Нормированные пространства
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
суммируема на, то предельная функция суммируема на и .
Предложение 4. Множество простых функций всюду плотно в , т.е. , такая, что ,где простая функция.
Доказательство.
I.Обозначим , где N.
Ясно, что для почти всех . Тогда для почти всех . Следовательно, .
С другой стороны, (*) ,т.е. . Поэтому суммируема. Применим теорему Лебега к неравенству (*) :. Получим, что и, значит, приблизили функциями . Возьмем произвольное положительное число . Найдем функцию такую, что .
II. Приблизим ступенчатой функцией.
Обозначим , где . Положим .
По свойству интеграла Лебега для любого положительного найдется , такое, что . Это означает, что .
Отрезок разобьем на равных частей точками так, чтобы .
Обозначим
.
Рассмотрим функцию . Тогда . Следовательно, , т.е. .
В результате нашлась простая функция такая, что
.
III. Таким образом, . Предложение доказано.
Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М.Риссом в 1926 году в виде некоторого неравенства для билинейных форм. Ее уточнение и операторная формулировка были даны Г.О.Ториным. Вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Дадим ее формулировку.
Теорема. Пусть . Оператор Т действует из пространства в с нормой и одновременно из в с нормой .Тогда Т будет непрерывным оператором из пространства в с нормой , удовлетворяющей неравенству при условии, что 0<t<1 и ; .
Теперь рассмотрим приложение теоремы Рисса Торина в доказательстве следующего факта.
Теорема. Пусть и для чисел выполняется равенство .Тогда свертка .
Доказательство.
Нужно доказать, что , т.е. . Зафиксируем произвольную функцию из . Докажем сначала требуемый результат для частного случая, когда функция g простая, а затем распространим на произвольные функции g.
I. Пусть функция простая.
1) Рассмотрим оператор свертки на множестве простых функций и проверим, что он типа , где . В силу неравенства Гельдера . Учитывая геометрический смысл интеграла, получим для любого действительного числа х. Тогда . Так как , то , т.е. равна некоторому числу . Таким образом, . Следовательно, нашлась константа , такая, что . Это и означает, что оператор свертки Т на множестве простых функций типа .
2) Проверим, что оператор Т типа , т.е. .
Рассмотрим случай, когда функция g имеет вид: .
.
Обозначим .
Тогда правая часть равенства примет вид
по неравенству Минковского. (1)
Рассмотрим первое слагаемое
(2) Аналогично второе слагаемое
. (3)
Таким образом, учитывая (1),(2),(3), получим . Найдем
, т.к. .
Далее имеем
. В результате, ,т.к. , то и равна некоторому числу.
Совершенно аналогично доказывается для случая, когда .
1) Таким образом, из пунктов I.1 и I.2 получим, что типа и , и,
следовательно, будет типа при условии , где .
; , т.е. , что и дано по условию.
Таким образом, применив теорему Рисса Торина, установили истинность доказываемого утверждения для всех простых функций .
II. Пусть произвольная функция из .
По предложению 4 множество простых функций всюду плотно в .
По утверждению 4 оператор свертки можно распространить на и тогда доказываемый факт верен для любой функции из . Теорема доказана.
Глава III. Пространства суммируемых последовательностей.
1. Основные понятия.
Рассмотрим применение теории интерполяции для пространств .
Пусть {z}zZ - последовательность неотрицательных чисел. Определим на множестве Z меру следующим образом: для любого целого числа . Пространство суммируемых со степенью p последовательностей относительно меры m, то есть таких, что обозначается .
Так как мера m определена на множестве всех подмножеств множества Z, то любую последовательность можно рассматривать как измеримую функцию. Обозначим через линейное пространство всех последовательностей.
Определение. Число называется нормой последовательности xn из lp(m,Z).
В случае, если для всех z, то получим классическое пространство lp(Z) последовательностей, суммируемых со степенью p .
Определение. Оператор Т, действующий из пространства в называется оператором слабого типа (p,p), если , где , и оператором типа (p,p), если .
В этом случае остается справедливым следующий факт: любой оператор типа есть оператор слабого типа . Прежде чем установить его истинность, докажем утверждение, которое для этого понадобится.
Утверждение 5. Пусть дана последовательность из с неотрицательными членами. Тогда .
Доказательство.
Обозначим . Нужно доказать, что .
. Получили, что .
Утверждение доказано.
Предложение 5. Любой оператор типа есть оператор слабого типа .
Доказательство.
Дано, что и . Доказать, что
.
Возьмем произвольное положительное число . По утверждению 5
. По условию . Тогда , что и требовалось доказать.
Легко увидеть, что теорема Марцинкевича будет спра?/p>