Метод простых итераций с попеременно-чередующимся шагом решения некорректных задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
в точке
Найдем условия, при которых т. е. Это равносильно условию
(1.13)
Таким образом, если выбирать и из условия (1.13), то Поскольку геометрическая прогрессия убывает быстрее, чем то
для достаточно больших Поэтому для таких справедлива оценка
Так как то при условиях (1.5), (1.6), (1.11) и (1.13) имеет место следующая оценка погрешности итерационного метода (1.3):
(1.14)
Нетрудно видеть, что условие (1.13) сильнее условия (1.5). Для нахождения оптимальной по оценки погрешности производную по от правой части выражения (1.14) приравняем к нулю.
Подставляем в (1.14)
Тогда оптимальная по оценка погрешности имеет вид
(1.15)
и получается при
1.16)
Итак, доказана
Теорема 1.3 При условиях (1.11), (1.6), (1.13) оценка погрешности метода (1.3) имеет вид (1.14) при достаточно больших . При этих же условиях оптимальная оценка имеет вид (1.15) и получается при из (1.16).
Таким образом, оптимальная оценка метода (1.3) при неточности в правой части уравнения оказывается такой же, как и оценка для метода простых итераций [2-3]. Как видно, метод (1.3) не дает преимущества в мажорантных оценках по сравнению с методом простых итераций. Но он дает выигрыш в следующем. В методе простых итераций с постоянным шагом [2-3] требуется условие , в этом же методе с переменным шагом допускается более широкий диапазон для больших .В методе же (1.3) . Следовательно, выбирая и соответствующим образом, можно сделать в методе (1.3) примерно втрое меньшим, чем для метода простых итераций с постоянным шагом, и вдвое меньшим, чем для того же метода с переменным шагом. Таким образом, используя метод (1.3), для достижения оптимальной точности достаточно сделать итераций соответственно в три раза или в два раза меньше. Приведем несколько подходящих значений , удовлетворяющих требуемым условиям:
0,80,91,01,11,151,171,34,45,05,56,16,46,54,1
Наибольшую сумму и, следовательно, наибольший выигрыш в объеме вычислений дают значения и . Поскольку в выделенном случае , то условие (1.7) показывает, что достигнут практически максимальный возможный выигрыш.
Замечание 1.1 Оценки сходимости были получены для случая, когда . В случае, когда , во всех оценках следует заменить на .
Замечание 1.2 Считаем, что. На самом деле все результаты легко переносятся на случай, когда .
итерация гильбертово пространство погрешность
Глава 2 СЛУЧАЙ НЕЕДИНСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ
Покажем, что метод (1.2) пригоден и тогда, когда является собственным значением оператора (в этом случае уравнение (1.1) имеет неединственное решение).
Обозначим через
- ортогональное дополнение ядра до . Пусть - проекция на , а - проекция на . Справедлива
Теорема 2.1 Пусть
тогда для итерационного процесса (1.2) верны следующие утверждения:
)
) метод (1.2) сходится тогда и только тогда, когда уравнение разрешимо. В последнем случае , где - минимальное решение уравнения.
Доказательство:
Применим оператор к методу (1.2), получим
, где .
Так как , то .Отсюда
Обозначим , тогда . Имеем и положительно определён в , т.е. Так как то и . Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора (для упрощения считаем, что), получим
Здесь - натуральные показатели, или Справедлива цепочка неравенств
( - четное) при Здесь . Следовательно, , откуда и .
Таким образом, имеем . Итак, 1) доказано.
Докажем 2). Пусть процесс (1.2) сходится. Покажем, что уравнение разрешимо. Из сходимости к и из 1) следует, что следовательно, , и уравнение разрешимо.
Пусть теперь (уравнение разрешимо), следовательно, , где - минимальное решение уравнения (оно единственно в ). Тогда (1.2) примет вид
Разобьём последнее равенство на два:
так как
так как и, следовательно,
Тогда . Обозначив , получим
.
Аналогично , можно показать, что . Таким образом, . Следовательно, Теорема 2.1 доказана.
Замечание 2.1 Так как , то , т.е. процесс (1.2) сходится к нормальному решению, т.е. к решению с минимальной нормой.
Глава 3 АПОСТЕРИОРНЫЙ ВЫБОР ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ранее мы предполагали, что точное решение уравнения (1.1) истокообразно представимо, однако не всегда имеются сведения об элементе и степени истокопредставимости . Тем не менее метод (1.3) можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться следующим правилом останова по невязке.
Зададим уровень останова и момент останова итерационного метода определим условиями
(3.1)
Покажем возможность применения правила (3.1) к методу (1.3). Рассмотрим для чётных семейство функций . Считаем, что . Используя результаты главы 2, нетрудно показать, что для выполняются условия
,(3.2)
где ,(3.3)
,(3.4)
,(3.5)
где .
Лемма 3.1 Пусть . Тогда для .
Доказательство:
Воспользуемся интегральным представлением самосопряжённого оператора , где - спектральная функция. Рассмотрим
.
При условиях и , имеем
Здесь
в силу свойств спектральной функции.
Следовательно, Лемма 3.1 доказана.
Лемма 3.2 Пусть . Тогда для