Нахождение вероятности событий
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Где Р(Нi) - вероятность гипотезы Нi, Р(А|Нi) - условная вероятность события А при этой гипотезе.
Обозначим гипотезы:
Н1 - выбор первой урны, Н2 - выбор второй урны, Н3 - выбор третьей урны.
До начала действий все эти гипотезы равновероятны:
.
После выбора оказалось, что вытащен белый шар. Найдем условные вероятности:
;
;
.
1)По формуле Бейеса апостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны, равна:
.
) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из второй урны, равна:
.
) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:
.
Ответ:
) ,
) ,
) .
Задача 15 . Из 29 студентов, которые пришли на экзамен по математике, 7 подготовлены отлично, 10 - хорошо, 9 - посредственно, 3 - плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на все три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.
Решение
Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:
Где Р(Нi) - вероятность гипотезы Нi, Р(А|Нi) - условная вероятность события А при этой гипотезе.
Обозначим гипотезы:
Н1 - студент подготовлен отлично, Н2 - студент подготовлен хорошо,
Н3 - студент подготовлен посредственно, Н4 - студент подготовлен плохо.
До начала экзамена априорные вероятности этих гипотез:
,
,
,
.
После экзаменационной проверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса. Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопроса студентом из каждой группы успеваемости:
, ,
, .
) По формуле Бейеса апостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично, равна:
.
) Аналогично, вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:
.
Ответ:
) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично: ,
) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо: .
Задача 16 . Монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) 3 раза, 2) не более 3-х раз, 3) не менее одного и не более 3-х раз.
Решение
Если опыт проводится n раз, а событие при этом каждый раз появляется с вероятностью р (и, соответственно, не появляется с вероятностью 1- р = q ), то вероятность появления этого события m раз оценивается с помощью формулы биномиального распределения:
,
Где - число сочетаний из n элементов по m.
) В данном случае р = 0,5 (вероятность выпадения герба),
q = 1 - р =0,5 (вероятность выпадения решки),
n = 10, m = 3.
Отсюда, вероятность выпадения герба 3 раза:
) в данном случае событие (герб) может появится 0 раз, 1 раз, 2 раза или 3 раза значит искомая вероятность:
3) в этом случае событие (герб) может появится 1 раз, 2 раза или 3 раза, значит искомая вероятность:
Ответ:
Вероятность того, что герб выпадет:
) ровно 3 раза равна
,
) не более 3-х раз:
,
) не менее одного и не более 3-х раз:
.
Задача 17 . По каналу связи передаётся 10 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью р = 0,2 искажается помехами. Найти вероятность того, что: 1) из 10 сообщений ровно 3 будет искажено помехами,
) все сообщения будут приняты без искажений, 3) не менее двух сообщений будет искажено.
Решение
1) здесь р = 0,2 (вероятность искажения),
q = 1 - р =0,8 (вероятность неискажения),
n = 10, m = 3.
Отсюда,
.
) Вероятность принятия всех 11 сообщений без искажения равна произведению всех вероятностей принятия каждого из них без искажения:
.
) Искажение не менее двух сообщений означает, что искажены могут быть два или одно или ни одного сообщения:
Ответ:
Вероятность того, что:
) из 10 сообщений будет искажено ровно 2 равна ,
) не будет искажено ни одного сообщения:
,
) не менее 2-х: .
Задание 3
Задана плотность распределения P(x) случайной величины x . Найти функцию распределения F(x). Построить график функций P(x), F(x). Определить а, М[x], D[x], р( -1/2 < x < 1/2 ).
ах4 , х [-1; 1]
P(x) =
, х [-1; 1]
Решение
Распределение вероятностей случайной величины x задаётся либо функцией распределения вероятностей F(x) = p(x < x) , либо её производной:
,
называемой плотностью распределения вероятности или плотностью вероятности. Таким образом: ,
Причём вся площадь между графиком P(x) и осью ОХ равна 1:
.
Отсюда:
Значит0,4а = 1, и а = 2,5 = 5/2. P(x) = ах4 = 2,5х4 .
Окончательно, функция распределения имеет вид:
.
Математическое ожидание:
.
Дисперсия: