Метод простых итераций с попеременно-чередующимся шагом решения некорректных задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
имеет место соотношение .
Доказательство:
Так как верно неравенство (3.5), то
, где .
Воспользуемся теоремой Банаха-Штейнгауза, по которой сходимость при имеет место тогда и только тогда, когда эта сходимость имеет место на некотором плотном в подмножестве и ограничены независящей от постоянной.
Здесь , т.е. совокупно ограничены.
В качестве плотного в подмножества возьмём множество . Положим . Тогда для каждого имеем
так как Лемма 3.2 доказана.
Лемма 3.3 Пусть .
Если для некоторого при имеем
то .
Доказательство:
В силу (3.3) последовательность ограничена . Поэтому в гильбертовом пространстве из этой последовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность.
Пусть , тогда . Но по условию следовательно, . Поскольку нуль не является собственным значением оператора , то . Тогда
так как и по условиям . Следовательно, . Итак, всякая слабо сходящаяся подпоследовательность указанной выше ограниченной последовательности стремится к нулю по норме. Следовательно, и вся последовательность . Лемма 3.3 доказана.
Теорема 3.1 Пусть и пусть момент останова - чётное) в методе (1.3) выбирается по правилу (3.1). Тогда
при .
Доказательство:
Поскольку нуль не является собственным значением оператора , то . Так как
то
Ранее, в главе 2 по индукции было показано, что
,
следовательно, для чётных
Значит,
(3.6)
Отсюда
(3.7)
В силу лемм 3.1 и 3.2 имеем
(3.8)
(3.9)
Кроме того, из (3.2) и (3.3)
(3.10)
(3.11)
Рассмотрим случай правила останова (3.1). Тогда
и из (3.7) и (3.11) получим при
Следовательно,
(3.12)
Для любых справедливы неравенства . Поэтому Итак, для любых
(3.13)
Из (3.9) и (3.13) получим при или (так как из (3.9) ), следовательно, .
Если при этом , то, используя (3.6), получим
так как из (3.8) вытекает
Если же для некоторых последовательность окажется ограниченной, то и в этом случае . Действительно, из (3.12) выполняется Следовательно, имеем и по лемме 3.3 получаем, что при . Отсюда
Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2 Пусть выполняются условия теоремы 3.1 и пусть тогда справедливы оценки
,
(3.14)
Доказательство:
Из (3.5) при имеем
Воспользовавшись (3.13), получим
Откуда
.
При помощи неравенства моментов оценим
Тогда
Теорема 3.2 доказана.
Замечание 3.1 Порядок оценки (3.14) есть , и он оптимален в классе задач с истокопредставимыми решениями.
Замечание 3.2 Используемое в формулировке теоремы 3.2 предположение, что порядок истокопредставимости точного решения равен , не потребуется на практике, так как при останове по невязке автоматически делается число итераций, нужное для получения оптимального по порядку приближённого решения. Но даже если истокопредставимость точного решения отсутствует, останов по невязке (3.1), как показывает теорема 3.1, обеспечивает сходимость метода, т.е. его регуляризующие свойства.
Глава 4 МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Рассмотрим в пространстве (0,1) модельную задачу в виде уравнения
, где
с симметричным положительным ядром .
В качестве точного решения сформулированной задачи выберем функцию
Сформулированная задача относится к обратным задачам теории потенциала. Будем решать эту задачу методом простой итерации с попеременно чередующимся шагом:
, n = 0,1,2,…
Возьмем =0.8, =4.4. Разбиваем отрезок на отрезков с
, где m=32, h=, , , .
Для получения приближённого значения внесём возмущения следующим образом:
, . Отсюда , т.е. .
Теперь считаем, что правые части известны и решаем уравнение методом простой итерации с попеременно чередующимся шагом, который в дискретной форме имеет вид:
Будем применять правило останова по соседним приближениям. Зададим уровень останова и момент останова определим условиями:
Причём будем считать равным , а расчёты проведём для и . На каждом шаге вычислялись:
? норма приближенного решения,
? дискретная норма разности между точным и приближенным решениями,
? дискретная норма разности между соседними приближениями.
Для достижения оптимальной точности при потребовалось 8 итераций, а при ? 18 итерации.
Использование правила останова по соседним приближениям позволило сделать метод простой итерации с попеременно чередующимся шагом эффективным и тогда, когда нет сведений об истокопредставимости точного решения.
Полученные результаты задаются в таблице, графики точного и приближенного решения при и приведены на рисунке.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе проведены теоретические исследования по изучению явного итерационного метода с попеременно чередующимся шагом решения некорректных задач. Основные результаты можно сформулировать следующим образом: