Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат экономических наук
Автор Марков, Андрей Аркадьевич
Место защиты Москва
Год 2010
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков"

На правах рукописи

004606064

Марков Андрей Аркадьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ДИНАМИКИ ЦЕН ФОНДОВЫХ РЫНКОВ

Специальность 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации ца соискание ученой степени кандидата экономических наук

2 /> И ЮН 2010

Москва-2010

004606064

Работа выпонена на кафедре Математика ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент

Гисин Владимир Борисович

Официальные оппоненты доктор экономических наук, профессор

Защита состоится л02 июня 2010 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 505.001.03 при ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации по адресу: 125993, Москва, Ленинградский просп., 55, ауд. 213.

С диссертацией можно ознакомиться в диссертационном зале Библиотечно-информационного комплекса ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации по адресу: 125993, Москва, Ленинградский просп., 49, комн. 203.

Автореферат разослан л29 апреля 2010 г. и размещен на официальном сайте ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации: Ссыка на домен более не работаетp>

Ученый секретарь совета Д 505.001.03,

Костюк Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук Дубовиков Михаил Михайлович

Ведущая организация Учреждение Российской академии наук

Центральный экономико-математический институт РАН

кандидат экономических наук, доцент

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проводимого исследования. Начиная с середины XX века нелинейные методы начинают все более широко применяться при анализе динамики ценообразования фондовых рынков.

С научной точки зрения гипотеза фрактального рынка является парадигмой, описывающей взаимодействие участников рынка и ценообразование активов как результат этого взаимодействия. Предпосыки гипотезы фрактального рынка (разнообразие инвестиционных горизонтов участников как основной фактор устойчивости рынка, коррелированность доходностей рисковых активов на непересекающихся временных промежутках, трактовка обвалов и скачков как реакции на снижение рыночной ликвидности) являются существенно более приближенными к реальному положению дел, чем традиционные положения гипотезы эффективного рынка (рациональность участников рынка, мгновенная реакция цен на поступившую информацию, трактовка обвалов и скачков как перехода к новому равновесному состоянию).

С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет получать более точную оценку рыночных рисков. Благодаря этому могут быть получены рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов. В рамках гипотезы фрактального рынка динамика доходностей рисковых активов описывается процессом фрактального броуновского движения (далее - ФБД).

В то же время существуют объективные препятствия к практическому применению теоретических методов оценки стоимости рисковых активов в рамках гипотезы фрактального рынка. Во-первых, фрактальный рынок допускает арбитраж, что лишает возможности использовать аппарат риск-нейтральных вероятностных мер для оценки цен производных финансовых инструментов. Во-вторых, вычисление значений фрактальных характеристик, выступающих в роли параметров моделей с ФБД, зачастую затруднено из-за наличия авторегрессионных зависимостей между элементами исследуемого временного ряда, влияния тренда или присутствия выбросов среди элементов ряда.

Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы безарбитражной

оценки справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке. Указанная проблема особенно актуальна в условиях российского фондового рынка, характеризующегося повышенной волатильностью, что влечет потребность участников рынка в эффективном инструменте адекватной оценки рыночных рисков.

Степень разработанности проблемы. Моделирование динамики ценообразования рискового актива опирается на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, который восходит в первую очередь к достижениям выдающегося ученого А.Н. Комогорова, а также П.Л. Чебышева, А.А. Маркова (старшего), А.М. Ляпунова, А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Б.В. Гнеденко, Ю.В. Прохорова, Ю.А. Розанова, И.В. Гирсанова и др.

В области стохастической финансовой математики центральное место занимают фундаментальные труды А.Н. Ширяева, а также работы Г. Фёмера, А. Шида, Т. Андерсена, Т. Болерслева, В.И. Аркина, И.В. Евстигнеева, Э.Л. Пресмана, А.Д. Сластникова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, А.В. Мельникова, К. Бол, О. Барндорф-Нильсена, Т. Бьорка, У. Брока, Д. Хсие, К. Чоу, М. Докоронья, Ф. Дебаена, У. Шахермайера, Д. Даффи, М. Эмери, Дж. Харрисона, Т. Хо, С. Ли, О. Васичека и др.

Применение теории случайных процессов для описания динамики цен на фондовых рынках началось с работ Л. Башелье. В дальнейшем его результаты были допонены и развиты в работах Г. Марковица, Р. Мертона, Ф. Модильяни, М. Милера, П. Самуэльсона, У. Шарпа, Э. Фама и др.

Развитие финансовых приложений теории случайных процессов потребовало выработки подходов к оценке стоимости производных инструментов. Методы оценки стоимости производных финансовых инструментов разработаны такими учеными, как Ф. Блэк, М. Шоуз, Дж. Кокс, Р. Росс, М. Рубинштейн, Дж. Хал, С. Рачев, Дж. Константинидис, С. Перракис.

Использование идей теории фракталов в анализе фондовых рынков обязано своим рождением Б. Мандельброту, чьи подходы были развиты и популяризированы Э. Петерсом. Помимо этих авторов, в области фрактального анализа финансовых временных рядов в разные годы значимые результаты получены М.М. Дубовиковым, Н.В. Старченко, С.Е. Тепловым, Л.В. Клочихиным, Д.А. Филатовым, В.Н. Якимкиным, В.Н.

Костюком, Дж. Браун, Р. Клеггом и рядом других ученых, проводивших фрактальный анализ национальных фондовых рынков своих стран: А. JIo, Т. Милс, Т. Люкс, В. Чоу, М. Пэн, Р. Сакано, И. Лобато, Н. Савин, У. Уилинджер, М. Такку, В. Теверовский, С. Чен, Г. Нэт, Дж. Кавальканте, А. Ассаф, Е. Панас, Ю. Тольви, С. Садик, П. Сильвапуль, Д. Кажуэйро, Б. Табак, Г. О, К. Ум, С. Ким.

Аппарат эконофизики и нелинейной динамики развит в работах М. Осборн, В.И. Арнольда, П. Берже, И. Помо, К. Видаля, Г. Шустера, А.Ю. Лоскутова, A.C. Михайлова, М.Ю. Романовского, Ю.М. Романовского, Р. Мантеня, X. Стенли, Д. Сорнетта, Б. Жу и др.

Свойства фрактального броуновского движения исследованы в работах Т. Соттинена, Э. Вакейла, П. Гуасони, Б. Оксендаля, Й. Ху, Р. Элиотта, Дж. Ван дер Хойка, П. Чередито, Л. Роджерса, Ю. Мишуры, Ш. Ростска и др.

Однако на сегодняшний день подходы к практическому применению гипотезы фрактального рынка являются недостаточно проработанными. Научное сообщество знает, как выявить и вычислить фрактальные характеристики рыночных инструментов, по только приближается к получению точных оценок справедливых цен этих инструментов. Сложности обусловлены как минимум двумя причинами:

Х арбитраж во фрактальных моделях ценообразования рисковых активов;

Х трудности экономической интерпретации ряда математических результатов (таких, например, как исключение арбитража путем модификации интеграла в представлении ФБД).

Естественно, что две перечисленные проблемы автоматически порождают третью - многие из разработанных теоретических подходов к анализу фрактального рынка пока что так и остаются теорией, не нашедшей достаточного применения в практической инвестиционной деятельности. Однако быстрое развитие рынка России в сочетании с посткризисным переосмыслением отношения к риску во всем финансовом мире требует скорейшего внедрения более совершенных методов анализа рыночной конъюнктуры.

Необходимость совершенствования подходов к использованию гипотезы фрактального рынка при оценке справедливой стоимости рисковых активов на фондовых рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.

Цель диссертационного исследования - решение научной проблемы совершенствования подходов к вычислению безарбитражных оценок справедливых цен рисковых активов на фрактальном рынке.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи: 1) оценка значений фрактальных характеристик фондовых индексов (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения и др.); 2) выявление циклов в динамике цен на рынках; 3) на основе (1) и (2) моделирование динамики ценообразования рисковых активов на основе фрактального броуновского движения; 4) оценка справедливой стоимости производных инструментов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками; 5) сравнение результатов расчетов с помощью моделей из (3)-(4)с актуальными данными по торгам и их тестирование в динамике.

Объект исследования - фондовые рынки (на примере рынков России и США).

