Алгебра логіки як розділ математики
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Лабораторна робота №1
Теоретичні відомості.
1. Алгебра логіки
Алгебра логіки - це розділ математики, що вивчає висловлення, розглянуті з точки зору їхніх логічних значень (істинності або хибності) і логічних операцій над ними.
Логічне висловлення - це будь-яка оповідальне речення, у відношенні якого можна однозначно сказати, істинне воно або хибне. Щоб звертатися до логічних висловлень, їм призначають імена.
Операції над логічними висловленнями:
НЕ Операція, що виражається словом "не", називається запереченням і позначається рискою над висловленням (або знаком). Висловлення істинне, коли A хибне, і хибне, коли A істинне.
І Операція, що виражається звязуванням "і", називається конюнкцією (лат. conjunctio - зєднання) або логічним множенням і позначається точкою " " (може також позначатися знаками або &). Висловлення АВ істинно тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А и В істинні.
АБО Операція, що виражається звязуванням "або" (у невиключаючому сенсі) називається дизюнкцією (лат. disjunctio - поділ) або логічним додаванням і позначається знаком v (або плюсом). Висловлення А v В помилкове тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А и В помилкові.
ЯКЩО-ТО Операція, що виражається звязуваннями "якщо., то", "з. випливає",". витікає.", називається імплікацією (лат. implico - тісно звязані) і позначається знаком. Висловлення помилкове тоді і тільки тоді, коли А істинно, а В хибне.
РІВНОСИЛЬНА Операція, що виражається звязуваннями "тоді і тільки тоді", "необхідно і досить",". рівносильно.", називається еквіваленцією або подвійною імплікацією і позначається знаком або ~. Висловлення істинне тоді і тільки тоді, коли значення А и В збігаються. За допомогою логічних змінних і символів логічних операцій будь-яке висловлення можна формалізувати, тобто замінити логічною формулою. В алгебрі логіки виконуються наступні основні закони, що дозволяють робити тотожні перетворення логічних виражень:
Рівносильні перетворення логічних формул мають те ж призначення, що і перетворення формул у звичайній алгебрі. Вони служать для спрощення формул або приведення їх до визначеного виду шляхом використання основних законів алгебри логіки. Під спрощенням формули, що не містить операцій імплікації і еквіваленції, розуміють рівносильне перетворення, що приводить до формули, що або містить у порівнянні з вихідною менше число операцій конюнкції і дизюнкції і не містить заперечень неелементарних формул, або містить менше число входжень змінних.
ЗаконДля АБОДля ІКомутативнийАсоціативнийДистрибутивнийПравила де МорганаТавтологіїПоглинанняСклеюванняОперація над змінною з її інверсією Правила операцій з константамиЗакон подвійного заперечення
Приклади
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2. Перемикальні схеми
У компютерах і інших автоматичних пристроях широко застосовуються електричні схеми, що містять сотні і тисячі перемикальних елементів: реле, вимикачів і т.п. Розробка таких схем досить трудомістка справа. Виявилося, що тут з успіхом може бути використаний апарат алгебри логіки.
Перемикальна схема - це схематичне зображення деякого пристрою, що складає з перемикачів і зєднуючих провідників, а також із входів і виходів, на які подається і з яких знімається електричний сигнал.
Кожен перемикач має тільки два стани: замкнутий і розімкнутий. Перемикачеві Х поставимо у відповідність логічну перемінну х, що приймає значення 1 у тому і тільки в тому випадку, коли перемикач Х замкнути і схема проводить струм; якщо ж перемикач розімкнути, то х дорівнює нулеві.
Усій перемикальній схемі також можна поставити у відповідність логічну змінну, рівну одиниці, якщо схема проводить струм, і рівну нулеві - якщо не проводить. Ця змінна є функцією від змінних, відповідних усім перемикачам схеми, і називається функцією провідності.
Дві схеми називаються рівносильними, якщо через одну з них проходить струм тоді і тільки тоді, коли він проходить через іншу (при тому самому вхідному сигналі).
З двох рівносильних схем більш простою вважається та схема, функція провідності якої містить менше число логічних операцій або перемикачів.
При розгляді перемикальних схем виникають дві основні задачі: синтез і аналіз схеми.
СИНТЕЗ СХЕМИ по заданих умовах її роботи зводиться до наступних трьох етапів:
- складанню функції провідності по таблиці істинності, що відбиває ці умови;
- спрощенню цієї функції;
- побудові відповідної схеми.
АНАЛІЗ СХЕМИ зводиться до
- визначенню значень її функції провідності при всіх можливих наборах вхідних у цю функцію перемінних.
- одержанню спрощеної формули.
Приклади.
1. Побудуємо схему, що містить 4 перемикачі x, y, z і t, таку, щоб вона проводила струм тоді і тільки тоді, коли замкнути контакт перемикача t і який-небудь з інших трьох контактів.
Рішення. У цьому випадку можна обійтися без побудови таблиці істинності. Очевидно, що функція провідності має вигляд F (x, y, z, t) = t (x v y v z), а схема виглядає так:
Приклад 2. Проаналізувати задану схему
Розвязок
В даному випадку будувати таблицю істинності не потрібно.
Приклад 3
Розвязок
Спрощена перемикальна схема
<