Темы диссертаций по экономике » Экономическая теория

Международная экономическая интеграция как фактор устойчивого развития мирового хозяйства: теория и практика тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат

Ученаd>доктор экономических наук
Автор	Раджабова, Запа Камаловна
Место защиты	Махачкала
Год	2006
Шифр ВАК РФ	08.00.01

Автореферат диссертации по теме "Международная экономическая интеграция как фактор устойчивого развития мирового хозяйства: теория и практика"

ОАО МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ И АВТОМАТИКИ

На правах рукописи УДК 62-50

Николаев Юрий Павлович

МНОГОМЕРНЫЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2006

Работа выпонена в ОАО Московский институт электромеханики и автоматики

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Поляк Б.Т.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Рапопорт Л. Б. доктор физико-математических наук Матасов А.И. доктор физико-математических наук Коган М.М.

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем (ГНЦ ГосНИИАС)

Защита состоится л 2006 г. в часов

на заседании Диссертационного совета Д 002.226.02 Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д.65.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института проблем управления РАН.

Автореферат разослан л № С^ЬЛ-^ТиР 2006

Ученый секретарь Диссертационного совета к.т.н. / В.Н.Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Для современного состояния теории управления характерно стремление к разработке регуляторов в условиях неопределенности состояния объекта и внешней среды, дефицита ресурсов и возникновения непредвиденных критических ситуаций. Такой подход соответствует реальной ситуации, когда точные математические модели изучаемых объектов (процессов, явлений) и свойства действующих на них возмущений на самом деле неизвестны.

В настоящее время расширяется множество объектов исследования, куда входят объекты различной физической природы: технические, организационные, технологические, экономические, биологические, экологические и т.д. Источниками возникновения неопределенностей в таких системах являются дефицит материальных, информационных, временных, энергетических и других видов ресурсов, непредсказуемость поведения внешней среды, где функционирует система, а также случайные изменения в структуре и поведении самой системы.

Сложность систем управления также постоянно возрастает. Вследствие усложнения систем анализ их устойчивости, тем более с учетом неопределенности параметров, становится все более трудной задачей, так как стандартные понятия запасов устойчивости по фазе и амплитуде не являются для них столь очевидными, как для простых одноконтурных систем. В таких условиях практически единственным источником достоверной количественной информации об устойчивости системы становится параметрическая область устойчивости, т.е. область устойчивости, построенная в пространстве исследуемых параметров системы.

Таким образом, построение и анализ геометрии параметрических областей устойчивости различных типов систем управления является в настоящее время актуальной проблемой теории и практики управления. Исследования в этом направлении базируются на известных работах Эрмита, Вышнеградского, Рауса, Гурвица, Кона, Найквиста, Михайлова, Неймарка, Фама и других ученых.

Целью настоящей работы является разработка эффективных методов исследования геометрии областей устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления и установление с их помощью основных геометрических характеристик областей, инвариантных относительно порядка исследуемой системы.

Методы исследования. На основе использования метода О-разбиения Ю.И. Неймарка решается задача анализа геометрии многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома линейных непрерывных и дискретных систем управления. Исследование свойств многомерных областей устойчивости проводится с помощью аппарата аналитической геометрии, высшей агебры, математического анализа, теории устойчивых полиномов, теории матриц, теории множеств, элементов топологии, дифференциальной геометрии, теории симметрии. При решении илюстративных примеров широко используются средства системы МАТЛАБ (в том числе двумерная и трехмерная графика), символьная агебра (операции с полиномами).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты.

1. Предложена общая концепция исследования геометрии многомерных областей устойчивости непрерывных и дискретных линейных систем управления, основанная на использовании сечений пространства коэффициентов характеристического полинома линейными многообразиями определенного типа с последующим анализом их структуры (метод О-разбиения и др.).

2. Предложен интервальный критерий устойчивости непрерывных систем, установлены точные верхние границы для коэффициентов и для корней устойчивых полиномов Эрмита - Бил ера, детально проанализирована геометрия трехмерной области устойчивости для полиномов с п <, 6.

3. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости непрерывных систем: получены компактные формулы для точных верхних границ коэффициентов множества устойчивых полиномов и для наибольшего значения граничной частоты; доказано, что область устойчивости на плоскости двух четных или двух нечетных коэффициентов - выпуклый многоугольник; установлено, что необходимым и достаточным условием ограниченности области устойчивости в пространстве коэффициентов а0,а,.....аш, т<п, полинома р(х) является выпонение неравенства п-т^З.

4. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости дискретных систем: показано, что линейный размер габаритного паралелепипеда по оси а0 (высота области устойчивости) сравнительно мал (Да0 =2) и не зависит от порядка п системы; при этом линейные размеры паралелепипеда по другим осям существенно больше (например, Да, = 504 при л = 10) и они увеличиваются с ростом л, т.е. область устойчивости может рассматриваться как многомерная фигура, относительная высота которой уменьшается с ростом лив пределе, при л -> м, стремится к нулю; показано,

что все вершины выпуклой оболочки области устойчивости расположены или на гиперплоскости а0= 1 или на гиперплоскости аа = -1; установлено наличие в пространстве коэффициентов некоторых критических гиперплоскостей, определяющих существенное изменение геометрических характеристик сечений области при сколь угодно малом изменении параметров; показано на основе сравнения сечений многогранника Кона (Cohn) и области устойчивости координатной плоскостью а0,ап_,, 1 = 1,2,...,л-1, что эти сечения при п 7 практически совпадают; доказано, что область устойчивости обладает фундаментальным свойством симметрии.

5. Установлены особенности геометрии областей устойчивости конкретных классов характеристических полиномов дискретных систем, в частности, подробно исследована геометрия области устойчивости в пространстве коэффициентов полинома вида p(z) = a0 + aД_2z"~2 -t-a^z""' +z" произвольной степени п. Показано, что двумерная область устойчивости на плоскости коэффициентов а0,а._, обладает уникальным свойством: при

=1 + е, 0 < е < пЦп-2) она распадается на л-1 односвязных области.

6. Приведены контрпримеры для дискретных аналогов теорем Харитонова, основанные на использовании установленных особенностей конфигурации области устойчивости на плоскости для систем произвольного порядка.

7. Для множества всех стабилизирующих ПИД-регуляторов непрерывных систем предложен метод стратификации, основанный на использовании частотных запасов устойчивости.