Предмет исследования - фрактальные свойства фондовых рынков (фрактальная размерность и показатель Херста фондовых индексов, циклы в динамике ценообразования на рынках,

персистентность/антиперсистентность, корреляционная размерность, размерность вложения) и их влияние на оценку справедливой стоимости торгующихся рисковых активов.

Теоретическая и методологическая основа исследования -теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика. Важнейшую роль при написании работы сыграли работы (преимущественно зарубежные) в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений. Программно-технический комплекс фрактального анализа финансовых временных рядов и оценки справедливой стоимости рисковых активов

реализован с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel.

В процессе написания работы были применены следующие методы исследования: методы теории вероятностей и математической статистки, эконометрические методы.

Содержание диссертационного исследования соответствует специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Информационной базой исследования послужили:

Х научные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, инвестиций и рынка ценных бумаг опубликованных в монографиях, периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров;

Х статистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, находящихся в свободном доступе в сети Internet;

Научная новизна диссертации заключается в уточнении количественных характеристик фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков и получении безарбитражных оценок справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Получены уточненные оценки фрактальных характеристик (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения, длительность персистентных циклов) фондовых индексов в рамках предположений гипотезы фрактального рынка.

2. С помощью реализованных и впервые примененных в условиях российского рынка методов, основанных на модели с ФБД, получены оценки справедливой стоимости рисковых активов и фьючерсных опционов на эти активы.

3. На основе сопоставления результатов расчетов с реальными торговыми котировками показано, что указанные методы применимы как минимум на российском фондовом рынке.

4. Показано, что результаты расчетов на основе моделей из (2) существенно меняются даже при незначительных изменениях ключевого параметра - показателя Херста, что свидетельствует о чувствительности моделей и наглядно демонстрирует роль учета фрактальности в повышении точности оценки рыночных рисков.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к российским условиям.

Практическая значимость результатов состоит в получении участниками фондового рынка инструмента для более точной (в сравнении с оценками на основе предположений гипотезы эффективного рынка) оценки рисков в процессе инвестиционной деятельности.

Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования были изложены и обсуждены в рамках следующих мероприятий: круглый стол по теме Российский финансовый рынок: проблемы повышения конкурентоспособности и роли в инновационном развитии экономики, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2007 г.); круглый стол для аспирантов по теме Российский финансовый рынок и его роль в инновационном развитии экономики, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2008 г.); круглый стол для аспирантов по теме Финансовые аспекты инновационного развития экономики России, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2009 г.); круглый стол для аспирантов по теме Мировой финансово-экономический кризис и перспективы инновационного развития экономики России: финансовый, кредитный, валютный аспекты, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2010 г.); Пятая международная конференция по прикладной математике и численным методам (Технический университет г. Пловдив, Богария, 12-18

августа 2008 г.); Seminar on Actual Methods of Financial Risk Management -Российско-австрийский Семинар по актуальным методам финансового риск-менеджмента (Финакадемия, 13-18 сентября 2009 г.); Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009) Новой экономической ассоциации (НЭА) и Секции экономики Отделения общественных наук РАН (МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.).

Результаты исследования нашли практическое применение в ООО Менеджмент-консатинг. В работе Аналитического отдела этой организации используется методология оценки справедливой стоимости опционов на фрактальном рынке, а также описанная в исследовании дискретная модель ценообразования базисных и производных финансовых инструментов.

Материалы исследования используются кафедрой Математика ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации в преподавании учебной дисциплины Стохастическая финансовая математика. Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.

Работа выпонена в рамках направления исследования НИР кафедры Математика ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации по теме Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов в соответствии с Комплексной темой Пути развития финансово-экономического сектора России.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работы (в том числе 3 - в изданиях, определенных ВАК) общим объемом 2,2 п.л. (авторский объем - 2,0 п.л.).

Структура диссертационной работы. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Диссертация состоит из 3 глав, содержащих соответственно 8, 10 и 3 параграфа, включает 68 рисунков, 32 таблицы, 82 формулы. Общий объем составляет 163 страницы.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Получены уточненные оценки значений фрактальных характеристик фондовых индексов (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения и др.) в рамках предположений гипотезы фрактального рынка

В работе используется предположение, что динамика логарифмических доходностей индексов подчиняется процессу фрактального броуновского движения (далее - ФБД) с показателем Херста Н. Ценообразование индекса описывается моделью:

= + <(1)

5, и 5о - значения индекса в моменты времени / и О соответственно;

г - дрейф индекса;

а - волатильность индекса;

В" - сечение ФБД с показателем Херста Я в момент времени /.

Показатель Херста вычисляется несколькими способами по фактическим данным, при этом из данных удаляется дрейф согласно интегральному виду модели (1).

Для проведения вычислений показателя Херста исторические дневные цены закрытия индексов преобразуются к виду Д-дневных логарифмических доходностей с удаленным линейным трендом вида:

П=ьЗЧ /Л,

- цена закрытия индекса в к-й день; - цена закрытия индекса в (к - Д)-й день;

// - параметр линейного тренда.

Пусть имеется Означений У\, Уц. Метод нормированного размаха (Я/З-метод) предполагает вычисление следующей статистики для различных значений параметра п:

, тахГУЧГ, -еа)]-тт[У(У. -е )1

п - длина временного интервала разбиения, а - порядковый номер интервала разбиения, А - общее количество временных интервалов разбиения, А n = N;

еа - среднее по а-му временному интервалу длины п;

Yt а - i-e значение Y в а-и интервале разбиения, включающем к значений Y.

Показатель Херста равен тангенсу угла наклона графика зависимости ln(R/S)Д от 1п(н).

Метод модулей приращений дает возможность получить оценку показателя Херста, используя следующую статистику для целых положительных чисел ккт:

i I"'л] _

AMlm) =ЧЧ Y\X{m)-XN I (3)

N/m fe1' N 1

i km Г Л _ i "

гд e*w(*) = 1^,^ = 1,2..... Z.X^jX,,

тЫ{к-1)т LmJ " W

= = Уг ~Y,...,Xn = Yn

[x\ обозначает целую часть числа х.

Статистика (3) пропорциональна тн~1 для достаточно больших т.

Метод дисперсии использует похожую статистику:

1 [N/ml _

r<->=--[*<">(4),

которая пропорциональна тн~2 при т Ч> со.

Предполагая, что дисперсия логарифмических доходностей индексов возрастает пропорционально длине временного интервала, возведенной в степень 2Н, то есть <Гд=А2"-сг2, где а1 - дисперсия, полученная по 1-дневным значениям Yh а\ - дисперсия, полученная по Д-дневным

значениям У*, получаем оценку показателя Херста, построив соответствующую линейную регрессию для 1п<7д относительно 1п а2.

Одновременно с вычислением показателя Херста проверяется гипотеза о том, что характер динамики рынка обусловлен детерминированным хаосом. В этом случае логарифмические доходности индексов имеют постоянную корреляционную размерность. Для соответствующих расчетов используются Д-дневные логарфмические доходности вида:

5* - цена закрытия индекса в к-й день;

Бк. л - цена закрытия индекса в (к - Д)-й день.

Корреляционная размерность вычисляется следующим образом. Пусть имеется N значений Д-дневных логарифмических доходностей: 2\, 22,..., 2^.. Объединим первые р значений 2Х, 2г,..., 2Р в /-мерный вектор. Это есть первая точка Х\ в новом р-мерном пространстве. Вторая точка х2 получается объединением в вектор значений со второго по (р + 1)-е. Третья - с третьего по {р + 2)-е. Далее по аналогии, сдвигаясь каждый раз на единицу указанным образом, получим (Ы - р + 1) вектор. Теперь зафиксируем некоторое число г > 0 и вычислим количество пар полученных векторов, модуль расстояния между которыми меньше г. Разделив это количество на общее число неповторяющихся пар векторов, равное (И-р + 1) - (Л'-р) / 2, получим значение корреляционного интеграла С(г):

С(г)-{м-Р+21НК-Р)т (5)'

где т - число пар г,/, Для которых | х, -х11< г.

Построив график корреляционного интеграла С(г) для различных значений размерности вложения р, вычисляем тангенс угла наклона его прямой части. Если начиная с некоторогор=р* наклон стабилизируется, то значение тангенса данного угла наклона есть корреляционная размерность индекса. Если стабилизация наклона отсутствует, то отсутствует и конечная корреляционная размерность.

