Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
2.1.15)
Будем использовать не рекуррентное соотношение (2.11) для векторных коэффициентов ряда, а формулы (2.13)-(2.17).
Вычисляем
(2.1.16)
так как, а это видно из таблицы (2.1.13)
Вычисляем
(2.1.17)
Из (3.1.13)
Вычисляем
(2.1.18)
И так далее вычисляем и
(2.1.19)
(2.1.20)
Из(2.1.13)
Запишем несколько первых слагаемых векторного решения:
(2.1.21)
В выражении (2.1.21) произведём перегруппировку коэффициентов стоящих перед соответствующими базисными векторами.
Закону движения гармонического осциллятора соответствует часть суммы стоящая перед вектором .
(2.1.22)
Но т.к. (из начального условия), то
(2.1.23)
Выражение (2.1.23) совпадает для двух первых слагаемых с (1.9).
Таким образом, решения, полученные двумя разными методами в приделах ограниченных исследованными членами рядов, совпадают. Мы делаем из этого вывод, что метод индуцированных алгебр является корректным методом для решения систем дифференциальных уравнений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог проделанной выше работы, мы пришли к следующим выводам:
) Решения, полученные двумя разными методами в приделах ограниченных исследованными членами рядов, совпадают. Мы делаем из этого предположение, что метод индуцированных алгебр можно применять для решения систем дифференциальных уравнений, если, получается, выделить квадратичные формы.
2)В современной физике очень интенсивно изучаются и моделируются нелинейные процессы. Моделирование, как правило, связано с решением нелинейных дифференциальных уравнений. В связи с этим особую ценность представляют собой простые и универсальные методики получения решений. Метод алгебры, индуцируемой системой дифференциальных уравнений, относится к разряду именно таких способов. В работе, этим методом получено решение уравнения классического гармонического осциллятора, в виде функционального ряда с сохранением параметрических коэффициентов . Это позволяет в дальнейшем аналитически изучать свойства системы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов.- Изд. стер. - Москва: Интеграл - Пресс, 2005.- 415 с.
2Ньюком Р.У. Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Канонические многомерные представления / Р.У. Ньюком. - ТИИЭР, т.65, №6, 1977. 205 с.
3Markus L. Quadratic differential equations and nonassociative algebras / L. Markus. - Princeton, 1960. 413 с.