Рекомендации по использованию научных результатов

Предложенные в диссертации методы разработаны с учетом существующих потребностей практики и позволяют в условиях неопределенностей решать задачи построения устойчивых линейных непрерывных и дискретных систем управления, когда классические методы оказываются неприменимыми.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и совещаниях:

Х III Международная конференция по проблемам управления, Москва, 2006 г.;

Х IX Международный семинар Устойчивость и колебания нелинейных систем управления, Москва, 2006г.

Х И Всесоюзная конференция Системы автоматического управления JIA, Москва, МАИ, 1988;

Х XVI научно-техническая конференция памяти Н.Н. Острякова, Ленинград, 1988 г.;

Х X Всесоюзное совещание по проблемам управления (Ама-Ата, 1986 г.);

Х VII Всесоюзное совещание по проблемам управления (Минск, 1977г.).

По результатам выпоненных исследований опубликована одна монография и 15 печатных работ, получено 5 авторских свидетельств.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух частей по четыре главы каждая, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 167 наименований. Главы, в свою очередь, разбиты на параграфы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Построение и анализ областей устойчивости продожает оставаться одним из эффективных методов проектирования систем управления (см., например, [Farn А.Т., Medich J.S., 1978; Но М., Datta А., & Bhattacharyya S., 1997; Ackermann J., Kaesbauer >., 2003]), так как обеспечивает разработчика наиболее поной и наглядной информацией о допустимой зоне изменения параметров регулятора в реальных условиях проектирования, когда требования к системе могут существенно изменяться в процессе разработки. Эта информация имеет существенное значение для построения робастных и адаптивных систем. Возможности указанного подхода значительно увеличиваются по мере развития соответствующих компьютерных технологий.

В диссертации для построения параметрических областей устойчивости непрерывных и дискретных систем предлагается новый подход, основанный на использовании пространства коэффициентов характеристического полинома систем. Следуя [Farn А.Т., Medich J.S. ,1978], это пространство названо каноническим.

Все системы данного порядка имеют в этом пространстве одну и только одну область устойчивости. Эта область устойчивости представляется фундаментальной для решения проблемы стабилизации систем с обратной связью (соответствующий выбор коэффициентов усиления стабилизирующего регулятора) и других важных проблем проектирования линейных систем.

Задана линейная стационарная система с вектором параметров к и характеристическим полиномом р(Л, к) = а0 ()+а, +...+ал(к)Х". В качестве параметров обычно используются коэффициенты усиления регулятора по соответствующим составляющим (интегральная, пропорциональная,

дифференциальная и т. д.) входного сигнала. Переменная Л = х для непрерывных систем (л-оператор Лапласа и одновременно комплексная переменная), я = 2 для дискретных систем (г - оператор сдвига и одновременно г = е'г).

Вектор а, чьи компоненты являются коэффициентами характеристического полинома р(Л,а)=а0 +а,Я+...+аДЛ", может рассматриваться как точка в (и +1)- мерном евклидовом пространстве Е** с координатами [ап,а1_1,...,а0]. Каждая система с характеристическим полиномом р(Я,а) определяется одной точкой в этом пространстве. Изменение коэффициентов усиления регулятора вызывает движение этой точки. Для обеспечения устойчивости точка не дожна покидать многомерную область устойчивости в пространстве Е"*1. Граничная поверхность области устойчивости в пространстве задается

характеристическим уравнением р(/т,к) = 0, -со<<а<оо - для непрерывной системы и уравнением р{е",к) = о, о о < 2я - для дискретной системы. Можно считать, что область устойчивости является отображением левой полуплоскости (непрерывные системы) или единичной круга (дискретные системы) комплексной плоскости корней в пространство .

Многомерная область устойчивости в пространстве Е"+1 является канонической, так как ее определение не связано с особенностями конкретной исследуемой системы. Это стандартная область устойчивости, которая применима для любой линейной системы с характеристическим полиномом р(Х,а) произвольного порядка п. Последующий переход от пространства Е"х коэффициентов к пространству Ет параметров, т.е. переход от канонической области устойчивости к параметрической, можно осуществить чисто геометрическим путем.

Единственность канонической области устойчивости является существенным отличием предлагаемого в диссертации подхода от классического метода >-разбиения Неймарка, который предусматривает построение области устойчивости на плоскости двух параметров, например, коэффициентов усиления ку,кг регулятора на основе заданных числовых данных о системе. Причем при изменении числовых характеристик системы и тем более при переходе к новой системе эти вычисления приходится проводить заново, каждый раз начиная построение с нуля. Аналогичные критические замечания применимы и к методу корневого годографа, так как каждая новая система продуцирует новое множество нелинейных корневых годографов, построение которых требует решения характеристического уравнения для каждого нового значения к и для каждой новой системы.

Тема диссертации, т.е. анализ канонической области устойчивости непрерывных и дискретных систем, восходит к классической работе Вышнеградского [1876]. В ней автор, исследуя характеристическое уравнение аа +я1л+я35г +а3^3 = о, нормирует его делением на а0 и вводит новую

переменную g = s lja3/a0. В результате получает уравнение 1 + +Л2дг + д3 = О, содержащее всего два параметра, и строит на их плоскости область устойчивости (множество л,л2 >1, А, > о, Аг >0).

Стодола [Stodola А., 1894] показал, что необходимым условием устойчивости полинома является положительность всех его коэффициентов. Классические работы Эрмита [Hermite С.,1852], Рауса [Routh E.J., 1877], Гурвица [Hurwitz А., 1895], Льенарта - Шипара [Liinard А., М.Н. Chipart М.Н., 1914], Кона [Cohn А., 1922] и др., заложили теоретический фундамент для исследования устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем. Так как полученные в них критерии основаны на использовании коэффициентов характеристического полинома, то потенциально они могли быть применены и для анализа области устойчивости. Однако при степенях полинома выше четвертой (для непрерывных систем) и выше второй (для дискретных систем) необходимые выкладки становятся слишком громоздкими.

Возможность применения теорем A.A. Маркова [1894], и Т.И. Стильтьеса [1936] для решения проблемы Рауса-Гурвица рассматривалась Ф.Р. Гантмахером и позднее - В.Л. Харитоновым [1989].