На основе данных о показателе Херста Н индекса сделаны выводы о перснстенгности (случай ФБД с Я >0.5, черный шум),

антиперсистентности (случай ФБД с Н< 0.5, розовый шум) индекса либо о его подчинении винеровскому случайному процессу (Я = 0.5).

2.2 Выявлены циклы в динамике ценообразования фондовых индексов

Путем применения метода нормированного размаха и построения графика зависимости К-статистики от логарифма длины интервала оценена продожительность непериодических циклов в динамике индексов. V-

статистика вычисляется по формуле:

Анализ динамики ценообразования индекса РТС за период 1995-2009

Величина оценки показателя Херста Н индекса Результаты вычислений дают основания считать, что динамика индекса РТС подчиняется процессу черного шума. Это персистептный процесс, характеризующийся существенной зависимостью от начальных условий.

Вместе с тем на некоторых более длительных инвестиционных горизонтах наблюдаются признают детерминированного хаоса в поведении данного индекса. В случае 10-дневного горизонта логарифмические доходности имеют конечную корреляционную размерность, тангенс угла наклона кривой корреляционного интеграла стабилизируется на уровне около 7.

Подобный результат можно объяснить следующим образом. На коротких временных интервалах динамика рынка зависит от действий многочисленных краткосрочных, в том числе внутридневных, трейдеров. Поведение рынка на малых горизонтах во многом случайно. В то же время российский рынок относительно малоликвиден. По этой причине на более длительных горизонтах его динамика определяется действиями крупных иностранных инвесторов, в том числе хедж-фондов, инвестирующих средства в развивающиеся рынки. Осенью 2008 года на российском фондовом рынке появися новый крупный инвестор - государство, действующее через ВЭБ. Именно стратегический характер инвестиций таких игроков, а также фактор их определяющей роли в средне- и

догосрочной динамике рынка и приводят, на наш взгляд, к проявлениям детерминизма.

Длина персистентного непериодического цикла составляет примерно 403 дня. Именно в этой области индекс подчиняется процессу черного шума с показателем Херста близким к среднему. Большие интервалы характеризуются более выраженной персистентностью. Аналогичные циклы были выделены и при анализе 3- и 5-дневных логарифмических доходностей.

Анализ динамики ценообразования индекса ММВБ за период 19992009 гг.

При анализе динамики индекса ММВБ возникают трудности, связанные с проблемой недостатка данных, возникающей из-за относительной молодости индекса. По этой причине показатель Херста вычислен лишь для 1- и 3-дневных доходностей. Средняя величина оценки показателя Херста Н индекса Итак, индекс ММВБ, как и индекс РТС, подчиняется процессу черного шума на малых инвестиционных горизонтах. Однако, в отличие от индекса РТС, при увеличении инвестиционного горизонта индекс ММВБ продожает проявлять стохастичность. Несмотря на пошаговое увеличение размерности вложения до величины 12, .для 10-дневных и 20-дневных логарифмических доходностей не выявлено конечной корреляционной размерности (угол наклона кривой корреляционного интеграла продожает возрастать).

Различие в поведении двух российских индексов может иметь следующие причины. Во-первых, индекс РТС включает больше бумаг, чем индекс ММВБ. Во-вторых, индекс РТС исторически рассчитывается в доларах США. В России применяется политика валютного регулирования. По-видимому, регулируемые изменения курса рубля к долару США могут влиять на динамические характеристики индекса РТС.

Индекс ММВБ имеет непериодический персистентный цикл продожительностью около 149 дней. Заметим, что при увеличении инвестиционного горизонта индекс проявляет антиперсистентность, то есть начинает следовать процессу розового шума. Данный процесс характеризуется возвратом к среднему и отсутствием выраженных тенденций. Следовательно, инвестор может поймать тенденцию,

инвестируя свои средства на срок примерно в 30 недель. Аналогичный цикл выявлен при анализе 3-дневных логарифмических доходностей. Также выделен цикл продожительностью 244 торговых дня.

Анализ динамики ценообразования индекса Dow Jones Industrial Average за период 1928-2009 гг.

Величина оценки показателя Херста Н индекса Dow Jones Industrial AverageCrapmmuii американский фондовый индекс следует процессу черного шума на коротких инвестиционных горизонтах. При увеличении инвестиционного горизонта проявляется стохастичность, о чем свидетельствует отсутствие конечной корреляционной размерности. Наклон кривой корреляционного интеграла не стабилизируется для случая 20-дневных логарифмических доходностей индекса.

Американский фондовый рынок является самодостаточным и не подвержен (по крайней мере в данный момент) оттоку капитала стратегических инвесторов. Являясь существенно менее волатильным, чем российский, американский рынок и на длительных временных интервалах демонстрирует стохастическую динамику. Аналогичные результаты получены и для инвестиционных горизонтов протяженностью 40 и 80 торговых дней.

Индекс Dow Jones Industrial Average характеризуется наличием непериодических циклов в динамике. Продожительность цикла составляет примерно 1480 дней. Анализ 3-, 5- и 10-дневных логарифмических доходностей выявил тот же цикл с некоторой амплитудой. В среднем цикл оценивается как 1350-1500-дневный. На таком инвестиционном горизонте инвестор может рассчитывать на достаточно устойчивую тенденцию. При более продожительном горизонте существует опасность потерять заработанные прибыли из-за возврата ценовых уровней рынка к среднему значению.

Анализ динамики ценообразования индекса NASDAQ за период 19712009 гг.

Средняя величина оценки показателя Херста Н индекса NASDA(^Рассматриваемый индекс демонстрирует поведение, сходное с поведением индексов, рассмотренных выше. Вновь имеем черный шум,

при этом стохастичность сохраняется и на более длительных временных интервалах. Конечная корреляционная размерность отсутствует в случае 20-, 40- и 80-дневных логарифмических доходностей.

При увеличении размерности вложения тангенс угла наклона прямого участка кривой корреляционного интеграла возрастает. Таким образом, конечная корреляционная размерность отсутствует.

Для индекса NASDAQ характерна непериодическая цикличность. Продожительность персистентного цикла составляет примерно 1800 торговых дней. Анализ 3-дневных доходностей позволяет выявить непериодический персистентный цикл продожительностью 1806 торговых дней. С другой стороны, анализ 5-дневных доходностей позволил выявить 1352-дневный цикл. При превышении горизонтом циклического порога начинает проявляться антиперсистентность.

Анализ динамики ценообразования индекса Standard & Poors 500 за период 1952-2009 гг.

Средняя величина оценки показателя Херста Я индекса Standard & Poors 500Индекс Standard & Poors 500 подчиняется персистентному процессу черного шума. Увеличение инвестиционного горизонта не отражается на характере динамики индекса.

Наклон кривой корреляционного интеграла не стабилизируется, и конечная корреляционная размерность отсутствует как в случае 20-дневных, так и в случае 40- и 80-дневных логарифмических доходностей.

В отличие от предыдущих примеров, динамика индекса S&P 500 характеризуется не одним, а как минимум двумя персистентными циклами. Продожительность малого цикла составляет примерно 250 дней. Продожительность большого цикла равна 1000 дней. Остальные предположительные циклы (включая антиперсистентный) не подтвердились при анализе графиков К-статистики, соответствующих более длительным инвестиционным горизонтам.

2.3 Осуществлено моделирование динамики ценообразования рисковых активов на фрактальном рынке прн помощи дискретной модели на основе фрактального броуновского движения

Непрерывная модель (1) является исходной, однако для дальнейшего решения ряда задач возникает потребность в переходе к ее дискретному аналогу. Дискретный аналог1 представляет собой модифицированное биномиальное дерево, в котором цена рискового актива на п-м шаге определяется по формуле:

+ л + (7),

а - смещение, определяемое как средняя доходность в расчете на шаг;

ХХД - коэффициент повышения (понижения).

ФБД можно представить в виде интеграла:

В5 Ч винеровский процесс, а х) - детерминированное ядро, вычисляемое по формуле

= сн (Я - 0.5)^О5-н -

2ЯГ(1.5-Я)

" " 'I Г(Я + О 5)Г(2 - 2Я) ' ~ гамма-функция Эйлера. Следуя методологии Т. Соттинена, положим

п - номер шага, N - общее число шагов в дискретной модели. Пусть , ;' = 1, 2, ...,Г,- дискретные случайные величины, такие, что Р(д, = 1) = 0.5 = = -1). Формулы

= <*(*(л> 0 - к(п -1,0)6 + ок{, п) Х 1, /-1

О-Цп-ЪОХ, +ок(п,Д)(-1)

задают повышающие и понижающие коэффициенты на и-м шаге.

