Моделирование систем автоматического регулирования температуры в объекте второго порядка
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
й случайного процесса.
. при .
. стремятся к нулю при .
В том случае когда исследуется связь между двумя случайными процессами и , характеристикой этой связи будет являться взаимной корреляционная функция
.(2.3)
Величина взаимной корреляции показывает, как зависит ордината процесса в момент времени ?+t от ординаты процесса в момент времени t. Основные свойства :
. , является четной функцией.
. стремятся к нулю при .
Автокорреляционная функция сигнала , которая представляет собой сумму двух случайных сигналов и , может быть выражен через корреляционные функции слагаемых:
(2.4)
Когда и не коррелированны между собой между собой, то взаимокорреляционные в (2.4) равны 0 и
(2.5)
Если исследуются частотные характеристики объекта, то для этой цели используется соответствующая спектральная плотность и взаимная спектральная плотность случайных процессов и :
(2.6)
(2.7)
Она является четной функцией , для любой частоты . Физически величина спектральной плотности показывает, какая доля мощности случайного процесса приходится на эту частоту.
Общая же мощность случайного процесса может быть подсчитана как интеграл его спектральной плотности. Из обратного преобразования Фурье можно получить
.(2.8)
Тогда дисперсия будет равна суммарной мощности случайного процесса:
.(2.9)
При прохождении случайного процесса через линейную систему его характеристики изменяются. Формулы связи между характеристиками системы и характеристиками сигнала на ее входе и выходе особенно простые, когда пользоваться спектральными плотностями случайных процессов и частотными характеристиками системы.
Пусть и - соответственно случайных процессов на входе и выходе системы с амплитудно-фазовой характеристикой , тогда
(2.10)
Среднее значение квадрата сигнала на входе системы в соответствии с (2.9) может быть рассчитано по формуле
(2.11)
В том случае, когда и - рациональная функция, интеграл (2.11) может быть рассчитана с помощью таблиц.
Взаимная спектральная плотность процесса на входе нелинейной системы связана со спектральной плотностью процесса на входе и частотной характеристикой системы выражением:
(2.12)
Выражение (2.12) соответствует связи между взаимной корреляционной функцией сигналов на входе и выходе объекта, корреляционной функцией входного сигнала и импульсной характеристикой системы выражением
Последние два выражения являются основой для определения динамических характеристик объекта статистическими методами.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
=0.95;=7;=5;
x=K1*rand(1,100)+K2*rand(1,100);('seed',K3);(3)(x,'b');=100;m=0:9;
z=0;
for i=1:(N-m);
z=z+x(i)*x(i+m);
end
Rxx(m+1)=z/(N-(m+1));(4)=1:10;=log(Rxx(:));=1:10;=t';=[ones(10,1),tx(:)];=inv(X'*X)*X'*Y=exp(B(1))=exp(B(1))*exp(B(2)*t)(m,Rxx,t,Wx),grid=-0.3:0.01:0.3;=-B(2)=exp(B(1))=(2*a*R0)./(a^2+w.^2);
figure(5)(w,Sxx)
ans=
a =0.0095=2.9128=18.4090
Рис.2.1 График случайного процесса
Рис.2.2 График реальной и сглаженной корреляционной функции.
Рис.2.3 График спектральной плотности.
3. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ВЫХОДНОЙ КООРДИНАТЫ АСР ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ЕЕ ВХОДЕ
Взаимосвязь между спектральной плотностью выходного и входного сигналов объекта:
(3.1)
Преобразовав (3.1), получим:
(3.2)
(3.3)
Для вычисления (3.3) применим методы приближенного интегрирования следующего вида:
(3.4)
где (3.5)
(3.6)
При отсутствии нулевых корней в полиноме А:
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Таким образом:
(3.10)
(3.11)
Характеристики (3.3), (3.10), (3.11) могут быть определены по конечной реализации случайного процесса за время Т. При этом
(3.12)
(3.13)
Эти выражения являются оценкой соответствующих функций (2.2) и (2.3). Если оценки соответствующих взаимокорреляционных функций равны их истинным значениям, то такие функции являются несмещенными. Вычисление данных формул по (3.12) и (3.13) приводит к несмещенным оценкам, однако их точность при больших интервалах ? может вызвать погрешность.
При применении ЭВМ для вычисления корреляционной функции необходимо получить значения ординат случайного процесса отстающих друг от друга на интервал ?t.
Количество координат:
Величина ?t должна быть такой, чтобы между двумя соседними ординатами случайного процесса была линейная зависимость:
.
Тогда (3.12) и (3.13) примут вид:
(3.14)
(3.15)
Для определения как можно более точного значения корреляционной функции можно выделить те факторы, которые влияют на полученный результат:
точность получения ординат случайного процесса зависит от класса точности регистрирующего прибора;
величина ?t
- наибольшая из геометрических частот процесса. Т.к. она чаще всего независима, то примем экспериментальный метод определения ?t. По записи случайного процесса выбирают участок записи и проводят линию математического ожидания случайного процесса и определяют
Далее . Теперь можно выбрать максимальное значение ?
. Определяется время реализации случайного процесса
.
Полученная по формуле (3.15) корреляционная функция может быть аппроксимирована следующей кривой:
(3.16)
- определ?/p>