Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
методы решения нелинейных дифференциальных уравнений
РЕФЕРАТ
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, РЯД ТЕЙЛОРА, ИНДУЦИРОВАННАЯ АЛГЕБРА.
ряд тейлора алгебра уравнение гармоническое
Объектом исследования является метод решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Цель работы - сравнить решения уравнения для гармонического осциллятора, полученные с помощью ряда Тейлора по начальным условиям и с помощью метода индуцированной алгебры для того чтобы проверить работоспособность метода.
Для реализации данной задачи было проделано следующее:
. Построен ряд Тейлора по заданным начальным условиям.
. Нашли индуцированные матрицы.
. Построили алгебру.
. Получили ряд методом индуцированной алгебры с теми же начальными условиями.
. Провели сравнение полученных решений для первых членов ряда.
Результаты работы могут применяться при изучении физических процессов.
СОДЕРЖАНИЕ
Реферат
Введение
. Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи разложения в ряд Тейлора
. Метод индуцированной алгебры
.1 Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Обычно физику делят на несколько разделов: механику, электричество и т. п., и мы проходим эти разделы один за другим. Но, то и дело происходят странные вещи: переходя к новым разделам физики и даже к другим наукам, мы сталкиваемся с уравнениями, почти не отличающимися от уже изученных нами ранее. Таким образом, многие явления имеют аналогию в совсем других областях физики. Простейший пример: распространение звуковых волн во многом похоже на распространение световых волн. Если мы достаточно подробно изучим акустику, то обнаружим потом, что прошли довольно большую часть оптики. Таким образом, изучение явлений в одной области физики может оказаться полезным при изучении других ее разделов. Хорошо с самого начала предвидеть такое возможное расширение, иначе могут возникнуть недоумения, почему мы тратим столько времени и сил на изучение небольшой задачи механики. Гармонический осциллятор, на примере которого мы проводим сравнение двух методов, будет встречаться нам почти всюду. Это уравнение непрестанно встречается в физике и в других науках и фактически описывает столь многие явления, что, право же, стоит того, чтобы изучить его лучше. Такое уравнение описывает колебания грузика на пружинке, колебания заряда, текущего по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавим сюда уравнения, описывающие действия датчиков-регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химических реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, относящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питающихся кроликами, которые в свою очередь едят траву. Осцилляторы рассматриваются и в экономике, в анализе финансовых рынков: кривая темпа, которая колеблется вокруг нулевой линии - технический индикатор, показывающий состояние перекупленности или перепроданности рынка. Мы привели очень неполный список явлений, которые описываются почти теми же уравнениями, что и гармонический осциллятор. Эти уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Известны надёжные общеупотребляемые методы решения задачи о свободных колебаниях гармонического осциллятора. Классическими являются решения при помощи разложения в ряд Тейлора [1], а также метод характеристического уравнения. Но, как известно математические методы имеют ряд ограничений, которые вытекают, как правило, из физики. Совершенствование методики приборов исследования привело к тому, что многие процессы стали рассматриваться как нелинейные. Возникла необходимость в универсальных методах для решения дифференциальных уравнений имеющих как линейный, так и нелинейный характер превращающихся друг в друга. В работе [2] предложена схема решения, базирующаяся на индуцированной алгебре, получающейся при записи дифференциальных уравнений в виде системы уравнений с квадратичной правой частью.
Данная методика достаточна, важна, так как многие физические процессы по существу полиноминальны. Было бы естественным совершенствовать методы их расчета. По сравнению с другими способами, этот отличается простотой и удобством записи полученного результата. В сущности, здесь используется только сложение и умножение.
1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ПРИ ПОМОЩИ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА
Движение материальной точки подчиняется уравнению (1.1):
(1.1)
Задаются так же начальные условия. Например:
(1.2)
Для произвольной монотонной функции ряд Тейлора [1] имеет вид:
(1.3)
Используя начальные условия и формулу (1.3) запишем ряд Тейлора.
используя эти данные, найдём вторую производную:
(1.4)
Далее чтобы получить третью производную, дифференцируем уравнение (1.1):
Отсюда следует, что и если t=0, то
(1.5)
Далее находим четвёртую, пятую и последующие производны?/p>