Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Реферат на тему:
"Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда"
Студентки 408 группы 4 курса
механико-математического факультета
МГУ им. Ломоносова
Мильчевской Владиславы Юрьевны
Москва
Содержание
1.История иррациональности до Дедекинда
2.Рассуждения Дедекинда
2.1Рациональные числа и рациональные точки на числовой прямой
2.2Непрерывность области вещественных чисел или неявное понятие точной верхней грани
.3Вычисления с вещественными числами
2.4Анализ бесконечно малых или "о переменных величинах, о функциях, о пределах"
3.Дальнейшее развитие теории
Список используемой литературы
иррациональный арифметический число дедекинд
1. История иррациональности
"Открытие" иррациональных чисел само по себе - неоднозначный с исторической точки зрения факт. Неоднозначный в том смысле, что неясно, кто же "открыл" их первым. Считается, что неявным образом иррациональность была воспринята уже в 750-690гг. до н.э. в Индии, когда местный математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.
Первое доказательство существования иррациональных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (примерно 500гг. до н. э.), который нашел это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Пифагорейцы считали, что существует некоторая малая неделимая единица длины, которой, неформально говоря, можно все измерить (то есть, она входит в любой отрезок целое число раз). Однако Гиппас на примере гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника показал, что это не так. Доказательство следующее:
Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора a = 2b.
Так как a четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y.
Тогда a = 4y = 2b.
b = 2y, следовательно b четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.
Это отношение впоследствии было названо невыразимым (отношение несоизмеримых величин). Существует известная легенда, что другие пифагорейцы выбросили Гиппаса за борт (считают, что свое открытие он совершил во время морского похода) за "создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям". Однако смерть математика не прервала надолго изучение греками иррациональностей, хотя и поставила перед пифагорейцами серьезную проблемы, разрушив предположение о неразделимости чисел и геометрических объектов.
Феодор Киренский (конец V - начало VI века до н.э.) доказал иррациональность корней из натуральных чисел от 1 до 17, исключая 1, 4, 9 и 16. На этом он остановился, так как имеющаеся в его распоряжении алгебра не позволяла доказать иррациональность корня из 17. Предположительно, он, как и Гиппас, для своих доказательств пользовался пифагорейской теорией четных и нечетных чисел. Позже Евдокс Книдский развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Величина в его теории стала считаться не числом, а обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объемы, промежутки времени - которые могут меняться непрерывно в современном понимании этих слов. Числа же могли меняться лишь скачками (от 4 к 5, например). Убрав из уравнений количественные значения (никакое количественное значение не сопоставлялось величине), Евдокс при определении дроби смог охватить как отношения соизмеримых величин, так и несоизмеримых, и тем самым избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Его теория дала греческим математикам необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми и позволила совершить огромный прогресс в геометрии.
Средние века ознаменовались принятием таких понятий как нуль, отрицательные числа, целые и дробные числа. Арабские математики первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами наряду с положительными, что положило начало развитию алгебры. Они также соединили древнегреческие понятия "величины" и "числа" в единую, более общую идею вещественных чисел. Персидский математик Аль Махани (примерно 800 гг. н.э.) в своих комментариях к Десяти Элементам Евклида исследовал и классифицировал квадратичные и кубические иррациональности. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел:
"результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной."
Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. - ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях - в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстр