Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?ование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами. Это разделение мы и будем сейчас рассматривать.
2. Рассуждение Дедекинда
Сам Дедекинд утверждает, что его рассуждения относятся к осени 1858 года, когда он, будучи профессором Союзного Политехникума в Цюрихе, впервые вынужден был излагать студентам элементы дифференциального исчисления, и при этом столкнулся с отсутствием действительно научного обоснования арифметики. Для объяснения того, что мы сейчас называет конечными пределами (в данном случае имеются в виду пределы числовых последовательностей), он использовал для наглядности геометрические рассуждения и иллюстрации. Однако, этот способ изучения дифференциального исчисления, с его точки зрения, не может претендовать на научность.
В связи с этим Дедекинд решил найти строгое и чисто арифметическое обоснование для начал анализа бесконечных, а именно, для основного понятия этого раздела - непрерывности. Сам ученый утверждает, что открыл настоящее арифметическое объяснение 24 ноября 1858 года, но решился опубликовать его только после прочтения статьи ученого Гейне, (E. Heine, Crelles Journal. Bd. 74), так как изложение самого Дедекинда показалось ему более "простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса."
2.1Рациональные числа и рациональные точки на числовой прямой
Перейдем к описанию некоторых свойств рациональных чисел. Они, безусловно, хорошо известны были и до Дедекинда, и нет непосредственной необходимости определять их заново, однако, это нужно для полного и строгого описания системы. Дедекинд обозначает рациональные числа буквой "R", мы будем придерживаться того же обозначения, хотя в современной математике под множеством "R" обычно подразумевают все действительный числа.
С точки зрения сравнения рациональных чисел (, , , при этом мы понимаем как ) система R обладает следующими свойствами:
Если, , то .
Как говорит Дедекинд, "не опасаясь отголоска геометрических представлений, будем это выражать так: b лежит между обоими числами a и c", при этом речь не идет о геометрической интерпретации, а только о словесном обозначении этого свойства.
Если a и b суть два различных числа, то всегда существует бесконечное множество чисел, лежащих между a и b.
Если а есть определенное число, то все числа системы R распадаются на два класса и, каждый из которых содержит бесконечно много индивидуумов (здесь: рациональных чисел). Класс - числа, меньшие а, класс - большие. Само число а может быть отнесено к любому из двух классов. Тогда оно является либо наибольшим числом в первом классе, либо наименьшим во втором. В любом случае, каждое число первого класса не больше любого числа из второго.
Такие свойства рациональных чисел можно легко ассоциировать с расположение точек на прямой (прямую обозначим через L). Я позволю себе не переписывать, как это сделал Дедекинд, аналогичные свойства для точек, замечу только, что, если все слова "число а больше числа b" заменить на "точка а лежит правее точки b", то искомые свойства получатся.
Однако это всего лишь свойства двух систем, и, как известно, отождествить их нельзя. Квадратный корень из двух, например, не является рациональным числом, но как длину диагонали квадрата со стороной единица, его, конечно, можно отложить на действительной прямой. И точек, не соответствующих никакому рациональному числу? на прямой бесконечно много (домножим корень и двух на любое рациональное). Для того, чтобы область R приобрела ту же полноту, что я прямая, ее нужно дополнить новыми числами, но тогда иррациональные числа должны бить определены посредством рациональных, как пишет Дедекинд. В сущности, система R от прямой L отличается "дырками", то есть, R не непрерывна. Нам же надо четко определить, что такое непрерывность. Для этого заметим, что каждая точка р прямой L производит разбиение этой прямой на два множества: слева и справа от точки p. Также, очевидно, если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, то существует единственная точка p, их разделяющая. Дедекинд не доказывает этот принцип и утверждает, что никто его доказать не в состоянии, поэтому единственный выход - принять его достаточно ясным и использовать. Также отметим, что, в принципе, точка p задает два сечения Дедекинда: в зависимости от того, куда входит сама точка, - но мы не будем их отличать, и назовем несущественно различными. Убедимся, что с