Новые возможности для исследования областей устойчивости появились после разработки критерия Михайлова [1938] и метода D-разбиения Неймарка [1949]. В западной литературе метод был впервые описан Мигровичем [Mitrovic >.,1955, 1958-59]; который предложил отображать не всю левую полуплоскость корней, а только ее сектор. Это направление исследований было развито Шильяком [Siljak D.D. ,1964, 1966, 1969]. В его работах метод D-разбиения (который он называл методом параметрической плоскости) был детально отработан. Современные примеры применения метода D- разбиения можно найти в [Ackermann J., 2002]. В нашей стране над развитием метода работает Б.Т. Поляк со своими сотрудниками П.С. Щербаковым, E.H. Грязиной.

Впервые области устойчивости, построенные непосредственно в пространстве коэффициентов, а не в пространстве обобщенных параметров, как у Вышнеградского, были рассмотрены Неймарком. В его монографии [1949] приведена не только область устойчивости для непрерывных систем (область в трехмерном пространстве коэффициентов а0,аДа2 характеристического полинома третьего порядка), но и для дискретных (широко известный теперь треугольник на плоскости коэффициентов а0,а, полинома второго порядка).

Значительные результаты в исследовании многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома дискретных систем произвольного порядка получены в статье Фама и Медичи [Fam А.Т., Medich J.S. ,1978]. В нашей стране близкой тематикой занимается М.М. Кипнис и его ученики Нигматулин P.M., Левицкая И.С.

В настоящее время на Западе определенный интерес вызывает задача о построении всего множества стабилизирующих регуляторов непрерывных систем [DattaA., Но A., Bhaliacharyya S., 2000], [Ackermann J., 2002], [Ackermann

JД Kaesbauer D., 2003], [Sylemez M.T., Munro N.. Baki, 2003], которая по существу сводится к построению (описанию) области устойчивости в пространстве параметров ПИД - регулятора (регулятора низкого порядка).

Трудности анализа граничной поверхности области устойчивости обусловили проведение и альтернативных методов ее исследования. Один из методов основан на построении выпуклого тела в многомерной области устойчивости. Пик исследований по робастной устойчивости пришеся на 80-ые годы.

Базовой для данного направления исследований можно считать работу Кона [Cohn А., 1922]. Многогранник Кона можно рассматривать как выпуклое множество в многомерной области устойчивости. Одной из первых аналогичных работ для непрерывных систем является работа [Faedo S., 1953].

Однако знаковой дня непрерывных систем считается теорема Харитонова, опубликованная в 1978. Теорема Харитонова тесно связана с идеями D -разбиения; в дальнейшем была установлена ее определенная связь с более ранней работой [Frazer RA., Duncan W.J., 1929]. В теореме Харитонова анализируется не сама область устойчивости, а прямой паралелепипед в пространстве коэффициентов характеристического полинома, ориентированный так, что все его ребра паралельны координатным осям (это очень важная деталь). Имеется 2**1 угловых или краевых полинома, соответствующих вершинам паралелепипеда. Оказалось, что устойчивость всех точек паралелепипеда определяется устойчивостью его угловых полиномов (слабая теорема Харитонова). Более того, необходимым и достаточным условием устойчивости точек паралелепипеда является гурвицевость не всех, а всего четырех угловых полиномов (сильная теорема Харитонова). Попытка распространить теорему Харитонова на случай дискретных систем окончилась неудачей [Докури Э.Я.,1990].

Другой альтернативный метод исследования многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов основан на ее внешней и/или внутренней аппроксимации. Теоретической основой здесь могут служить необходимые или достаточные условия устойчивости, представленные в виде набора неравенств (Липатов A.B. , Соколов Н.И., Клепцын А.Ф., Масленников В.В., Немировский A.C., Поляк Б.Т. и др.).

Одна из проблем анализа геометрии указанной области устойчивости связана с наличием особенностей (точек негладкости) граничной поверхности [Арнольд В.И.,1972, Левантовский Л.В., 1982, Арнольд Я.Я.,1990]. Это явление обусловлено тем, что наличие кратных корней характеристического полинома приводит к недифференцируемости корней полинома по параметрам. В работе [Майпыбаев A.A., 2000] рассматривается локальный метод аппроксимации области устойчивости в окрестности ее особой точки, характеризуемой мнимыми корнями произвольной кратности. Метод основан на использовании касательных конусов к области устойчивости в особых точках ее границы.

Конечно, различные методы исследования областей устойчивости не исключают, а наоборот, взаимно допоняют друг друга, обеспечивая более всестороннее и глубокое решение проблемы.

В диссертации с целью разработки эффективных методов исследования устойчивости непрерывных и дискретных систем управления ставится задача анализа геометрических характеристик, а также внутренней структуры (строения) многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома. Под системами управления понимаются стационарные системы управления с обратной связью, для которых выпоняются условия управляемости и наблюдаемости, под устойчивостью -асимптотическая устойчивость.

Поставленная задача относится к проблеме Рауса-Гурвица-Вышнеградского, ее решение основано на применении таких апробированных на практике методов, как метод о -разбиения и метод частотных запасов устойчивости.

Первая часть работы посвящена анализу многомерной области устойчивости для непрерывных систем. Эта часть включает четыре главы (с первой по четвертую).

В первой главе предлагается интервальный критерий устойчивости непрерывных систем, устанавливаются точные верхние границы для коэффициентов и для корней устойчивых полиномов Эрмита - Билера, детально анализируется геометрия трехмерной области устойчивости для полиномов с

Пусть анализируется коэффициент в0, при этом остальные коэффициенты полинома p(s) считаются постоянными величинами. После подстановки s = ja> в характеристическое уравнение p(s)= 0 получим два вещественных уравнения (уравнения Михайлова):

(1.1) v(i) = ImpO')) = -Js{at-азп + а,п2 -...)= О, и(Cl) = Re p(jco) = аД- о2П + atCl2 -... = О,

где 1 = еог.

Сформируем следующий функционал с использованием четных корней уравнения у(П)= 0, т.е. корней СУ2Д,к = 0,1,2,.,.:

аагр =пшхм.и...[^(П^)-^^)2 +а6(П^)3 -...].

Функционал удобнее представить в несколько иной форме, с использованием в явном виде только ненулевых корней С1'и,к = 1,2,...:

(1.2) а'оп, = шах(0,тах4Ч2 [а2(П^,)-а4(П^,)2 + <з6 (П^ )3 -...]}.

