Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Исследование одного класса задач оптимизации ввода мощностей тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Ученая степень кандидат физико-математических наук
Автор Бабаев, Рауф Джангир оглы
Место защиты Москва
Год 1985
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат физико-математических наук , Бабаев, Рауф Джангир оглы

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВА НОВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ И ДИНАМИКИ ИХ СОЗДАНИЯ.II

з I.I. Общая постановка задачи.

з1.2. ОсноЕше элементы математической модели.

з 1.3. Математические модели.различных постановок.

з 1.4. Исследование особенностей математических моделей.

ГЛАВА П. МЕТОДЫ РЕ1ШНИЯ.

з 2,1. Точные методы.

з 2.2. Приближенные методы.

2.2.1. Приближенные методы пошаговой максимизации функционалов.

2.2.2. Приближенное решение задач дискретного программирования построением аппроксимирующих задач.

з2.3. Генерирование тестовых задач дискретного программирования с известным оптимальным решением.

ГЛАВА Ш. ЗАДАЧА О РАНЦЕ С УСЛОВИЯМИ ПУППОВОГО

з3.1. Постановка задачи.

з 3.2. Преобразование некоторых задач к задаче Р.

з3.3. Одно свойство задачи Р.

з 3.4. Линейная релаксация задачи Р

з 3.5. Решение задачи PL.

з 3.6. Приближенное решение задачи Р.

з 3.7. Априорный анализ с целью .уменьшения размерности.

з 3.8. Агоритм динамического программирования для решения задачи Р.

з З.У. Сводный агоритм решения задачи Р.

з 3.10. Вычислительный эксперимент.

ГЛАВА 1У. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ВЫБОРА МЕЛИОРАТИВНЫХ СИСТЕМ И ДИНАМИКИ ИХ СООРУЖЕНИЯ.

Описание объекта.

Минимизация суммарных капиталовложений при заданной потребности на продукцию в конце периода планирования.

Оптимальный выбор систем с целью максимизации ввода орошаемых.площадей на начальной стадии.

Оптимальный выбор систем с целью минимизации, капитальных затрат на начальной стадии.

Максимизация площади орошаемых земель в конце периода планирования при ограниченных в кавдый период располагаемых капитальных вложениях.

з 4.6. Максимизация площади орошаемых земель в конце периода планирования при за- . данных капитальных затратах.

з 4.7. Минимизация суммарных капитальных ело-жений при обеспечении заданного прироста площади орошаемых земель к концу периода планирования.

з 4.8. Учет дисконтирования.

В ы в о ды.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Исследование одного класса задач оптимизации ввода мощностей"

Широкое применение вычислительной техники,принципов системного анализа и математических методов принятия решений является одним из основных путей дальнейшего совершенствования .управления народным хозяйством и его отраслями.

В директивах ХХУ1 съезда КПСС и в постановлениях ряда последующих пленумов ЦК КПСС неоднократно подчеркнуто важное значение этой проблемы.

Одним из ооновных классов задач, возникающих при перспективном планировании развития народного хозяйства являются задачи выбора состава новых производственных мощностей и динамики их создания.

Оптимизация решения этих-задач на основе применения математических моделей является залогом наиболее эффективного распределения капитальных вложений на развитие народного хозяйства. Учитывая актуальность этой проблематики настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов разработки математических моделей и методов оптимизации в задачах выбора состава новых производственных мощностей и динамики их сооружения, а также некоторых смежных вопросов дискретной оптимизации ( целочисленного программирования).

Для перспективного планирования капитального строительства некоторой отрасли характерна, следующая общая схема. Из числа некоторого количества проектов-предложений необходимо выбрать наиболее рациональное множество и определить динамику их сооружения на протяжении горизонта планирования. Критерии оптимальности й ограничения этой задачи могут быть различными, отражая потребность в продукции исследуемой отраслями, стремление к максимально эффективному использованию капитальных вложений и др.

