Нормированные пространства
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Нужно показать, что конечен.
Докажем, что . Предположим противное, что .
().
С другой стороны . Но , т.е.
. Пришли к противоречию.
Получили, что конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Следовательно, . Предложение доказано.
Следствие. Для всех справедливо включение: .
Замечание 2. Пусть оператор задан на пространстве и на . Тогда оператор можно распространить с сохранением линейности до оператора, действующего из пространства
т.е. для любой функции
Такое определение функции не зависит от выбора и Действительно. Возьмем другое представление функции :
, где т.е.
Нужно доказать, что .
Из условия следует . Левая часть равенства это функция из правая часть - из Применим к равенству оператор T:
. Так как T линеен в пространствах и , то . Отсюда , что и требовалось доказать.
Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор Т имеет слабый тип и одновременно слабый тип , то Т имеет тип для любого из интервала
Доказательство.
Считаем, что . Фиксируем функцию и положительное число . Оценим величину
Пусть и функции, описанные выше.
Тогда и по замечанию 2.
Следовательно, .
Используя оценки слабого типа , находим, что при положительном
.
Из последнего неравенства и формулы (3) из замечания 1 получаем
, т.е. оператор Т имеет тип . Теорема доказана.
В качестве применения этой теоремы рассмотрим следующий пример.
Утверждение 2. Пусть . Тогда оператор будет непрерывным оператором в пространстве , .
Доказательство.
Рассмотрим два случая, когда и . Докажем, что оператор является оператором типа для этих случаев. Тогда по предложению 1 будет оператором слабого типа для и . Применив интерполяционную теорему Марцинкевича, получим, что оператор типа для любого , а это равносильно его непрерывности.
и . Докажем, что найдется число , такое, что
Учитывая последнее равенство и то, что для любого действительного числа верно , получим
, где .
2).
Нужно доказать, что
Для почти всюду выполняется неравенство: . (*)
Обозначим , .
. Так как , то .
Исходя из последнего соотношения и неравенства (*), получаем
.
Таким образом, доказали, что оператор свертки непрерывен в пространстве для любого р1.
2. Интерполяционная теорема Рисса Торина
и ее применение.
Прежде чем рассмотреть теорему Рисса Торина и ее приложение, приведем определения и докажем факты, связанные с теорией банаховых пространств, которые понадобятся для этого.
Определение. Последовательность метрического пространства Х называется фундаментальной, если .
Верно следующее утверждение.
Утверждение. Если последовательность сходится, то она фундаментальная.
Обратно верно не всегда.
Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Определение. Если пространство , порожденное нормой, является полным, то линейное нормированное пространство называется банаховым.
Определение. Пусть банахово пространство, подпространство в . называется всюду плотным в Х, если , т.е. , такая, что .
Утверждение 4 . Пусть оператор , где плотно в банахово пространство. Тогда оператор можно распространить на , т.е. существует оператор , такой, что и .
Доказательство.
Возьмем из . По определению существует последовательность из такая, что стремится к , при стремящемся к .
Докажем, что из будет фундаментальной последовательностью. Тогда, т.к. полное, последовательность будет сходящейся.
Возьмем произвольное положительное число . Найдем номер , для которого выполняется .Тогда
. Следовательно, последовательность фундаментальная.
Пусть стремится к . Определим оператор равенством .
а) Проверим корректность определения оператора .
Итак, стремится к , стремится к . Возьмем другую последовательность , имеющую в пределе . Тогда будет стремится к некоторому элементу .Составим новую последовательность Ее пределом будет . Пусть соответствующая последовательность стремится к . Из последней можно выбрать две подпоследовательности и , сходящиеся соответственно к и .Следовательно, и , т.е. и совпадают.
б) Докажем линейность оператора А. Пусть Х; - произвольные числа. Рассмотрим элемент . По определению существуют последовательности {xn},{yn}, такие, что . Тогда .
.
Получили , что и означает по определению линейность оператора А. При этом, т.к. если , то в качестве можно взять для всех n. Тогда и .
в) Докажем непрерывность оператора А.
Возьмем . , .
. По теореме о предельном переходе в неравенстве будет выполняться неравенство . Т.к. по определению - это наименьшая из констант, удовлетворяющих данному неравенству, то . (*)
С другой стороны, по определению , . Так как , то . (**)
Учитывая неравенства (*) и (**) , установили равенство . Таким образом, утверждение доказано.
Определение. Функция называется простой, если она представляет собой конечную линейную комбинацию характеристических функций попарно непересекающихся измеримых множеств , где .
Теорема Лебега. Если последовательность на сходится к и при всех , где