В данных формулах 1 и (-1) - возможные значения дискретной случайной величины Д. Соответственно, на и-м шаге XXД из формулы (7) может принять одно из двух значений:

XXД = иД, если = 1, и ХХД = если й = -1.

2.4 Произведена оценка справедливой стоимости производных инструментов на рисковые активы при помощи безарбитражной модели с пропорциональными транзакционпыми издержками2

При оценке стоимости производных финансовых инструментов ключевой является проблема арбитража в модели ценообразования базисного актива.

В исходном виде модель (1) допускает арбитраж. Следовательно, справедливая оценка стоимости производных финансовых инструментов невозможна. Вместе с тем существует ряд подходов к исключению арбитража из модели с ФБД.

Из их числа наиболее приближенным к практическим реалиям торговли на фондовых рынках является подход, основанный на включении в модель пропорциональных транзакционных издержек3. В роли издержек выступают брокерские комиссии, вычисляемые как фиксированный процент от объема торговой сдеки. Именно этот подход применен в диссертации.

Предположим, что базисный актив не приносит дивидендного дохода.

Оценки верхней границы стоимости европейского опциона-кол на я-м шаге вычисляется по формуле:

= -КГ + (8),

Д и стоимость базисного актива на и-м и Ы-гл шагах соответственно,

К - цена испонения опциона-кол,

к - комиссия за операции по покупкам и продажам в процентах от оборота,

г - безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

Оценка нижней границы стоимости европейского опциона-кол на и-м шаге (п<Ы) вычисляется по формуле:

C'(SД,w) =

E[C!(SДti>n + 4 I < S'(n)]

где S'(n) определяется из условия

1 -к sД

При этом для п = N граница равна

Отметим, что формулы (8)-(10) применимы к случаю ФБД, поскольку не используют независимость доходностей. Полученные безарбитражные оценки величин справедливых цен производных финансовых инструментов основываются на методе стохастического доминирования.

Оценки стоимостей опционов-пут можно получить по аналогии с оценками для опционов-кол.

2.5 Проведено сравнение результатов расчетов по модели с ФБД и актуальных данных по торгам

Фьючерсный опцион-кол американского типа на индекс РТС (погашение опциона - 14 октября 2009 г.)

По состоянию на 12 октября 2009 г. данный опцион торгуется на РТС FORTS. Базисный актив - фьючерсный контракт на индекс РТС с испонением 14 декабря 2009 г.

Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами испонения 100 000, 110 000, 120 000, 125 000, 130 000 и 150 000 б.п. с одним и тем же базисным активом) проводися ежедневно в течение четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (7) с N = 10 шагов. Оценки параметров модели (7) составили: Я = 0.617; // = 0.000709 (в пересчете на 1 день); а = 0.02883 (в пересчете на 1 день); г = 9.0079% годовых - безрисковая процентная ставка, соответствующая доходности наиболее близкой по дюрации государственной облигации ОФЗ-25057 по состоянию на начало сентября 2009 г. Транзакционные издержки (брокерские комиссии) взяты равными 0.01% от торгового оборота.

Проведено сравнение результатов расчетов с реальными ценами сделок, с котировками на покупку и продажу, а также с теоретической ценой опциона-кол, рассчитываемой биржей РТС по формуле Блэка-Шоуза4.

Расчеты показали, что по мере приближения дня погашения величины оценок верхней и нижней границ стоимости опциона естественным образом сходятся друг к другу. Оценки, как и следовало ожидать, находятся в выраженной прямой зависимости от цены базисного актива. Цены . последних сделок5 во все дни, когда проводися расчет, попали в интервал между верхней и нижней границами. В данном случае то же самое можно сказать и о теоретических ценах опционов, хотя это скорее стечение обстоятельств, поскольку результаты применения формулы Блэка-Шоуза никак не зависят от модели (7). В то же время цены bid и ask ведут себя достаточно произвольно, что в ряде случаев объясняется невысокой ликвидностью торгов опционами на FORTS.

Фьючерсный оштоп-кол американского типа на индекс РТС (погашение опциона - 14 декабря 2009 гЛ

По состоянию на 12 октября 2009 г. данный опцион торгуется на РТС FORTS. Базисный актив - фьючерсный контракт на индекс РТС с испонением 14 декабря 2009 г.

Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с цепами испонения 110 000, 120 000, 130 000 и 150 000 б.п. с одним и тем же базисным активом) проводися ежедневно в течение тех же четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (7) с N- 10 шагов. Все параметры модели, кроме срока до испонения, остаются прежними.

Как и следовало ожидать, разность между оценками верхних и нижних границ стоимости длинного опциона оказалась больше, чем короткого. Однако она предсказуемо уменьшается по мере приближения срока испонения инструмента. Теоретические целы опционов, как и цены последних сделок, попали в интервал между верхней и нижней границами. Цены bid и ask вели себя более произвольно.

2.6 Продемонстрирована зависимость результатов применения моделей от изменения значения показателя Херста

В данном разделе представлены результаты расчетов, илюстрирующие зависимость оценок границ стоимости опционов по модели (7)-(10) от изменения ключевого параметра - показателя Херста.

Как было показано выше, динамика исследуемых фондовых индексов характеризуется различными значениями показателя Херста. Вместе с тем, эти различия являются достаточно умеренными. Возникает вопрос: как будут различаться оценки стоимости опционов в зависимости от величины показателя Херста? Предположим, что значения всех параметров модели (7)-(10), кроме показателя Херста, зафиксированы. Показатель Херста принимает значения, соответствующие пяти рассмотренным фондовым индексам: РТС, ММВБ, Dow Jones Industrial Average, NASDAQ и Standard & Poors 500.

Анализ короткого опциона (срок испонения - октябрь 2009 г.) показал, что оценка нижней границы стоимости опциона более чувствительна к изменению значения показателя Херста, чем оценка верхней границы. Максимальная (РТС) и минимальная (ММВБ) оценки верхней границы отстоят друг от друга на 1.3%, в то время как аналогичные оценки нижней границы - на 9.4%. Для нижней границы свойственна обратная зависимость от показателя Херста, а для верхней - прямая зависимость.

Анализ длинного опциона (срок испонения - декабрь 2009 г.) показал, что увеличение срока до испонения усилило чувствительность оценок границ стоимости опционов от ключевого параметра модели (7-10). Разница между максимумом и минимумом оценки верхней границы составила 4.8%, оценки нижней границы - 13.2%. Указанная разница увеличилась практически на одинаковую величину для обеих границ.

3. Заключение

Проведенное исследование подтвердило обоснованность предположений гипотезы фрактального рынка в случае российского и американского фондовых рынков.

Фрактальные характеристики фондовых рынков

Ценообразование основных индексов указанных рынков подчинено процессу черного шума, то есть ФБД с показателем Херста Н > 0,5. При этом персистентность индексов меняется в зависимости от длины

инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы. Всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл, в случае индекса Standard & Poors 500 имеем два цикла. Индекс ММВБ, а также индексы Dow Jones Industrial Average и NASDAQ проявляют антипереистентность на длительных инвестиционных горизонтах. Индексы РТС и Standard & Poors 500 характеризуются, наоборот, усилением персистентных свойств по мере увеличения временного интервала. Из всех рассмотренных индексов лишь индекс РТС на некоторых горизонтах демонстрирует признаки детерминированного хаоса, что видно из наличия конечной корреляционной размерности аттрактора. Остальные индексы характеризуются стохастической динамикой ценообразования вне зависимости от временного лага логарифмических доходностей.

Модель ценообразования рисковых активов на фрактальном рынке Дискретная модель, основанная на процессе ФБД, впоне удовлетворительно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов.

Несмотря на то, что интервалы между границами достаточно длинные, на рынке присутствуют инвесторы, выставляющие котировку на покупку и продажу, не попадающие в указанные интервалы. Такие цены bid и ask далеки от справедливого уровня. Вместе с тем, цены совершаемых сделок в основном попадают в указанные интервалы.

Таким образом, показана практическая применимость модели (7)-(10) по крайней мере на российском рынке опционов. Проведены расчеты, продемонстрировавшие изменения результатов расчетов по модели в зависимости от значений фрактальных характеристик рынка.

Практические рекомендации на основе проведенного исследования Описанный в настоящей работе подход к оценке справедливой стоимости активов в рамках гипотезы фрактального рынка может быть использован при планировании инвестиционной деятельности на рынке ценных бумаг и является развитием традиционных методов, опирающихся на гипотезу эффективного рынка.

4. Основные положения исследования нашли отражение в публикациях:

1) Марков A.A. Фрактальная размерность российских и некоторых зарубежных фондовых индексов // Математические методы анализа финансовых временных рядов: Сборник научных статей / Под ред. В.Б. Гисина и А.Б. Шаповала. - М.: Финакадемия, 2008. - с. 49-61. -0,38 пл.

2) Gisin V.B., Markov A.A., Vinukov I.A. Estimation of extreme values of returns using the Zipf-Mandelbrot law (Оценка экстремальных значений доходностей с использованием закона Ципфа-Мандельброта) // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - Plovdiv, 2008. -Volume 50, №2. - pp. 245-250. - 0,3/0,1 пл.

3) Марков A.A. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов // Сегодня и завтра российской экономики. - М., 2009. - №30. - с. 103-112.-0,49 пл.*

4) Марков A.A. Оценка границ стоимости опционов на фрактальном рынке // Вестник экономической интеграции. - М., 2009. - №8 (18). -с. 49-57.-0,55 пл.*

5) Марков A.A. Оценка рисковых активов на фрактальном рынке // Финансы и кредит. - МД 2009. -№48 (384). - с. 88-93. - 0,48 пл. *

1 Подробнее о дискретной модели см. в: Sottincn Т. Fractional Brownian morion, random walks and binary market models // Finance & Stochastics 5. - 2001. - pp. 343-3552 Данная методология подробно описана в: Constantinides G.M., Pcrrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control, 26. - 2002 - pp. 1323-1352..

3 Безарбитражность модели с траюакционными издержками показана в: Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond 11 Mathematical Finance, Volume 16, Issue 3. -2006-pp. 569-582.

4 Данные взяты из: Фьючерсы и опционы RTS FORTS - доска опционов 11 Фондовая биржа РТС: сайт. СПб: 2009. URL: httpa7www.rts.ru/ru/forts/optionsdesk.aspx?sby=л&is.m=RTS-

3.09&sicNl&bSubmit^/oCF%EE%EAyoE0%E7%E0%F2%FC+%2F+%CE%El%ED%EE%E2%^/oF2%FC.

5 Более подробные сведения по итогам торгов доступны по ссыке Ссыка на домен более не работаетru/forts/conmcttesults.html.

' статьи в изданиях, определенных ВАК.

Подписано в печать:

29.04.2010

Заказ № 3 651 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография л11-й ФОРМАТ ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Марков, Андрей Аркадьевич

Введение.

1. Теоретические аспекты фрактального анализа финансовых временных рядов.

1.1 Гипотеза фрактального рынка.

1.2 Фракталы и их размерность.

1.3 Винеровский процесс и фрактальное броуновское движение.

1.4 Связь показателя Херста # с персистентностью / антиперсистентностью финансовых временных рядов.

1.5 Фрактальное броуновское движение и проблема арбитража.

1.6 Литературный обзор по теме диссертационной работы.

1.7 Критический анализ РМН.

1.8 Научная проблема и замысел ее решения.

2. Прикладные модели анализа динамики ценообразования рисковых активов в предположениях гипотезы фрактального рынка.

2.1 Фрактальная модель ценообразования рыночных активов.

2.2 Обоснование выбора объекта анализа.

2.3 Описание примененного преобразования данных.

2.4 Описание и обоснование примененных методов оценки показателя Херста Н.

2.5 Выявление непериодических циклов в динамике ценообразования фондовых индексов.

2.6 Оценка корреляционной размерности логарифмических доходностей индексов.

2.7 Дискретная аппроксимация модели с ФБД.

2.8 Приближенная оценка стоимости опционов.

2.9 Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий).

2.10 Хеджирование опционной позиции в модели с ФБД.

3. Применение фрактальных моделей к фондовым рынкам.

3.1 Фрактальные характеристики фондовых индексов.

3.2 Оценка стоимости опционов на российском фондовом рынке при помощи модели с ФБД.

3.3 Вычисление границ стоимости опционов для различных значений показателя Херста Н.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков"

Настоящая диссертационная работа посвящена выявлению и исследованию фрактальных свойств динамики цен на фондовых рынках.

Актуальность проводимого исследования

Начиная с середины XX века нелинейные методы начинают все более широко применяться при анализе динамики ценообразования фондовых рынков.

С научной точки зрения гипотеза фрактального рынка является парадигмой, описывающей взаимодействие участников рынка и ценообразование активов как результат этого взаимодействия. Предпосыки гипотезы фрактального рынка (разнообразие инвестиционных горизонтов участников как основной фактор устойчивости рынка, коррелированность доходностей рисковых активов на непересекающихся временных промежутках, трактовка обвалов и скачков как реакции на снижение рыночной ликвидности) являются существенно более приближенными к реальному положению дел, чем традиционные положения гипотезы эффективного рынка (рациональность участников рынка, мгновенная реакция цен на поступившую информацию, трактовка обвалов и скачков как перехода к новому равновесному состоянию).

С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет получать более точную оценку рыночных рисков. Благодаря этому могут быть получены рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов. В рамках гипотезы фрактального рынка динамика доходностей рисковых активов описывается процессом фрактального броуновского движения (далее - ФБД).

В то же время существуют объективные препятствия к практическому применению теоретических методов оценки стоимости рисковых активов в рамках гипотезы фрактального рынка. Во-первых, фрактальный рынок допускает арбитраж, что лишает возможности использовать аппарат рискнейтральных вероятностных мер для оценки цен производных финансовых инструментов. Во-вторых, вычисление значений фрактальных характеристик, выступающих в роли параметров моделей с ФБД, зачастую затруднено из-за наличия авторегрессионных зависимостей между элементами исследуемого временного ряда, влияния тренда или присутствия выбросов среди элементов ряда.

Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы безарбитражной оценки справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке. Указанная проблема особенно актуальна в условиях российского фондового рынка, характеризующегося повышенной волатильностью, что влечет потребность участников рынка в эффективном инструменте адекватной оценки рыночных рисков.

Степень разработанности проблемы

Моделирование динамики ценообразования рискового актива опирается на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, который восходит в первую очередь к достижениям выдающегося ученого А.Н. Комогорова, а также П.Л. Чебышева, A.A. Маркова (старшего), A.M. Ляпунова, А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Б.В. Гнеденко, Ю.В. Прохорова, Ю.А. Розанова, И.В. Гирсанова и др.

В области стохастической финансовой математики центральное место занимают фундаментальные труды А.Н. Ширяева, а также работы Г. Фёмера, А. Шида, Т. Андерсена, Т. Болерслева, В.И. Аркина, И.В. Евстигнеева, Э.Л. Пресмана, А. Д. Сластникова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, A.B. Мельникова, К. Бол, О. Барндорф-Нильсена, Т. Бьорка, У. Брока, Д. Хсие, К. Чоу, М. Докоронья, Ф. Дебаена, У. Шахермайера, Д. Даффи, М. Эмери, Дж. Харрисона, Т. Хо, С. Ли, О. Васичека и др.

Применение теории случайных процессов для аппроксимации динамики цен на фондовых рынках началось с работ Л. Башелье. В дальнейшем его результаты были допонены и развиты в прикладных работах Г. Марковича, Р. Мертона, П. Самуэльсона, У. Шарпа, а также теоретических трудах М. Осборна, Э. Фама и др.

Аппарат оценки стоимости производных финансовых инструментов развит такими учеными, как Блэк, М. Шоуз, Дж. Кокс, Р. Росс, М. Рубинштейн, Дж. Хал, С. Рачев, Дж. Константинидис, С. Перракис.

Использование фрактальной геометрии в анализе фондовых рынков обязано своим рождением Б. Мандельброту, применившим результаты Г. Херста в финансовой сфере, а также Э. Петерсу, чьи работы активно использовались автором при написании диссертации. Помимо этих авторов, в области фрактального анализа финансовых временных рядов автор опирася на результаты М.М. Дубовикова, Н.В. Старченко, С.Е. Теплова, Л.В. Клочихина, Д.А. Филатова, В.Н. Якимкина, В.Н. Костюка, Дж. Браун, Р. Клегга и ряда других ученых, проводивших фрактальный анализ национальных фондовых рынков своих стран: А. Ло, Т. Милс, Т. Люкс, В. Чоу, М. Пэн, Р. Сакано, И. Лобато, Н. Савин, У. Уилинджер, М. Такку, В. Теверовский, С. Чен, Г. Нэт, Дж. Кавальканте, А. Ассаф, Е. Панас, Ю. Тольви, С. Садик, П. Сильвапуль, Д. Кажуэйро, Б. Табак, Г. О, К. Ум, С. Ким.

Аппарат эконофизики и нелинейной динамики развит в работах В.И. Арнольда, П. Берже, И. Помо, К. Видаля, Г. Шустера, А.Ю. Лоскутова, А.С. Михайлова, М.Ю. Романовского, Ю.М. Романовского, Р. Мантеня, X. Стенли, Д. Сорнетта и др.

Свойства фрактального броуновского движения исследованы в работах Т. Соттинена, Э. Вакейла, П. Гуасони, Б. Оксендаля, Й. Ху, Р. Элиотта, Дж. Ван дер Хойка, П. Чередито, Л. Роджерса, Ю. Мишуры, Ш. Ростека и др.

Однако на сегодняшний день подходы к практическому применению гипотезы фрактального рынка являются недостаточно проработанными.

Научное сообщество знает, как выявить и вычислить фрактальные характеристики рыночных инструментов, но только приближается к получению точных оценок справедливых цен этих инструментов. Сложности обусловлены как минимум двумя причинами:

Х арбитраж во фрактальных моделях ценообразования рисковых активов;

Х трудности экономической интерпретации ряда математических результатов (таких, например, как исключение арбитража путем модификации интеграла в представлении ФБД).

Естественно, что две перечисленные проблемы автоматически порождают третью - многие из разработанных теоретических подходов к анализу фрактального рынка пока что так и остаются теорией, не нашедшей достаточного применения в практической инвестиционной деятельности. Однако быстрое развитие рынка России в сочетании с посткризисным переосмыслением отношения к риску во всем финансовом мире требует скорейшего внедрения более совершенных методов анализа рыночной конъюнктуры.

Необходимость совершенствования подходов к использованию гипотезы фрактального рынка при оценке справедливой стоимости рисковых активов на фондовых рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.

Цель и задачи исследования

Цель исследования - решение научной проблемы совершенствования подходов к вычислению безарбитражных оценок справедливых цен рисковых активов на фрактальном рынке.

В диссертационной работе решаются следующие задачи: 1) оценка значений фрактальных характеристик фондовых индексов (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения и др.); 2) выявление циклов в динамике цен на рынках; 3) на основе (1) и (2) моделирование динамики ценообразования рисковых активов на основе фрактального броуновского движения; 4) оценка справедливой стоимости производных инструментов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками; 5) сравнение результатов расчетов с помощью моделей из (3)-(4)с актуальными данными по торгам и их тестирование в динамике.

Объект исследования - фондовые рынки (на примере рынков России и США). Предмет исследования - фрактальные свойства фондовых рынков (фрактальная размерность и показатель Херста фондовых индексов, циклы в динамике ценообразования на рынках, персистентность/антиперсистентность, корреляционная размерность, размерность вложения) и их влияние на оценку справедливой стоимости торгующихся рисковых активов.

Методологические и теоретические основы исследования

Теоретическая и методологическая основа исследования -теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика. Важнейшую роль при написании работы сыграли работы (преимущественно зарубежные) в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений. Программно-технический комплекс фрактального анализа финансовых временных рядов и оценки справедливой стоимости рисковых активов реализован с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel. Содержание диссертационного исследования соответствует специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Информационная база исследования

В числе информационных источников диссертации использованы:

Хнаучные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, инвестиций и рынка ценных бумаг опубликованных в монографиях, периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров;

Хстатистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, свободно доступных через сеть Internet.

Научная новизна исследования

Научная новизна диссертации заключается в уточнении количественных характеристик фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков и получении безарбитражных оценок справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Получены уточненные оценки фрактальных характеристик (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения, длительность персистентных циклов) фондовых индексов в рамках предположений гипотезы фрактального рынка.

2. С помощью реализованных и впервые примененных в условиях российского рынка методов, основанных на модели с ФБД, получены оценки справедливой стоимости рисковых активов и фьючерсных опционов на эти активы.

3. На основе сопоставления результатов расчетов с реальными торговыми котировками показано, что указанные методы применимы как минимум на российском фондовом рынке.

4. Показано, что результаты расчетов на основе моделей из (2) существенно меняются даже при незначительных изменениях ключевого параметра - показателя Херста, что свидетельствует о чувствительности моделей и наглядно демонстрирует роль учета фрактальности в повышении точности оценки рыночных рисков.При написании диссертации автор видел одну из задач в том, чтобы на основе сырых теоретических моделей, построенных исследователями-математиками, получить работоспособный математически корректный инструмент оценки стоимости рисковых активов, имеющий: а) более реалистичные предпосыки по сравнению с существующими методами; б) ясную экономическую интерпретацию; в) потенциал практического применения в реальной инвестиционной деятельности. Данный инструмент дает возможность приблизиться к устранению проблемы вакуума практических методов применения столь привлекательной и реалистичной парадигмы, как гипотеза фрактального рынка.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к российским условиям.

Практическая значимость результатов состоит в получении участниками фондового рынка инструмента для более точной (в сравнении с оценками на основе предположений гипотезы эффективного рынка) оценки рисков в процессе инвестиционной деятельности.

Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей.

Апробация результатов исследования

Основные результаты исследования были изложены и обсуждены в рамках следующих мероприятий: круглый стол по теме Российский финансовый рынок: проблемы повышения конкурентоспособности и роли в инновационном развитии экономики, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2007 г.); круглый стол для аспирантов по теме Российский финансовый рынок и его роль в инновационном развитии экономики, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2008 г.); круглый стол для аспирантов по теме Финансовые аспекты инновационного развития экономики России, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. JI.H. Красавиной (Финакадемия, 2009 г.); круглый стол для аспирантов по теме Мировой финансово-экономический кризис и перспективы инновационного развития экономики России: финансовый, кредитный, валютный аспекты, проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2010 г.); Пятая международная конференция по прикладной математике и численным методам (Технический университет г. Пловдив, Богария, 12-18 августа 2008 г.); Seminar on Actual Methods of Financial Risk Management - Российско-австрийский Семинар по актуальным методам финансового риск-менеджмента (Финакадемия, 13-18 сентября 2009 г.); Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009) Новой экономической ассоциации (НЭА) и Секции экономики Отделения общественных наук РАН (МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.).

Результаты исследования нашли практическое применение в ООО Менеджмент-консатинг. В работе Аналитического отдела этой организации используется методология оценки справедливой стоимости опционов на фрактальном рынке, а также описанная в исследовании дискретная модель ценообразования базисных и производных финансовых инструментов.

Материалы исследования используются кафедрой Математика ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации в преподавании учебной дисциплины Стохастическая финансовая математика. Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.

Работа выпонена в рамках направления исследования НИР кафедры Математика ФГОУ ВПО Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации по теме Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов в соответствии с Комплексной темой Пути развития финансово-экономического сектора России.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ (в том числе 3 - в изданиях, определенных ВАК) общим объемом 2,2 п.л. (авторский объем - 2,0 п.л.).

Структура диссертационной работы.

Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Первая глава посвящена основным сведениям в области фрактального анализа фондовых рынков, литературному обзору по теме диссертации, постановке научной проблемы и замыслу ее решения. Во второй главе представлена модель оценки рисковых активов и производных инструментов в рамках гипотезы фрактального рынка. Представлены и проанализированы примененные методы оценки фрактальных характеристик рисковых активов. В третьей главе показаны

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Марков, Андрей Аркадьевич

Заключение

Проведенное исследование подтвердило обоснованность предположений гипотезы фрактального рынка.

Фрактальные характеристики фондовых рынков

Ценообразование основных индексов указанных рынков подчинено процессу черного шума, то есть ФБД с показателем Херста Н> 0,5. При этом персистентность индексов меняется в зависимости от длины инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы. Всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл, в случае индекса Standard & Poors 500 имеем два цикла. Индекс ММВБ, а также индексы Dow Jones Industrial Average и NASDAQ проявляют антиперсистентность на длительных инвестиционных горизонтах. Индексы РТС и Standard & Poors 500 характеризуются, наоборот, усилением персистентных свойств по мере увеличения временного интервала. Из всех рассмотренных индексов лишь индекс РТС на некоторых горизонтах демонстрирует признаки детерминированного хаоса, что видно из наличия конечной корреляционной размерности аттрактора. Остальные индексы характеризуются стохастической динамикой ценообразования вне зависимости от интервала времени.

Модель ценообразования рисковых активов на фрактальном рынке

Дискретная модель, основанная на процессе ФБД, впоне удовлетворительно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов.

Несмотря на то, что интервалы между границами достаточно длинные, на рынке присутствуют инвесторы, выставляющие котировку на покупку и продажу, не попадающие в указанные интервалы. Такие цены bid и ask далеки от справедливого уровня. Вместе с тем, цены совершаемых сделок в основном попадают в указанные интервалы.

Таким образом, показана практическая применимость модели (2.7.1) по крайней мере на российском рынке опционов. Проведены расчеты, продемонстрировавшие чувствительность модели к изменению значений фрактальных характеристик рынка.

Практические рекомендации на основе проведенного исследования

Описанный в настоящей работе подход к оценке справедливой стоимости активов в рамках гипотезы фрактального рынка может быть использован при планировании инвестиционной деятельности на рынке ценных бумаг и является развитием традиционных методов, опирающихся на гипотезу эффективного рынка.

Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Марков, Андрей Аркадьевич, Москва

1. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Едиториал УРСС, 2004. 128с.

2. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 367 с.

3. Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. М.Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 128 с.

4. Васильев К.Г. Экономико-математическое моделирование финансовых пузырей на фондовом рынке: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. СПб, 2006. 23 с.

5. Дубовиков М.М., Крянев A.B., Старченко Н.В. Локальный фрактальный анализ временных рядов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная и компьютерная математика. 2004. Т.З. №1. С. 30-44.

6. Дубовиков М.М., Старченко Н.В. Индекс вариации и его приложение к анализу фрактальных структур // Александр Гордон. Научный альманах. 2003. №1. С. 5-32.

7. Ильин И.В. Модели и методы анализа динамических процессов в нелинейных экономических системах: Автореф. дис. докт. экон. наук.: 08.00.13. СПб., 2004. 31 с.

8. Корникова Н.В. Оценка динамики показателей стабильности и прогнозируемости рынка ценных бумаг : Автореф. дис. канд. экон. наук : 08.00.13. СПб., 2006. 20 с.

9. Костюк В.Н. Нестационарные экономические процессы. М.: УРСС, 2004. 240 с.

10. Костюк В.Н. Управление риском и теория фракталов // Труды Института системного анализа Российской академии наук. 2008. Т. 31. С. 6476.

11. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. 488 с.

12. Лашкарев А.Н. Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Ижевск, 2005. 23 с.

13. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 612 с.

14. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с.

15. Мандельброт Б., Хадсон Р.Л. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. М.: Вильяме, 2006. 400 с.

16. Марков A.A. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов // Сегодня и завтра российской экономики. 2009. №30. С. 103-112.

17. Марков A.A. Оценка границ стоимости опционов на фрактальном рынке // Вестник экономической интеграции. 2009. №8 (18). С. 49-57.

18. Марков A.A. Оценка рисковых активов на фрактальном рынке // Финансы и кредит. 2009. №48 (384). С. 88-93.

19. Марков A.A. Оценка рисковых активов на фрактальном рынке // Российский экономический конгресс. Сборник докладов участников Электронный ресурс. / Новая экономическая ассоциация. М.: ИЭ РАН, 2009. CD-ROM. Загл. с этикетки диска.

20. Марков A.A. Фрактальная размерность российских и некоторых зарубежных фондовых индексов // Математические методы анализа финансовых временных рядов: Сборник научных статей / Под ред. В.Б. Гисина и А.Б. Шаповала. М.: Финакадемия, 2008. С. 49-61.

21. Мерфи Д. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. М.: Евро, 2008. 592 с.

22. Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. 304 с.

23. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. 336с.

24. Рюэль Д. Случайность и хаос. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 191 с.

25. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах. М.: Интернет-трейдинг, 2008. 400 с.

26. Старченко H.B. Локальный фрактальный анализ в физических приложениях. // Препринт № 006-2005, МИФИ. 2005.

27. Теплов С.Е. /^-анализ американского фондового, российского фондового и валютного рынков // Сб. статей Финансовый сектор в экономике. М.: МФПА, 2007.

28. Теплов С.Е., Клочихин Л.В. .К/З'-анализ фондового рынка NASDAQ II Математико-статистический анализ социально-экономических процессов: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 4. М.: МГУЭСИ, 2007.

29. Тренин Ю.Б. Методы теории детерминированного хаоса в исследовании нерегулярной динамики финансовых рынков: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Пермь, 2005. 21 с.

30. Узденов Р.Х. Математические и инструментальные . методы анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Кисловодск, 2004. 26 с.

31. Урицкая О.Ю. Прогнозирование экономических кризисов на основе фрактального анализа динамики валютных курсов: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. СПб., 2004. 18 с.

32. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

33. Федоренко A.C. Экономико-математические методы анализа и прогнозирования дйнамики показателей рынка фьючерсных контрактов: Авторёф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. СПб, 2006. 23 с.

34. Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты. М.: Экономика, 2008. 468 с.

35. Фельмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время / Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2008. 496 с.

36. Филатов Д.А. Прогнозирование финансовых крахов на основе моделирования степенного ускорения роста цены актива // Эконометрическое моделирование: модели и методы-2007; Материалы международной научно-практической конференции. 2007. С. 242-248.

37. Фощан Г.И. Нелинейные динамические модели и нейросетевые методы прогнозирования динамики финансовых рынков: Автореф. дис. канд. экон. наук: 08.00.13. Краснодар, 2005. 24 с.

38. Хал Дж.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: ООО И.Д. Вильяме, 2007. 1056 с.

39. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2004. 1028 с.

40. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 2004. 489 с.

41. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. М.: ФАЗИС, 2004. 543 с.

42. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 528 с.

43. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. Лобанова A.A. и Чугунова A.B. М.: Альпина Бизнес Букс, 2009. 932 с.

44. Якимкин В.Н. Финансовый дилинг. Технический анализ. М.: ИКФ Омега-Л, 2006. 479 с.

45. Якимкин В.Н. Фундаментальный анализ. М.: ИКФ Омега-Л, 2008. 640 с.

46. Янгишиева А.М. Моделирование экономических рисков методами нелинейной динамики: На материалах Карачаево-Черкесской Республики: Автореф. дис. канд. экон. наук : 08.00.13. Ставрополь, 2005. 24 с.

47. An Т., Ureche-Rangau L. Does trading volume really explain stock returns volatility? // Journal of International Financial Markets, Institutions and Money. 2008. Vol. 18(3). Pp. 216-235.

48. Bachelier L. Thorie de la spculation // Annales scientifiques de l'E.N.S. 1900. 3-е srie. Tome 17. Pp. 21-86.

49. Bender C., Sottinen T., Valkeila E. Arbitrage with fractional Brownian motion? // Theory of Stochastic Processes 13 (29). 2006. Vol. 12 (28). №3-4. Pp. 23-34.

50. Bouchaud J.P., Soraette D., Walter D., Aguilar J.P. Taming Large Events: Optimal Portfolio Theory for Strongly Fluctuating Assets // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 1998. 1. Pp. 25-41.

51. Breban R., Nusse H.E. Computing fractal dimension in supertransient systems directly, fast and reliable. // URL: www.iop.org/EJ/abstract/0295-5075/76/6/1036.

52. Brodu N. Real-time update of multi-fractal analysis on dynamic time series using incremental discrete wavelet transforms. // URL: Ссыка на домен более не работаетabs/nlin.CD/0511041.

53. Brown J., Oxley L., Rea W., Reale M. The Empirical Properties of Some Popular Estimators of Long Memory Processes // Working Papers in Economics 08/13, University of Canterbury, Department of Economics. 2008.

54. Cajueiro D.O., Tabak B.M. Possible causes of long-range dependence in the Brazilian stock market // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2005. Volume 345. Issues 3-4. Pp. 635-645.

55. Cavalcante J., Assaf A. Long Range Dependence in the Returns and Volatility of the Brazilian Stock Market. Rio de Janeiro, 2002.

56. Chen S.-H. Lecture 7: Rescale Range Analysis and the Hurst Exponent // Financial Economics (I), Department of Economics; National Chengchi University. 2000.

57. Cheridito P. Mixed fractional Brownian motion // Bernoulli. 2001. 7. Pp. 913-934.

58. Cheridito P. Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modeling // Eidgenoss Technische Hochschule Zurich, Swiss Federal Institute of Technology, Ph. D. Thesis. 2001.

59. Chow K.V., Pan M.-S., Sakano R. On the long-term or short-term dependence in stock prices: Evidence from international stock markets // Review of Quantitative Finance and Accounting. 1996. Volume 6. №2. Pp. 181-194.

60. Clegg R.G. A Practical Guide to Measuring the Hurst Parameter // International Journal of Simulation: Systems, Science & Technology. 2006. Vol. 7. # 2. Pp 3-14.

61. Constantinides G.M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control. 2002. 26. Pp. 1323-1352.

62. Dubovikov M.M, Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A. 2004. № 339. Pp. 591-608.

63. Elliott R.J., Van Der Hoek J. A General Fractional White Noise Theory and Applications to Finance // Mathematical Finance. 2003. 13(2). Pp. 301-330.

64. Gisin V.B., Markov A.A., Vinukov I.A. Estimation of extreme values of returns using the Zipf-Mandelbrot law // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. Volume 50. №2. Pp. 245-250.

65. Gisin V.B., Markov A.A., Vinukov I.A. Estimation of extreme values of returns using the law of Zipf-Mandelbrot // Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing. Plovdiv, 2008. Abstracts, Volume 2. P. 180.

66. Greene M.T., Fielitz B.D. Long-term dependence in common stock returns // Journal of Financial Economics. 1977. Volume 4. Issue 3. Pp. 339-349.

67. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Mathematical Finance. 2006. Vol. 16. Issue 3. Pp. 569-582.1246.

68. Guasoni P., R'asonyi M., Schachermayer W. Consistent Price Systems and Face-Lifting Pricing under Transaction Costs // Annals of Applied Probability. 2008. Vol. 18. # 2. Pp. 491-520.

69. Guasoni P., Schachermayer W. Necessary Conditions for the Existence of Utility Maximizing Strategies under Transaction Costs // Statistics and Decisions. 2004. Vol. 22. # 2. Pp. 153-170.

70. Hu Y., Oksendal B. Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2003. Vol. 6(1). Pp. 1-32.

71. Hurst H.E. The Long-Term Storage Capacity of Reservoirs // Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951. 116

72. Lobato I.N., Savin N.E. Real and Spurious Long-Memory Properties of Stock-Market Data// Journal of Business & Economic Statistics. 1998. Vol. 16, No. 3. Pp. 261-268.

73. Lo A.W. Long-term memory in stock market prices // Econometrica. 1991. Vol. 59. No. 5. Pp. 1279-1313.

74. Lux T. Long-term stochastic dependence in financial prices: evidence from the German stock market // Applied Economics Letters. 1996. Vol. 3. No 11. l.Pp. 701-706.

75. Mandelbrot B. A Fractal Walk Down Wall Street // Scientific American. 1999. February. Pp.70-73.

76. Mandelbrot B. Fractals and Chaos: The Mandelbrot Set and Beyond. New York: Springer Verlag, 2004.

77. Mandelbrot B.B. Fractals and Scaling in Finance. New York: Springer New York, 1997.

78. Mandelbrot B.B. Statistical methodology for non-periodic cycles: from the covariance to R/S analysis // Annals of Economic and Social Measurement. 1972. 1. Pp.259-290.

79. Mantegna R.N., Stanley H.E. Scaling behavior in the dynamics of an economic index//Nature. 1995. 376. Pp. 46-49.

80. Mantegna R.N., Stanley H.E. Turbulence and financial markets // Nature. 1996. № 383. Pp. 587-588.

81. Markowitz H.M. Foundations of Portfolio Theory // Nobel Lecture. December7, 1990. URL: Ссыка на домен более не работаетnobel prizes/economics/laureates/1990/markowitz-lecture.pdf

82. Merton R.C. Applications of Option-Pricing Theory: Twenty Five Years Later // Nobel Lecture. December 9, 1997. URL: Ссыка на домен более не работаетnobelprizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf

83. Mills T.C. Is there long-term memory in UK stock returns? // Applied Financial Economics. 1993.Vol. 3. Issue 4. Pp. 303-306.

84. Mishura Y.S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

85. Nath G. Long Memory and Indian Stock Market-An Empirical Evidence // UTIICM Conference Paper. 2001.

86. Oh G.-J., Um C.-J., Kim S.-W. Long-term Memory and Volatility Clustering in Daily and High-frequency Price Changes // Arxiv preprint physics/0601174. 2006.

87. Panas E. Estimating fractal dimension using stable distributions and exploring long memory through ARFIMA models in Athens Stock Exchange // Applied Financial Economics. 2001. Vol. 11. No 4. Pp. 395-402.

88. Peters E.E. Chaos and order in the capital markets. New York: Wiley New York, 1991.

89. Roberts A. Use the information dimension, not the Hausdorff. // URL: Ссыка на домен более не работаетabs/nlin.PS/0512014.

90. Rogers L.C.G. Arbitrage with Fractional Brownian Motion // Mathematical Finance. 1997. 7(1). Pp. 95-105.

91. Rostek S. Option Pricing in Fractional Brownian Markets. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

92. Sadique S., Silvapulle P. Long-term memory in stock market returns: international evidence // International Journal of Finance & Economics. 2001. Vol. 6. Issue 1. Pp. 59-67.

93. Scholes M.S. Derivatives In a Dynamic Environment // Nobel Lecture, December 9, 1997. URL: Ссыка на домен более не работаетnobel prizes/economics/laureates/1997/scholes-lecture.pdf

94. Sottinen T. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models //Finance & Stochastics. 2001. 5. Pp. 343-355.

95. Sottinen T., Valkeila E. Fractional Brownian motion as a model in finance. // University of Helsinki, Department of Mathematics, Preprint 302. 2001.

96. Sottinen T., Valkeila E. On arbitrage and replication in the fractional Black-Scholes pricing model. // Statistics & Decisions. 2003. #21. Pp. 137-151.

97. Tolvi J. Long Memory and outliers in stock market returns // Applied Financial Economics. 2003. Vol. 13. No. 7. Pp. 495-502.

98. Tolvi J. Long Memory in a Small Stock Market // Economics Bulletin. 2003. Vol. 7. No. 3. Pp. 1-13.

99. Willinger W., Taqqu M.S., Teverovsky V. Stock market prices and long-range dependence // Finance and Stochastics. 1999. Vol. 3, No 1. Pp. 1-13.

100. Zhao Y., Ziemba W. On Leland's Option Hedging Strategy with Transaction Costs. // Sauder School of Business Working Paper. 2004.

101. Фьючерсы и опционы RTS Forts доска опционов. // Сайт Биржи РТС. URL: Ссыка на домен более не работаетru/forts/optionsdesk.aspx?sby=0&isin=RTS-3.09&sid= 1 &bSubmit=%CF%EE%EA%E0%E7%E0%F2%FC+%2F+%CE%E 1 % ED%EE%E2%E8%F2%FC

102. Экспорт/Архив РТС Классический. Индекс РТС. Экспорт данных daily. // Сайт Информационного агентства РосБизнесКонсатинг. URL: Ссыка на домен более не работаетexpdocs/free.rts. 1 .shtml?RTSI

103. Экспорт/Архив ФБ ММВБ Акции. Индекс ММВБ. Экспорт данных daily. // Сайт Информационного агентства РосБизнесКонсатинг. URL: Ссыка на домен более не работаетexpdocs/free.micex.0.shtml7MICEXINDEXCF

104. Dow Jones Industrial AVerage In (ADJI): Historical Prices. // URL: Ссыка на домен более не работаетq/hp?s=%5EDJI

105. NASDAQ Composite (AIXIC): Historical Prices. // URL: Ссыка на домен более не работаетq/hp?s=%5EIXIC

106. S&P 500 Index, RTH (AGSPC): Historical Prices. // URL: Ссыка на домен более не работаетq/hp?s=%5EGSPCвыплатами

Похожие диссертации