Алгоритми розрахунку періодичного режиму в нелінійній схемі
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
p>
1 Математичний зміст спектральних методів. Розглянемо розрахунок періодичного режиму в нелінійному пристрої на прикладі конкретної схеми (рис. 1), складеної з паралельно зєднаних провідностей y(p), нелінійного опору з вольт-амперною характеристикою та нелінійної ємності, в якій відома вольт-кулонівська характеристика . Аргументом лінійної провідності є оператор диференціювання .
Рисунок 1 Схема, за допомогою якої ведеться розрахунок періодичного режиму
На вході схеми діє періодичне джерело струму із періодом
. ( 2)
При заданих y(p), , , потрібно знайти періодичну з періодом напругу , яка буде рішенням диференційного рівняння, записаного в символічній формі
.
Подамо шукану напругу в формі ряду Фурє:
. (3)
Задача зводиться до визначення спектральних компонентів в (3).
Очевидно, при періодичному режимі струм нелінійного опору та заряд нелінійної ємності будуть також періодичними функціями часу
, (4)
. (5)
Важливо мати на увазі, що кожна амплітуда струму та заряду в (4) і (5) буде, в силу (3), функцією всіх комплексних амплітуд шуканої напруги.
Щоб отримати рівняння для , підставимо (3), (4) та (5) в диференційне рівняння
.
Тут усі комплексні амплітуди постійні. Значить, оператор диференціювання діє тільки на експоненційні функції
; .
Отже, можна записати
,
де ={1 при k=0, 1; 0 при k0, 1}.
Отримане співвідношення являє собою лінійну комбінацію функцій . Оскільки вони лінійно незалежні, то складена лінійна комбінація може обернутись в нуль тільки при рівності нулю кожного співмножника в квадратних дужках:
, (6)
Вище зазначалось, що кожна амплітуда струму та заряду є функцією комплексних амплітуд напруги
, (7)
Тому (6) являє собою нескінчену систему трансцендентних (нелінійних) рівнянь відносно комплексних амплітуд напруг.
При практичних розрахунках досить врахувати постійну складову і кілька гармонік напруги. Так можна зробити тому, що розглянуті схеми вибірні. Звичайно, кількість гармонік, які беруться до уваги, повинен визначити розробник. Зазначимо, що в інженерній методиці розрахунку подібних схем, враховується лише одна гармоніка.
Допустимо, встановлено, що досить полічити N гармонік. Тобто, система (6) складається з (2 N + 1) рівнянь. Таким чином, розрахунок періодичного режиму спектральним методом зводиться до рішення системи нелінійних рівнянь. Різновиди методу визначаються способом рішення цієї системи.
Потрібно взяти до уваги особливість рівнянь (6): в них нелінійні функції (7) в деяких випадках можна описати аналітично. У звязку з цим, далі не розглядатимемо способи рішення (6), які спираються на аналітичне уявлення функції (7). Тому нижче зупинимося на двох способах: перший ітераційний метод Ньютона; другий різновид пропонованого у методу, що спирається на інтегрування диференційних рівнянь.
2 Алгоритм рішення системи нелінійних рівнянь методом Ньютона.
Запишемо рівняння (17) у векторно-матричній формі
, (8)
де - вектор комплексних амплітуд струму комплексних амплітуд напруги;
- вектор нелінійного опору;
- вектор комплексних амплітуд заряду нелінійної ємності;
- вектор складової джерела струму;
та - квадратні діагональні матриці. Розмірність векторів та матриць дорівнює 2N+1.
Ліва частина формули (7), виявляється трансцендентною векторною функцією, аргумент якої вектор напруги
. (9)
За допомогою формули (7) отримаємо співвідношення для методу Ньютона стосовно (9)
. (10)
Верхній індекс вектора напруги вказує на номер ітерації.
Якщо в (9) підставити , то в лівій частині не отримаємо нуль. Тому вектор функцію називають незвязною.
Продиференцюємо (10) по вектору
. (11)
Нагадаємо, що похідна від вектор-функції незвязності за векторним аргументом виявляється матрицею Якобі. Як видно, вона складається з трьох складових. Позначимо і елементи матриць та .Тоді
, , .
В даному випадку використання методу Ньютона особливо ефективне, оскільки вдається отримати аналітичний вираз для і . Покажемо, як знаходиться, наприклад, .
За визначенням
.
Величину запишемо у вигляді
.
В свою чергу ,
.
Похідна від струму за напругою u(t) позначена як провідність . Приватна похідна від напруги за комплексною ампліту-
дою отримана за допомогою (11).Це дозволяє записати
, (12)
де - (l-m) а гармоніка похідної .
, (13)
де -а гармоніка похідної , яка уявляє собою диференційну ємність.
Опишемо алгоритм розрахунку періодичного режиму в наведеній схемі. Припускаємо, що відомі: період коливань , кількість врахованих гармонік N, нелінійні функції та їх похідні, значення лінійних провідностей схеми на постійному струмі та на частотах гармонік (тобто матриця Y), число точок М на періоді для виконання дискретного перетворення Фурє.
Крок 1: ввести початкове значення вектора .
Крок 2: розрахувати за формулою (14) та за компонентами вектора миттєві значення напруги в М точках періоду .
Крок 3: розрахувати з вольт-амперної та вольт-кулонівської характеристик миттєві значення струму крізь нелінійний опір та заряд на нелінійній ємності в М точках періоду , а також роз?/p>