Нахождение вероятности событий
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
? в мишень и промаха первым и третьим, а также попадания третьим и промаха первым и вторым:
,
.
Отсюда, искомая вероятность:
.
) Вероятность того, что два стрелка попадут в мишень равна вероятности попадания в мишень первым и вторым стрелком и промаха третьим или попадания в мишень первым и третьим стрелком и промаха вторым или попадания в мишень вторым и третьим стрелком и промаха первым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.
Вероятность того, что первый и второй стрелки попадут в мишень, а третий - промахнётся равна произведению этих вероятностей:
.
Аналогичные вероятности попадания первым и третьим стрелком в мишень и промаха вторым, а также попадания вторым и третьим и промаха первым:
,
.
Отсюда, искомая вероятность:
.
) Вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень равна разности между единицей и вероятностью того, что ни один стрелок не попадёт в мишень.
Вероятность того, что ни один стрелок не попадёт в мишень равна произведению этих вероятностей:
.
Отсюда, .
Ответ: 1) , 2) , 3) .
Задача 9 . Студент знает 10 вопросов из 29 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: 1) студент знает все три вопроса; 2) только два вопроса; 3) только один вопрос экзаменационного билета.
Решение
1) Вероятность того, что студент знает все три вопроса билета равна произведению вероятностей знания каждого из них. Так как все три вопроса разные и не повторяются, то:
.
) Вероятность того, что студент знает только два вопроса билета равна вероятности того, что он знает первый и второй вопрос, а третий - не знает, или, что он знает первый и третий вопрос, а второй - не знает, или, что он знает второй и третий вопрос, а первый - не знает. То есть, эта вероятность равна сумме всех этих вероятностей.
Первое слагаемое этой суммы:
.
Второе слагаемое этой суммы:
.
И третье слагаемое этой суммы:
.
Отсюда искомая вероятность:
.
) Вероятность того, что студент знает только один вопрос из трёх равна разности единицы и вероятности того что он не знает ни одного вопроса:
.
Ответ: 1) , 2) , 3) .
Задача 12 . В первой урне 7 белых шаров и 10 - черных, во второй - 9 белых и 3 - черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что взятый из второй урны шар оказался: 1) белым, 2) чёрным.
Решение
1) Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется белым:
.
Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался белым, то белых шаров во второй урне станет десять. Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется белым:
.
А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:
.
Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется чёрным:
.
Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался чёрным, то чёрных шаров во второй урне станет четыре. Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется чёрным:
.
А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:
.
Ответ: 1) , 2) .
Задача 13 . В первой урне 7 белых и 10 - черных шаров, во второй - 9 белых и 3 - черных, в третьей 5 белых шаров. Произвольно выбирают урну и из неё наугад вынимают шар. Найти вероятность того, что вынутый шар оказался:
) белым, 2) чёрным.
Решение
1) Вероятность выбора одной из трёх урн равна 1/3.
Вероятность вынуть белый шар из первой урны:
.
Значит, вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё белый шар:
.
Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё белый шар:
.
Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё белый шар:
,
так как в третьей урне все шары - белые.
Вероятность вытащить белый шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:
.
) Вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё чёрный шар:
.
Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё чёрный шар:
.
Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё чёрный шар:
,
так как в третьей урне все шары - белые.
Вероятность вытащить чёрный шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:
Ответ: 1) , 2) .
Задача 14 . В одной из трёх урн 7 белых и 10 - черных шаров, во второй - 9 белых и 3 - черных, в третьей 5 белых шаров. Наугад выбирают одну из трёх урн и из неё снова наугад выбирают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что: 1) шар вынут из первой урны, 2) шар вынут из второй урны, 3) шар вынут из третьей урны?
Решение
Для решения данной задачи применим формулу Бейеса, суть которой в следующем: если до опыта вероятности гипотез Н1, Н2, … Нn были равны Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn), а в результате произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле: