Geum.ru

Нормированные пространства

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I. Нормированные пространства…………………………………..3

1. Понятие нормированного пространства........................................3

2. Пространства суммируемых функций…………………………...5

3. Интеграл Лебега Стилтьеса………………………………..........7

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11

1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11

2.Теорема РиссаТорина и ее применение ………………………15

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей…..…....24

1. Основные понятия……………………………………………….24

2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25

Литература………………………………………………………………...28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Понятие нормированного пространства одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века. В работе эта теория прилагается к изучению суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа. Эти функции и последовательности образуют нормированные пространства, на которых вводятся операции сложения и умножения на число, а также норма.

Основным объектом классического функционального анализа являются операторы, действующие из одного банахова пространства в другое.

Целью данной работы является рассмотрение линейных операторов, действующих из одного пространства суммируемых функций в другое, а также в пространство суммируемых последовательностей.

Основные понятия нормированных пространств изложены в первой главе.

Вторая глава посвящена интерполяции в пространствах измеримых функций. Рассмотрена теорема Марцинкевича, являющаяся одной из классических в теории интерполяции, и дано ее подробное доказательство. Приводится доказательство непрерывности оператора свертки с использованием данной теоремы. Также рассмотрена интерполяционная теорема Рисса Торина и ее применение.

В третьей главе даны основные понятия пространства суммируемых последовательностей, доказана связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в при помощи теоремы Марцинкевича.

 

 

Глава I. Нормированные пространства.

1. Понятие нормированного пространства.

 

Введем основные понятия теории нормированных пространств.

 

Определение. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

?. Для любых двух элементов однозначно определен элемент, называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

  1. В

    существует такой элемент 0, что для всех

    2. 4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

  1. ;

  2. для любого и любого числа ;

  3. для любых (неравенство треугольника).

    4. Определение. Оператором называется отображение

    , где - это линейные пространства.

    Определение. Оператор

    называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:

    .

Определение. Пусть - линейные нормированные пространства,

линейный оператор,.

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что следует, что .

 

Определение. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение. Линейный оператор называется ограниченным, если .

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется .

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора .

 

 

 

 

2. Пространства суммируемых функций.

 

Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства.

Определение. Пусть некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством , где , называется нормированное пространство, элементами которого служат функции , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется

Функции, эквивалентные друг другу на , не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.

Сложение элементов в и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в это класс эквивалентных межд