Нормированные пространства
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
у собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах.
Определение. Число называется нормой функции
Будут выполняться все свойства нормы:
и почти всюду;
- Первое свойство cледует из определения нормы и того, что Второе из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций
Определение. Функция называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число такое, что почти всюду выполняется неравенство . (*)
Определение. Пространством называется нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции .Нормой называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*).
Для выполняется почти всюду неравенство .
Через будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R.
Среди линейных операторов, действующих в пространстве , рассмотрим следующие.
Определение. Оператор , действующий из пространства () в , называется оператором слабого типа (p,p), если
, где - мера множества, и оператором типа (p,p), если .
По определению оператор типа является ограниченным, что равносильно его непрерывности.
Предложение 1. Любой оператор типа есть оператор слабого типа .
Доказательство.
Нужно доказать, что .
Воспользуемся неравенством Чебышева: .
Возьмем любое положительное число . По неравенству Чебышева
. Но по условию .
Учитывая последнее соотношение, имеем , что и требовалось доказать.
3. Интеграл Лебега Стилтьеса.
Далее понадобится понятие интеграла Лебега Стилтьеса. Введем это понятие.
Определение. Пусть на R задана монотонно неубывающая функция , которую для определенности будем считать непрерывной слева. Определим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами
Таким образом, функция , которая каждому сегменту ставит в соответствие меру этого сегмента, будет:
- принимать действительные неотрицательные значения;
- аддитивной, т.е. мера объединения есть сумма мер этих сегментов.
Применив стандартное распространение меры, получим меру на некоторой - алгебре.
Определение. Меру , получающуюся с помощью такого построения, называют мерой Лебега Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию называют производящей функцией этой меры.
Определение. Пусть - мера на R, порожденная монотонной функции . Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега .
Такой интеграл, взятый по мере , отвечающей производящей функции , называется интегралом Лебега Стилтьеса и обозначается .
Теперь докажем факт, который используется при доказательстве интерполяционной теоремы.
Предложение 2. и для
и , тогда
(1) , и если , и , то
. (2)
Доказательство.
Равенство (1) следует из определения интегралов Лебега и Лебега Стилтьеса:
Если - последовательность разбиений действительной оси:
, и , то интегралы , где , если , стремятся при .
С другой стороны:
при .
Это и доказывает равенство (1).
Пусть теперь . По (1), учитывая, что , получаем (2)
При
Следовательно, из соотношения (2), делая замену переменных , получим первое равенство (2).
Далее, для любого выполняется
(интегрирование по частям: ).
Для доказательства второго равенства в (2) достаточно устремить в последнем соотношении число к и использовать оценку:
при.
Предложение 2 доказано.
Замечание. Если функция задана на , то, применяя равенство (2) для функции , , и учитывая, что , получим
(3)
Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций.
1. Теорема Марцинкевича и ее применение.
Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.
Пусть дана функция . Положим для
, .
Предложение 3. Пусть , , для любого положительного числа и функции, описанные выше. Тогда .
Доказательство.
Нужно показать, что , т.е. .
I. Для функции
1) если 0<t , то , т.к.
2) Пусть t>1.
Обозначим , .
. Конечность доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.
Покажем, что . Предположим противное, что .
, т.к. .С другой стороны, . Но на , т.е. , а это противоречие. Получили, что конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Тогда .
II.для функции :
1) если , то .
2) Пусть .
Пусть
. Конечность доказана в первом случае.