Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
равенств, таких как, например, , которые раньше, по его мнению, строго доказаны не были.
Доказательство различных арифметический свойств, верных для рациональный чисел, также необходимо перенести на случай всех вещественных. Например, простейшее равенство вызывает опасение, что для его доказательства в случае любых действительных чисел придется делать массу отступлений (например, определять различные интервалы между вещественными числами) и производить операции с разного рода сложными структурами. Однако, это не совсем так. Дедекинд в качестве решения подобной проблемы утверждает, что непрерывностью обладают сами операции, и приводит это в форме общей теоремы, которую я позволю себе процитировать:
2.4Анализ бесконечно малых или "о переменных величинах, о функциях, о пределах"
Из приведенной в предыдущем пункте цитаты видно, что язык пределов и функций в целом более удобен, чем предложенный Дедекиндом язык сечений. В следующей главе математик доказывает основные определения и теоремы из теории пределов, основываясь на построенной теории. Дав знакомое нам определение предела, Дедекинд доказывает следующее утверждение: "Если величина х возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она стремится к некоторому пределу". Нам это известно как теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.
Также, в статье приведено объяснение утверждения, которое в анализе читается как эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Вот оно:
На этом автор останавливается.
С моей точки зрения, аппарат пределов, функций и точных граней несколько удобнее для практических целей, нежели теория сечений Дедекинда. Возможно, поэтому в современной математике им пользуются. Однако можно с уверенностью сказать, что человеку, привыкшему к определенной устоявшейся точке зрения, нелегко судить объективно. Несомненно, вклад Дедекинда в развитие математики велик, и было бы верхом неучтивости пытаться его приуменьшить.
3. Дальнейшее развитие теории
В этом разделе я приведу не свое мнение насчет того, как именно изобретение немецкого ученого повлияло на ход математических рассуждений в мире, а скорее кратко повторю мнение переводчика, профессора С.О. Шатуновского, благодаря которому у меня была возможность читать статью по-русски.
Шатуновский отмечает, что, хотя это и не обозначено в статье явно, теория рациональных чисел строится на знаках, под которыми подразумеваются определенные смыслы, отражающие понятие числа. Говоря лингвистическим языком, в каждый конкретный знак или символ мы можем вложить любое денотативное значение. В тот момент, когда появляются новые смыслы, расширяется и система знаков. Так, когда стало недостаточно натуральных чисел и понадобилось вложить новое свойство в числовую систему - растянутость в обе стороны - придумали обозначать отрицательные числа знаком минус перед знаком числа. Новые символы ввели для обозначения дробей, и так далее.
Если сформулировать эту идею в более общем виде, расширяя ту или иную систему, мы "заполняет пустые места". Всякий раз, когда появляются новые свойства, их приходится описывать новыми объектами или знаками; и это тот самый фундамент, на котором, как мне кажется, должны держаться новые построения.
Создавать нечто, чего еще не было, и тем более, дополнять уже работающую, функциональную систему - опасное начинание. Важно, например, заполнить не все пустые места, или другая трудность: новая система может перестать обладать некоторыми свойствами предыдущей. В этом смысле подход Дедекинда наиболее естественный и наглядный. Во всех случаях, когда "не хватало" рациональных чисел, появились иррациональные, и система стала полна в том смысле, что для нее верно свойство непрерывности.
В качестве приложения к переводу статьи Дедекинда Шатуновский приводит доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, как бы показывая тем самым, что это следующая ступень развития той же системы.
На меня это фундаментальное замечание переводчика и тот способ, которым Дедекинд расширил систему рациональных чисел, произвело большое впечатление. Сначала заметив только недостатки в сложной структуре сечений, каждое из которых имело два класса (когда можно было бы обойтись одним и говорить о точных верхних или нижних гранях), теперь я осознаю, что, именно так заданная, она наиболее наглядно демонстрирует тот факт, что наша главная задача - правильно расширить систему.
Список используемой литературы
Р. Дедекинд, Непрерывность и иррациональные числа, Одесса 1923
Википедия, статьи "Иррациональность", "Предел", "Вещественное число", "Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард", "Гейне, Генрих"
Лекции по истории математики, мехмат.