Анализ временных рядов
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
вая, получаем:
;
; (1.4.4)
.
Полученная система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров а0 , а1 и а2 при выравнивании по параболе второго порядка.
При выравнивании по показательной функции yt = a0 a1t параметры а0 и а1 определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решения системы нормальных уравнений:
; (1.4.5)
.
1.5 Приведение уравнения тренда к линейному виду
Если тренд представляет собой нелинейную функцию, то методы линейного регрессионного анализа для оценки его параметров неприменимы. Но к некоторым нелинейным функциям мы можем применить такие преобразования, которые приведут нас к линейному уравнению.
Если наш тренд представлен степенной линией регрессии, то есть он имеет вид:
yt = a0ta1, (1.5.1)
то логарифмируя обе части равенства, получим:
ln yt = ln a0 + a1 ln t.
Отсюда видно, что, введя новые переменные
z = ln yt , x = ln t,
мы получим уравнение вида
z = b0 +a1x,
где b0 = ln a0. Это обычное линейное уравнение.
Если линия тренда - парабола второго порядка
yt = a0 + a1 t + a2 t 2 ,
то заменой вида:
х1 = t, x2 = t 2,
мы получим линейную функцию двух переменных:
yt = a0 + a1 х1 + a2 х2 .
Оценку параметров такой функции можно провести методами линейного регрессионного анализа для множественной регрессии. [5, c.29]
Далее приведём основные понятия регрессионного анализа, которые используются для оценки параметров.
1.6 Оценка параметров уравнения регрессии
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции ryt. Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции. Некоторые из них приведены ниже:
, (1.6.1)
или
. (1.6.2)
Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах:
-1 ? ryt ? 1.
Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в её линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю ещё не означает отсутствия связи между признаками.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции ryt2, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака уt, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
(1.6.3)
где
общая дисперсия результативного признака у;
остаточная дисперсия, определяемая, исходя из уравнения регрессии
уt = f(t).
Соответственно величина 1 - r 2 характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных, не учтённых в модели факторов.
Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R:
(1.6.4)
Иначе, индекс корреляции можно выразить как
Величина данного показателя находится в границах:
0 ? R ? 1,
чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надёжно найденное уравнение регрессии.
Парабола второго порядка, как и полином более высокого порядка, при лианеризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадёт с индексом корреляции.
Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так, для степенной функции ух = ахb после перехода к логарифмически линейному уравнению lny = lna + blnx может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменных х и у, а для их логарифмов, то есть rlnylnx. Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов:
.
Между тем при расчёте индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не их логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения результативного признака, то есть , как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле
В знаменателе расчёта R2yx участвует общая сумма квадратов отклонений фактических значений у от их средней величины, а в расчёте r2lnx lny участвует . Соответственно различаются числители и знаменатели рассматриваемых показателей:
- в индексе корреляции и
- в коэффициенте корреляции.
Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный ?/p>