Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
µ:
если t=0, то
(1.6)
(1.7)
Получилась закономерность, что нечётная производная для значений равна 0.
Далее для того чтобы пронаблюдать закономерность для чётных производных мы найдём ещё шестую производную:
(1.8)
Таким образом, можем записать найденные слагаемые в виде ряда:
-это и есть решение для рассмотренных начальных условий.
(1.9)
Таким рядом представляют функцию с амплитудой .
2.МЕТОД ИНДУЦИРОВАННОЙ АЛГЕБРЫ
Сущность метода заключается в том, что дифференциальное уравнение представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Правая часть уравнений составляющих систему преобразуются в квадратичные формы.
В статье [2] Ньюком показывает, как полиноминальные системы сводятся к системам с квадратичной правой частью.
Пусть -n -мерный вектор-столбец, элементами которого являются действительные функции времени t. Будем интерпретировать вектор x как вектор состояния некоторой физической системы. Зададим n действительных симметричных матриц размерностью , и определим систему квадратичных дифференциальных уравнений , в виде
(2.1)
где точка означает производную по времени, а ~- операцию транспонирования. Перепишем эту систему в координатной форме:
(2.2)
Верхний индекс у компонент вектора в (2.2), не является показателем степени, а номером компоненты.
В своей работе автор называет алгеброй, некоторый алгоритм, следуя которому любые два вектора можно перемножить, и получить вектор того же пространства. Предполагается, что вектор можно разложить по базису этого пространства и алгебра полностью определяется заданием таблицы умножения базисных векторов. Таким образом, любой вектор можно представить в виде
, (2.3)
где - действительные функции времени, а - векторы базиса.
Следуя Маркусу [3], автор определяет таблицу умножения базисных векторов:
(2.4)
и тем самым определяет алгебру индуцированную системой дифференциальных уравнений. Таблицу умножения (2.4), можно записать в компактном матричном виде
(2.5)
Далее Ньюком использует разложение (2.3) и переписывает систему (2.1) в виде:
(2.6)
Для решения системы (2.6) необходимо использовать начальное условие , которое в индуцированной алгебре записывается в виде:
. (2.7)
Предполагая, что решение можем представить в виде степенного ряда, запишем его
(2.8)
здесь - вектор, векторные коэффициенты каждого слагаемого из (2.8)
, (2.9)
(2.10)
Для получения решения уравнения необходимо приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в рядах (2.9) и (2.10). Поскольку j+k=i-1, в результате имеем:
(2.11)
Коэффициент определяется из начального условия
(2.12)
Используя (2.11) и коммутативность алгебры для упрощения, найдём соотношение между коэффициентами ряда (2.8):
, (2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16) (2.17)
2.1Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры
Дано уравнение (1.1) с теми же начальными условиями:
Представим его в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, согласно [1].
Введём обозначение , (2.1.1)
тогда вторая производная запишется . (2.1.2)
Выражение (1.1) запишется как
(2.1.3)
Согласно схеме, приведённой Ньюкомом, правые части системы должны быть представлены в виде квадратичной формы. Для этого введём переменную , такую, что . Тогда система (2.1.3), запишется в виде:
(2.1.4)
Для приведения к стандартному виду, введём трёхмерный вектор состояний , такой, что система (2.1.4) запишется в виде:
(2.1.5)
Выражение (2.1.5) запишем как произведение матрицы ) на вектор столбец:
(2.1.6)
Изменение во времени каждой компоненты вектора определяется соответствующей квадратичной формой, имеющей только ей присущую матрицу - компоненту некоторого оператора , генерирующего систему (2.1.5). С помощью этого оператора записывают уравнения и строят алгебру перемножения базисных векторов. Запишем (2.1.6) в виде.
,где (2.1.7)
Выпишем матрицы - компоненты оператора :
; (2.1.8)
Таким же образом выпишем матрицу (:
; (2.1.9)
; (2.1.10)
Из формулы (2.11) следует, что нам необходимо знать ответ на вопрос: чему равно произведение любой пары базисных векторов?
Символическая запись алгоритма для вычисления их оформили в виде таблицы перемножения базисных векторов , которая имеет вид:
; (2.1.11)
Так как =0, таблицу можно записать в следующем развёрнутом виде:
(2.1.12)
В результате получили таблицу перемножения базисных векторов (i=1,2,3) и тем самым оформили алгебру индуцированную системой (2.1.5). Чтобы подчеркнуть, что имеем дело именно с таблицей запишем результат в виде:
00000 (2.1.13)
В таблице (2.1.13) индексы пробегают значения 1,2,3. Здесь пары индексов задают положения в таблице результат перемножения соответствующих пар базисных векторов. Например:
и так далее
Решение системы (2.1.5) представим в виде суммы векторного ряда:
(2.1.14)
Нулевой член этого ряда выразим через начальное условие:
=,=0, согласно (1.2) ,=1 следует из (2.1.4).
Поэтому
(