Метрологическая аттестация образцовой установки по измерению удельного электрического сопротивления полупроводниковых материалов (кремния монокристаллического) четырехзондовым методом
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?ечного объема (рис. 1.2).
Модель зонда
Рисунок 1.2.
Так как пространственное распределение электрического потенциала U(r) в образце имеет сферическую симметрию, то для его определения достаточно решить уравнение Лапласа в сферической системе координат, в котором оставлен лишь член, зависящий от r.
U(r) = () = 0, (1.1)
при условии, что потенциал в точке r = 0 положителен и стремится к нулю при очень больших r. Интегрирование этого уравнения с учетом указанных граничных условий позволяет получить следующее решение:
U(r) = -с/ r. (1.2)
Константу интегрирования можно вычислить из условия для напряженности электрического поля при некотором значении r = r0:
(r0) = - r = r0 (1.3)
Так как плотность тока, протекающего через полусферу радиусом r0,
j = У/ (2 ), (1.4)
а в соответствии с законом Ома:
j = / (1.5)
то
(r0) = У/(2 ), (1.6)
окончательно получим:
U(r) = У/(2 ). (1.7)
Очевидно, что распределение потенциала будет таким же, когда форма контакта зонда с поверхностью образца имеет вид полусферы конечного диаметра.
Пусть радиус контакта равен r1. Тогда электрическое напряжение на образце равно электрическому потенциалу зонда:
U(r1) = У/(2 ). (1.8)
Из сравнения напряжения на приконтактной области толщиной (r2 - r1):
U(r1) - U(r2) = (1.9)
и напряжения на образце (1.8) следует, что основное изменение потенциала происходит вблизи зонда. Например, при r2 = 10 r1 напряжение на образце превосходит напряжение на слое толщиной (r2 - r1) всего на 10%, это означает, что значение протекающего через зонд тока определяется главным образом сопротивлением приконтактной области, протяженность которой тем меньше, чем меньше радиус контакта.
Рассмотрим случай линейного расположения зондов. Сформулируем предположения, на которых основан четырехзондовый метод измерения удельного электрического сопротивления:
) зонды расположены на плоской поверхности однородного изотропного образца полубесконечного объема;
) зонды имеют контакты с поверхностью образца в точках, которые расположены вдоль прямой линии;
) инжекция носителей заряда в объем образца отсутствует.
По принципу суперпозиции электрический потенциал в любой точке образца равен сумме потенциалов, создаваемых в этой точке током каждого зонда. При этом потенциал имеет положительный знак для тока, втекающего в образец (зонд 1), и отрицательный знак для тока, вытекающего из образца (зонд 4). Для системы зондов, расстояния между которыми S1, S2, S3 потенциалы измерительных зондов 2 и 3:
U2 = (- );
U3 = ( - ).
Разность потенциалов:
U23 = U2 - U3 =(- - +) (1.10)
Согласно (1.10) удельное сопротивление образца равно:
= .
Если расстояния между зондами одинаковы, т.е. S1 = S2 = S3 = S, то
= S. (1.11)
Используя другие комбинации включения токовых и потенциальных зондов, можно получить аналогичные выражения для удельного электрического сопротивления, которые отличаются от (1.11) значениями числовых коэффициентов. Однако предпочтительны комбинации включения зондов 1 и 4, так как они обеспечивают максимальное регистрируемое напряжение.
а) Удельное электрическое сопротивление образцов толщиной Н свыше 1.4S вычисляют по формуле:
= Fк S U/У, (1.12)
где Fк - поправочный коэффициент, зависящий от геометрических размеров образца;- среднее межзондовое расстояние, которое находят по формуле:
= (1/S1 + 1/S3 - 1/ (S1+ S2) - 1/( S2+ S3))-1 (1.13)
При условии равенства межзондовых расстояний S1 = S2 = S3 = S для полубесконечного образца (когда его толщина Н>5 и диаметр Д>S) растекание тока в полупроводнике имеет сферическую симметрию и величина удельного электрического сопротивления в конечном виде определяется выражением:
= Fк S . (1.14)
б) Удельное электрическое сопротивление образцов толщиной Н менее 1.4S вычисляют по формуле:
= F Н , (1.15)
где к = , (1.16)
F = Fd Fн, (1.17)
Fd - поправочный коэффициент, зависящий от диаметра пластины Д;
к - коэффициент, учитывающий отличие действительных значений межзондовых расстояний (числовые значения коэффициентов Fн, Fd, к приведены в СТ СЭВ I250-78).
Результат измерения удельного электрического сопротивления может быть приведен к любой температуре от 18 до 280С.
В этом случае рассчитанное по формуле (1.11) удельное электрическое сопротивление приводят к температуре t =230С по формуле:
= , (1.18)
где t - удельное электрическое сопротивление, Ом . см;
С - температурный коэффициент (числовые значения приведены в ГОСТ 24392-8О,СТ СЭВ I250-78);
t - номинальная температура в диапазоне (235)0С;
- удельное электрическое сопротивление при 230С.
Четырехзондовый метод измерения удельного электрического сопротивления полупроводниковых материалов является самым распространенным. Основное преимущество его состоит в том, что не требуется создания омических контактов к образцу и возможно измерение удельного электрического сопротивления образцов самой разнообразной формы и размеров. Условием для его применимости с точки зрения формы образца является наличие плоской поверхности, линейные размеры которой превосходят линейные размеры системы зондов.
1.2 Физические эффекты, вносящие погрешность в результаты измерений
Многие методы измерения удельного электрического сопротивления полупроводниковых матери?/p>