числе активов больше двух в оптимальном решении минимаксной задачи всегда будет присутствовать нулевая компонента. По истечении целевого периода и повторном решении задачи при новых исходных данных оптимальное решение может измениться в пользу той валюты, которая не вошла в портфель предыдущего периода. При снятии ограничений на знак обнуление отсутствует, но обязательно появятся отрицательные доли, что соответствует рекомендации проводить короткие продажи.

6. Построена прикладная модель оптимизации структуры мультивалютного вклада, позволяющего защитить сбережения от резкого колебания курсов валют с запретом и при допущении операции коротких продаж, и проведены расчеты по реальным данным.

7. Обоснована возможность и даны примеры использования разработанного подхода как для теоретического анализа влияния неопределенности на характер инвестиционной деятельности, так и для практической диверсификации однородных нефинансовых активов, а также финансовых активов с заменой вероятностного риска промежутками неопределенности при заданном уровне значимости.

IV. ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ, ОТРАЖАЮЩИЕ ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых журналах и журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки

1. Савин, А.Б. Анализ влияния финансовых и денежно-кредитных инструментов на инвестиционный процесс [Текст] / А.Б.Савин // Вестник ГУУ-2004.-№ 17-С. 61-65.-0,3 п.л.

2. Савин, А.Б. Использование минимаксной модели для анализа и диверсификации инвестиций [Текст] / А.Б.Савин // Вестник ГУУ -2010. -№ 12-С. 81-85.-0,4 пл.

3. Савин, А.Б. Применение интервальных оценок в финансовом менеджменте [Текст] / А.Б.Савин // Вестник ГУУ - 2010. - № 16 - С. 1420. - 0,3 п.л.

Другие работы, опубликованные автором по теме диссертации

4. Савин, А.Б. Модели диверсификации однородного актива с интервально известными результатами [Текст] / А.Б. Савин // Сборник научных статьей Экономика. Управление. Культура. Вып. 17, ГУУ - 2010. - № 17. Ч С.151-158 - 0,4 п.л.

5. Савин, А.Б. Характеристика различных источников привлечения инвестиций [Текст] / А.Б.Савин // Материалы 8-ой Международной научно-практической конференции Актуальные проблемы управления -2003.-С. 122-126-0,2 п.л.

6. Савин, А.Б. Интервальные значения как способ задания неопределенности в задачах финансового менеджмента [Текст] / А.Б.Савин // Материалы 15-ой Международной научно-практической конференции Актуальные проблемы управления - 2010. - С. 107-109 -0,1 п.л.

7. Савин, А.Б. Оптимизация портфеля вложений с известными границами их возможных эффективностей / В.В. Капитоненко, А.Б. Савин, // Материалы 10-й международной научно-практической конференции Актуальные проблемы управления - 2005. - С. 131-137 - 0,4 п.л., в том числе лично автору принадлежит - 0,2 п.л.

Подп. в печ. 11.11.2010. Формат 60x90/16. Объем 1,0 п.л.

Бумага офисная. Печать цифровая.

Тираж 50 экз. Заказ № 865

ГОУВПО Государственный университет управления Издательский дом ГОУВПО ГУУ

109542, Москва, Рязанский проспект, 99, Учебный корпус, ауд. 106

Тел./факс: (495) 371-95-10, e-mail: diric@guu.ru

www.guu.ru

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Савин, Антон Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

Математическое содержание задач портфельного инвестирования.

1.1. Модели портфельного инвестирования при определенности и в условиях риска.

1.1.1. Моделирование без учета стохастического фактора.ю

1.1.2. Моделирование с учетом вероятностного риска.

1.2. Формализация понятия неопределенности как фактора портфельного инвестирования.

1.2.1. Содержание термина неопределенность.

1.2.2. Меры риска неопределенности.

1.3. Интервальные описания при риске и неопределенности.

1.3.1. Объективные и субъективные причины перехода к интервальному заданию данных.

1.3.2. Применение интервальных оценок в финансовом менеджменте.

1.3.3. Применимость интервальной неопределенности для моделирования задачи портфельного инвестирования в финансовые активы.зо

1.3.4. Критерии оптимизации портфелей финансовых активов.

ГЛАВА 2.