Аналогично, но с использованием нечетных корней уравнения v(n)= 0, т.е. корней 2^,* = 0,1,2,..., получим:

(1.3) а^ = [а2 ) - а, (П^, )2 -...]. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1.1. Полином ф) устойчив тогда и только тогда, когда выпоняются два следующих условия:

Х все корни 1;, * а 0,1,2,... уравнения Михайлова у(П) = ч/П(а, - аг3П+и,П2 -...)= 0 вещественны и удовлетворяют неравенству 0 = <0' <П"2 <...;

Х для коэффициента а0 выпоняется неравенство

(1.4) а^1Г<аД<а;п.П Здесь а-^Хгр - см. (1.2), (1.3).

Следствие 1.2. Интервал (а^.а^) является единственным интервалом устойчивости на числовой оси коэффициента аД полинома р(л).

На границах замкнутого интервала [аол

(незатухающие колебания с граничной частотой), а при аД = 0- на границе апериодической неустойчивости.

Для исследования устойчивых полиномов Эрмита-Билера: и =га0-а2С1 + а4П2-..., V = а,-оэ1 + а3П2-..., где П = й>2, представим их в обобщенном виде: <р(х) = Ь0-Ь>х
Ь2х1- -... + (-1)', л' +...+(-1)*/^. Обозначим множество (семейство) полиномов <р(х) со всеми вещественными положительными некратными корнями через Р:

(1.6) />:= {<!>(.*)Ид:) = 6,1*1 (х-х,), 0<л,<д:2...<дгг<...<х, }.

Для семейства (1.6) полиномов <р(х) доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.3. Точные верхние границы коэффициентов полинома

<р{х) е Р определяются соотношениями:

А ' с 1 ь *~1 с а 2

(1.7) ырЪй = Ч^Ц- , зирб, = л У1 . ,..., 5ирА 2 = .

В приведенных формулах 9_,, 64 - пара коэффициентов при старших степенях переменной х полинома ч>{х), - порядок этого полинома, Сгя - биномиальные коэффициенты.

Теорема 1.4. Точные верхние границы корней х1<х2,..,хч полинома ф (х) е Р равны:

(1.8) 5ирг2=--77Г-,"., лир*

дЬ, (?-1)6, О,

Подробно анализируется геометрия области устойчивости систем с порядком п<.6. Необходимые и достаточные условия устойчивости при п = 5,6 в соответствии с предложенным интервальным критерием имеют вид неравенства а'йГР <ай< а*^,, где а~1Т = тах[0,(а2П2 +а6П3)],

аогг =л21, -о40? +о6Пэ. Здесь граничные значения параметра П = а>2 определяются простым соотношением П12 = (о, т ^а\ - 4а,а,) /2а,. Простота и содержательность полученных формул обеспечивают возможность детального исследования геометрии области устойчивости.

Область устойчивости в пространстве нормированных коэффициентов а0,аД аг для системы пятого порядка приведена на рис. 1а. На рис. 16 показаны основные конструктивные элементы области устойчивости, с помощью которых можно геометрически формировать ее граничную поверхность N.. Значения координат точки ^еГ, равны: а0(Р2) = &ираа = а1а4/Ла}, а,(Р2) = лэир^ = /4а3, а2(Р2) = 8чраг = а3а</а,. Сечение области плоскостью в, = сою! е(0,5ира,) представляет собой треугольник ХМ>^Р6. Граничная поверхность состоит из двух частей: =Л'* ^Л'".

Рис. 1. Трехмерная область устойчивости (а) и ее конструктивные параметры (б), п = 5.

Обе части граничной поверхности пересекаются друг с другом по отрезку прямой Р^Р2 е . Поверхность формируется винтовым движением

образующей Р4Р5 относительно оси РгР2. Поверхность формируется аналогично другой образующей Р6Р, относительно той же оси. Как следует из построения, обе поверхности можно отнести к линейчатым

поверхностям (класс винтовых поверхностей, подкласс наклонных геликоидов).

Область устойчивости непуста, ограничена, односвязна, невыпукла. Граничная поверхность линейчата. Указанные свойства области инвариантны относительно старших коэффициентов а3,а4,аДа6.

В главе 2 проводится анализ основных геометрических характеристик многомерных областей устойчивости для полиномов /К произвольного порядка п в пространстве их коэффициентов. Все коэффициенты вещественны и

неотрицательны. Примем, что значения трех старших коэффициентов полинома p(s) фиксированы. Будем рассматривать открытую область устойчивости Я в

пространстве варьируемых коэффициентов аД,а,.....

Области устойчивости H соответствует граница с///, которая образована координатной гиперплоскостью а0 = о и гиперповерхностью Na (см. [Неймарк, 1949]), для точек которой выпоняются условия (1.1).

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Точные верхние границы коэффициентов для

точек открытой области устойчивости Н при нечетных значениях п равны:

(2.1) supa> = с('Д_1)/2

(2.2) supa2,^ = c;_,)/2 аД

,r = 0,l,...,(n~ 3)/2,

,/ = 0,1,...,(я-5)/2.0

В приведенных формулах с;/2, С(^2),2 - биномиальные коэффициенты. Аналогичные соотношения получены и для четных значений п.

Доказательство теоремы построено на использовании свойств класса полиномов с вещественными, положительными, простыми корнями, которые проанализированы в предыдущей главе.

Определение граничной частоты, наибольшей для системы заданного порядка п, и определение параметров системы, при которых достигается наибольшая граничная частота, является важной задачей прикладной теории управления (наряду с аналогичной задачей нахождения максимальной полосы пропускания системы).

Теорема 2.2. Наибольшее значение граничной частоты для границы области устойчивости в пространстве коэффициентов а!1,аи...,аг>...,ан,ъ при фиксированных значениях трех старших коэффициентов е равно

(2.3) тахш'Т - / яД

и достигается в точке пространства с координатами 0,0,..., 0, вир, где

(2.4) suPaД-3 = <Vj_I !an .

В главе 3 рассматриваются сечения многомерной области устойчивости плоскостями различного типа Анализируется связность и выпуклость двумерных сечений области для полиномов произвольного порядка.

Пусть два коэффициента а,,а, полинома p{s) являются переменными величинами, а остальные коэффициенты фиксированы. Индексы r,q : Os г s л, причем оба числа или четные или нечетные. В пространстве

коэффициентов а0,а,.....а, рассматриваемому случаю будет соответствовать

плоскость Р, :={a, =const \ / = 0,1,... r+q = 2m). Результатом сечения

многомерной области устойчивости будет двумерная область устойчивости на плоскости, координатные оси которой паралельны базовым координатным осям а,,а4.

Теорема 3.1. Сечение многомерной области устойчивости плоскостью Р, при п & 5 является выпуклым многоугольником.

Пример. Задан вектор коэффициентов а= [0.0005 0.0010 0.0095 0.0140 0.0540 аг 0.0900 аа ], а0,а2 е л = 7 . Требуется построить область устойчивости на плоскости а0,а2.

Необходимые и достаточные условия устойчивости можно представить в виде системы неравенств (см. интервальный критерий устойчивости):

П0=

П] = 3 а0 < а3П, - a4nf + а6Qf = -0.0990 + 3аг,

fi2 =6 а0 > а2П2 -a4Cil+ a6Qj = -0.2880 + 6а2

C3 =10 а,, < а2Пг - а,П] + а6П] = -0.4000 +10о2.

Здесь П0.....П3 - корни уравнения у(}) = 7п(а,-а3П + а5П2-а,П3) = 0. Система

неравенств илюстрируется рис. 2а. Из приведенных данных следует, что область устойчивости на плоскости а0,а2 - выпуклый четырехугольник Р,Р2Р3Р, (рис.2 б).

Аналогичные результаты получены и для случаев, когда два коэффициента а2ва2,*1> Я - ОД,..., являются переменными величинами, а остальные коэффициенты фиксированы.

Для некоторых типов сечений область устойчивости может быть несвязным (рис.За) или невыпуклым множеством (рис. 36).

Рис.3. Сечение трехмерной области устойчивости ( п - 5 ) плоскостями разного типа.

На рис. За представлено сечение области устойчивости (п = 5) плоскостью -ав/^)+а1/А1+а2/А2 = 1, где е/?,, а на рис. 36 - плоскостью

а, = /а,), где /л е (0,1).

Глава 4 посвящена исследованию ограниченности (неограниченности) области устойчивости. Известно, что все коэффициенты устойчивого полинома p(s) ограничены снизу. аг> 0, т = 0,1,...,п (условие Стодолы). Вопрос об ограничении коэффициентов сверху оставася открытым. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4.1. Необходимым и достаточным условием ограниченности области устойчивости H в пространстве коэффициентов a0,al,...,ami аг> 0, г = 0,1,...,/я, полинома p{s) является выпонение неравенства (4.1) лSn-3.0

При этом предполагается, что три старших коэффициента полинома имеют конечные, не равные нулю значения: а_г,апЛ,ан е Е+.

Замечание. В терминах передаточных функций условие (4.1) может бьггь интерпретировано следующим образом. Пусть Z(s) = pi(s)/p2(s) - передаточная функция разомкнутой системы с одним входом и выходом, причем коэффициенты полинома О) являются настраиваемыми, а коэффициенты полинома p2(s) фиксированы. Известно, что для физической реализуемости передаточной функции необходимо выпонение условия m s л, m = degp^s), n = degp2(s). В соответствии с утверждением 4.1 это условие усиливается-. min-3.

Пример 1. Невыпонение неравенства (4.1) может привести к некорректной постановке задачи анализа устойчивости исследуемой системы. Так, в качестве одного из примеров систем, допускающих (теоретически) неограниченное увеличение коэффициента усиления без нарушения устойчивости, можно взять систему с характеристическим полиномом

p(s) = krktk2 [г s (1 + T3s) + *3*Д*3(1 + т i)] + р * (j), где р * (s) = (1 + г )П (1 + 7.

Увеличение общего коэффициента системы обеспечивается за счет коэффициента усиления ky. Очевидно, что возможность неограниченного увеличения коэффициента усиления здесь обусловлена неограниченностью области устойчивости. Действительно, варьируемыми (зависящими от коэффициента усиления *,) являются коэффициенты а0,а,,аг,а3 полинома p(s), т.е. /п = 3; порядок характеристического полинома л = 5, поэтому т = Э>л-з = 5-3 = 2, т.е. условие (4.1) не выпоняется, следовательно, область устойчивости в пространстве коэффициентов Д.а^а^а, является неограниченной. Отметим, что задача станет корректной, т.е. неограниченное увеличение коэффициента усиления без нарушения устойчивости станет

невозможным, если допонительно учесть, например, некоторую малую

постоянную времени Т,, т.е. принять р * (*) = (1 + г (1+тг.$).

Пример 2. В теории оптимальных систем (в том числе и в теории Нш-оптимальных систем, интенсивно развиваемой в настоящее время) часто используют закон стабилизирующей обратной связи по поному вектору состояний в виде л(/) = -*(*), где К- постоянная матрица усиления соответствующей размерности. Покажем, что в этом случае область устойчивости в пространстве варьируемых коэффициентов характеристического полинома является неограниченной. Действительно, уравнение замкнутой системы х(1) = [А- ВК]х(г), а характеристический полином (нормированный) имеет вид р(*) = а() Все коэффициенты сг,г = 0,1,...,л-1,

нормированного полинома (для системы с управляемой парой А,В) являются варьируемыми, так как зависят от соответствующих элементов матрицы усиления К. Но тогда л = л-1>л-3 и условие ограниченности области устойчивости не выпоняется.

Вторая часть работы посвящена анализу многомерной области устойчивости для дискретных систем. Эта часть включает четыре главы (с пятой по восьмую).

В пятой главе проводится анализ метрических характеристик области устойчивости и расположения вершин ее выпуклой оболочки в пространстве коэффициентов характеристического полинома дискретных систем. Характеристический ПОЛИНОМ р{г) = а0 + +... +гД_,2"""' + 2*, где г = е-"*, л-параметр (0^со<2л). Каждая точка границы <ЮД области устойчивости соответствует полиному, по крайней мере, с одним нулем на единичной окружности плоскости г, т.е. р(е*") = 0. Кроме указанных в [Кат А.Т., МесИсИ У.^.,1978] трех поверхностей, ограничивающих область устойчивости, отметим существование еще двух допонительных ограничивающих гиперплоскостей.

Теорема 5.1. Область устойчивости вт расположена между гиперплоскостью о0 = -1 и гиперплоскостью а0 = 1 .

Т.е. для всех точек области устойчивости выпоняется неравенство -1 < а0 < 1.

Известно, что многогранник М,, вершины которого образованы многочленами р(г) с корнями в множестве {-1,1}, является выпуклой оболочкой области устойчивости: МД = сот (Д.). Количество вершин равно л + 1.

Теорема 5.2. Все вершины = выпуклой оболочки Л/Д = л>/п>(Д,)

области устойчивости расположены или на гиперплоскости а0 = -1 или на гиперплоскости аа = 1. О

Анализ метрических характеристик области, точнее - ее выпуклой оболочки М. =сотфД), начинается с определения наибольших и наименьших значений координат ее точек. Знание наименьших и наибольших значений координат точек выпуклой оболочки мп = сот>(Оп) позволяет определить расстояние между паралельными гранями габаритного паралелепипеда. Из приведенных выше данных следует

Лемма 5.3. Линейный размер габаритного паралелепипеда по оси а0 (высота области устойчивости) сравнительно мал (ДаД = 2) и не зависит от порядка системы. Линейные размеры паралелепипеда по другим осям существенно больше (например, Дд5 = 504 при п -10) и они увеличиваются с ростом порядка системы.

Рис. 4. Область устойчивости в трехмерном пространстве коэффициентов а0,а1,а1 полинома р(г), п = 3.

Таким образом, область устойчивости может рассматриваться как сплющенная многомерная фигура, относительная высота которой уменьшается с ростом пив пределе, при п л, стремится к нулю.

Приведенная выше на рис.4 область устойчивости в трехмерном пространстве коэффициентов ай,аиа2 полинома р(ж) = а9+а12 4-а2г* + г' может рассматриваться как илюстрация приведенным теоретическим положениям.

В шестой главе проводится исследование геометрии области устойчивости дискретных систем. Решение задачи основано на анализе граничной кривой О-разбиения плоскости двух произвольных коэффициентов характеристического полинома. В соответствии с известной методикой подставим г = е" в уравнение р{г)=0. Разделяя действительную и мнимую части уравнения, получим систему двух уравнений, линейных относительно анализируемых коэффициентов вДя4,

(6.1) + = 0, ДЛИНОЙ,+/2(<а) = 0. Здесь соответствующие полиномы от параметра <а:

Л, (г) = со${гш), ?, (о) = соэ(?й>), 111 (ш) = м^РЩ) т*г,ч,

Решение системы двух уравнений (6.1):

(6.2) в,(са) = , а (ш) = , где

(6.3) Д{<)= мп[(я-г)а>], Д,=-ля8т[(?-ж)<], Д4(а>) = -<,л 5т[(г-т)й>],

т-<1 тшО

Изменяя о от 0 до к, можно построить искомую кривую О - разбиения (>-кривую) на плоскости коэффициентов аг,ач. Однако при этом необходимо преодолеть сложности, обусловленные наличием бесконечных разрывов у исследуемой кривой. Эти разрывы связаны с обращением в нуль определителя А(ш). Из (6.3) следует, что определитель д(а>) равен нулю тогда и только тогда, когда <э = й>, =хк/(д-г), = 0,1,...,?-г. Назовем значения а = ш, критическими значениями параметра т.

Для детализации и упрощения последующего анализа выпонена следующая декомпозиция задачи. Весь анализируемый отрезок изменения со, равный [О.л-], разделенна д-г вспомогательных отрезков [0>о,], [а)Да>2],..., ],...,

где <ок = як!{д-г), * = 0,1,.1. Каждому интервалу (Ди^,) соответствует непрерывный фрагмент граничной о -кривой (.локальная -кривая). Т.е. вместо исходной В - кривой, имеющей д-г-1 бесконечных разрывов, предложено анализировать ц-г ее непрерывных частей (локальных йк - кривых).

Наибольшее количество локальных ок - кривых можно определить следующим образом: б = тах(? - г) = {тах,.,^,, д} - {пипД,(0 г) = (л -1) - 0 = л -1.

Выпонено исследование геометрических свойств локальных Ык - кривых. Установлено, в частности, что асимптоты к ветвям локальной йк -кривой образуют с осью абсцисс угол
п/4 при любых значениях к = 0,1,...,д-г-1.

При анализе О- разбиения плоскости двух произвольных коэффициентов аДач, где 0г <д <п-1, характеристического полинома р(г) остальные (л-2) коэффициента считаются фиксированными. Этим коэффициентам можно поставить в соответствие некоторую базовую точку аш в (л-2) - мерном евклидовом пространстве Е"~2 коэффициентов с координатами

аа,а,.....аДД,.,аД_итФг,д. Построим в этом пространстве коэффициентов

некоторую N - гиперплоскость (или критическую гиперплоскость), описываемую уравнением

(6.4) Щат) = В,а0 + ВЛ +... + Втат +... + В^аДЛ + ВД =0,

где Вт =Бт[(г-т)а)1], т = 0,1,...,л, тФг,д-, фк =хк/(д-г), к = 1,...,д-г-1. Данная гиперплоскость делит пространство Е"1 коэффициентов ат на два подпространства Е?г и Е"~2, в которых функция Щат) больше или меньше нуля соответственно.

Теорема 6.2. При переходе базовой точки через критическую

гиперплоскость (6.4) происходит резкое изменение геометрических характеристик локальной Ок - кривой, заключающееся в скачкообразном изменении знака координат точек ок - кривой, соответствующих значениям параметра а>-ю>к (а> -> ): координаты бесконечно удаленной точки Ок -кривой меняются с + оо на - оо (или с - оо на + оо) при сколь угодно малых вариациях координат базовой точки а*" .

В качестве примера к теореме 6.2 рассмотрим полином

р(г)-а0 +а323 +а4г4 +г5. Можно показать, что в данном случае все критические гиперплоскости вырождаются в одну: Щат) = а-1 = а} -1 = о. Из полученного выражения следует, что коэффициент а, имеет единственное критическое

значение а3 = 1. Незначительное изменение коэффициента относительно этого критического значения приводит к существенной перестройке геометрии >-кривых на плоскости а} - con.it, т.е. на плоскости коэффициентов а0,а4 (см. рис. 3). Обратим внимание на то, что все четыре локальные д-кривые на рис.Зб (а} =1.05) поменяли полярность по сравнению с аналогичными кривыми на рис. За (а, =0.95), а две внутренние л-образные (без самопересечения) кривые допонительно приняли у -образную (с самопересечением) форму.

Рис. 5. D-разбиение плоскости = const для полинома p{z) = а0 +a}z3 + aAz* + г5: а) а3 = 0.95, б) а, = 1.05.

В главе 7 доказывается, что область устойчивости Ц, (в отличие от аналогичной области непрерывных систем) обладает свойством симметрии.

Теорема 7.1. Любой произвольной точке граничной поверхности а(1) е сЮ, соответствует симметричная ей точка ат е <#>,, удовлетворяющая уравнению

(-1)" 0

0 (-1)Ч1

ООО ООО

-10 0 0 1 о 0 0-1

т.е. уравнению ат = Сат, где б - диагональная матрица, detG =
1.0

Если произвольной точке а"' е dD, соответствует значение параметра а> = <от, то значение параметра со для симметричной ей точки ат е dD, будет равно

Объективной предпосыкой наличия этого фундаментального свойства являются два фактора: граничная поверхность dD, является отображением единичной окружности комплексной г- плоскости в л-мерное евклидово пространство Е" коэффициентов aД,ait...,a^l характеристического полинома p(z); корни характеристического полинома, расположенные на указанной единичной окружности, обладают свойством симметрии: каждой паре комплексных корней zu =-а
j, расположенных слева от мнимой оси комплексной г-плоскости, соответствует симметричная пара комплексных корней = a
j, расположенных справа от мнимой оси и отличающихся от г, 2 только знаком действительной части.

В восьмой главе проводится, на основании полученных ранее теоретических результатов, анализ кривых D- разбиения и области устойчивости для конкретных классов характеристических полиномов.

Предлагается новый метод анализа области устойчивости в пространстве

коэффициентов характеристического полинома, основанный на сравнении

геометрических параметров области устойчивости и многогранника Кона

(Cohn), для всех точек которого выпоняется неравенство а, 1. Сопоставим

сечение области устойчивости и многогранника Кона координатной плоскостью о0,аД_,, / = 1,2,...,л-1. В этом случае характеристический полином принимает вид

Предполагается, что /,п е N - взаимно простые числа, о < / < л; а0,аД_( е л. Для исследования области устойчивости на плоскости коэффициентов предварительно проведем анализ кривой о- разбиения этой плоскости. Воспользуемся данными предыдущих глав. В результате для координат точки О Ч кривой получаем компактные соотношения:

а0(о) =

sin(to)

sin(na>)

sin[(n -/)а>]

sin[(n -1)<о]'

Анализ формул приводит к следующему утверждению.

Теорема 8.1. в- кривая для характеристического полинома

2*^+2" пересекает координатные оси только в точках,

совпадающих с вершинами прямоугольника Кона.0

Отметим, что точки пересечения >-кривой с координатными осями являются одновременно и кратными точками самопересечения этой кривой. В качестве илюстрации на рис.ба приведена л-кривая для полинома р(г) = а0+а1г + г7.

Рис.6. >~ разбиение плоскости а0,а{ для полинома р{г) = а0 + а,г + г7{а), прямоугольник Кона и область устойчивости для р(г) = аа +а,г + г",п= 3 и п = 7 (6).

Установленная закономерность геометрической конфигурации и - кривой для рассматриваемого класса полиномов позволяет подробно исследовать геометрию области устойчивости. Оказывается, что геометрия области устойчивости, несмотря на очень сложную конфигурацию соответствующей >~ кривой, сравнительно проста даже в случае полинома произвольного порядка.

Покажем возможности предлагаемого метода на примере полиномов р(г) = аД+а1г+г", где п - нечетно, п~1~\, т.е. / = л-1. На рис. 66 представлены прямоугольник Кона А<А2А]А4 и область устойчивости для л = 3 и л = 7. Область устойчивости представляет собой криволинейный (точнее, комбинированный) выпуклый четырехугольник А1А2А}А4, причем отрезки А1А3 и А,А4 граничной кривой области являются и соответствующими сторонами прямоугольника Кона, а криволинейные стороны А2А3 и а4а3 области могут рассматриваться как отображение интервалов [Ы.жЦп-Щ и [^(1-1/(л-1)),зг(1-1/л)] числовой оси параметра со на плоскость коэффициентов

В пределе, при л от, криволинейная область устойчивости совпадет с прямоугольником Кона (практически совпадение происходит уже при л = 7).

Рассматривается также задача исследования трехмерной области устойчивости в пространстве коэффициентов полинома

p(z) = a0+an_1z"'2+a_l2"1+z". Для анализа области устойчивости используется метод сечений области плоскостями <зл_2 = const с последующим -разбиением указанных плоскостей. Применение теоретических данных шестой главы дает возможность получить параметрические уравнения произвольной точки D - кривой в сравнительно компактном виде:

Яо(о) = -(Д-2-I) ,. "-i(о) = ~+1)cosfi) + sin<уc/g[(л-Х)т].

sin[(n -1)0)]

Для трехмерной области устойчивости установлены наименьшие и наибольшие значения коэффициента оД_2. Они равны: = (при четных значениях л), <С!Г = л/(л - 2). Анализ критических гиперплоскостей, введенных в шестой главе диссертации, позволил установить, что коэффициент имеет единственное критическое значение а^ = 1. Соответственно на числовой оси коэффициента

2 можно выделить два характерных интервала: (<CJ,1) и (1,аЩ"). Геометрия сечений области устойчивости для этих интервалов существенно разная. Так, при имеется единственная область устойчивости, а при

аД_2 е т.е. при =1 + е, 0<е<2/(п~2) справедливо следующее

положение.

Теорема 8.2. Область устойчивости на плоскости коэффициентов а01яД_, характеристического полинома p(z) = a0 + an_2z"'1 +aД.,z""' + z" при = 1 + e, 0 < e < 2 /(л - 2) распадается на n -1 односвязных областей.

Теорема 8.2 илюстрируется рис. 7, на котором приведена область устойчивости на плоскости коэффициентов для полинома

p(z) = a0+a2z2+a3z3+z4. Область устойчивости (рис.7а) распадается при незначительном изменении коэффициента а2 на три односвязные области (рис.7б).

р, г !Х[>. 1 ЗшуИу

5[ 1

/ \

/ \

\/ N

/ \

-Л

V? 'г

-^

Рис.7. Область устойчивости на плоскости аа,аъ для полинома р{г) = аа +а2г2 +а3г3 + г4: а) а3 = 0.95, б)в, = 1.05.

Особенности геометрии многомерной области устойчивости дискретных систем илюстрируются рис. 8, на котором приведена трехмерная область устойчивости для полинома р(г) = а0+а1г1 + а3г3 +г4, точнее - ее проекция на плоскость коэффициентов аг,аг.

Рис.8. Проекция на плоскость аг,а3 трехмерной области устойчивости

После опубликования известной работы Харитонова значительные усилия были направлены на обобщение ее результатов на дискретные системы. Однако попытки получения дискретных аналогов теорем Харитонова натокнулись на значительные трудности. Эти трудности стали очевидны после того, как были найдены контрпримеры для дискретного случая [Джури Э.И., 1990, Возе КК., геИеЬ .,1986]. В диссертации приведены допонительные контрпримеры, основанные на использовании установленных особенностей конфигурации области устойчивости на плоскости для систем произвольного порядка.

В Приложении предложен метод стратификации множества всех стабилизирующих ПИД - регуляторов непрерывных систем, основанный на использовании частотных запасов устойчивости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В диссертации в рамках решения проблемы Рауса-Гурвица -Вышнеградского разработаны новые методы исследования геометрии областей устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления и установлены с их помощью неизвестные ранее геометрические характеристики областей, инвариантные порядку исследуемой системы:

1. Предложена общая концепция исследования геометрии и структуры многомерных областей устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома непрерывных и дискретных систем управления.

2. Предложен интервальный критерий устойчивости непрерывных систем.

3. Установлены точные верхние границы для коэффициентов и для корней устойчивых полиномов Эрмига - Билера непрерывных систем.

4. Детально проанализирована геометрия трехмерной области устойчивости для полиномов с л6 непрерывных систем.

5. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости непрерывных систем: получены компактные формулы для точных верхних границ коэффициентов множества устойчивых полиномов и для наибольшего значения граничной частоты, найдено необходимое и достаточное условие ограниченности области устойчивости и т.д.

6. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости дискретных систем: доказано, что область устойчивости обладает фундаментальным свойством симметрии', показано, что все вершины выпуклой оболочки области устойчивости расположены или на гиперплоскости а0 = 1 или на гиперплоскости а0 = -1, а сама область расположена между этими гиперплоскостями; доказано существование критических гиперплоскостей и др.

7. Установлены особенности геометрии областей устойчивости конкретных классов характеристических полиномов дискретных систем. Показано, что область устойчивости на плоскости двух коэффициентов для одного из исследованных классов полиномов обладает уникальным свойством: при малом изменении третьего коэффициента относительно его критического значения она распадается на п-\ односвязных области.

8. Приведены контрпримеры для дискретных аналогов теорем Харитонова.

9. Для множества всех стабилизирующих ПИД-регуляторов непрерывных систем предложен метод стратификации, основанный на использовании частотных запасов устойчивости.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что в диссертации

на основании выпоненных автором исследований разработаны теоретические

положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное

научное достижение в теории устойчивости линейных систем управления.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Николаев Ю.П. Многомерные области устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем // Тезисы докладов Ш Международной конференции по проблемам управления. Т. 1. С.42. Москва, 2006.

2. Николаев Ю.П. Построение и стратификация областей устойчивости динамических систем с ПИД - регуляторами // Тезисы докладов IX Международного семинара Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. С.194-195. Москва, 2006.

3. Николаев Ю.П. Анализ геометрии D -разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 2004. №12. С. 49-61.

4. Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем //Автоматика и телемеханика. 2002. №7. С.44-54.

5. Николаев Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 2001. № 11. С. 109-120.

6. Николаев Ю.П. Запас устойчивости по фазе и пространство параметров непрерывной линейной системы // Автоматика и телемеханика:,2000. №3. С. 102-113. '

7. Николаев Ю.П. Мягкие вычисления в интелектуальных системах управления // Аэрокосмическое приборостроение России. Серия 2. Авионика. Выпуск 3. С. 72-87. СПб, 1999.

9. Николаев Ю.П. Наибольшие значения основных параметров и условие

ограниченности характеристической области устойчивости линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1993. №12. С. 33-43.

10. Николаев Ю.П., Кошикова Е.Г. Ограничения на параметры ПИД-законов управления и запасы устойчивости системы, обусловленные наличием доминирующего действительного корня характеристического полинома // Тезисы докладов П Всесоюзной конференции Системы автоматического управления ЛА. С.32-33. - М.: МАИ, 1988.

11. Николаев Ю.П., Бобков А.Н. полный частотный анализ систем с ЦВМ в контуре управления // Труды X Всесоюзного совещания по проблемам управления. Тезисы докладов. Том I. С.114-115 - Ама-Ата, 1986.

12. Александров АД., Николаев Ю.П. Критерий асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1981. №4.С.57-65.

13. Александров А.Д., Николаев Ю.П. Метод синтеза системы автоматического управления с помощью ЦВМ в реальном масштабе времени // Труды VII Всесоюзного совещания по проблемам управления. Тезисы докладов, том II -Минск, 1977.

14. Александров АД., Николаев Ю.П. Характеристические области асимптотической устойчивости линейных стационарных систем произвольного порядка // Автоматика и телемеханика. 1977. №6. С. 192-196.

15. Александров АД., Николаев Ю.П. Анализ устойчивости и синтез многорежимных систем управления // Многорежимные и нестационарные системы автоматического управления. Под ред. акад. Б.Н. Петрова - М.: Машиностроение, 1978. С.93-118.

16. Александров А Д., Николаев Ю.П. Подпространство асимптотической устойчивости линейных стационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1974. №4. С.5-13.

В работах, выпоненных в соавторстве, автору принадлежат: [10,11] -постановка задачи и вывод основных теоретических положений; [12] -доказательство критерия асимптотической устойчивости линейных дискретных систем; [13] - теоретическое обоснование метода синтеза системы автоматического управления с помощью ЦВМ в реальном масштабе времени; [14] - исследование геометрии областей устойчивости; [15] - анализ устойчивости многорежимных систем управления; [16] - анализ геометрии области устойчивости для системы управления пятого порядка.

По результатам выпоненных работ получено (с соавторами) пять авторских свидетельств, выданных Государственным комитетом Совета Министров СССР по делам изобретений и открытий: №№ 25620, 25734, 282478, 343540, 57033; одно из них (№ 282478) выдано на изобретение Адаптивный автопилот.

Отпечатано в ООО Компания Спутник+ ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 29.09.06 Тираж 75 экз. Усл. пл. 1,81 Печать авторефератов (495) 730-47-74,778-45-60

Похожие диссертации

• Межгосударственная торгово-экономическая интеграция как фактор экономического роста
• Международная экономическая интеграция как фактор устойчивого развития мирового хозяйства
• Качество экономического роста как фактор национального развития
• Государственное регулирование рентных отношений как фактор устойчивого развития экономики России
• Эквивалентные экономические отношения как фактор устойчивости сельскохозяйственного предпринимательства