В первой главе систематически рассмотрены различные постановки, охватывающие широкое разнообразие условий и критериев задач оптимизации выбора проектов новых производственных мощностей и динамики их сооружения и построены их математические модели типа задач частично-целочисленного программирования с бинарными переменными и условиями группового выбора вида ^ . Показано, что при анализе этих моделей важ~ ь ной подзадачей является задача с неотрицательной матрицей ограничений и условиями группового выбора. Предложены сравнительно нетрудоемкие процедуры построения приближенных решений некоторых постановок.

Задачи частично-целочисленного программирования, которыми моделируются исследуемые постановки относятся к классу универсальных переборных, что эквивалентно тому, что при решении любой задачи произвольным точным (в отличие от приближенных) методом, не исключена возможность поного перебора всех допустимых решений. В сеязи с этим большое значение приобретают приближенные методы. При решении задач перспективного планирования использование приближенных методов правомерно еще тем, что значительная часть информации в этих задачах получается прогнозированием и в определенной степени носит оценочный характер.

Традиционно в задачах математического программирования приближенное решение является некоторой точкой доцустимой области.

Во еторой главе исследован подход к приближенному решению задач математического программирования, когда понятие "приближенность" относится к описанию допустимой области. Предложено понятие аппроксимирующей задачи,которая отличается от исходной некоторыми правыми частями. Оптимальное решение аппроксимирующей задачи принимается за приближенное решение исходной. В качестве меры приближения предложена максимальная абсолютная величина разности между правыми частями исходной и аппроксимирующей задач. На основе использования множителей Лагранжа предложены правила построения аппроксимирующей задачи. Последняя получается решением задачи Лагранжа при заданных значениях множителей Лагранжа.

Таким образом, произвольной задаче математического программирования (в том числе, целочисленной) соответствует бесконечное множество аппроксимирующих задач,отличающихся как множеством ограничений, включенных в функцию Лагранжа, так и величиной множителей Лагранжа. Построение наилучшей аппроксимирующей задачи при данной функции Лагранжа сводится к определению соответствующих значений множителей Лагранжа. Необходимо отметить, что в данном подходе приближенное решение однозначно определяет и меру своей приближенности, т.е. отпадает необходимость в решении оценочных задач, например, задачи линейного программирования для определения степени близости приближенного решения к оптимальному (по функционалу).

На основе этого подхода для решения задачи целочисленного программирования с двумя ограничениями общего вида и произвольным количеством ограничений группового выбора ( или без них) разработан метод приближенного решения, В этом сдучае задача Лагранжа представляет собой общую задачу о ранце с ограничениями группового выбора (эта задача исследована в третьей главе) или частично-целочисленную задачу о ранце. Благодаря тому, что последние задачи решаются эффективно, метод оказася вычислительно-эффективным для задач большой размерности.

Часто вычислительный эксперимент является единственным способом исследования эффективности методов решения задач целочисленного программирования Для проведения таких вычислительных экспериментов требуются генераторы тестовых задач. Из опыта проведения таких экспериментов вытекает, что для исключения легко решаемых "вырожденных" тестовых задач они дожны быть существенно дискретными (решение их линейной релаксации дожно быть нецелочисленным) и их оптимальное решение дожно быть известным. На основе использования аппарата функции Лагранжа во второй главе предложена общая схема генерирования тестовых задач линейного,частично-целочисленного и целочисленного программирования с произвольной матрицей ограничений. На основе этой схемы разработаны 4 агоритма-генератора существенно дискретных тестовых задач, в том числе с ограничениями группового выбора. В процессе построения тестовой задачи определяются такше её оптимальное решение. Два из этих агоритмов реализованы в виде программ для системы БЭСМ-АГОЛ.

Важным частным случаем задачи частично-целочисленного программирования является общая задача о ранце с условиями группового выбора, наложенными на часть бинарных переменных.

Третья глава посвящена исследованию этой задачи. Изучены свойства этой задачи, дан агоритм решения ее линейной релаксации, метод построения приближенного решения. Предложена процедура априорного анализа задачи с целью сведения ее к эквивалентной задаче меньшей размерности. Процедура оказалась очень эффективной, благодаря этому задачи большой размерности ( в вычислительных экспериментах до 3000 бинарных неизвестных) после априорного анализа успешно решаются агоритмом динамического программирования при объеме памяти не более 26 К машинных слов ЭВМ БЭСМ-6.

Последняя четвертая глава диссертации посвящена решению конкретных задач выбора оптимального набора мелиоративных систем и динамики их сооружения. Мелиоративные системы представляют собой крупные объекты народнохозяйственного значения, сооружение которых требует больших капиталовложений и значительного времени. При планировании сооружения таких объектов вопросы оптимизации использования капиталовложений имеют значение первостепенной важности. В качестве объекта приложения результатов диссертации была выбрана генеральная схема использования водных ресурсов в аридной зоне, разработанная Всесоюзным Государственным Ордена Трудового Красного Знамени головным проектно-изыскательским и научно-исследовательским институтом по переброске и распределению вод северных и сибирских рек имени Е.Е.Алексеевского "Союзгип-роводхоз" совместно с Вычислительным Центром АН СССР.

Генеральная схема включает около 150 мелиоративных систем, с проектными сроками сооружения 5 + 20 лег. Для подмножества наиболее крупных 46 проектов были математически смоделированы 7 различных постановок задач оптимального выбора мелиоративных систем и динамики их сооружения с условиями и критериями обеспечения заданной потребности в различных видах сельскохозяйственной продукции, максимизации величины орошаемых площадей в начальный период или в конце периода планирования, минимизации суммарных капиталовложений в начальный период или за все время планирования, по учету дисконтирования. Расчеты показали, что оптимизация приводит к улучшению показателей выхода продукции, площади орошаемых земель или величины капитальных затрат по сравнении со средними величинами до 10% (без учета дисконтирования). Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, списка использованной литературы (89 публикаций, из них 22 в иностранной печати) и приложения.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Бабаев, Рауф Джангир оглы

7. Результаты работы нашли приложения при проектировании, разработках и анализе сложных технических комплексов. Так, программа РГ для решения общей задачи о ранце с групповыми ограничениями включена в соответствующую систему математического обеспечения во Всесоюзном Государственном Ордена Трудового Красного Знамени головном проектно-изыскательском и научно-исследовательском институте по переброске и распределению вод северных и сибирских рек имени Е.Е.Алексеевского "Союзгипроводхоз" и в/ч 73790.

Использование результатов подтверждено актами внедрения.

Диссертация: библиография по экономике, кандидат физико-математических наук , Бабаев, Рауф Джангир оглы, Москва

1. Александров Н.А., Булатов В.П., Ерешко Ф.И., Огнивцев С.5. Об одной задаче стохастического программирования, связанной с распределением водных ресурсов. В кн.Тезисы докладов международной конференции по стохастическому программированию. Киев, 1984 г.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управлением., "Наука", 1979, 429 с.

3. Алиев А.А. Агоритм приближенного решения задачи булева программирования. Известия АН Азерб.ССР. Серия физ.гехн. и мат.наук, 1982г., № 2, III-II6.

4. Афанасьев М.Ю. Исследование и разработка агоритмов решения некоторых задач дискретного программирования и их приложение к проектировании коммуникационных сетей и планировании производства. Кандидатская диссертация,

5. ВЦ АН СССР, М., 1979, 132 с.

6. Ахмедов Ф.Б. Обход Еершин многогранника ограничений задаче бинарного программирования. Изв.АН Азерб.ССР, серия физ.техн. и мат.наук, 1983, 2, II8-I23.

7. Бабаев Дж.А., Мамедов К.Ш., Мехгиев М.Г. Метода построения субопгиг лальных решении многомерной задачи о ранце. ЖВМ и МФ, 1978 г., 18, & 6, 1443-1453.

8. Бабаев Дж.А., Юсифов М.М. Агоритм и программа решения частично-целочисленной задачи о рюкзаке. Тезисы докладов УШ Всесоюзного Симпозиума "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования"Нарва-Йыэссу, апрель 1984 г., 102-103.

9. Бабаев Р.Д. Одна задача выбора оптимальной последовательности сооружения объектов. Известия АН Азерб.ССР, Серия физ.техн.и мат.яаук, 1983г.,Л4, 120-126.

10. Бабаев Р.Д. Задача о ранце с групповым выбором.Тезисы докладов П Всесоюзной школы-семинара по оптимизации и ее приложениям в экономике. Ашхабад, май, 1984г.,38-39.

11. Бабаев Р.Д. Построение тестовых задач целочисленного программирования с бинарными неизвестными. IBM и МФ,Ш, 1985г.,152-156.

12. Бабаев Р.Д. Один подход к приближенному решению задач целочисленного программирования. Деп.ВИНИТИ WZVZ-SS^e^^c

13. Бурьян С.Б.,СеровС.С.,Уздемир А.П. Динамическая задача размещения предприятий отрасли и численный метод ее решения 1,П,Ш. Автоматика и телемеханика,1976г.,4, 120-127, * 5, II2-I2I, 8, I3I-I38.

14. Бусленко Н.П.,Голенко Д.И.,Соболь И.М.,Срагович В.Г., трейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) М., Физматгиз, 1962г., 332с.

15. Вагнер Г. Основы исследования операций.Том 2. М., "Мир", 1973г.,488с.

16. Вишнев С.М. Экономические параметры.М.,Наука,1968г.,188с.

17. Вишнев С.М. Дисконт времени. В кн.Ма тема тика и кибернетика в экономике. Изд.Экономика .Москва. 1975г. ,109-Ш.

18. Вотяков А.А. Целочисленное программирование, сравнение отсечений. Экономика и математические методы 1972г., 8, вып.1, I07-II6.

19. Гэри М.Р., Джонсон Д.С. Вычислительные машины и труд-норешаемые задачи. М.,"Мир", 1982.

20. Гловер Ф. Целочисленное программирование и комбинаторика. В кн.Исследование операций.Том I.Методологические основы и математические методы.М.,"Мир",1981,122-152.

21. Голенко Д.И.,Гофман Э.Ф., Столин Я.Н. Дарпольский Ю.Я. О решении дискретных задач методом локальной оптимизации. В кн.Техническое обеспечение АСУ.М.,1974.

22. Голыптейн Е.Г. Выпуклое программирование. Элементы теории.М., "Hayка" , 1970,68 с.

23. Голыптейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения.М.,"Наука", 1971,352 с.

24. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М., "Прогресс", 1969,600с.

25. Емеличев В.А. К теории дискретной оптимизации.ДАН СССР, 1971,198, №2, 273-276.

26. Емеличев В.А. Дискретная оптимизация.Последовательност-яые схемы решения. I -Кибернетика, 1971, №6, I09-I2I и П Кибернетика, 1972, Ш, 92-103.

27. Емеличев В.А., Комлик В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимиза-ции.М., "Щука", 1981,208о.

28. Ерешко Ф.И. Элементы математического обеспечения. В кн.

29. General Scheme of Water Resources and Land Development in Iraq, Appendices, Book 5 (Description of Mathematical Models). Moscow Baghdad, v/o Selkhozpromexport, 1982, 4-18, 44-66.- 135

30. Ерешко Ф.И., Моисеев Н.Н. Системный подход к исследованию проблемы рационального использования водных ресурсов региона. Отчет АН СССР по проблеме ГКНТ 0.85.06, НГР 76024177, М.,НВП АН СССР, 1980,209-284.

31. Иванилов 10,П., Моисеев Н.Н.,Петров А.А. Некоторые математические вопросы программного управления экономической системой. В сб."Кибернетика на службу коммунизма", том 6. М.,"Энергетика", 1971, 9-23 .

32. Казакова М.Ф. Метод типа ветвей и границ для обобщенной задачи о ранце."Экономика и математические методы", 1971, № 5, 737-742 .

33. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М., Изд. АН СССР, 1959.

34. Канторович Л.В. и др. Об оценке аффективности капитальных затрат."Экономика и математические методы", tomYI, вып.6, 1970.

35. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М., "Мир", 1964, 838е.

36. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация (Целочисленное программирование). Минск, Б1У, 1977, 192с.

37. Корбут А.А., Сигал М.Х., Финкельштейн Ю.Ю. Метод ветвейи границ. -"Math. Operationsforsch, Statist. Ser. Optimisation", 1977, 8, N2, 253-280.

38. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М., "Наука., 1969,368 с.

39. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. М., "Мир", 1977,432с.

40. Ланге 0. Оптимальные решения. М., Прогресс, 1967,285с.

41. Лагранк Ж. Аналитическая механика. М-Л.Гостехиздат. 1950.

42. Лебедев С.С. Целочисленное программирование и множители Лагранжа. Экономика и математические методы, 1974, том X, вып. 3, 592-610.

43. Литвак Б.Г., Найвельт А.В. 0 решении задачи о ранце с допонительными ограничениями. Сб.Исследования по дискретной математике. М., "Наука", 1973, 69-83.

44. Литл Дж., Мурти К., Суини Д., Кэрел К. Агоритм для решения задачи о коммивояжере. Экономика и математические методы, 1965, I, № I, 94-107.

45. Лурье А.А. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства. М., "Наука", 1973.

46. Математический аппарат экономического моделирования, под редакцией Гольштейна Е.Г., М.,"Наука",1983,367с.

47. Методика основные положения) определения экономической эффективности использования в народном хозяйственовой техники, изобретений и рационализаторских предложений. "Экономическая газета", 1977., IS 10.

48. Михалевич B.C. Последовательные агоритмы оптимизации и их применение. 1,П-"Кибернетика", 1965, $ I, 2.

49. Михалевич B.C., Шор Н.З. Метод последовательного анализа вариантов при решении вариационных задач управления, планирования и проектирования. В кн.Докл.на 1У Всесоюзн. мат.съезде. Л., 1961, 91 с.

50. Михалевич B.C., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации. М.,"Наука", 1983, 207 с.-137

51. Моисеев Н.Н. Программный метод и описание региональной экономики. В сб.Методы системного анализа в проблемах рационального использования водных ресурсов.Том 1,ВЦ АН СССР, Москва, 1974.

52. Моисеев Н.Н. Методы системного анализа в проблемах рационального использования водных ресурсов. Труды международной конференции по моделированию экономических процессов. Ереван. 1974, ВЦ АН СССР, Москва,1975.

53. Народнохозяйственные модели. Теоретические вопросы потребления. М., "Наука", I9S3.

54. Новожилов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании.М., "Наука", 1972, 433 с.

55. Основные положения оптимального планирования развитияи размещения производств. М.,Новосибирск, "Наука",1965.

56. ПирьяноЕич В.А. Локально-стохастические методы дискретной оптимизации (разработка, экспериментальное исследование и применение). Кандидатская диссертация,Б1У им. В.И.Ленина, Минск, 1979, 130 с.

57. Поспелов Г.С. 0 программном планировании в народном хозяйстве. Труды Всесоюзной конференции "Системный анализ и перспективное планирование". М., ВЦ АН СССР,1973

58. Проблемы программно-целевого планирования и управления, под редакцией Поспелова Г.С., М., "Наука", 1981, 460 с.

59. Ужинский И.К., Шафранский В.В. Математические модели в процедурах принятия решений при догосрочном планировании. Изв. АН СССР.Техническая кибернетика, 1975, № 3-5.

60. Уздемир А.П. Оценочные задачи в численном методе решения динамической задачи размещения предприятий отрасли. Автоматика и телемеханика,Jз 7, 1977, 105-108.

61. Уздемир А.П. Декомпозиция при решении комбинаторной задачи определении моментов ввода предприятий.Автоматика и телемеханика Л 10, 1977, II0-I2I.

62. Уздемир А.П. Метод решения комбинаторной задачи определения моментов ввода предприятий. Автоматика и телемеханика10, 1978, 142-152.

63. Уздемир А.П. Динамическое размещение производства 1,П. Автоматика и телемеханика,1979, MI, I42-I5I, №12, 146-158.

64. Финкелыптейн Ю.Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования. М.,"Наука",1976,264 с.