Минимаксные постановки задачи об инвестиционном портфеле.

2.1. Портфель, минимизирующий максимальный риск.

2.2. Портфели, основанные на получении гарантированного выигрыша.

2.2.1. Портфель, максимизирующий минимальный выигрыш.

2.2.2. Портфель, максимизирующий минимальный взвешенный по критерию лоптимизма-пессимизма выигрыш.

2.3. Формирование минимаксного портфеля как задача линейного программирования.

2.3.1. Задача линейного программирования для двух рисковых активов.

2.3.2. Задача линейного программирования с одним безрисковым активом.:.

2.3.3. Сведение минимаксной оптимизации к взаимодвойственным стандартным задачам линейного программирования.

2.3.4. Сведение задачи о минимаксном портфеле к антагонистической игре с Природой.

2.4. Анализ практической значимости моделируемых условий неопределенности.

ГЛАВА 3.

Применение минимаксных моделей для анализа и диверсификации инвестиций.

3.1. Теоретико-аналитические модели влияния неопределенности на инвестиционные и кредитные решения.

3.1.1. Влияние кредитного риска.!.

3.2. Модели формирования портфеля финансовых активов с интервально известными эффективностями.

3.2.1. Задача о двух депозитах.

3.2.2. Задача о валютной корзине.

3.2.3. Минимаксный портфель на линии рынка капитала.

3.3. Инструментальная реализация метода оптимизации по минимаксному критерию.

3.3.1. Задача о депозитах трех различных валют.

3.3.2. Анализ способов получения прогнозов интервальных оценок валютных курсов.

3.3.3. Построение имитационной модели валютных торгов с использованием модели минимаксного критерия.

3.4. Примеры возможных приложений минимаксного подхода в задачах диверсификации однородного актива.

3.4.1. Задача о продажах на разновалютныхрынках.Ю

3.4.2. Задача о распределении фонда рабочего времени оборудования.ш

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование оптимальной диверсификации инвестиций в условиях неопределенности результатов"

Актуальность темы исследования

Проблема распределения инвестиционных средств между различными объектами вложения капитала относится к одному из ключевых направлений теории и практики управления финансами. В приложениях математических методов для описания, анализа и решения широкого круга практических вопросов диверсификации капитала особое место занимают портфельные задачи Г.Марковица, Д.Тобина, модель В.Шарпа и их многочисленные модификации. Модельные представления этих задач учитывают предъявляемые к диверсификации требования повышения ожидаемых приростов капитала и снижения степени риска, обусловленного возможным несоответствием этим ожиданиям. В качестве единого элемента формализации, объединяющего все постановки, рассматриваются рисковые финансовые активы, заданные своими вероятностными характеристиками. Условия применимости соответствующих г моделей ограничены допущениями эффективности рынка и возможностями получения вероятностных параметров подлежащих отбору активов. Эти предположения даже в периоды относительно стабильной конъюнктуры выпоняются далеко не в поной мере, тем более при развитии кризисных явлений. По этой причине задачи бюджетирования и принятия финансовых решений приходится решать при отсутствии и невозможности получения вероятностной информации относительно влияющих переменных. Для портфельных инвестиций в качестве таких переменных выступают количественные показатели результатов, достигаемых по каждому из допустимых видов вложения капитала. В ситуациях, когда вероятностные суждения о характере изменения этих показателей неправомерны, используют возможности их анализа с помощью сценарных моделей. В инвестиционном менеджменте этот подход предполагает задание трех сценариев - расчетного, лоптимистического и пессимистического. Данный метод позволяет учесть разброс результатов, однако он весьма субъективен (всегда остается вопрос, насколько, собственно, оптимистичны или пессимистичны были те, кто делал оценки). Содержательно сценарные модели соответствуют условиям неопределенности, в которых принимает решения оперирующая сторона.

Для инвестиций в финансовые активы неопределенности результатов отвечают диапазоны их предполагаемых изменений, т.е. по каждому виду инвестирования результат прогнозируется с точностью до промежутка его возможных значений. Такая модель является вынужденной мерой в ответ на отсутствие вероятностной информации, а значит Ч на невозможность, в том числе, указать расположение ожидаемого результата по отношению к концам рассматриваемого промежутка. В качестве примера можно сослаться на валютные прогнозы и привести цитату такого прогноза, приведенного в деловой литературе: На этой неделе пара долар/евро будет торговаться в пределах 1,4225. 1,4425, а рубль РФ будет торговаться в рамках коридора бивалютной корзины 37,20.37,70.

