Метод простых итераций с попеременно-чередующимся шагом решения некорректных задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?го равенства имеем . Следовательно, при рассматриваемая формула верна.
. Пусть при данная формула верна, т. е.:
. Докажем справедливость формулы при
Значит, доказываемая формула справедлива.
Считаем . Тогда, воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, получим:
По индукции можно доказать, что
1. При , получим . Следовательно, при рассматриваемая формула верна.
При
,
.Пусть при формула верна, т. е.:
(**)
. Докажем справедливость формулы при
Следовательно, рассматриваемая формула справедлива.
В этом случае
Здесь - натуральные показатели, или Потребуем, чтобы здесь и всюду ниже для , удовлетворяющих условию и для было
(1.4)
для любого т. е. Правое неравенство дает Так как то
(1.5)
Левое неравенство дает
Отсюда
(1.6)
Из (1.5) и (1.6), двигаясь в обратном порядке, легко получить (1.4). Следовательно, условие (1.4) равносильно совокупности условий (1.5) и (1.6). Из (1.5) и (1.6) получаем следствие:
(1.7)
Докажем сходимость процесса (1.2) при точной правой части. Справедлива
Теорема 1.1 Итерационный процесс (1.2) при условиях и (1.4) сходится в исходной норме гильбертова пространства.
Доказательство:
При условиях и (4) второй интеграл сходится, так как
Здесь
так как сильно стремится к нулю при Таким образом, Теорема 1.1 доказана.
.3 СХОДИМОСТЬ ПРИ ПРИБЛИЖЕННОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ
Докажем сходимость процесса (1.3) при приближенной правой части уравнения (1.1). Справедлива
Теорема 1.2 При условиях и (1.4) итерационный процесс (1.3) сходится, если выбирать число итераций из условия
Доказательство:
Рассмотрим Оценим где
Найдем на максимум подынтегральной функции
Покажем по индукции, что
Обозначим левую часть неравенства через Тогда
. При . Получим . Следовательно, при рассматриваемая формула верна.
При
,
. Пусть при формула верна, т. е.:
.
. Докажем справедливость формулы при
Следовательно, доказываемая формула верна.
Поэтому Отсюда получим
Поскольку и то для сходимости метода (1.3) достаточно потребовать, чтобы Теорема 1.2 доказана.
.4 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Для оценки скорости сходимости предположим истокопредставимость точного решения, т. е. Тогда
Для упрощения будем считать число четным, т. е. и найдем оценку для С этой целью оценим модуль подынтегральной функции
Первый сомножитель для Второй сомножитель для малых близок к единице, т. е. тоже положителен. Поэтому по крайней мере для всех не превосходящих первой стационарной точки. Найдем стационарные точки функции
Первые два сомножителя не равны нулю, в противном случае Следовательно, Отсюда получим, что
-
стационарные точки функции Рассмотрим где
Имеем
так как первые два сомножителя при условии (1.4) положительны. Значит, - точка максимума функции Оценим в точке
.
Покажем, что
(1.8)
Предположим, что (1.8) справедливо. Оно равносильно неравенству
которое, в свою очередь, равносильно такому
(1.9)
Возведение в квадрат обеих частей неравенства (1.9) дает эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких n это будет.
Очевидно, при
Будем считать и возведем обе части неравенства (1.9) в квадрат. После приведения подобных членов получим
или
т. е.
При последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (1.8). Отсюда
Оценим теперь Покажем, что
(1.10)
т. е. т. е.
Преобразовав последнее неравенство, получим
После возведения обеих частей неравенства в квадрат и приведения подобных членов, получим очевидное неравенство
В силу равносильности неравенств справедливо неравенство (1.10), так что
Таким образом, для справедлива оценка
Оценим в точке
Сначала потребуем, чтобы т. е.
Усилим неравенство
Отсюда При причем, при Пусть тогда при условии
(1.11)
имеем т. е. В противном случае и оно нас не интересует. Оценим при условии (1.11) функцию Для этого сначала оценим , так как в точке функция Найдем при каких условиях выполняется неравенство
(1.12)
Подставив в (12), получим
что после упрощения дает
Возведем обе части неравенства в квадрат, получим после приведения подобных членов, что
Очевидно, что при условии (1.6) это неравенство справедливо и, следовательно, справедливо неравенство (1.12). Итак, при условиях (1.6) и (1.11) справедлива оценка
На концах отрезка [0,1] имеем Таким образом, получим следующие оценки для
) в точке
) в точке при условии (1.6) и (1.12)
)