65. Фридман А.А., Вотяков А.А. Дискретные задачи и метод ветвей и границ. Экономика и математические методы, 1974, 10, №3, 611-620.

66. Фр/умкин М.А. Сложность дискретных задач. Препринт, ЦЭМИ АН СССР, М., 1981, 570.

67. Хачатуров В.Р. Аппроксимационно-комбинаторный метод и некоторые его приложения, IBM и МФД974, 14,№6, 1464-1487.

68. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях., М. ,"Мир", 1974, 520С67

69. Черенин П.П.,Хачагуров В.Р. Решение методом последовательных расчетов одного класса задач о размещении производства,в Сб."Экономика и математические методы", вып.2, М.,"Наука", 1965.

70. Armstrong R.D., Kung D.S., Sinha P., Zoltners A.A. A Computational Study of a Multiple-Choice Knapsack Algorithm ACM Transactions on Mathematical Software, 1983, vol.9, N2, June, 184-198.69 Corry G.A., Shapiro J.F. An Adaptive Group Theoretic

71. Algorithm for Integer Programming Problems. "Manag. Sci.", 1971, vol.17, N5.

72. Dantzig G.B. Discrete variable extremum problems, Operat. Res., 5, N2, 1957, 266-277.

73. Dantzig G.B. On Integer and Partial Integer Linear Programming Problems, The RAND Corporation, Paper Р-14Ю, 1958.

74. Dantzig G.B. On the Significance of Solving Lineaxr Programming Problems with some Integer Variables, Econometrica, 28, N1, 1960, 3й-44.

75. Everett H. Generalized Lagrange Multiplier Method for Solving Problems of Optimum Allocation of Resources. "Operation Res., 11, 1963, 399-417.

76. Glover P. Surrogate Constraints. "Operations Research11, 1968, vol.16, p. 741-749.

77. Gomory R.E. Outline of an Algorithm for Integer Solution to Linear Programme. "Bull.Amer.Math.Soc.", 1958, 64, N5, 275-278.

78. Gomory R.E. On the Relation between Integer and Noninte-ger Solutions to Linear Programme. "Proc.Nat.Acad.Sci. USA", 1965, vol.53, H2.

79. Haimes Y.Y. Hierarchical Analyses of Water Resources Systems, Mc Graw Hill, New York, 1977, 478 p.

80. Lagrange J.L. Theorie des Functions Analytiques, Paris,1813.

81. Land A.H., Doig A.G. An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems. "Econometrica", 1960, 28, N3, 497-520.

82. Lasdon L.S. Optimization Theory for Large Systems. The Mac Millan Company, New York, 1970, 523 p.

83. Lawler E.L.,.Wood D.E. Branch and Bound Methods; a survey. "Operat.Res.", 1966, 14, N4, 699-719.

84. Loulou R., Michaelides E. New Greedylike Heuristics for the Multidimensional 0-1 Knapsack Problem. "Operations Research", 1979, 27, N6, 1101-1114.

85. Nauss R.M. The 0-1 Knapsack Problem with Multiple Choice Constraints. "European Journal of Operational Research", 2, 1978, 125-131.

86. Savage S. Statistical Indicators of Optimality. "IEEE 14th Ann.Symp.Switch and Automata Theory",1973", North-ridge, Calif., 1973.

87. Sinha P., Zoltners A.A. The Multiple-Choice Knapsack Problem. "Operations Research", 1979, vol.27, N3, May -June, 503-515.

88. Scott A.T. Combinatorial Programming, Spatial Analysis and Planning. Methuen & Co.Ltd, London,1971, 204P.

89. Tocher K.D. The application of Automatic Computers to Sampling Experiments. J.Royal statistical soc., ser B, 1954, 16, N1, 39-61.

90. Toyoda Y. A Simplified Algorithm for Obtaining Approximate Solutions to Zero-One Programming Problems. "Manag. Sci.", 1975, 21, N12, 1417-1427,

91. Zemel E. The Linear Multiple Choice Knapsack Problem.

92. Operation Research", 1980, vol.28, N6, November December, 1412-1423.

Похожие диссертации