Дефицит вероятностной информации и замещение ее условиями неопределенности не позволяют использовать известные прикладные модели портфельных задач, решаемых в условиях вероятностного риска. В связи с этим тема исследования, посвященного разработке моделей и методов портфельного инвестирования, сопряженного с риском неопределенности, представляется значимой как в теоретическом плане, так и для практических приложений.

Цель и задачи исследования

Целью работы является разработка оптимизационных моделей задач об оптимальном портфеле финансовых активов в условиях неопределенности результатов вложений и методов для определения оптимальных пропорций диверсифицируемого капитала.

Для достижения поставленной цели в работе были сформулированы следующие основные задачи:

Х Провести обзор теоретических подходов к оптимизации портфеля финансовых инвестиций для обоснования актуальности вопросов моделирования портфельной задачи, сопряженной с риском неопределенности;

Х Основываясь на аналогиях с моделями принятия решений в играх с Природой, разработать меры риска портфеля инвестора, оптимизирующего его в условиях неопределенности;

Х Разработать математическую модель оптимизации портфеля финансовых вложений, включая безрисковую компоненту, в условиях неопределенности рисковых компонент и дать агоритм поиска оптимального решения;

Х На основе изучения математических характеристик построенной модели дать содержательный анализ свойств полученного оптимального решения и выявить типовые условия применимости предложенного подхода в прикладных задачах диверсификации;

Х Изучить возможности расширения системы ограничений базовой постановки и использования, различных критериев оптимизации в зависимости от отношения инвестора к риску неопределенности;

Х Привести примеры расчетов, илюстрирующие применение предложенного подхода для решения задач портфельного инвестирования в различные виды финансовых активов: акции, валютные вложения и т.д.:

Х Изучить возможности распространения предложенного для условий неопределенности подхода к диверсификации однородного актива для отличных от предметной области исследования приложений.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является финансовый сектор экономики, предметом исследования Ч принятие инвестиционных решений в условиях неопределенности.

Теоретическая и методологическая основа для исследования.

Теоретической и методологической основой диссертационного исследования послужили труды по проблемам управления финансами, инвестирования и риск Ч менеджмента, а также публикации по исследуемой теме.

Методически работа базируется на методологии математического моделирования портфельных инвестиций, аппарате исследования операций, методах теории вероятностей и финансовой математики

Научная новизна. Разработана методическая основа для оптимизации инвестиционных решений, принимаемых в условиях неопределенности результатов.

В процессе исследования получены следующие основные научные результаты:

Х предложены меры риска портфеля финансовых активов- в условиях интервальной неопределенности результатов;

Х построена минимаксная модель оптимизации портфельных инвестиций, сопряженных с риском неопределенности;

Х дана эквивалентная! постановка минимаксной модели в виде задачи линейного программирования и формализованы возможные варианты расширения множества ее ограничений на допустимые инвестиционные решения;

Х на основе двойственной задачи линейного программирования получена модель антагонистической игры и с применением двойственных оценок как измерителей риска предложена игровая интерпретация портфельной задачи в терминах стратегий диверсификации капитала и исходов неопределенности;

Х разработаны прикладные модели формирования и изменения в динамике пропорций мультивалютного вклада, позволяющего защитить сбережения от резкого колебания курсов валют с запретом и при допущении операции коротких продаж;

Х введено понятие псевдонеопределенности, измеряемой интервалом с заданным уровнем значимости, и обоснована продуктивность этого понятия на примере определения оптимального портфеля на линии рынка капитала (СМЬ);

Х выявлены условия возможного распространения развитого в работе метода на иные области приложений. В качестве подтверждающих подобную возможность примеров предложены математические постановки двух задач: о диверсификация продаж на разновалютных рынках при неопределенности внешнеторговой цены; о распределение фонда рабочего времени оборудования при неопределенности технико-экономических параметров освоения производства нового продукта.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. Теоретическая значимость диссертации заключается в том, что в ней разработан математический подход для моделирования и решения задач о портфельных инвестициях в условиях неопределенности и предложены методы его реализации в виде финансово-математических моделей оптимизации структуры портфеля финансовых активов.

Практическая значимость Ч состоит в возможности использования предложенных методов для количественного обоснования инвестиционных решений, обеспечивающих существенное снижение степени риска и размеров недополученных доходов по сравнению с оптимальным, но априори неизвестным, в силу неопределенности будущих результатов, вариантом. J

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обоснованы актуальность выбранной темы, цель и задачи диссертационной работы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования.

В первой главе анализируются современные подходы к моделированию и решению задач инвестирования в финансовые активы и обоснована необходимость построения^ математических моделей и методов оптимизации портфельных инвестиций в. условиях неопределенности. Изучены известные меры вероятностного риска и риска неопределенности И' предложены их обобщения для моделирования задачи о портфельных инвестициях при интервальном прогнозировании будущих доходов.

На основании проведенного анализа обосновано применение минимаксного подхода для диверсификации капитала в условиях интервальной неопределенности и сформулирована задача построения математических моделей для его реализации.

Вторая глава посвящена построению математических моделей портфеля финансовых активов с критериями оптимизации, зависящими от отношения инвестора к риску неопределенности. На основе принципа двойственности из линейного программирования' и- с использованием игровой интерпретации проведен сравнительный анализ оптимальных решений этих задач и изучены их свойства. С использованием характеристик фондового рынка дано математическое обоснование типовых вариантов взаимного расположения диапазонов неопределенности в разрезе финансовых активов как условия применимости предлагаемого подхода.

В содержании третьей главы исследуются вопросы применения разработанных моделей для анализа и решения прикладных задач. В предельно агрегированной форме проводится оценка влияния диапазонной неопределенности на объемы финансирования высокорисковых инвестиционных проектов и структуру кредитного портфеля. Для практической реализации разработанного метода построены модели задач о мультивалютном вкладе и портфеле ценных бумаг и выпонены расчеты параметров диверсификации капитала с использованием интервальных прогнозов, приближенных к реальным данным. Рассмотрены вопросы возможного развития предложенного подхода для диверсификации однородных активов неденежной природы.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Савин, Антон Борисович

Заключение

В качестве результатов выпоненного диссертационного исследования можно сделать следующие выводы:

1. На основе анализа современного состояния теории и практики применения математических методов в области инвестиций в финансовые активы обоснована задача моделирования портфеля инвестора, принимающего решения в условиях неопределенности получаемых результатов.

2. Выявлены типовые варианты взаимного расположения интервалов неопределенности' результатов инвестирования, обусловленные закономерностями финансового рынка, и для данного вида неопределенности предложены отвечающие ему меры портфельного риска.

3. Разработаны модели минимизации максимального риска портфеля инвестора с учетом различных характеристик его отношения к риску неопределенности. На основе сопоставления результатов применения портфеля пессимиста, воспринимающего природу как противника, с портфелем оптимиста, рассматривающего ее как партнера, сделан вывод о преимуществе первого подхода по сравнению со вторым.

4. Предложены эквивалентные минимаксным1 моделям постановки задач линейного программирования, допускающие введение допонительных ограничений и учет возможности коротких продаж.

5. Построена прикладная модель оптимизации структуры мультивалютного вклада, позволяющего защитить сбережения от резкого колебания курсов валют с запретом и при допущении операции коротких продаж.

6. Доказано, что для вклада из трех валют в оптимальном решении минимаксной задачи всегда будет присутствовать нулевая компонента. По истечении целевого периода и повторном решении задачи при новых исходных данных оптимальное решение может измениться в пользу той валюты, которая отсутствовала на предыдущем периоде. При разрешении продаж без покрытия эта нулевая компонента становится отрицательной. Данный факт означает рекомендацию короткой продажи в соответствующем этой компоненте объеме и добавления выручки к размеру диверсифицируемого в оптимальных долях капитала по двум другим валютам.

7. Обоснована возможность и приведены примеры использования разработанного подхода в иных областях приложения для диверсификации однородных нефинансовых активов, а также финансовых активов, используя замену вероятностного риска промежутками неопределенности для заданного уровня значимости.

Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Савин, Антон Борисович, Москва

1. Eeckhodt L., Gollier С. Risk: evaluation, management and sharing/ Harvester Wheatshear, 1997.

2. Haimes Y. Risk modeling, assessment and management. New York: Wiley, 1998.

3. Microsoft Office Specialist Ч Учебный курс Office 2003. Практ. пособие; пер. с англ. М.: ЭКОМ; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

4. Moore R. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: Siam, 1979.

5. Scott D., Suppes P. Foundational aspects of theories of measurement У/ Journal of symbolic logic, 1958,V.23.

6. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. Ч М.: Мир, 1987.

7. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977.

8. Арсеньев Ю.Н., Сула М.Б., Минаев B.C. Управление экономическими и финансовыми рисками. -М.: Высшая школа, 1997.

9. Ашманов С.А. Линейное программирование. Ч М.: Физматлит, 1981.

10. Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления. М.: Наука, 2006.

11. Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1998.

12. Банки и банковское дело./Под ред.И.Т. Балабанова СПб.: Питер,2000.

13. Барамзин С.В. Методологические аспекты управления таможенной политикой и комплексом таможенно-тарифных мер регулирования внешней торговли товарами и услугами. Вестник Российской таможенной академии. 1/2007 .

14. Басов А.И. Финансово-кредитное регулирование инвестиционного процесса в России. М.: Финансы и статистика, 2002.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

16. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973.

17. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. Ч М.: ЮНИТИ, 1997.

18. Босов Д.Б. Основы управления инвестициями в условиях неопределенности и риска. Ч М.: МГПУ,2007.

19. Бочаров В.В. Финансовый анализ: Анализ финансовой устойчивости; Оптимизация денежных потоков; Оценка эффективности инвестиций: Учебное пособие (Краткий курс). Ч СПб.: Питер, 2002.

20. Браверман Э. М. Математические модели планирования и управления в экономических системах. Ч М.: Физматлит, 1976.

21. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М.: Олимп-Бизнес, 2007.

22. Бригхем Ю., Гапенски JI. Финансовый менеджмент: полный курс: в 2-х т.Ч СПб.: Экономическая школа, 2001.

23. Вадайцев C.B. Оценка бизнеса и инновации. М.: Филин, 2004.

24. Васин A.A. Некооперативные игры в природе и обществе. Ч М.: МАКС Пресс,2005.

25. Васин A.A., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. -М.: МАКС Пресс, 2005.

26. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Высшая школа, 2001.

27. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: Учеб.- практ. пособие.Ч М.: Дело, 2001.

28. Владимиров В.А., Воробьев Ю.Л., Малинецкий Г.Г. и др. Управление риском.- М.: Наука, 2000

29. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка. М.: Дашков и Ко, 2001.

30. Воронцовский A.B. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования: Учеб. пособие. С.-Петерб. гос. ун-т. Ч Спб., 1998.

31. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. -М.: МЭИ, 1989.

32. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: В 2-х т. СПб.: Экономическая школа, 1999.

33. Гибсон Р. Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками. Ч М.: Альпина Бизнес Букс, 2005.

34. Гил Ф. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

35. Глазьев С.Ю. Теория догосрочного технико-экономического развития. Ч М.: ВлаДар, 1993.

36. Гробарева Я.Д., Городецкая О.Ю., Золотарюк A.B. Технология экономических расчетов средствами MS Excel. М.: Кнорус,2006.

37. Давыдов Д.В. Интервальное восприятие информации и экономическое поведение потребителя: методологические аспекты.// Вопросы экономики, 2007, №12.

38. Давыдов Д.В., Тарасов A.A. Интервальное представление цен и оптимальный выбор потребителя.// Информатика и системы управления, 2004, №2.

39. Дамодаран А. Инвестиционная оценка: инструменты и методы оценки любых активов. Ч М.: Альпина Бизнес Букс, 2005.

40. Демкин И.В. Методология управления инновационным риском (методы, модели, инструменты). М.: МАТИ, 2008.

41. Дубов A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. Учеб. пособие. Ч М.: Финансы и статистика, 1999.

42. Евланов Л.Г., Кутузов В.А. Экспертные оценки в управлении- М.: Экономика, 1978.

43. Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985.44,45,46,47,48

Похожие диссертации