Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ные корни. Для этого обратимся к асимптотическому разложению функции Бесселя (29):
Из этой формулы видно, что при беспредельном удалении x: вдоль положительной части оси Ох второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое - бесчисленное множество раз изменяется от -1 к +1. Отсюда непосредственно вытекает, что функция Jv(x) имеет бесчисленное множество вещественных корней.
Таким образом, приходим к следующему результату: если > -1, то функция Jv(x) имеет все корни вещественные.
Заметим, кроме того, что из разложения (14), содержащего только четные степени, непосредственно вытекает, что корни Jv(x) будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни.
Пусть k1=, k2=, где i и l-два различных положительных корня уравнения.
Тогда формула (33) дает непосредственно следующее свойство ортогональности функций Бесселя:
Пусть теперь k=, где - положительный корень уравнения (35). Возьмем формулу (33), в которой положим k1=k2, k2 а будем считать переменным и стремящимся к k, тогда получим
При k2 - >правая часть этого равенства становится неопределенной так как числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим
Положив в формуле (22) х= и приняв во внимание, что есть корень уравнения (35), получим
и формулу (37) можно записать еще следующим образом:
Таким образом, мы имеем
(> -1)
где i и j-положительные корни уравнения JV(x)=0.
Рассмотрим теперь более общее уравнение
где ? и ?-заданные вещественные числа.
5. Применение теории функций Бесселя к анализу скин-эффекта
Переменный ток в отличие от постоянного не распределяется равномерно по сечению проводника, а имеет большую плотность у его поверхности. Это явление называют скин-эффектом (по-английски skin - кожа).
Рассмотрим, для простоты, бесконечный однородный цилиндрический провод () по которому течет переменный ток. Будем предполагать, что полный ток I= I0eiwt, протекающий через сечение провода, известен.
Пренебрегая токами смешения по сравнению с током проводимости и считая процесс установившимся, т.е. зависящим от времени по закону eiwt, получим, после сокращения на множитель eiwt, уравнения Максвелла в виде:
(1)
(2)
(3)
(4)
где . Уравнения (3) и (4) в данном случае, очевидно, следуют из уравнений (1) и (2).
Введем цилиндрическую систему координат () так, чтобы ось z совпадала с осью провода. Тогда в силу осевой симметрии тока все величины можно считать зависящими только от переменной r.
Так как в нашем случае вектор Е направлен вдоль оси z, то из уравнений (1) и (2) будем иметь:
Исключая отсюда H, найдем:
Введем граничное условие на поверхности провода при r=R. Для этого воспользуемся тем, что нам известен полный ток I0, протекающий по цилиндру.
Запишем первое уравнение Максвелла (1) в интегральной форме:
где С - контур, охватывающий провод, Нs - тангенциальная составляющая вектора H на С. Если в качестве такого контура взять окружность r=R, то получим:
или
Отсюда, пользуясь соотношением (2), находим:
Таким образом, мы должны решить уравнение Бесселя:
при граничном условии -
и условии ограниченности при r = 0:
Общее решение уравнения (5) имеет вид:
где J0 и N0 - функции Бесселя первого и второго рода, А и В - постоянные, подлежащие определению.
Функция N0 имеет логарифмическую особенность при r=0. Поэтому в силу условия (8) B= 0 и, следовательно,
Коэффициент A определим из граничного условия (7):
Отсюда для плотности тока получаем:
В правой части этой формулы стоят функции Бесселя от комплексного аргумента:
Обычно пользуются для этих функций следующими обозначениями:
Нетрудно найти выражения для вещественных функций ber x и bei x, пользуясь разложением функций Бесселя в ряд. Например,
откуда получаем:
Нетрудно убедиться подобным же образом, что
В приложениях встречаются также производные: ber0 x и bei0 x причем
Пользуясь введенными функциями, выражение (12) для тока можно записать в виде:
или
Вычисляя абсолютную величину этого выражения, получим:
Величиной, характеризующей распределение тока по сечению, является отношение:
Так же отмечу, что скин-эффект широко используется на практике для закалки металлов.
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрено уравнение Ф.В. Бесселем, относительно его применения в таких науки как математика, физика, астрономия и др.
Доказали такие важные свойства уравнения Бесселя как
Применили данное уравнение к такому физическому процессу как скин-эффект.
Список литературы
1.Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики / Под ред. Г.И. Марчука: Уче?/p>