Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
уществует бесконечное множество сечений, которые не могут быть произведены рациональным числом. Пусть D - положительное целое число, но не квадрат другого целого, тогда существует такое число , что
В качестве класса возьмем все положительные рациональные числа, такие, что их квадрат больше D, в качестве , очевидно, будут все отрицательные рациональные и положительные рациональные числа, такие, что их квадрат меньше D. Это сечение не производится, очевидно, никаким рациональным числом. Позволю себе не приводить доказательство этого факта, относящегося к элементарным рассуждениям теории чисел.
Таким образом получается, что в классе нет наименьшего числа (речь о рациональных), а в - наибольшего. В том свойстве, что не все сечения производятся рациональными числам, и есть "неполнота" и разрывность этой области (в этой статье мы вслед за Дедекиндом позволяем себе называть областью множество рациональных чисел). Всякий раз, когда нам дано сечение, которое не может быть порождено рациональным числом, мы создаем новое иррациональное число. Существенно различные сечения мы определяем по тому, есть ли в них различные элементы, то есть такие, которые для одного сечения принадлежат к первому классу (где числа "меньше"), а для другого - ко второму. Однако это еще не точное определение: если такое число единственно, оно автоматически является наибольшим в первом классе одного сечения и наименьшим во втором классе другого. В этом случае, как мы уже определяли, сечения несущественно различны. Таким образом, существенно различными сечениями назовем те, в которых есть как минимум два различных элемента в несоответствующих классах. Благодаря тому, что существенно различным сечениям соответствуют различные числа в случае рациональных, в случае иррациональных мы может предположить то же по определению. Если отвлечься от терминологии Дедекинда и, присмотревшись, увидеть в таких сечениях смысл супремума или инфимума - точной верхней и нижней граней соответственно, - можно заключить, что наше предположение оправдано и правдоподобно. Из двух различных иррациональных чисел теми же очевидными рассуждениями с помощью сечений одно всегда оказывается больше, а другое меньше. Здесь надо отметить, что различные рациональные числа изначально у нас определялись по-другому (через понятие разности, которая должна была быть больше или меньше нуля).
2.2Непрерывность области вещественных чисел или неявное понятие точной верхней грани
Определив на вещественных числах - - отношение "больше-меньше", теперь мы можем утверждать, что полученная система, как пишет Дедекинд, "образует правильно распределенную область одного измерения". Под этими словами автор подразумевает следующее:
Доказательство вытекает непосредственно из определений предыдущих параграфов.
Дедекинд пишет: "Кроме этих свойств [три свойства из определения правильно распределенной области одного измерения] область обладает еще непрерывностью, то есть имеет место следующее предположение:
На этом месте стоит остановиться подробнее. Сам Дедекин неоднократно в своей статье отмечал, что строгого понятия непрерывности ему еще не было известно, и это дедало дальнейшее развитие анализа так называемыми рассуждениями "на пальцах". По сути, в пункте IV дано определение точной верхней (и одновременно нижней) грани, и за аксиому взят тот факт, что верхняя (или нижняя) грань единственна. В том курсе анализа, который читается сейчас, это утверждение доказывают, исходя, правда, из другого, как мне кажется, более наглядного определения точной верхней грани. Здесь же обычное определение неявно присутствует, но о том, что иррациональные числа могут быть получены как предел или супремум ограниченной последовательности рациональных, четко нигде не написано.
Эта, с моей точки зрения, основная мысль статьи Дедекинда, однако, не была так легко сформулирована в начале статьи из-за отсутствия устоявшейся аксиоматики в то время. Как строго объяснить начала анализа и создать четкую теорию вещественных чисел, предлагали многие: и Вейерштрасс, и Гейне, и Кантор, и Ш. Мере. Но сам Дедекинд отмечает, что в 1874 году к нему в руки попала статья Гейне, в которой объяснялась точка зрения автора на теорию вещественных чисел. Однако, сочтя изложение в статье более сложным, чем свое собственное, Дедекинд печатает рассматриваемое здесь рассуждение о сечениях.
Стоит отметить, однако, что в случае непрерывности изложение Дедекинда просто и легко доказывается. Приведу доказательство без изменений:
2.3 Вычисления с вещественными числами
Намного сложнее обстоит дело с правилами вычисления для вещественных чисел. Чтобы задать вычисления с вещественными числами, то есть, свести их к вычислениям с рациональными, надо определить сечения, соответствующие данным вычислениям. Рассмотрим на примере простейшей арифметической операции - сложения.
Если с есть какое-либо рациональное число, то ты отнесем его к классу , если существуют два числа из и из , такие, что . Все остальные числа отнесем к классу . Это подразделение всех рациональных чисел на два класса образует сечение (, ). Суммой двух чисел и , породивших соответственно разбиения и , назовем число , породившее разбиение (, ). Аналогично определяются сложение, умножение и деление.
Таким образом Дедекинд пришел к тому действительному доказательству теорем и