Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
x). Действительно, при целом для к = 0, 1, 2,…, n- 1 величина -+k+1 принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений k: Г(-+k+1)=, что следует из формулы:
Таким образом, первые n членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим
или, положив k= n + l, получим
т.е.
Отсюда следует, что при целом n функции Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы.
Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу n, необходимо найти второе, линейно-независимое от JV (x), частное решение. Для этого введем новую функцию Yv (х), положив
Очевидно, что эта функция также является решением уравнения (1), так как она представляет собою линейную комбинацию частных решений JV (x) и
J-V (x) этого уравнения. Затем нетрудно убедиться, на основании соотношения (16), что при , равном целому числу n, правая часть равенства (17) принимает неопределенный вид . Если раскрыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее представление функции Yn(x) при целом положительном n:
В частном случае, при n = 0, функция Yo(х) представляется таким образом:
Введенная здесь функция Yv (х) называется функцией Бесселя 2-го рода - го порядка или функцией Вебера.
Функция Вебера Yv (х) является решением уравнения Бесселя также и в том случае, когда - целое число.
Функции JV (x) и Yv (х), очевидно, линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком - дробном или целом - образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде
где С1 и С2 - произвольные постоянные.
3. Частные случаи уравнения Бесселя
В математической физике наиболее часто встречаются функции Бесселя
где п-целое число.
Первые две из этих функций представляются следующими рядами:
Для них имеются подробные таблицы. Графики функций J0(x), J1(x) и У0(x) приведены на рис. 1 и 2.
Рис. 1Рис. 2
Из формулы (23) видно, что вычисление функций J2(x), J3(x) и т.д. сводится к вычислению соответствующих значении функций J0(x) и J1(x).
Обратимся теперь к функции Jn+1/2 (x), где n - целое число.
Найдем прежде всего значения функций J1/2 (x) и J-1/2 (x), для чего обратимся к разложению (14); из него видно, что
Но из формулы (11) непосредственно вытекает, что
Таким образом,
Последняя сумма представляет собой разложение sin x в степенной ряд, вследствие чего
Аналогично, из разложения (15) вытекает, что
Если теперь воспользоваться формулой (23), то нетрудно видеть, что
Вообще, функция Бесселя Jn+1/2 (x) при целом n выражается через элементарные функции, а именно:
где Рn (1/x) - многочлен степени n относительно 1/x, а
Qn-1 (1/x) - многочлен степени n-1, причем Pn(0) = 1, 0n-1(0)=0. Отсюда следует, что при больших значениях х имеет место асимптотическое представление функции Бесселя:
где через О(x-1) обозначена величина порядка 1/x.
Отметим, что асимптотическая формула (29) справедлива не только при =n+1/2, но и при всех значениях .
4. Ортогональность функций Бесселя и их корни
Рассмотрим уравнение
где k - некоторая постоянная, отличная от нуля.
Введем вместо x новую независимую переменную t = kx. Тогда уравнение (30) преобразуется в такое:
а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция y=Jv (kx) будет решением уравнения
которое разделив на x, можем написать в виде
Возьмем два различных значения k и напишем соответствующие дифференциальные уравнения:
Умножая первое из этих равенств на Jv (k2 x), а второе - на Jv (k1 x) и вычитая одно из другого, после несложных преобразований получим:
Если теперь воспользоваться формулой (14), то нетрудно убедиться, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, может быть разложено по степеням x, причем наинизшая степень х будет х2(v+1). Отсюда ясно, что это выражение будет обращаться в нуль при х = 0, если > -1. Приняв это во внимание, проинтегрируем равенство (32) по некоторому конечному промежутку (0, l); тогда получим
где через () обозначается, как обычно, дифференцирование по аргументу. При l = 1 эта формула принимает вид:
Покажем теперь, что при >-1 функция Бесселя JV(x) не может иметь комплексных корней. Допустим, что она имеет такой корень а+ib, причем а. В разложении (14) все коэффициенты разложения вещественны и, следовательно, функция J1(x) кроме корня a+ib должна иметь и сопряженный корень a-ib. Обратимся к формуле (34) и положим k1=a+ib и k2=a+ib; при этом k12?k22 и формула дает
Величины JV(k1x) и JV(k2x) будут комплексно сопряженными, следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит положительная величина и эта формула не может иметь места.
Функция Бесселя Jv(x) не может иметь и чисто мнимых корней. Действительно, подставив ib в формулу (14), получим разложение, содержащее только положительные члены:
так как, согласно формуле (8), гамма-функция Г(x) принимает положительные значения при х > 0.
Покажем теперь, что функция Jv(x) имеет веществе?/p>