Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Модели "копула" в управлении рыночным риском российских банков тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат экономических наук
Автор Пеникас, Генрих Иозович
Место защиты Москва
Год 2011
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Модели "копула" в управлении рыночным риском российских банков"

На правах рукописи

Пеникас Генрих Иозович

МОДЕЛИ КОПУЛА В УПРАВЛЕНИИ РЫНОЧНЫМ РИСКОМ РОССИЙСКИХ БАНКОВ

Специальность 08.00.13 -Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

4839824

Г-Ч л"> (П <* *

Москва-2011

4839824

Работа выпонена на кафедре математической экономики и эконометрики государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования Государственный университет - Высшая школа экономики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Айвазян Сергей Артемьевич

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, доцент

Моисеев Сергей Рустамович

кандидат экономических наук, доцент Лукаш Евгений Николаевич

Ведущая организация: ФГОБУВПО Финансовый университет при

Правительстве Российской Федерации

Защита состоится 17 марта 2011 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.048.02 в Государственном университете - Высшей школе экономики по адресу: 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, д.20, ауд. 309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного университета - Высшей школы экономики.

Автореферат разослан л февраля 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета, д.э.н.

Д.В. Нестерова

I. Общая характеристика диссертации Актуальность темы исследования

В 2006 г. Базельский Комитет по банковскому надзору опубликовал документ Базель II, описывающий порядок оценки рисков для цели расчета достаточности капитала банков. Основным нововведением стала возможность использования вероятностных (внутрибанковских, ШВ) моделей для оценки отдельных рисков банка.

По результатам событий кризисного периода 2008 - 2009 гг. Базельский Комитет опубликовал рекомендации по способам, которые более предпочтительны для целей расчета совокупного риска банка в рамках Базель

II. Эксперты Базельского Комитета проранжировали все способы по возрастанию сложности, гибкости и одновременно предпочтительности при использовании риск-менеджерами. В сформированный список включены модели копула, из чего следует, что им отдано предпочтение по сравнению с наиболее распространенными в банковской практике подходами (суммирование, простая диверсификация и дисперсионно-ковариационный подход). Это объясняется тем, что модели копула позволяют моделировать совместные многомерные распределения (включая асимметричные), которые не являются гауссовскими.

К настоящему времени (октябрь 2010 г.) в документе Базельского Комитета Развитие подходов к моделированию агрегирования рисков обобщены основные наблюдения по вопросам агрегирования рисков, позволившие выделить преимущества, получаемые от применения моделей копула. Необходимо отметить, что в настоящее время Центральный Банк Российской Федерации ведет активную' работу по внедрению соглашения Базель II в банковской системе России.

' 21 июля 2010 г. Банк России опубликовал аналитический документ о степени соответствия внутрибанковских подходов к управлению кредитным риском банков - участников проекта Банковское регулирование и надзор (Базель II) Программы сотрудничества Евросистемы с Банком России минимальным требованиям 1ЮЗ-подхода Базеля II (см.

Ссыка на домен более не работаетtoday/PK7GAP.pd0.

Учитывая преимущества, которые представляют модели копула при моделировании совместных многомерных распределений, для возможности их корректного использования в практике управления риском (включая рыночный) российских банков необходимо проработать вопросы, которые мало или недостаточно рассмотрены в части приложения моделей копула к управлению рыночным риском российских банков, включая вопросы поиска момента структурного сдвига в копуле, порядок выбора наилучшей модели копула, а также определение семейств копул, позволяющих наилучшим образом смоделировать динамику экономических показателей, влияющих на уровень рыночного риска российских банков. Степень научной разработанности проблемы

После того, как в конце 1990-х годов в монографиях Джое X. и Нельсена Р. появились первые систематизированные обобщения теоретических оснований моделей копула, модели копула стали активно применяться в решении задач управления рисками, поскольку позволяли моделировать асимметричные совместные распределения случайных величин, а также разделять этапы оценки предельных (маржинальных) распределений и характера связки (параметра копулы). Хотя вопросы управления рисками получили широкое освещение в российском научном сообществе (работы Алескерова Ф.Т., Смирнова С.Н., Шоломицкого А.Г.), вопросам приложения моделей копул в задачах управления рисками российских банков уделено явно недостаточное внимание. В этой связи можно отметить работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Шоколова В.В., Фантаццини Д.

Несмотря на активное использование моделей копула в исследованиях отечественных и зарубежных авторов (работы Вальдеза Е., Джшшуса М., Дэ Мишеле К., Женеста К., Муралидхара К., Парсы Р., Ремийярда Б., Сарати Р., Скайлет О., Смита М., Старццеры Е., Фавре А.-К., Фриза Э., Черубини У.),

31 января 2011 г. Банк России опубликовал Консультативный документ о перспективах применения российскими банками ШВ-подхода Компонента I Базеля И в надзорных целях и необходимых для этого мероприятиях (действиях) (см. Ы1р://сЬг.ги/[ос1ау/РК/Ва5е1 ^апиагу-2011.pdf).

можно выделить три категории вопросов, которые не были рассмотрены в достаточной степени.

Во-первых, ряд исследований, основанных на моделях копула, предполагает неизменность копулы в течение времени (работы Анэ Т., Алексеева В.В., Лая Й., Натале Ф., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Хсу Ч.-Ч., Черубини У., Шоколова В.В.). Тем не менее, возможность изменения копулы, или наличия структурного сдвига в копуле, нельзя отрицать на теоретическом уровне. Это явление подтвердили2 и факты совместной динамики экономических показателей во время мирового финансового кризиса 2008-2009 гг., что требует разработки инструментария поиска момента структурного сдвига в копуле.

Во-вторых, в ходе проведения исследования с применением моделей копула перед каждым ученым возникал вопрос выбора наилучшей модели копула, т.е. наилучшим образом соответствующей исходному совместному распределению случайных величин. Многие исследователи решали этот вопрос путем использования единого критерия, характеризующего качество модели на множестве обучающей выборки данных (работы Берга Д., Женеста К., Ремийярда Б., Саву К., Треде М., Черубини У.). Тем не менее, задачи управления рисками направлены на получение таких оптимальных параметров управления, которые не приведут к превышению уровня риска в будущем. Это требует высокой прогнозной, но не объясняющей силы модели копула. При этом различие постановок задач управления рисками (например, оптимизация и хеджирование рисков) требуют использования дифференцированных критериев выбора модели копула для решения конкретной задачи, что в вышеприведенных работах учтено не было.

В-третьих, решение задачи управления рыночным риском российских банков требует использования моделей копула, наилучшим образом характеризующих совместную динамику российских риск-факторов (обменных курсов, процентных ставок, котировок ценных бумаг и фьючерсов для

2 Данные подтверждения приводятся далее в результатах исследования.

российской экономики). Однако, существующие исследования имели своим объектом либо риск-факторы экономик иностранных стран (работы Паттона А., Юнкера М., Хсу Ч.-Ч., Лая Й.), либо только риск-факторы ценового риска (работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Шоколова В.В.). Таким образом, можно сделать вывод, что в более ранних работах не было рассмотрено восстановление с помощью моделей копула совместных распределений рнск-факторов российской экономики (обменные курсы, процентные ставки, котировки ценных бумаг и фьючерсов) в рамках решения задач управления рыночным риском российских банков.

Поэтому данное диссертационное исследование направлено на воспонение пробела в трех вышеобозначенных вопросах приложения моделей копула к решению задач управления рыночным риском российских банков: разработка инструментария оценки момента структурного сдвига в копуле и методологии выбора наилучшей модели копула (две задачи решены во второй главе)', а также выбор семейств моделей копула для восстановления совместного распределения факторов рыночного риска российской экономики (данная задача решена в третье главе). Объект и предмет исследования

Объектом исследования выбраны рыночные риски российских банков, т.е. вероятные убытки (прибыли) от изменения таких рыночных факторов риска (риск-факторов), как обменные курсы валют (валютный риск), процентные ставки (процентный риск), котировки ценных бумаг (ценовой, или фондовый, риск).

Предметом исследования выступают способы моделирования многомерных распределений доходностей (приростов значений за период) для факторов риска в трех задачах управления ими (оптимизация валютного и процентного рисков; хеджирование ценового риска). Цель и задачи исследования

Цель исследования состоит в разработке инструмента управления рыночными рисками российского банка на основе использования моделей

копула, позволяющего по сравнению с традиционно используемыми подходами дать более точную оценку рисков при восстановлении совместных распределений доходностей риск-факторов. Задачи исследования включают в себя:

(1) Анализ литературы для систематизации существующих подходов к приложению моделей копула в задачах управления рыночным риском.

(2) Разработка агоритма поиска момента структурного сдвига в копуле, разделяющего выборку на две части, однородные в терминах копулы совместного распределения.

(3) Разработка методологии, позволяющей на основе ограниченного набора критериев выбрать наилучшую модель копула для каждой из трех вышеперечисленных задач управления рыночным риском российского банка.

(4) Моделирование совместного распределения доходностей риск-факторов российской экономики для корректного решения выбранных задач управления рыночным риском российских банков.

Методологическая и теоретическая основы исследования

Методологическая основа исследования включает следующие методы:

Методы многомерного статистического анализа построения и оценки моделей копула (монографии Джое X., Нельсена Р., Черубини У.);

Метод имитационного моделирования Монте-Карло при восстановлении многомерных распределений на основе моделей копула (работы Алексеева В.В., Женеста К., Паттона А., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Шоколова В.В.);

Методы параметрической и непараметрической оценки моделей копула (работы Кима Дж., Ремийярда Б., Сивапюле М., Сивапюле П., Скайлет О.);

Методы тестирования статистической значимости моделей копула (работы Берга Д., Женеста К., Саву К., Треде М., Тсукахара X.);

Теоретическая основа исследования включает следующие модели и теоретические наработки, полученные в работах как отечественных, так и зарубежных авторов:

Модель оценки рыночного риска (работы Алескерова Ф.Т., Анэ Т., Вальдеза Е., Каруби К., Смирнова С.Н., Шоломицкого А.Г.);

Модели портфельной оптимизации (работы Линтнера Дж., Марковитца X., Мертона Р., Моссина Дж., Самюэльсона П.);

Модели управления рыночными рисками на основе моделей копула (работы Алексеева В.В., Лая Й., Натале Ф., Соложенцева Е.Д., Шоколова В.В., ХсуЧ.-Ч.);

Модели копула в приложении к российским данным (работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Фантаццини Д., Шоколова В.В.);

Информационная база исследования

В основе исследования лежат данные, собранные за период, максимально доступный, однородный (т.е. после кризиса 1998 года) и достаточный для проведения оценки модели копула в рамках решения задач управления рыночным риском российских банков.

Источником данных о динамике факторов валютного риска (об обменных курсах валют) стали информационные ресурсы Банка России; процентного риска (о процентных ставках) - ресурсы Банка России и системы Bloomberg; ценового риска (котировки ценных бумаг и фьючерсов) - ресурсы Российской Торговой Системы (биржа РТС). Научная новизна

Научная новизна исследования состоит в разработке инструмента управления рыночными рисками российского банка на основе использования моделей копула, позволяющего по сравнению с традиционно используемыми подходами дать более точную оценку рисков при восстановлении совместных распределений доходностей риск-факторов, что основано на следующих существенных результатах, полученных автором и выносимых на защиту:

1. Проведена систематизации существующих подходов по приложению моделей копула в задачах управления рыночным риском российских банков. В результате анализа определены преимущества и недостатки существующих подходов.

2. Разработан агоритм поиска момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. Разработанный агоритм был успешно апробирован при исследовании совместных распределений факторов рыночного риска российской экономики. Обнаруженные даты структурных сдвигов в копуле многомерного распределения риск-факторов поностью согласуются с датами принятия ключевых решений об изменении ставок рефинансирования Центральными Банками соответствующих валютных зон.

3. Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на минимизации уровня ценового риска хеджируемого портфеля, оцененного с помощью модели копула. Предложенная модель показала свою эффективность в терминах увеличения доходности и снижения стандартного отклонения стоимости захеджированного портфеля в задачах прямого хеджирования ценового риска в сравнении с традиционным способом хеджирования.

4. Определен перечень критериев, которые необходимо использовать для выбора наилучшей модели копула. Данные критерии учитывают точность оценки величины рыночного риска и результат решения трех задач управления рыночным риском российского банка (оптимизация валютного и процентного риска; хеджирование ценового риска).

5. Разработана методология выбора модели копула, наилучшей в терминах достижения оптимальных значений решаемых задач управления рыночным риском российских банков. Заданный набор критериев формирует иерархическую систему, позволяющую путем последовательного сопоставления значений критериев, оцененных на периоде ретроспективного прогноза, выбрать наилучшую модель копула.

6. Определены семейства моделей копула, которые необходимо использовать для восстановления совместных распределений риск-факторов рыночного риска российских банков. Для управления процентным риском российских банков необходимо использовать копулу Гумбеля; для управления валютным риском российских банков - копулу Гумбеля; для прямого хеджирования ценового риска российского банка -экстремальные копулы Коши, Галамбоса и Хайслера-Райса; для перекрестного хеджирования ценового риска российского банка - копулу Плаке.

Теоретическая и практическая значимость диссертационного исследования

Теоретическая значимость исследования включает следующее:

Разработан инструментальный метод оценки момента структурного сдвига в эмпирической копуле совместного распределения;

Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на принципе минимизации ценового риска;

Разработана методология выбора копулы из однопараметрического семейства, наилучшей с точки зрения прогноза величины рыночного риска российского банка;

Практическая значимость исследования состоит в следующем:

Выявлены даты структурных сдвигов в копуле совместного распределения доходностей риск-факторов рыночного риска для рассмотренной выборки наблюдений;

Определены семейства копул, позволяющие смоделировать совместную динамику риск-факторов российской экономики;

Разработан программный код для программной среды И, реализующий агоритм поиска структурного сдвига в копуле совместного распределения;

Разработаны программные коды для программной среды Я, решающие задачи управления рыночным риском российского банка (оптимизация

валютного и процентного рисков; хеджирование ценового риска) с использованием моделей копула;

Теоретические результаты исследования включены в учебный курс Многомерный статистический анализ для студентов магистратуры факультета экономики Государственного университета - Высшая школа экономики.

Практические результаты исследования были апробированы в ОАО Альфа-Банк и легли в основу внутренних документов, регламентирующих порядок управления рыночными рисками ОАО Альфа-Банк, что соответствует как требованиям Банка России, так и рекомендациям Базельского Комитета по банковскому надзору. Структура диссертации

Диссертационное исследование включает в себя введение, три главы, заключение, библиографию, четыре приложения общим объемом 166 стр. Апробация результатов исследования

Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях и научных семинарах.

1. Семинар Банки и предприятия: модели и рейтинги (23 ноября 2010 г.; РЭШ; Москва).

2. Научный семинар кафедры Математика под руководством профессора С.Е. Степанова (10 ноября 2010 г.; Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации; Москва).

3. Большой научно-исследовательский семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета (29 сентября 2010 г.; Московский Государственный Университет им. Ломоносова; Москва).

4. IX Международная конференция Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества (25 августа 2010 г.; ЦЭМИ, ГУ-ВШЭ; Москва).

5. Конференция "Прогнозирование финансовых рынков" (28 мая 2010 г.; Кафедра международных валютно-финансовых отношений ГУ-ВШЭ; Москва).

6. Конференция л3rd Financial Risks International Forum, совместный доклад с Б.Бродским, И.Сафарян (26 марта 2010 г.; Insitute Louis Bachelier, Europlace Institute of Finance; Париж, Франция).

7. Научный семинар "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (17 февраля 2010 г.; ЦЭМИ; Москва).

8. Первый российский экономический конгресс (12 декабря 2009 г.; Новая Экономическая Ассоциация; Москва).

9. Научный семинар лаборатории по финансовой инженерии и риск-менеджменту под руководством С.Н. Смирнова (17 ноября 2009 г.; ГУ-ВШЭ; Москва).

10. Конференция лInternational Risk Management Conference, совместный доклад с Ю. Титовой, В. Симаковой (22 - 24 июня 2009 г.; Finanza Firenze Research Centre; Венеция, Италия).

11. Международная юбилейная сессия научного семинара "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (24 июня 2009 г.; ЦЭМИ; Звенигород).

12. VII-ая Международная школа-семинар "Многомерный статистический анализ и эконометрика" (24 сентября 2008 г.; ЦЭМИ, МШЭ МГУ, Российско-Армянский (Славянский) государственный университет, Армянский государственный экономический университет; Цахкадзор, Республика Армения).

2. Основные положения диссертации

В первой главе Генезис задач управления рыночным риском банка

систематизированы существующие подходы к решению задач управления

рыночным риском в результате анализа работ отечественных и зарубежных

авторов по вопросам развития теории копул (монографии Джое X., Нельсена Р.), постановке задач портфельной оптимизации (работы Марковитца X., Мертона Р., Линтнера Дж., Самюэльсона П.), приложению моделей копула к моделированию факторов рыночного риска (работы Юнкера М., Натале Ф., Паттона А., Хсу Ч.-Ч., Лая Й.), по применению копул для исследования российских данных (работы Алексеева В.В., Соложенцева Е.Д., Шоколова В.В., Фантаццини Д.).

В результате был сделан вывод, что поскольку первые предложения по решению оптимизационных задач, сделанные Марковитцем X., развитые Мертоном Р., Линтнером Дж., Самюэльсоном П., предполагали многомерную нормальность совместного распределения, то именно данная предпосыка легла в основу законодательных документов Базельского Комитета, Банка России и Международного Комитета по стандартам отчетности по регулированию процентного риска, валютного риска и порядка хеджирования ценового риска, соответственно. Тем не менее, предпосыка многомерной нормальности распределения риск-факторов не соответствует их совместному распределению, наблюдаемому на практике.

Поэтому дальнейшая работа с источниками позволила систематизировать способы учета того факта, что предельные и многомерные распределения риск-факторов валютного, процентного и ценового риска не характеризуются гауссовским распределением. Для учета такого факта исследователи стали предпринимать попытки восстановления совместных распределений риск-факторов с помощью моделей копула. Так Паттон А. использовал их для моделирования совместной динамики обменных курсов; Юнкер М. -процентных ставок; Натале Ф., Алексеев В.В., Соложенцев Е.Д., Шоколов В.В., Фантаццини Д. - котировок ценных бумаг; Хсу Ч.-Ч. и Лай И. - цен фьючерсных контрактов.

Таким образом, анализ наиболее современных работ позволил сделать вывод о том, что все еще остаются неисследованными три вопроса приложения моделей копула к решению задач управления рыночным риском российских

банков, которые разработаны во второй и третьей главах данного диссертационного исследования. Во-первых, все работы предполагают гипотезу о неизменности копулы на всем массиве данных, которая, как показано в данной работе, нарушается в реальности. Это требует учета структурного сдвига в копуле при моделировании. Во-вторых, во всех работах выбор копулы основывается на однокритериальных тестах, измеренных на обучающей выборке, т.е. не позволяющих оценить прогнозную силу моделей и дифференцировать их в зависимости от решаемых задач управления рыночным риском. Это требует разработки порядка выбора наилучшей модели копула. В-третьих, ни одна из работ не нацелена на моделирование совместной динамики факторов процентного и валютного рисков российской экономики, а также моделирование ценового риска в задачах хеджирования.

Вторая глава Теоретико-методологические основы исследования посвящена разработке агоритма поиска структурного сдвига в копуле и порядку выбора наилучшей модели копула, потребность в которых была выявлена в первой главе.

Для поиска структурного сдвига в копуле используется агоритм, предполагающий наличие выборки {Х^.^.Х^} независимых /^-мерных векторов и некоторого неизвестного момента3 т = [вИ], когда характер

зависимости компонентов каждого вектора X, изменяется, т.е.

совместная функция распределения определяется следующим образом:

, , [с.^х,,),...,/^)), 1 <1<т

Н{хп,...,хш) = { (1)

где X/ = (хД,...,хи) - значения случайного ё-мерного вектора X, в момент / = 1,..., А^.

где С, (; = 1,2) - функция л'-переменных (копула) и с учетом выводов теорем Шкляра от 1959 и 1996 гг. определяется следующим образом:

3 Символ [ ] обозначает целую часть.

С(и,а) = ^ (л),^ (М)), (2)

где и где =-^гл-м(У'^) " значение частной функции

распределения -ой случайной компоненты (/'= 1,...,с?) многомерного

случайного вектора X = (.V'1',| , функцией совместного

распределения которого является ; а = [а],а2,...,ак) - вектор параметров функции копулы.

Фактически структурный сдвиг является дискретным, не непрерывным. Переход от одной копулы к другой осуществляется в разные временные периоды, которые зависят от частотности данных (например, на следующий день при использовании дневных наблюдений).

Тогда необходимо проверить гипотезу такого вида: Я0:С,=С2 (3)

Н,:С,фС2, (4)

где С,, С2 - некоторые копулы (необязательно одного семейства). При отклонении нулевой гипотезы необходимо построить оценку момента структурного сдвига Ш , для которого вероятности ошибок первого и второго рода были бы достаточно малы (стремились к нулю с увеличением

объема выборки ./V), а оценка параметра структурного сдвига (разладки) дн, была бы состоятельной, т.е. стремилась бы к истинному параметру разладки в при увеличении объема выборки N.

Предлагаемый метод обнаружения основан на непараметрическом подходе сравнения эмпирических копул >,(л), которые для каждого

временного периода I Ч 1,.Ч 1 определяются как:

вд=7 ^ЙЕПяЦд, (5)

= ТГ^ * ") = ТГ"7 I 2 "у) <6>

^ - I УУ - I ^

где и. - порог сетки разбиения -мерного единичного куба; /() -функция-индикатор, принимающая значение единицы при выпонении условия в скобках; , = (11п1,.. - вектор значений частных эмпирических

функций распределения, где для каждого у = [1,...,с/] верно следующее:

и = гапк{Ху)(1 + 1), 1 < / < / (7)

ии1Д_1=гапк(Х0.)/№-1 + \), 1 + \<1<М (8)

Для обнаружения момента разладки т используется следующая модификация статистики Комогорова-Смирнова4 (модификация учитывает соотношение размера выборки до и после момента / разбиения всей выборки):

4V,(U) = (D,(u) - Dn_,(u))JI(N-1)/N (9)

где задана константа 0</?<1/2, чтобы выпонялось неравенство

[0N]<l<[(l-0)N].

Оценка момента структурного сдвига строится следующим образом:

mNeAsg шах sup| У, N_,(u) | т)

а оценка параметра структурного сдвига определяется как dN =mN! N .

В исследовании предлагаются и обосновываются следующие показатели эффективности метода обнаружения: 1) вероятность ошибки первого рода:

4 Использование статистики Комогорова-Смирнова лишь обсуждалось в предыдущих

исследованиях (см. например работы Тсухакары X.), но рассмотрен был только случай

применения статистики Крамера-фон-Мизеса (см. статью 2009 г. Ремийярда Б. и Скайлет О.). Поскольку статистика Комогорова-Смирнова не применялась ранее, она была использована в данном диссертационном исследовании.

ан=Р0{Ты>О,

где (7>0- выбираемая исследователем граница принятия решения о

наличии структурного сдвига;

В итоге, получена оценка сверху математического ожидания статистики

тД , определяющей момент структурного сдвига в копуле. В поном тексте диссертационного исследования приводятся результаты экспериментального тестирования агоритма обнаружения структурного сдвига на примере данных, смоделированных копулами Клэйтона и Гумбеля.

Далее приводятся постановки рассматриваемых задач управления рыночным (процентным и валютным) риском российских банков, которые ставят целью максимизировать целевую функцию (суммарную доходность Л от изменения риск-факторов) при условии, чтобы величина риска ГП(а), измеренная методом границы потерь5, не превысила величины капитала банка К за счет управления позициями X, подверженными риску (открытые валютные позиции (ОВП) - для валютного риска; разрывы (гэпы) ликвидности - для процентного риска). Математически задача имеет следующий вид:

5 Граница потерь уровня а (ГП(а), УаЯ) представляет собой квантиль распределения убытков от рыночного риска уровня значимости а, т.е. граница потерь уровня а отражает, какая максимальная величина денежных средств может быть потеряна банком вследствие движения рыночных факторов риска с вероятностью не выше (1-а) при неизменной ситуации с доступной ликвидностью.

|Л")->тах

ГП(а) < К

хи). р о

где Х = ... и размер управляемой позиции,

подверженной ]-ому риск-фактору (7 = 1,...,т); к - капитал банка; Р. -

значение ]-ого риск-фактора; ГП(ог) = -/^"'(а) - величина рыночного риска банка (граница потерь уровня ОС), определяемая как квантиль функции

распределения целевой доходности Я, где Л = и ~ Т]J где

?7;(/) = 1п(РД;)/Р,(/-1)) - логарифмическая доходность (доходность) ]-ого

риск-фактора за период [/-1;/].

Задача управления ценовым риском в операциях хеджирования представляет собой частный случай задачи управления рыночным риском с тем отличием, что управление производится не всеми позициями, а только позицией в срочных (хеджирующих) активах. Иными словами, задача хеджирования ценового риска состоит в его минимизации, т.е. в минимизации изменения целевой функции (стоимости портфеля, состоящего из базового и хеджирующего активов). Традиционный способ хеджирования реализуется по следующему правилу из формулы (16) (также именуемым МНК-подходом, поскольку полученный коэффициент (оптимальное хеджирующее соотношение) равен коэффициенту парной регрессии доходности срочного актива на доходность базового):

'-''лиз

где И* - оптимальное хеджирующее соотношение, сгСА5н - ковариация между доходностями базового и срочного активов; <угт - дисперсия доходности срочного актива;

Учитывая, что минимизировать ценовой риск возможно не только по средствам минимизации колебаний стоимости захеджированного портфеля как в формуле (16), так и через наложение непосредственных ограничений снизу на величину ценового риска, то автором предложена альтернативная постановка

задачи хеджирования ценового риска, которая предполагает использование формулы (17):

(ГП(а) | X) -> птт (17),

где X - позиция в срочном (хеджирующем) активе.

Определив порядок оценки момента структурного сдвига в копуле и описав постановки задач управления рыночным риском российских банков, при решении которых он будет использован, возникает потребность в определении порядка выбора наилучшей6 модели копула.

Обосновано, что выбор копулы производится по следующему набору индикаторов, рассчитанных на множестве экзаменующей (не обучающей) выборки: количество пробоев7 границы потерь рыночного риска; величина максимального пробоя границы потерь рыночного риска; среднеквадратическая ошибка ретроспективного прогноза величины рыночного риска; кумулятивная доходность рыночного риска; стандартного отклонение реализованного рыночного риска.

Перечисленные критерии формируют иерархическую систему, позволяющую путем их последовательного сопоставления для нескольких моделей копула выбрать наилучшую. Подробный порядок проведения такого сопоставления приводится в поном тексте диссертационного исследования.

После формулирования агоритма оценки момента структурного сдвига в копуле и порядка выбора наилучшей копулы в третьей главе Эмпирическая реализация. Сравнение с традиционными подходами проводится их апробация на российских данных. Вначале описывается выбор копулы для моделирования совместной динамики обменных курсов валют для решения задачи управления валютным риском, затем процентных ставок - для

6 Под наилучшей понимается модель копула, более точно прогнозирующая величину риска в трех описанных выше задачах управления рыночным риском российских банков.

Пробой - случай превышения фактической реализации риска над его оценкой, полученной по средствам метода оценки границы потерь риска ГП(а).

задачи управления процентным риском и котировок ценных бумаг и фьючерсов - для управления ценовым риском в операциях хеджирования.

