Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Вступление
В этой курсовой работе мы познакомимся с уравнением Бесселя и его применением в уравнениях математической физики. Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
1. Фридрих Вильгельм Бессель
немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил орбиту кометы Галлея. В 1806 стал ассистентом крупного астронома И. Шрётера в Лилиентале, вскоре приобрел репутацию видного астронома-наблюдателя и вычислителя-математика. В этом качестве в 1810 был приглашен в Кёнигсбергский университет для организации обсерватории, директором которой оставался до конца жизни. Полагая, что в результаты наблюдений необходимо вносить поправки, учитывающие наличие самых незначительных факторов, Бессель разработал математические методы коррекции результатов наблюдений. Первой работой в этом направлении стала корректировка положений звезд в каталоге, составленном в 18 в. английским астрономом Дж. Брадлеем. В дальнейшем Бессель сам вел наблюдения за звездами; в 1821-1833 он определил положение более 75 тыс. звезд и составил обширные каталоги, которые легли в основу современных знаний о звездном небе.
Бессель одним из первых измерил параллаксы звезд и расстояние до них. В 1838 определил расстояние до двойной звезды 61 Лебедя, оказавшейся одной из самых близких к Солнечной системе. Наблюдая в течение ряда лет яркие звезды Сириус и Процион, Бессель обнаружил в их траектории такие особенности, которые можно было объяснить только наличием спутников. Эти предположения впоследствии подтвердились: в 1862 был обнаружен спутник Сириуса, а в 1896 - спутник Проциона. Известны работы Бесселя в области геодезии (определение длины секундного маятника, изобретение базисного прибора).
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т.п., например:
электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
теплопроводность в цилиндрических объектах;
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
. Уравнение Бесселя
При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению:
(1)
где - постоянная. Это уравнение встречается также во многих вопросах физики, механики, астрономии и т.п. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Так как уравнение (1) имеет особую точку x = 0, то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:
Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим
(3)
Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x, будем иметь:
Из первого равенства находим два значения для р: p1= и p2=-
Если мы возьмем первый корень р = , то из формул (5) и (6) получим:
Отсюда следует, что a2k+1=0 (k=2, 3, 4,…), а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно, по формулам:
Из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов имеет такой вид:
Что касается коэффициента a0, который был до сих пор совершенно произвольным, то выберем его таким образом:
где Г () - гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:
При таком выборе а0 коэффициент а2k может быть записан в виде:
Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим следующую основную формулу:
Отметим, что формула (10) дает возможность определить гамма-функцию для отрицательных значений , а также и для всех комплексных значений.
Пусть k - некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим
Полагая в этой формуле = 0, найдем, в силу равенства
другое важное свойство гамма-функции, выражаемое
Г (k+1) = k! (12)
бессель уравнение функция ортогональность
С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента а2k примет следующий вид:
Внося найденные значения коэффициентов а2k+1 и а2k в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции Бесселя 1-го рода - го порядка и обозначается обычно через JV (x).
Таким образом,
Ряд (14) сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя признак Даламбера.
Используя второй корень p2 =-, можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения (14) простой заменой на -, так как уравнение (1) содержит только 2 и не меняется при замене на -:
Если не равно целому числу, то частные решения JV (x) и J-V (x). уравнения Бесселя (1) будут линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней х. Если же есть целое положительное число n, то в этом случае легко обнаружить линейную зависимость решений Jn(x) и J-n(