При решении каждой из трех обозначенных задач управления рыночным риском результаты решения в предположении многомерной нормальности (подход 1) сравниваются с решением с использованием копулы (подход 2).

Перед решением задачи управления валютным риском был проведен анализ данных на предмет наличия структурного сдвига в копуле совместного распределения доходностей обменных курсов валют. Датой сдвига было определено 14 декабря 2006 г. Далее был исследован характер совместного распределения обменных курсов, которое не является распределением независимых случайных величин и не является гауссовским. Учитывая тенденции в совместной динамике обменных курсов, оно наилучшим образом описывается архимедовой копулой Гумбеля. Данная копула позволяет смоделировать факт того, что обратные обменные курсы иностранных валют по отношению к рублю РФ имеют тенденцию одновременно расти, нежели одновременно снижаться. При этом подход 2 на основе копул привел к получению систематически более высокого уровня доходности, чем подход 1, основанный на многомерной нормальности на рассмотренных данных.

Следующей решенной задачей была задача управления процентным риском. Перед ее решением массив данных был рассмотрен на предмет наличия структурного сдвига в копуле совместных распределений процентных ставок в рублях, доларах и евро. Структурные сдвиги в копулах были выявлены 3 декабря 2008 г., 17 июля 2008 г., 24 сентября 2008 г., соответственно. Эти даты поностью согласуются с динамикой ставок рефинансирования Центральных Банков соответствующих валютных зон как ключевых факторов, определяющих общий уровень процентных ставок в экономике.

Для цели моделирования совместной динамики риск-факторов процентного риска необходимо использовать копулу Гумбеля, так как совместное распределение доходностей процентных ставок носит асимметричный характер, причем подтверждено, что ставки более склонны

одновременно расти, нежели снижаться. Использование копулы при решении задачи оптимизации процентного риска на ретроспективном горизонте прогнозирования привело к тому, что суммарная доходность при подходе 2, основанному на копуле, оказалась в четыре раза выше, чем при подходе 1, предполагавшим многомерную нормальность распределения.

Далее было рассмотрено управление ценовым риском в операциях хеджирования. Перед ее решением также был проведен анализ данных на предмет наличия структурного сдвига в копуле, который был выявлен 28 апреля 2009 г. Следующим этапом было моделирование двумерных распределений доходностей котировок ценных бумаг и фьючерсов на них. Сильная взаимосвязь между крайними (редкими) реализациями доходностей для задач прямого хеджирования потребовала применения экстремальных копул (Коши, Галамбоса, Хайслера-Райса), тогда как менее значимая взаимосвязь в задаче перекрестного хеджирования была наилучшим образом смоделирована копулой Плаке. Применение копул (подход 2) к решению задачи прямого хеджирования по сравнению с подходом, предполагающим многомерную нормальность распределения (подход 1), привело к снижению волатильности стоимости захеджированного портфеля и к одновременному повышению суммарной доходности. 3. Основные результаты и выводы работы

1. На основе анализа существующих подходов по приложению моделей копула к управлению рыночным риском российских банков выявлены преимущества и недостатки существующих подходов.

2. Разработан агоритм поиска момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. В основе агоритма лежит принцип поиска максимальной дистанции Комогорова-Смирнова между эмпирическими копулами до и после момента структурного сдвига. Разработанный агоритм был успешно апробирован при исследовании совместных распределений факторов рыночного риска российской экономики. Обнаруженные даты структурных сдвигов в копуле многомерного распределения риск-факторов

поностью согласуются с датами принятия Центральными Банками соответствующих валютных зон ключевых решений об изменении ставок рефинансирования.

3. Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на минимизации уровня ценового риска хеджируемого портфеля, оцененного с помощью модели копула. Предложенная модель показала свою эффективность в терминах увеличения доходности и снижения стандартного отклонения стоимости захеджированного портфеля в задачах прямого хеджирования ценового риска в сравнении с традиционным способом хеджирования.

4. Определен перечень критериев, которые необходимо использовать для выбора наилучшей модели копула. В число критериев входят следующие: количество пробоев границы потерь рыночного риска; величина максимального пробоя границы потерь рыночного риска; среднеквадратическая ошибка ретроспективного прогноза величины рыночного риска; кумулятивная доходность рыночного риска; стандартное отклонение реализованного рыночного риска.

5. Разработана методология выбора наилучшей модели копула на основе ограниченного набора критериев, которая была успешно апробирована при решении задач управления рыночным риском российских банков (включая оптимизацию валютного и процентного рисков и хеджирование ценового риска). Критерии, перечисленные в п. 4, измеряются на наборе экзаменующей выборки данных, формируя иерархическую систему, что позволяет выбрать наилучшую модель копула методом последовательного сопоставления расчетных значений критериев.

6. Определены семейства копул, которые необходимо использовать при решении конкретных задач управления рыночным риском российского банка, позволяющих наилучшим образом смоделировать динамику соответствующих риск-факторов. При решении задачи оптимизации

валютного риска российского банка необходимо использовать копулу Гумбеля для совместного распределения доходностей обменных курсов иностранных валют к рублю РФ. При решении задачи управления процентным риском российского банка необходимо также использовать копулу Гумбеля для совместного распределения процентных ставок в рублях РФ. Для решения задачи прямого хеджирования ценового риска российского банка необходимо использовать экстремальные копулы (Коши, Галамбоса, Хайслера-Райса), а при решении задачи перекрестного хеджирования ценового риска российского банка - копулу Плаке.

Список публикаций по теме диссертации Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и пауки Российской Федерации:

1. Пеникас Г.И. Моделирование динамики рисков по Базелю II // Банковское Дело. 2010. № 11. С. 66 - 71 (0.24 п.л.) (в соавторстве с Андриевской И.К., Пильняком Н.П., вклад автора - 0.08 п.л.).

2. Пеникас Г.И. Модели копула в приложении к задачам финансов // Журнал Новой Экономической Ассоциации. 2010. № 7. С. 24 - 44 (1.2 п.л.).

3. Пеникас Г.И. Модели копула в управлении валютным риском банка // Прикладная эконометрика. 2010. № 1 (17). С. 62Ч87 (1.4 п.л.).

4. Пеникас Г.И. Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул // Прикладная эконометрика. 2009. №4 (16). С. 3Ч15 (0.66 п.л.) (в соавторстве с Бродским Б.Е., Сафарян И.А., вклад автора - 0.22 п.л.).

5. Пеникас Г.И. Управление процентным риском на основе копулы-САКСН моделей // Прикладная эконометрика. 2009. № 1 (13). С. 3Ч36 (1.5 п.л.) (в соавторстве с Симаковой В.Б., вклад автора - 0.75 п.л.).

6. Пеникас Г.И. Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка // Прикладная эконометрика. 2008. № 4 (12). С. 3-26(1 п.л.).

7. Пеникас Г.И. Риск рыночной ликвидности: вопросы практической оценки // Банковское дело. 2007. № 11. С. 74 - 80 (0.3 п.л.) (в соавторстве с Кучинским К., вклад автора -0.15 п.л.).

Другие работы, опубликованные по теме диссертации:

8. Пеникас Г.И. Прямое и перекрестное хеджирование риска на основе моделей КОПУЛА // Труды IX Международной конференции Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества. Москва, М.: ГУ-ВШЭ, 2010. С. 121 - 123 (0.1 п.л.).

9. Пеникас Г.И. Анализ математических моделей Базель II. М.: Физматлит, 2010. - 288 с. (18 п.л.) (в соавторстве с Алескеровым Ф.Т., Андриевской И.К., Солодковым В.М., вклад автора - 4.5 п.л.).

10. Пеникас Г.И. Особенности управления рыночным риском коммерческого банка на основе российских данных // Труды международной юбилейной сессии научного семинара "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов". М.: ЦЭМИ, 2009. С. 128 - 130 (0.1 п.л.).

11. Пеникас Г.И. Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка // Труды УП-ой международной школы-семинара "Многомерный статистический анализ и эконометрика". М.: ЦЭМИ, 2008. С. 137- 138 (0.1 п.л.).

Лицензия Р № 020832 от 15 октября 1993 г.

Подписано в печать л11 февраля 2011 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1.

Тираж 100 экз. Заказ № Типография издательства ГУ - ВШЭ, 125319, г. Москва, Кочновский пр-д, д. 3

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Пеникас, Генрих Иозович

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность вопроса.

Цель, объект, предмет и задачи исследования.

ГЛАВА 1. ГЕНЕЗИС ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ РЫНОЧНЫМ РИСКОМ БАНКА.

1.1. Традиционные подходы к решению задач управления рыночным риском банка.

1.1.1. Оптимизация валютного риска.

1.1.2. Оценка и оптимизация процентного риска.

1.1.3. Хеджирование ценового риска.

1.2. Теоретические основы моделей копула.

1.2.1. Двумерные копулы.

1.2.2. Многомерные копулы.

1.2.3. Способы оценки и проверки статистической значимости моделей копула.

1.3. Неадекватность предпосыки о многомерном нормальном распределении.

1.4. Применение моделей копула к задачам управления рыночным риском банка.

1.4.1. Оптимизация валютного риска.

1.4.2. Оценка процентного риска.

1.4.3. Хеджирование ценового риска.

1.5. Краткий обзор альтернативных моделей.

ГЛАВА 2.ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.1. Оценка структурного сдвига в копулах.

2.1.1. Постановка задачи и метод решения.

2.1.2. Утверждение 1. Определение вероятности ошибки Iрода.

2.1.3. Утверэ/сдение 2. Определение вероятности ошибки IIрода.

2.1.4. Экспериментальное тестирование метода.

2.2. Методология решения задач управления рыночным риском на основе копу л.

2.2.1. Статическая оптимизация валютного риска.

2.2.2. Динамическая оптимизация процентного риска.

2.2.3. Динамическое хеджирование ценового риска.

2.3. Критерии выбора наилучшей модели.

ГЛАВА 3.ЭМПИРИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ. СРАВНЕНИЕ С

ТРАДИЦИОННЫМИ ПОДХОДАМИ.

3.1. Статическая оптимизация валютного риска.

3.2. Динамическая оптимизация процентного риска.

3.3. Динамическое хеджирование ценового риска.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Модели "копула" в управлении рыночным риском российских банков"

Актуальность вопроса

В 2006 г. Базельский Комитет по банковскому надзору опубликовал документ Базель II [6], описывающий порядок оценки рисков для цели расчета достаточности капитала банков. Основным нововведением стала возможность использования вероятностных (внутрибанковских, ШВ) моделей для оценки отдельных рисков банка.

По результатам событий кризисного периода базельский комитет опубликовал рекомендации по видам подходов, которые более предпочтительны для целей расчета совокупного риска банка в рамках Базель II. Так эксперты Базельского Комитета проранжировали все способы оценки рисков по возрастанию сложности, гибкости и

1 Перевод и курсив автора. Оригинальная версия текста следующая: л. institutions either needed to do more work in this area, or were not yet sophisticated enough to model diversification benefits using more promising approaches, such as copulas (подробнее см. рекомендации базельского комитета по агрегированию рисков [5], р. 25). одновременно предпочтительности при использовании риск-менеджерами (см. обзор Базельского Комитета практик оценки экономического капитала [7], р. 28):

1) суммирование рисков;

2) метод простой диверсификации ;

3) дисперсионно-ковариационный подход;

4) модели копула;

5) поное моделирование зависимостей рисков (метод имитационного моделирования)3;

Таким образом, моделям копула отдано предпочтения перед наиболее распространенными в банковской практике подходами (суммирование, простая диверсификация и дисперсионно-ковариационный подход).

В октябре 2010 г. Базельский Комитет обобщил основные наблюдения по вопросам агрегирования рисков и вынес их в отдельных документ Развитие подходов к моделированию агрегирования рисков, особенно выделив преимущества, получаемые от применения моделей копула (см. рекомендации Базельского Комитета по агрегированию рисков [5], р. 76 -82).

Центральный Банк РФ ведет активную работу по внедрению соглашения Базель II в банковской системе России, вероятные последствия на достаточность капитала всей системы были оценены в работе Андриевской и колег [12]. Так если 20 октября 2009 г. первый заместитель председателя Банка России Геннадий Меликьян отметил

2 Подход простой диверсификации отличается от метода суммирования тем, что предполагает наличие заранее известной доли экономии риска при суммировании (так называемой выгоды от диверсификации).

3 Подход предполагает выявление общих факторов риска и построение общей модели зависимости совокупного риска от движения риск-факторов. По мнению экспертов базельского комитета метод является чрезвычайно затратным по ресурсам (включая временные). намерение ввести Базель II с 1 июля 2010 г. (цит. по работе Алескерова и др. [10], с. 27), то 21 июля 2010 г. были уже опубликованы4 результаты обследования крупнейших банков на предмет их готовности к внедрению внутрибанковских моделей в части кредитного риска.

Заметим, что если вопросы риск-менеджмента получили достаточно широкое и глубокое освещение в российском научном сообществе (см. например, работы Смирнова [23], [24], [25], Шоломицкого [28], Алескерова и др. [10]), то приложению моделей копула посвящено лишь несколько работ (например, Алексеева и др. [9], Фантаццини [26]).

Поэтому ввиду инициатив Банка России и рекомендаций Базельского Комитета по банковскому надзору возникает потребность в выработке вероятностных моделей (включая модели копула), которые позволят более корректно оценивать риски банков по сравнению с подходами, основанными на предположении совместного нормального закона распределения.

Цель, объект, предмет и задачи исследования

Хотя модели копула уже нашли успешное применение при моделировании природных явлений (например, по океанологии и гидрологии см. работы Дэ Мишели [59], Женеста и Фавре [70]), при исследовании способов перемешивания данных как способа защиты базы данных (подробнее см. Сарати и др. [142]), при анализе микроэкономических данных (см. статьи Смита [149], Джиниуса и Старццеры [78], Сана [150], Кима и др. [94]), учитывая рекомендации Базельского Комитета по подходам к агрегированию рисков [5] и инициативы Банка России, их приложение к управлению рисками требует допонительной проработки, особенно в части управления рыночными рисками российских коммерческих банков.

4 Источник: Ссыка на домен более не работаетnewspapcr/articlc/2010/07/21 /241160; Ссыка на домен более не работаетtodav/PIC/GAP.pdf

Цель исследования состоит в разработке инструмента управления рыночными рисками российского банка на основе использования моделей копула, позволяющего по сравнению с традиционно используемыми подходами дать более точную оценку рисков при восстановлении совместных распределений доходностей риск-факторов.

Задачи исследования включают в себя:

1) Анализ литературы для систематизации существующих подходов к приложению моделей копула в задачах управления рыночным риском.

2) Разработка агоритма поиска момента структурного сдвига в копуле, разделяющего выборку на две части, однородные в терминах копулы совместного распределения.

3) Разработка методологии, позволяющей на основе ограниченного набора критериев выбрать наилучшую модель копула для каждой из трех вышеперечисленных задач управления рыночным риском российского банка.

4) Моделирование совместного распределения доходностей риск-факторов российской экономики для корректного решения выбранных задач управления рыночным риском российского банка. Объектом исследования выбраны рыночные риски российских банков, т.е. вероятные убытки (прибыли) от изменения таких рыночных факторов риска (риск-факторов), как обменные курсы валют (валютный риск), процентные ставки (процентный риск), котировки ценных бумаг (ценовой, или фондовый, риск).

Предметом исследования выступают способы моделирования многомерных распределений доходности (приростов значений за период) для факторов риска в трех задачах управления ими (оптимизация валютного и процентного рисков; хеджирование ценового риска).

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Пеникас, Генрих Иозович

Основные выводы о приложении моделей копула для хеджирования фондового риска банка

Проведенное исследование показало, что применение моделей копула позволяет повысить эффективность операций прямого хеджирования по сравнению с применением моделей, основанных на предпосыке двумерного гауссовского закона распределения доходностей хеджируемого и хеджирующего инструментов. Результатом повышения эффективности является снижение волатильности финансового результата от изменения стоимости захеджированного портфеля и одновременное повышение суммарного финансового результата от хеджирования. Объяснением такого феномена является то, что при использовании метода МНК предполагается элипсообразный характер гауссовского распределения доходностей, минимизация степени разброса которого накладывает ограничения на уровень достижимой доходности от операций хеджирования.

При этом автор отдает себе отчет в том, что предложенная модель несовершенна, поскольку основана на трех допущениях и одном ограничении. Во-первых, предполагается, что возможность хеджирования (прямого и перекрестного) существует бесконечно; во-вторых, что операции хеджирования не обременяют их инициировавшего агента издержками ликвидности; и, в-третьих, что контрагент по такой сдеке сможет в любой момент испонить свои обязательства по срочному контракту. Так в практической деятельности, с одной стороны, использование фьючерсных (биржевых) контрактов действительно защищает агента от третьей проблемы неплатежеспособности контрагента, так как биржа на ежедневной основе использует механизм перечисления вариационной маржи (равной изменению стоимости срочного контракта за торговый день) от контрагента с отрицательной переоценкой срочного контракта к контрагенту с положительной. Тем не менее, именно в данном случае возникают издержки ликвидности, поскольку в отдельные моменты времени агенту, проводящему операции хеджирования, могут потребоваться значительные денежные суммы на перечисление вариационной маржи. С другой стороны, использование форвардных (внебиржевых) контрактов не обременяет контрагентов такими издержками ликвидности. Как правило, в качестве залога по операциям одним из контрагентов вносится залоговый (маржинальный) депозит (аналог вариационной маржи), на который начисляются проценты, и который попоняется только при значительном изменении ожидаемых рисков неиспонения обязательства. При этом риск неплатежа (третья обозначенная проблема) возникает именно в такой момент, когда требуется существенное попонение маржинального депозита.

Существенным же ограничением модели является предположение о том, что всегда существует возможность захеджировать (минимизировать) риск изменения стоимости актива, переложив его на другого контрагента в результате заключения с ним сдеки купли-продажи хеджирующего инструмента. Тем не менее, при условии эффективности операций хеджирования отдельных экономических агентов существует конечный агент (будь то правительство или налогоплательщики), который несет непередаваемое бремя изменения стоимости активов, поскольку он не имеет возможности данный риск минимизировать, переложив его еще на кого-либо.

Поэтому в свете имевшей место турбулентности на финансовых рынках особый интерес сейчас может представлять изучение системного риска, риска, который может быть передан от одного агента другому, но не может быть выведен из всей экономической системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе анализа существующих подходов по приложению моделей копула к управлению рыночным риском российских банков выявлены преимущества и недостатки существующих подходов.

2. Разработан агоритм поиска момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. В основе агоритма лежит принцип поиска максимальной дистанции Комогорова-Смирнова между эмпирическими копулами до и после момента структурного сдвига в копуле совместного распределения. Разработанный агоритм был успешно апробирован при исследовании совместных распределений факторов рыночного риска российской экономики. Обнаруженные даты структурных сдвигов в копуле многомерного распределения риск-факторов поностью согласуются с датами принятия ключевых решений Центральными Банками соответствующих валютных зон решений об изменении ставки рефинансирования.

3. Предложена новая постановка задачи хеджирования, основанная на минимизации уровня ценового риска хеджируемого портфеля, оцененного с помощью модели копула. Предложенная модель показала свою эффективность путем увеличения доходности и снижения стандартного отклонения стоимости захеджированного портфеля в задачах прямого хеджирования ценового риска в сравнении с традиционным способом хеджирования, имеющим целью минимизировать стандартное отклонение стоимости захеджированного портфеля.

4. Определен перечень критериев, которые необходимо использовать для выбора наилучшей модели копула. В число критериев входят следующие: количество пробоев границы потерь рыночного риска; величина максимального пробоя границы потерь рыночного риска; среднеквадратическая ошибка ретроспективного прогноза величины рыночного риска; кумулятивная доходности рыночного риска; стандартного отклонение реализованного рыночного риска.

5. Разработана методология выбора наилучшей модели копула на основе ограниченного набора критериев, которая была успешно апробирована при решении задач управления рыночным риском российских банков (включая оптимизацию валютного и процентного рисков и хеджирование ценового риска). Критерии, перечисленные в п. 4, измеряются на наборе экзаменующей выборки данных, не обучающей, формируя иерархическую * систему, которая методом последовательного сопоставления расчетных значений критериев позволяет выбрать наилучшую модель копула.

6. Определены семейства копул, которые необходимо использовать при решении конкретных задач управления рыночным риском российского банка, позволяющих наилучшим образом смоделировать динамику соответствующих риск-факторов.

При решении задачи оптимизации валютного риска российского банка необходимо использовать копулу Гумбеля для совместного распределения доходностей обменных курсов иностранных валют к рублю РФ, что соответствует тенденции данных обменных курсов одновременно расти, но не одновременно падать, что имело место в России в период девальвации национальной валюты осенью 2008 г. -весной 2009 г.;

При решении задачи управления процентным риском российского банка необходимо использовать копулу Гумбеля для совместного распределения процентных ставок в рублях РФ, что позволяет смоделировать тенденцию процентных ставок одновременно повышаться, но не одновременно снижаться, что наблюдалось осенью 2008 г. в период кризиса ликвидности на межбанковском рынке России;

Для решения задачи прямого хеджирования ценового риска российского банка необходимо использовать экстремальные копулы (Коши, Галамбоса, Хайслера-Райса) для совместного распределения доходностей котировок активов и фьючерсов на них, что отражает тенденцию котировок на ценные бумаги и фьючерсные контракты на те же ценные бумаги одновременно резко падать и одновременно резко расти, что наблюдалось в период массового обесценения финансовых активов на фондовых рынках (весной -осенью 2008 г.).

При решении задачи перекрестного хеджирования ценового риска российского банка необходимо использовать копулу Плаке при моделировании совместного распределения доходностей актива и фьючерсов на аналогичные ему активы.

Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Пеникас, Генрих Иозович, Москва

1. Инструкция ЦБ РФ от 15 июля 2005 г. N 124-И Об установлении размеров (лимитов) открытых валютных позиций, методике их расчета и особенностях осуществления надзора за их соблюдением кредитными организациями.

2. Положение ЦБ РФ № 215-П от 10 февраля 2003 г. О методике определения собственных средств (капитала) кредитной организации.

3. Положение ЦБ РФ № 313-П от 14 ноября 2007 г. О порядке расчета кредитными организациями величины рыночного риска.

4. BCBS. Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks. 1996. Ссыка на домен более не работаетpubl/bcbsl 19.pdf

5. BCBS. Developments in Modelling Risk Aggregation. Joint Forum. 2010. http: // www. b i s. о r g/publ /j oint2 5 .pdf

6. BCBS. International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. Comprehensive version. 2006. Ссыка на домен более не работаетpubl/bcbsl28.pdf

7. BCBS. Range of practices and issues in economic capital frameworks. 2009. Ссыка на домен более не работаетpubl/bcbs 152.pdf

8. International Accounting Standard 39. Financial Instruments: Recognition and Measurement. IASCF. 2008.

9. Научные статьи и монографии

10. Алексеев В.В., Шоколов В.В., Соложенцев Е.Д. Логико-вероятностное моделирование портфеля ценных бумаг с использованием копул // Управление финансовыми рисками. 2006. №3. С. 272-283.

11. Алескеров Ф.Т., Андриевская И.К., Пеникас Г.И., Солодков В.М. Анализ математических моделей Базель II. М.: Физматлит, 2010. Ч 288 с.

12. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз 1963.

13. Андриевская И.К., Пеникас Г.И., Пильник Н.П. Моделирование динамики рисков по Базелю II // Банковское Дело. 2010. № 11. С. 66 -71.

14. Бродский Б.Е., Пеникас Г.И., Сафарян И.А. Обнаружение структурных сдвигов в моделях копул // Прикладная эконометрика. 2009. №4 (16). С. 3Ч15.

15. Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А. Кривая бескупонной доходности на рынке ГКО-ОФЗ // Рынок ценных бумаг. 2006. № 3.

16. Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А., Никитин А. Оценка срочной структуры процентных ставок // Рынок ценных бумаг. 2004. № 11, 13.

17. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов // Экономический журнал ВШЭ. 2002. № 1. С. 85 116; № 2. С. 251 - 272; № 3. С. 379 - 401; № 4. С. 498-523.

18. Кучинский К., Пеникас Г. Риск рыночной ликвидности: вопросы практической оценки // Банковское дело. 2007. № 11. С. 74 80.

19. Пеникас Г.И. Модели копула в управлении валютным риском банка // Прикладная эконометрика. 2010. № 1 (17). С. 62Ч87.

20. Пеникас Г.И. Модели копула в приложении к задачам финансов // Журнал Новой Экономической Ассоциации. 2010. № 7. С. 24 44.

21. Пеникас Г.И., Симакова В.Б. Управление процентным риском на основе копулы-ОАЯСН моделей // Прикладная эконометрика. 2009. № 1 (13). С. 3Ч36.

22. Пеникас Г.И. Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка // Прикладная эконометрика. 2008. № 4 (12). С. 3 26.

23. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

24. Смирнов С.Н. Кредитные риски: сравнительный анализ подходов Базеля II по достаточности капитала // Банковское дело. 2008. № 10.

25. Смирнов С.Н. Риски рыночной ликвидности: измерение и управление // Международная конференция Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков. Москва. 2004.

26. Смирнов С.Н., Дзигоева Е.С., Скворцов А.А. Адекватность капитала по отношению к рыночным рискам: соотношение стандартной методики и внутренних моделей // Управление финансовыми рисками. 2006. №1.

27. Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском // Прикладная эконометрика. 2008. № 2 (10). С. 91 137; № 3 (11). С. 87 - 122; № 4 (12). С. 84 - 138.

28. Фукс Л. Частично упорядоченные агебраические системы. М.: Мир, 1965.

29. Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М.: ГУ-ВШЭ, 2005.

30. Aas К., Czado С., Frigessi A., Bakken Н. Pair-copula construction of multiple dependence // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. № 44. P. 182- 198.

31. Adam A., Houkari M., Laurent J.-P. Spectral risk measures and portfolio selection. 2007. Ссыка на домен более не работаетp>

32. Alexander C., Pezier J. Assessment and Aggregation of Banking Risks // 9th Annual Round Table International Financial Risk Institute (IFCI). 2003.Ссыка на домен более не работаетlibraryJournalview.asp?journalid=6828

33. Anderson Т., Darling D. A Test of Goodness-of-Fit // Journal of The American Statistical Association. 1954. № 49 (268). P. 765 769.

34. Andrade J., Da Fonseca J. Co-Integration and VAR Analysis of the Term Structure of Interest Rates. An Empirical Study of the Portuguese Money and Bond Markets. 1997. Ссыка на домен более не работаетworkingpapers/pdf/1997/gemf972.pdf

35. Ane Th., Kharoubi C. Dependence Structure and Risk Measure // Journal of Business. 2003. № 3 (76). P. 411 438.

36. Bangia A., Diebold F.X., Stroughair J.D. Modeling Liquidity Risk, With Implications for Traditional Market Risk Measurement and Management. Wharton. 1999. fic.wharton.upenn.edu/fic/papers/99/9906.pdf

37. Bauwens L., Laurent S., Rombouts J. Multivariate GARCH models: a survey // Journal of Applied Econometrics. 2006. № 1 (21). P. 79-109.

38. Bauwens L., Omrane W., Rengifo E. Intra-Daily FX Optimal Portfolio Allocation. 2006.www.core.ucl.ac.be/econometrics/Bauwens/papers/2006-10.pdf

39. Benninga S., Wiener Z. Term Structure of Interest Rates // Mathematica in Education and Research. 1998. № 2 (7). P. 1 9.

40. Berg D. Copula goodness-of-fit testing: An overview and power comparison. 2009. Ссыка на домен более не работаетdunder/research.php

41. Bouye E. Multivariate Extremes at Work for Portfolio Risk Measurement. 2002. Ссыка на домен более не работаетabstract= 1272351

42. Bouye E., Durrleman V., Nikeghbali A., Riboulet G., Roncalli T. Copulas for Finance. A Reading Guide and Some Applications. 2000. http ://s srn. com/ab stract= 1032533

43. Breymann W., Dias A., Embrechts P. Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance // Quantitative Finance. 2003. № 3. P. 1-14.

44. Busetti F., Harvey A. When is Copula Constant? A Test for Changing Relationships. 2008. CWPE 0841. Ссыка на домен более не работаетdae/repec/cam/pdf/cwpe0841.pdf

45. Cardin M., Manzi M. A Copula-based Approach to Aggregation Functions. 2006. Ссыка на домен более не работаетp/vnm/wpaper/139.html

46. Cecchetti S., Cumby R., Figlewski S. Estimation of the Optimal Futures Hedge // The Review of Economics and Statistics. 1988. № 4 (70). P. 623-630.

47. Cech C. Copula-Based Top-Down Approaches in Financial Risk Aggregation. 2006. Ссыка на домен более не работаетabstract=953888

48. Chang E., Wong K-P. Cross-Hedging with Currency Options and Futures // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. 2003. № 3 (38). P. 555 -574.

49. Cherubini U., Luciano E. Multivariate option pricing with copulas. 2000. Ссыка на домен более не работаетabstract=269868

50. Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. Copula Methods in Finance. N.Y.: John Wiley & Sons Ltd. 2004.

51. Chllete L., Heinen A. Frequent Turbulence? A Dynamic Copula Approach. 2006. Ссыка на домен более не работаетabstract=968923

52. Choudhry T., Wu IT. Time-Varying Beta and Forecasting UK Company Stock Returns: GARCH Models vs Kalman Filter Method. 2007. Ссыка на домен более не работаетabstract=963452

53. Clayton D. A Model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. Biometrica. 1978. № 65. P. 141 151.

54. Clemen R., Reilly T. Correlations and Copulas for Decision and Risk Analysis // Management Science. 1999. № 2 (45). P. 208 224.

55. Cook R. D., Johnson M. E. A family of distributions for modeling non-elliptically symmetric multivariate data // Journal of the Royal Statistical Society. 1981. №43. P. 210-218.

56. Cox J., Ingersoll J., Ross S. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica. 1985. № 2 (53). P. 385 408.

57. Cui S., Sun Y. Checking for the gamma frailty distribution under the marginal proportional hazards frailty model // Statistica Sinica. 2004. № 14. P. 249-267.

58. Dai Q., Philippon T. Fiscal Policy and the Term Structure of Interest Rates. 2004. Ссыка на домен более не работаетabstract=640582

59. Dai Q., Singleton K. Specification Analysis of Affine Term Structure Models. 1998. Ссыка на домен более не работаетabstract=139422

60. De Michele C., Salvadori G., Passoni G., Vezzoli R. A Multivariate Model of Sea Storms Using Copulas // Coastal Engineering. 2007. № 54. P. 734-751.

61. Diebold F., Li C. Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields. PIER Working Paper 02-026. 2002. Ссыка на домен более не работаетabstract=325300

62. Dobric J., Schmid F. Testing goodness of fit for parametric families of copulas: Application to financial data // Communications in statistics. Simulation and Computation. 2005. № 34. P. 1053-1068.

63. Dobric J., Schmid F. A goodness of fit test for copulas based on Rosenblatt's transformation // Computational Statistics and Data Analysis. 2007. № 51. P. 4633-4642.

64. Duffie D., Kan R. A Yield-Factor Model of Interest Rates // Mathematical Finance. 1996. № 4 (6). P. 376 406.

65. Embrechts P., McNeil A., Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls. 1999. Ссыка на домен более не работает~strauman/preprints/pitfalls.pdf

66. Fantazzini D. The effects of misspecified marginals and copulas on computing the value at risk: A Monte Carlo study // Computational Statistics and Data Analysis. 2009. № 6 (53). P. 2168-2188.

67. Fantazzini D. Dynamic Copula Modelling for Value at Risk // Frontiers in Finance and Economics. 2008. № 2 (5). P. 1-38.

68. Fermanian J., Scaillet O. Nonparametric estimation of copulas for time series // Journal of Risk. 2003. № 4 (5). P. 25-54. www.hec.unige.ch/scaillet/riskmngt/copula.pdf

69. Frank M. J. On the simultaneous associativity of F(x, y) and xyF(x, y) //Aequationes Mathematica. 1979. № 19. P. 194-226.

70. Frees E., Valdez E. Understanding Relationships Using Copulas // North American Actuarial Journal. 1998. № 1 (2). P. 1-25.

71. Genest C., Favre A.-C. Everything you always wanted to know about copula modeling but were afraid to ask // Journal of Hydrologic Engineering. 2007. № 12. P. 347-368.

72. Genest C. Frank's Family of Bivariate Distributions // Biometrika. 1987. № 3 (74). P. 549 555.

73. Genest C., Ghoudi K., Rivest L.-P. Discussions of papers already published: "Understanding relationships using copulas", by E. Frees and E.Valdez // North American Actuaran Journal. 1998. № 2 (3). P. 143-149.

74. Genest C., MacKay R. J. Copules archimediennes et families de lois bidimensionnelles dont les marges sont donnees // The Canadian Journal of Statistics. 1986. № 2 (14). P. 145 159.

75. Genest C., Neslehov J. A Primer on Copulas for Count Data // Astin Bulletin. 2007. № 2 (37). Ссыка на домен более не работаетLIBRARY/ASTIN/vol37no2/475.pdf

76. Genest C., Quessy J.F., Remillard B. Goodness-of-fit procedures for copula models based on the integral probability transformation // Scandinavian Journal of Statistics. 2006. 33. P. 337-366.

77. Genest C., Remillard B., Beaudoin D. Goodness-of-ft tests for copulas: a review and a power study // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. № 2 (44). P. 199-213.

78. Genest C., Remillard B. Tests of Independence and Randomness Based on the Empirical Copula Process // Test. 2004. № 2. P. 335 369.

79. Genius M., Strazzera E. The Copula Approach to Sample Selection Modelling: An Application to the Recreational Value of Forests. 2004. Ссыка на домен более не работаетabstract=546522

80. Ghosh A. Cointegration and Error Correction Models: Intertemporal Causality between Index and Futures Prices // The Journal of Futures Markets. 1993. № 2 (13). P. 193-198.

81. Ghoudi K., Khoudraji A., Rivest L.-P. Proprits statistiques des copules des valeurs extremes bidiminsionnelles // The Canadian Journal of Statistics. 1998. № 1 (26). P. 187- 197.

82. Glidden D.V. Checking the adequacy of the gamma frailty model for multivariate failure times // Biometrica. 1999. № 86. P. 381-393.

83. Gumbel E. J. Bivariate exponential distributions // Journal of the American Statistical Association. 1960. № 55. P. 698-707.

84. Harvey A. Dynamic Distributions and Changing Copulas. 2008. CWPE 0839. Ссыка на домен более не работаетdae/repec/cam/pdf/cwpe0839.pdf

85. Hennessy D., Lapan H. The Use of Archimedean Copulas to Model Portfolio Allocations // Mathematical Finance. 2002. № 12. P. 143-154.

86. Hofert M. Sampling Archimedean Copulas // Computational Statistics and Data Analysis. 2008. № 52. P. 5163 5174.

87. Houle M. The Relevant-Set Correlation Model for Data Clustering. 2008. www.siam.org/proceedings/datamining/2008/dm0870-houle-rev.pdf

88. Hsu Ch.-Ch., Tseng Ch.-P., Wang Y.-H. Dynamic Hedging with Futures: A Copula-based GARCH Model. 2007. Ссыка на домен более не работаетabstract= 1083890

89. Huffer F., Park C. A Test for elliptical symmetry // Journal of Multivariate Analysis. 2007. № 98. P. 256 281.

90. Joe H. Multivariate Models and Dependence Concepts, Monographs on Statistics and Applied Probability 73. Chapman and Hall. London. 1997.

91. Jouanin J.-F., Ribouler G., Roncalli Th. Financial Applications of Copula Functions // Szego G. (ed). Risk Measures for the 21st Centuiy. 2004. Ссыка на домен более не работаетabstractЧ1 032588

92. Junker M., May A. Measurement of aggregate risk with copulas // The Econometrics Journal. 2005. № 8. P. 428-454.

93. Junker M., Szimayer A., Wagner N. Nonlinear Term Structure Dependence: Copula Functions, Empirics, and Risk Implications. 2003. Ссыка на домен более не работаетabstract-407240

94. Kalman R. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of basic Engineering. 1960. № 82. P. 34 45.

95. Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas // Computational Statistics and Data Analysis. 2007. № 51. P. 2836-2850.

96. Kiwitt S., Neumeyer N. Nonparametric copula density estimation: testing for independence and other applications. University of Hamburg. 2008. www.math.uni-hamburg.de/research/papers/prst/prst2008-02.pdf

97. Kole E., Koedijk K., Verbeek M. Selecting Copulas for Risk Management. 2006. Ссыка на домен более не работаетabstract-920870

98. Kyle A.S. Continuous Auctions and Insider Trading // Econometrica. 1985. №53. P. 1315 1335.

99. Laforge Ch. Construction of multivariate copulas and the compatibility problem. 2008. Ссыка на домен более не работаетabstract-956041

100. Laforge Ch. M-Pivot copulas: Multivariate copulas defined on their 2-margins. 2008. Ссыка на домен более не работаетabstract-977991

101. Lai Y., Chen C., Gerlach R. Optimal dynamic hedging via copula-threshold-GARCH models // Mathematical Computation and Simulation. 2009. № 79 (8). P. 2609-2624.

102. Laurent J.-P., Gregory J. Basket Default Swaps, CDO's and Factor Copulas. 2003. Ссыка на домен более не работаетp>

103. Liebscher E. Semiparametric density estimators using copulas // Communications in Statistics Theory and Methods. 2005. № 34. P. 59 -71.

104. Liebscher E. Construction of asymmetric multivariate copulas // Journal of Multivariate Analysis. 2008. № 99. P. 2234 2250.

105. Lien D. Cointegration and the optimal hedge ratio: the general case // The Quarterly Review of Economics and Finance. 2004. № 44. P. 654-658.

106. Lintner J. The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // The Review of Economics and Statistics. 1965. № 47. P. 13-37.

107. Lintner J. Securities Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification // The Journal of Finance. 1965. № 40. P. 587-615.

108. Longin F., Solnik B. Correlation Structure of International Equity Markets During Extremely Volatile Periods. Mimeo. Group HEC. 1998. Ссыка на домен более не работаетvar/fre/storage/original/application/ed3704c78bea6863 If4dc769d554aled.pdf

109. Malevergne Y., Sornette D. Testing the Gaussian copula hypothesis for financial assets dependencies // Quantitative Fianance. 2003. № 3. P. 231250.

110. Markowitz H. Foundations of Portfolio Theory. Nobel Lecture. December 7. 1990. Ссыка на домен более не работаетnobelprizes/economics/laureates/1990/markowitz-lecture.pdf

111. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. № 7. P. 7791.

112. Masala G., Menzietti M., Micocci M. Pricing credit derivatives with a copula-based actuarial model for credit risk // Economia. Societa ed istituzioni. 2005. № 1 (5). P. 79-102. Ссыка на домен более не работаетabstract=968682

113. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. Quantitative Risk Management, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2005.

114. Mello A., Parsons J. Hedging and Liquidity // The Review of Financial Studies. 2000. № 1 (13). P. 127-153.

115. Merton R. An Intertemporal Capital Asset Pricing Model // Econometrica. 1973. №41. P. 867-887.

116. Merton R. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous Time Case // Review of Economics and Statistics. 1969. № 51. P. 247-257.

117. Merton R. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model // Journal of Economic Theory. 1971. № 3. P. 373-413.

118. Meucci A. Estimation of Structured t-Copulas. 2008. www.symmys.com

119. Modugno M., Nikolaou K. The forecasting power of international yield curve linkages. 2007. Ссыка на домен более не работаетabstract== 1095369

120. Mnch E. Forecasting the Yield Curve in a Data-Rich Environment: A No-Arbitrage Factor-Augmented VAR Approach. 2006. Ссыка на домен более не работаетabstract=676909

121. Morone M., Cornaglia A., Mignola G. Economic Capital Assessment via Copulas: Aggregation and Allocation of Different Risk Types. 2007. Ссыка на домен более не работаетResources/MignolaGiulio 1 .pdf

122. Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica. 1966. №34. P. 768-783.

123. Mossin J. Optimal Multiperiod Portfolio Policies // The Journal of Business. 1968. № 41. P. 215-229.

124. Myers R., Hanson S. Optimal Dynamic Hedging in Unbiased Futures Markets // American Journal of Agricultural Economics. 1996. № 1 (78). P. 13-20.

125. Natale F. Optimization With Tail-Dependence and Tail Risk: A Copula Based Approach For Strategic Asset Allocation. 2006. Ссыка на домен более не работаетabstract:=942275

126. Nelsen R. An Introduction to Copulas. Second Edition. Springer. New York. 2006.

127. Nelson C., Siegel A. Parsimonious Modeling of Yield Curves // The Journal of Business. 1987. № 4 (60). P. 473 489.

128. Ng W. Modeling duration clusters with dynamic copulas // Finance Research Letters. 2008. № 5. P. 96 103.

129. Nikoloulopoulos A., Karlis D. Copula Model Evaluation Based on Parametric Bootstrap // Computational Statistics and Data Analysis. 2008. №52. P. 3342-3353.

130. Okhrin O., Okhrin Y., Schmid W. Properties of Hierarchical Archimedean Copulas. SFB 649 Discussion Paper 2009-014. 2009. Ссыка на домен более не работаетpapers/pdf/SFB649DP2009-014.pdf

131. Pages H. Interbank Interest Rates and The Risk Premium. BIS WP № 81. 1999. Ссыка на домен более не работаетpubl/work81.pdf

132. Patel K., Pereira R. The Determinants of Default Correlations // Advances in Econometrics: Econometrics and Risk-Management. 2008. № 22. P. 123-158.

133. Patton A. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence // International Economic Review. 2006. № 2 (47). P. 527 556.

134. Perron P. Dealing with Structural Breaks // Palgrave Handbook of Econometrics. 2005. №1. Ссыка на домен более не работаетperron/papers/dealing.pdf

135. Pooter M., Ravazzolo F., Van Dijk D. Predicting the Term Structure of Interest Rates. Incorporating parameter uncertainty, model uncertainty and macroeconomic information. 2007. Ссыка на домен более не работаетabstract=967914

136. Prefontaine J., Desrochers J. How Useful Are Banks' Earnings-At-Risk and Economic Value Of Equity-At-Risk Public Disclosures? // International Business & Economics Research Journal. 2006. № 5 (9). P. 87-94.

137. Remillard B., Scaillet O. Testing for Equality Between Two Copulas // Journal of Multivariate Analysis. 2009. № 100. P. 377 386.

138. RiskMetrics. Technical Document. J.P.Morgan/Reuters. Fourth Edition. New York. 1996.

139. Rosenberg J., Schuermann T. A. General Approach to Integrated Risk Management with Skewed, Fat-Tailed Risks // Journal of Financial Economics. 2006. № 79. P. 569-614.

140. Rosenblatt M. Remarks on a Multivariate Transformation // The Annals of Mathematical Statistics. 1952. № 3 (23). P. 470-472.

141. Samuelson P. Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming // Review of Economics and Statistics. 1969. № 51. P. 239246.

142. Sanddorf-Koehle W., Friedmann R. A conditional distribution model for limited stock index returns // Econometric Society 2004 Far Eastern Meetings 437, Econometric Society. 2004. Ссыка на домен более не работаетp/ecm/feam04/437.html

143. Sarathy R., Muralidher K., Parsa R. Pertubating Nonnormal Confidental Attributes: The Copula Approach // Management Science. 2002. № 12 (48). P. 1613- 1627.

144. Savu C., Ng W. The SCoD Model: Analyzing Durations with a Semiparametric Copula Approach // International Review of Finance. 2005. № 1-2 (5). P. 55-74.

145. Savu C., Trede M. Hierarchical Archimedean Copulas. Munster. 2006. www.uni-konstanz.de/micfmma/conference/Files/papers/SavuTrede.pdf

146. Savu C., Trede M. Goodness-of-fit test for parametric families of Archimedean copulas // Quantitative Finance. 2008. № 2 (8). P. 109 -116.

147. Shih J.H. A goodness-of-fit test for association of bivariate survival model //Biometrica. 1998. № 85. P. 189-200.

148. Slclar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges. Publications de 1'Institu de Saisique de l'Universite de Pars. 1959. № 8.P. 229-31.

149. Sklar A. Random Variables, Disribuion Functions, and Copulas: Personal Look Backward and Forward // Lecture Notes-Monograph Series. 1996. №28. P. 1 14.

150. Smith M. Modelling sample selection using Archimedean copulas // Economeirics Journal. 2003. № 6. P. 99 123.

151. Sun J., Frees E,, Rosenberg M. Heavy-tailed longitudinal data modeling using copulas // Insurance: Mathematics and Economics. 2008. № 42. P. 817-830.

152. Tang A., Valdez E. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. Sydney. 2006. www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf

153. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Toward Risk // Review of Economic Studies. 1958. № 26. P. 65-86.

154. Tsukahara H. Semiparametric estimation in copula models // The Canadian Journal of Statistics. 2005. № 3 (33). P. 357-375.

155. Representatives, GAO/GGD-98-153. 1998. URL: www.gao.gov/cgi-bin/getrpt?GGD-98-153.

156. Van den Goorbergh R., Genest C., Werker B. Bivariate option pricing using dynamic copula models // Insurance: Mathematics and Economics. 2005. №37. P. 101-114.

157. Vasicek O.A. An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of Financial Economics. 1977. № 5. P. 177 188.

158. Wang Sh. Discussions of papers already published: "Understanding relationships using copulas", by E. Frees and E.Valdez, Jan. 1998 // North American Actuaran Journal. 1999. № 1 (3). P.137-141.

159. Whelan N. Sampling from Archimedean Copulas // Quantitative Finance. 2004. № 3 (4). P. 339-352.

160. Zezula I. On Multivariate Gaussian Copula // 8th Tartu conference on multivariate statistics (Conference Proceedings). 2007. www.ms.ut.ee/tartu07/presentations/zezula.pdf

Похожие диссертации